Štúdium systémov Gaussovou metódou. Opačná metóda Gaussovej metódy

Podstatou Gaussovej metódy je transformácia (1) na systém s trojuholníkovou maticou, z ktorej sa potom postupne (obrátene) získavajú hodnoty všetkých neznámych. Zoberme si jednu z výpočtových schém. Tento obvod sa nazýva jednodielny obvod. Pozrime sa teda na tento diagram. Nech a 11 ≠0 (vedúci prvok) vydelí prvú rovnicu číslom 11. Dostaneme
(2)
Pomocou rovnice (2) je ľahké eliminovať neznáme x 1 zo zostávajúcich rovníc systému (na to stačí od každej rovnice odčítať rovnicu (2), predtým vynásobenú zodpovedajúcim koeficientom pre x 1) , teda v prvom kroku získame
.
Inými slovami, v kroku 1 sa každý prvok nasledujúcich riadkov, počnúc druhým, rovná rozdielu medzi pôvodným prvkom a súčinom jeho „projekcie“ do prvého stĺpca a prvého (transformovaného) riadku.
Potom, pričom prvú rovnicu necháme na pokoji, vykonáme podobnú transformáciu nad zvyšnými rovnicami systému získanými v prvom kroku: vyberieme z nich rovnicu s vedúcim prvkom a s jej pomocou vylúčime x 2 zo zostávajúcich rovnice (krok 2).
Po n krokoch namiesto (1) dostaneme ekvivalentný systém
(3)
V prvej fáze teda získame trojuholníkový systém (3). Táto fáza sa nazýva dopredný zdvih.
V druhej fáze (reverznej) nájdeme postupne od (3) hodnoty x n, x n -1, ..., x 1.
Výsledné riešenie označme ako x 0 . Potom je rozdiel ε=b-A x 0 nazývaný zvyškový.
Ak ε=0, nájdené riešenie x 0 je správne.

Výpočty pomocou Gaussovej metódy sa vykonávajú v dvoch fázach:

1. Prvá fáza sa nazýva dopredná metóda. V prvej fáze je pôvodný systém prevedený do trojuholníkového tvaru.
2. Druhá fáza sa nazýva spätný zdvih. V druhej etape sa rieši trojuholníkový systém ekvivalentný pôvodnému.

Účel Gaussovej metódy

Typy Gaussovej metódy

1. Klasická Gaussova metóda;
2. Modifikácie Gaussovej metódy. Jednou z modifikácií Gaussovej metódy je schéma s výberom hlavného prvku. Znakom Gaussovej metódy s výberom hlavného prvku je také preskupenie rovníc, že ​​v k-tom kroku sa vedúci prvok ukáže ako najväčší prvok v k-tom stĺpci.
3. Jordano-Gaussova metóda;

Príklad riešenia pomocou Gaussovej metódy
Poďme vyriešiť systém:

Pre uľahčenie výpočtu vymeníme riadky:

Vynásobme 2. riadok (2). Pridajte 3. riadok k 2.

Vynásobte 2. riadok (-1). Pridajte 2. riadok k 1

Z 1. riadku vyjadríme x 3:
Z 2. riadku vyjadríme x 2:
Z tretieho riadku vyjadríme x 1:

Príklad riešenia pomocou Jordano-Gaussovej metódy
Vyriešme rovnaký SLAE pomocou Jordano-Gaussovej metódy.

Postupne vyberieme rozlišovací prvok RE, ktorý leží na hlavnej diagonále matice.
Prvok rozlíšenia sa rovná (1).



NE = SE- (A*B)/RE
RE - rozlišovací prvok (1), A a B - maticové prvky tvoriace obdĺžnik s prvkami STE a RE.
Uveďme výpočet každého prvku vo forme tabuľky:

Implementácia Gaussovej metódy

Pomocou Gaussovej metódy

Aplikácia Gaussovej metódy v teórii hier

Aplikácia Gaussovej metódy pri riešení diferenciálnych rovníc

Aplikácia Jordano-Gaussovej metódy v lineárnom programovaní

Carl Friedrich Gauss, najväčší matematik, dlho váhal a rozhodoval sa medzi filozofiou a matematikou. Možno to bolo práve toto myslenie, ktoré mu umožnilo vytvoriť také výrazné „dedičstvo“ vo svetovej vede. Najmä vytvorením „Gaussovej metódy“ ...

Články na tejto stránke sa takmer 4 roky zaoberali školskou výchovou hlavne z pohľadu filozofie, princípov (ne)pochopenia vnášaných do mysle detí. Prichádza čas na ďalšie špecifiká, príklady a metódy... Verím, že práve toto je prístup k známemu, neprehľadnému a dôležité oblasti života prinášajú lepšie výsledky.

My ľudia sme navrhnutí tak, že bez ohľadu na to, o čom veľa hovoríme abstraktné myslenie, Ale pochopenie Vždy sa deje prostredníctvom príkladov. Ak nie sú príklady, potom nie je možné pochopiť princípy... Tak, ako sa na vrchol hory nedá dostať inak, než prejdením celého svahu od úpätia.

To isté so školou: zatiaľ živé príbehy Nestačí, že ho inštinktívne naďalej považujeme za miesto, kde sa deti učia chápať.

Napríklad výučba Gaussovej metódy...

Gaussova metóda v 5. ročníku školy

Hneď urobím rezerváciu: Gaussova metóda má oveľa širšie uplatnenie napríklad pri riešení sústavy lineárnych rovníc. Čo si budeme rozprávať, odohráva sa v 5. ročníku. Toto začala, keď pochopíte, ktoré, je oveľa jednoduchšie pochopiť viac „pokročilých možností“. V tomto článku hovoríme o Gaussova metóda (metóda) na nájdenie súčtu radu

Tu je príklad, ktorý som si priniesol zo školy mladší syn, navštevuje 5. ročník na moskovskom gymnáziu.

Školská ukážka Gaussovej metódy

Učiteľ matematiky pomocou interaktívnej tabule ( moderné metódyškolenie) ukázal deťom prezentáciu histórie „tvorby metódy“ od malého Gaussa.

Učiteľka malého Karla bičovala (zastaraná metóda, ktorá sa dnes v školách nepoužíva), pretože on

namiesto postupného sčítania čísel od 1 do 100 nájdite ich súčet všimolže dvojice čísel, ktoré sú rovnako vzdialené od okrajov aritmetickej postupnosti, tvoria rovnaké číslo. napríklad 100 a 1, 99 a 2. Po spočítaní počtu takýchto párov malý Gauss takmer okamžite vyriešil problém navrhnutý učiteľom. Za čo ho pred užasnutou verejnosťou popravili. Aby ostatní boli odrádzaní od rozmýšľania.

Čo urobil malý Gauss? vyvinuté zmysel pre čísla? Všimol som si nejakú vlastnosťčíselný rad s konštantným krokom (aritmetická progresia). A presne toto neskôr z neho urobil veľkého vedca, tí, ktorí si vedia všimnúť, majúce pocit, inštinkt porozumenia.

Preto je matematika cenná, rozvíja sa schopnosť vidieť najmä všeobecne - abstraktné myslenie. Preto väčšina rodičov a zamestnávateľov inštinktívne považovať matematiku za dôležitú disciplínu ...

„Potom sa musíte naučiť matematiku, pretože tá vám dáva do poriadku myseľ.
M.V.Lomonosov“.

Stúpenci tých, ktorí bičovali budúcich géniov prútmi, však z Metoda urobili niečo opačné. Ako povedal môj nadriadený pred 35 rokmi: "Otázka bola naučená." Alebo ako včera povedal môj najmladší syn o Gaussovej metóde: „Možno z toho nemá cenu robiť veľkú vedu, však?

Dôsledky kreativity „vedcov“ sú viditeľné na úrovni súčasnej školskej matematiky, úrovni jej vyučovania a chápaní „kráľovnej vied“ väčšinou.

Pokračujme však...

Metódy na vysvetlenie Gaussovej metódy v 5. ročníku školy

Učiteľ matematiky na moskovskom gymnáziu, vysvetľujúci Gaussovu metódu podľa Vilenkina, skomplikoval úlohu.

Čo ak rozdiel (krok) aritmetickej progresie nie je jedno, ale iné číslo? Napríklad 20.

Problém, ktorý dal piatakom:

20+40+60+80+ ... +460+480+500

Predtým, ako sa zoznámime s gymnaziálnou metódou, pozrime sa na internet: ako to robia učitelia škôl a učitelia matematiky?...

Gaussova metóda: vysvetlenie č.1

Známy lektor na svojom kanáli YOUTUBE uvádza nasledujúce dôvody:

„Zapíšme si čísla od 1 do 100 takto:

najprv séria čísel od 1 do 50 a presne pod ňou ďalšia séria čísel od 50 do 100, ale v opačnom poradí“

1, 2, 3, ... 48, 49, 50

100, 99, 98 ... 53, 52, 51

"Upozorňujeme, že súčet každého páru čísel z horného a spodného radu je rovnaký a rovná sa 101! Spočítajme počet párov, je to 50 a vynásobte súčet jedného páru počtom párov! Voila: odpoveď je pripravená!"

"Ak ste nerozumeli, nehnevajte sa!" zopakoval učiteľ trikrát počas vysvetľovania. "Túto metódu budete mať v 9. ročníku!"

Gaussova metóda: vysvetlenie č.2

Ďalší tútor, menej známy (súdiac podľa počtu zobrazení), má vedeckejší prístup a ponúka algoritmus riešenia s 5 bodmi, ktorý je potrebné dokončiť postupne.

Pre nezasvätených je 5 jedno z Fibonacciho čísel tradične považovaných za magické. 5-kroková metóda je vždy vedeckejšia ako napríklad 6-kroková metóda. ...A to nie je náhoda, s najväčšou pravdepodobnosťou je Autor skrytým prívržencom Fibonacciho teórie

Vzhľadom na aritmetický postup: 4, 10, 16 ... 244, 250, 256 .

Algoritmus na nájdenie súčtu čísel v rade pomocou Gaussovej metódy:

4, 10, 16 ... 244, 250, 256

256, 250, 244 ... 16, 10, 4

Zároveň si treba pamätať plus jedno pravidlo : k výslednému kvocientu musíme pripočítať jedničku: inak dostaneme výsledok, ktorý je o jednu menší ako skutočné číslo pars: 42 + 1 = 43.

Toto je požadovaný súčet aritmetického postupu od 4 do 256 s rozdielom 6!

Gaussova metóda: vysvetlenie v 5. ročníku na moskovskom gymnáziu

Tu je návod, ako vyriešiť problém s nájdením súčtu radu:

20+40+60+ ... +460+480+500

v 5. ročníku moskovského gymnázia, Vilenkinova učebnica (podľa môjho syna).

Po predvedení prezentácie učiteľ matematiky ukázal niekoľko príkladov pomocou Gaussovej metódy a dal triede za úlohu nájsť súčet čísel v sérii v krokoch po 20.

To si vyžadovalo nasledovné:

Ako vidíte, toto je kompaktnejšie a efektívna technika: číslo 3 je tiež členom Fibonacciho postupnosti

Moje pripomienky k školskej verzii Gaussovej metódy

Veľký matematik by si určite vybral filozofiu, keby predvídal, na čo jeho „metódu“ premenia jeho nasledovníci. učiteľ nemčiny, ktorý Karla bičoval prútmi. Videl by symboliku, dialektickú špirálu a nehynúcu hlúposť „učiteľov“, snažiac sa zmerať harmóniu živého matematického myslenia s algebrou nepochopenia ....

Mimochodom: vedeli ste. že naše školstvo má korene v nemeckej škole 18. a 19. storočia?

Ale Gauss si vybral matematiku.

Čo je podstatou jeho metódy?

IN zjednodušenie. IN pozorovanie a uchopenie jednoduché vzory čísel. IN premeniť aritmetiku na suchú školu na zaujímavá a vzrušujúca aktivita , aktivujúc v mozgu túžbu pokračovať, skôr ako blokovať duševnú aktivitu s vysokými nákladmi.

Je možné použiť jednu z uvedených „modifikácia Gaussovej metódy“ na výpočet súčtu čísel aritmetickej progresie takmer okamžite? Podľa „algoritmov“ by sa mal malý Karl zaručene vyhnúť výprasku, vypestovať si averziu k matematike a v zárodku potlačiť svoje tvorivé impulzy.

Prečo učiteľ tak vytrvalo radil piatakom „nebáť sa nepochopenia“ metódy a presviedčal ich, že „takéto“ problémy budú riešiť už v 9. ročníku? Psychologicky negramotné jednanie. Bol to dobrý ťah, ktorý treba poznamenať: "Maj sa už v 5. ročníku môžeš riešte problémy, ktoré dokončíte až za 4 roky! Aký si skvelý chlapík!“

Na použitie Gaussovej metódy postačuje úroveň triedy 3, keď normálne deti už vedia sčítať, násobiť a deliť 2-3 ciferné čísla. Problémy vznikajú pre neschopnosť dospelých učiteľov, ktorí sú „mimo kontakt“ vysvetliť tie najjednoduchšie veci normálnym ľudským jazykom, nehovoriac o matematickom... Nedokážu ľudí zaujať matematikou a úplne odradia aj tých, ktorí sú „ schopný.”

Alebo, ako povedal môj syn: „urobiť z toho veľkú vedu“.

Gaussova metóda, moje vysvetlenia

S manželkou sme túto „metódu“ vysvetlili nášmu dieťaťu, zdá sa, ešte pred školou...

Jednoduchosť namiesto zložitosti alebo hra otázok a odpovedí

"Pozri, tu sú čísla od 1 do 100. Čo vidíš?"

Nejde o to, čo presne dieťa vidí. Trik je prinútiť ho, aby sa pozrel.

"Ako ich môžeš dať dokopy?" Syn si uvedomil, že takéto otázky sa nekladú „len tak“ a na otázku sa treba pozerať „nejak inak, inak ako on“

Nevadí, ak dieťa hneď vidí riešenie, je to málo pravdepodobné. Je dôležité, aby on prestal sa báť pozrieť, alebo ako ja hovorím: „presunul úlohu“. Toto je začiatok cesty k porozumeniu

"Čo je jednoduchšie: pridať napríklad 5 a 6 alebo 5 a 95?" Hlavná otázka... Ale každé školenie spočíva v „navedení“ človeka k „odpovedi“ – akýmkoľvek spôsobom, ktorý je pre neho prijateľný.

V tejto fáze už môžu vzniknúť dohady o tom, ako „ušetriť“ na výpočtoch.

Urobili sme len náznak: „frontálny, lineárny“ spôsob počítania nie je jediný možný. Ak to dieťa pochopí, neskôr príde na oveľa viac takýchto metód, lebo je to zaujímavé!!! A určite sa vyhne „nepochopeniu“ matematiky a nebude sa ňou cítiť znechutený. Dostal výhru!

Ak objavené dieťaže sčítanie dvojíc čísel, ktorých súčet je sto, je hračka "aritmetický postup s rozdielom 1"- pre dieťa dosť ponurá a nezaujímavá vec - zrazu našiel pre neho život . Poriadok vznikol z chaosu, a to vždy vyvoláva nadšenie: tak sme stvorení!

Otázka na zodpovedanie: prečo by malo byť dieťa po získanom náhľade opäť nútené do rámca suchých algoritmov, ktoré sú v tomto prípade tiež funkčne zbytočné?!

Prečo vynucovať hlúpe prepisy? poradové čísla v zošite: aby ani schopní nemali jedinú šancu porozumieť? Štatisticky, samozrejme, ale masové vzdelávanie je zamerané na „štatistiku“...

Kam sa podela nula?

A predsa, sčítanie čísel, ktorých súčet je 100, je pre myseľ oveľa prijateľnejšie ako tie, ktorých súčet je 101...

„Metóda Gaussovej školy“ vyžaduje presne toto: bezmyšlienkovite zložiť dvojice čísel rovnako vzdialené od stredu progresie, Napriek všetkému.

Čo ak sa pozrieš?

Stále nula - najväčší vynálezľudstva, ktoré je staré viac ako 2000 rokov. A učitelia matematiky ho naďalej ignorujú.

Je oveľa jednoduchšie transformovať sériu čísel začínajúcu 1 na sériu začínajúcu 0. Súčet sa nezmení, však? Treba prestať „myslieť v učebniciach“ a začať hľadať... A uvidíte, že páry so súčtom 101 môžu byť úplne nahradené pármi so súčtom 100!

0 + 100, 1 + 99, 2 + 98 ... 49 + 51

Ako zrušiť „pravidlo plus 1“?

Aby som bol úprimný, prvýkrát som o takomto pravidle počul od tohto lektora YouTube...

Čo mám robiť, keď potrebujem určiť počet členov série?

Pozerám na postupnosť:

1, 2, 3, .. 8, 9, 10

a keď ste úplne unavení, prejdite na jednoduchší riadok:

1, 2, 3, 4, 5

a myslím si: ak odpočítate jednu od 5, dostanete 4, ale mám to úplne jasné vidím 5 čísel! Preto musíte jednu pridať! Zmysel pre čísla sa vyvinul v r Základná škola, navrhuje: aj keď existuje celý Google členov série (10 až stová mocnina), vzor zostane rovnaký.

Aké sú sakra pravidlá?...

Aby ste za pár-tri roky zaplnili všetok priestor medzi čelom a zátylkom a prestali myslieť? Ako si zarobiť na chlieb a maslo? Koniec koncov, posúvame sa v rovnakých radoch do éry digitálnej ekonomiky!

Viac o Gaussovej školskej metóde: „prečo z toho robiť vedu?...“

Nie nadarmo som zverejnil snímku obrazovky zo synovho notebooku...

"Čo sa stalo v triede?"

"No, hneď som počítal, zdvihol ruku, ale ona sa nepýtala. Preto, kým ostatní počítali, začal som si robiť domáce úlohy v ruštine, aby som nestrácal čas. Potom, keď ostatní dopísali (? ??), zavolala ma k tabuli. Povedal som odpoveď."

"Správne, ukáž mi, ako si to vyriešil," povedal učiteľ. Ukázal som to. Povedala: "Omyl, musíte počítať, ako som ukázal!"

"Je dobré, že nedala zlú známku. A donútila ma napísať im do zošita "priebeh riešenia" ich vlastným spôsobom. Prečo z toho robiť veľkú vedu?..."

Hlavný zločin učiteľa matematiky

Sotva potom ten incident Carl Gauss pociťoval vysoký pocit rešpektu voči svojmu školskému učiteľovi matematiky. Ale keby vedel ako nasledovníci tohto učiteľa skreslí samotnú podstatu metódy... zareval by rozhorčením a prostredníctvom Svetovej organizácie duševného vlastníctva WIPO dosiahol zákaz používania jeho dobrého mena v školských učebniciach!..

V čom hlavná chybaškolský prístup? Alebo, ako som to povedal, zločin školských učiteľov matematiky na deťoch?

Algoritmus nedorozumenia

Čo robia školskí metodici, z ktorých drvivá väčšina nevie myslieť?

Vytvárajú metódy a algoritmy (pozri). Toto obranná reakcia, ktorá chráni učiteľov pred kritikou („Všetko sa robí podľa...“) a deti pred porozumením. A teda - z túžby kritizovať učiteľov!(Druhý derivát byrokratickej „múdrosti“, vedecký prístup k problému). Človek, ktorý nechápe zmysel, bude viniť skôr svoje nepochopenie, ako hlúposť školského systému.

Toto sa stáva: rodičia obviňujú svoje deti a učitelia... robia to isté pre deti, ktoré „nerozumejú matematike!“

si šikovný?

Čo urobil malý Karl?

Úplne nekonvenčný prístup k vzorovej úlohe. Toto je podstata Jeho prístupu. Toto hlavná vec, ktorá by sa mala v škole učiť, je myslieť nie učebnicami, ale hlavou. Samozrejme je tu aj inštrumentálna zložka, ktorá sa dá použiť... pri hľadaní jednoduchšie a účinných metódúčtov.

Gaussova metóda podľa Vilenkina

V škole učia, že Gaussova metóda je

Čo, ak je počet prvkov série nepárny, ako v probléme, ktorý bol pridelený môjmu synovi?...

"Háčik" je v tomto prípade v sérii by ste mali nájsť „extra“ číslo a pridajte ho k súčtu dvojíc. V našom príklade je toto číslo 260.

Ako zistiť? Prepis všetkých dvojíc čísel do zošita!(To je dôvod, prečo učiteľ prinútil deti, aby robili túto hlúpu prácu, keď sa pokúšali učiť „kreatívu“ pomocou Gaussovej metódy... A to je dôvod, prečo je takáto „metóda“ prakticky nepoužiteľná pri veľkých radoch údajov, A preto je nie Gaussova metóda.)

Trocha kreativity v školskej rutine...

Syn konal inak.

(20 + 500, 40 + 480 ...).

0+500, 20+480, 40+460 ...

Nie je to ťažké, však?

V praxi je to však ešte jednoduchšie, čo vám umožňuje vyčleniť 2-3 minúty na diaľkové snímanie v ruštine, zatiaľ čo zvyšok sa „počíta“. Okrem toho zachováva počet krokov metódy: 5, čo neumožňuje kritizovať prístup ako nevedecký.

Je zrejmé, že tento prístup je jednoduchší, rýchlejší a univerzálnejší v štýle metódy. Ale... učiteľ ju nielen nepochválil, ale ju aj prinútil prepísať “ správnym spôsobom"(pozri snímku obrazovky). To znamená, že sa zúfalo pokúsila udusiť tvorivý impulz a schopnosť porozumieť matematike v jej koreňoch! Zrejme preto, aby sa mohla neskôr zamestnať ako učiteľka... Zaútočila na nesprávneho človeka. ..

Všetko, čo som tak zdĺhavo a zdĺhavo popisovala, sa dá normálnemu dieťaťu vysvetliť maximálne za pol hodinu. Spolu s príkladmi.

A to tak, že na to nikdy nezabudne.

A bude krok k pochopeniu...nielen matematici.

Priznajte sa: koľkokrát v živote ste pridali pomocou Gaussovej metódy? A nikdy som to neurobil!

ale inštinkt porozumenia, ktorá sa rozvíja (alebo zaniká) v procese štúdia matematických metód v škole... Ach!.. Toto je skutočne nenahraditeľná vec!

Najmä v dobe univerzálnej digitalizácie, do ktorej sme pod prísnym vedením strany a vlády potichu vstúpili.

Pár slov na obranu učiteľov...

Je nespravodlivé a nesprávne hádzať všetku zodpovednosť za tento štýl výučby výlučne na učiteľov školy. Systém je v platnosti.

Niektorí učitelia chápu absurdnosť toho, čo sa deje, ale čo robiť? Zákon o vzdelávaní, federálne štátne vzdelávacie štandardy, metódy, plány hodín... Všetko sa musí robiť „v súlade a na základe“ a všetko musí byť zdokumentované. Odstúpiť - stál v rade na vyhodenie. Nebuďme pokrytci: platy moskovských učiteľov sú veľmi dobré... Ak ťa vyhodia, kam ísť?...

Preto táto stránka nie o vzdelaní. On je o individuálne vzdelávanie iba možný spôsob vystúpiť z davu generácia Z ...

Od začiatku 16. – 18. storočia sa matematici intenzívne začali zaoberať funkciami, vďaka ktorým sa v našich životoch toľko zmenilo. Počítačová technika by bez týchto znalostí jednoducho neexistovala. Na riešenie zložitých problémov, lineárnych rovníc a funkcií boli vytvorené rôzne koncepty, vety a techniky riešenia. Jednou z takýchto univerzálnych a racionálnych metód a techník na riešenie lineárnych rovníc a ich sústav bola Gaussova metóda. Matice, ich poradie, determinant - všetko sa dá vypočítať bez použitia zložitých operácií.

Čo je SLAU

V matematike existuje pojem SLAE - systém lineárnych algebraické rovnice. Aká je? Ide o súbor m rovníc s požadovanými n neznámymi veličinami, ktoré sa zvyčajne označujú ako x, y, z alebo x 1, x 2 ... x n alebo iné symboly. Riešenie daného systému pomocou Gaussovej metódy znamená nájsť všetky neznáme. Ak má systém rovnaké číslo neznámych a rovníc, potom sa nazýva systém n-tého rádu.

Najpopulárnejšie metódy riešenia SLAE

IN vzdelávacie inštitúcieŠtudenti stredných škôl študujú rôzne metódy riešenia takýchto systémov. Najčastejšie ide o jednoduché rovnice pozostávajúce z dvoch neznámych, teda ľubovoľných existujúca metóda Nájsť na ne odpoveď nezaberie veľa času. Môže to byť ako substitučná metóda, keď je z jednej rovnice odvodená iná a dosadená do pôvodnej. Alebo metóda odčítania a sčítania po členoch. Ale Gaussova metóda je považovaná za najjednoduchšiu a najuniverzálnejšiu. Umožňuje riešiť rovnice s ľubovoľným počtom neznámych. Prečo sa táto konkrétna technika považuje za racionálnu? Je to jednoduché. Dobrá vec na maticovej metóde je, že nevyžaduje niekoľkokrát prepisovanie nepotrebných symbolov ako neznámych, stačí vykonať aritmetické operácie s koeficientmi - a dostanete spoľahlivý výsledok.

Kde sa SLAE používajú v praxi?

Riešením SLAE sú priesečníky čiar na grafoch funkcií. V našej high-tech počítačovej dobe ľudia, ktorí sú úzko spätí s vývojom hier a iných programov, potrebujú vedieť, ako takéto systémy riešiť, čo predstavujú a ako kontrolovať správnosť výsledného výsledku. Programátori najčastejšie vyvíjajú špeciálne programy na kalkulačky lineárnej algebry, ktoré obsahujú aj systém lineárnych rovníc. Gaussova metóda umožňuje vypočítať všetky existujúce riešenia. Používajú sa aj iné zjednodušené vzorce a techniky.

Kritérium kompatibility SLAU

Takýto systém je možné vyriešiť len vtedy, ak je kompatibilný. Pre prehľadnosť uvádzame SLAE v tvare Ax=b. Má riešenie, ak sa rang(A) rovná rang(A,b). V tomto prípade (A,b) je matica rozšíreného tvaru, ktorú možno získať z matice A jej prepísaním voľnými členmi. Ukazuje sa, že riešenie lineárnych rovníc pomocou Gaussovej metódy je celkom jednoduché.

Možno niektoré symboly nie sú úplne jasné, preto je potrebné všetko zvážiť na príklade. Povedzme, že existuje systém: x+y=1; 2x-3y=6. Pozostáva len z dvoch rovníc, v ktorých sú 2 neznáme. Systém bude mať riešenie iba vtedy, ak sa hodnosť jeho matice rovná hodnosti rozšírenej matice. čo je hodnosť? Toto je počet nezávislých riadkov systému. V našom prípade je poradie matice 2. Matica A bude pozostávať z koeficientov umiestnených v blízkosti neznámych a koeficienty umiestnené za znakom „=“ tiež zapadajú do rozšírenej matice.

Prečo môžu byť SLAE zastúpené v maticovej forme?

Na základe kritéria kompatibility podľa osvedčenej Kronecker-Capelliho vety je možné systém lineárnych algebraických rovníc reprezentovať v maticovej forme. Pomocou metódy Gaussovej kaskády môžete vyriešiť maticu a získať jedinú spoľahlivú odpoveď pre celý systém. Ak sa hodnosť obyčajnej matice rovná hodnosti jej rozšírenej matice, ale je menšia ako počet neznámych, potom má systém nekonečný počet odpovedí.

Maticové transformácie

Predtým, ako pristúpite k riešeniu matíc, musíte vedieť, aké akcie je možné vykonať s ich prvkami. Existuje niekoľko základných transformácií:

• Prepísaním systému do maticového tvaru a jeho riešením môžete vynásobiť všetky prvky radu rovnakým koeficientom.
• Ak chcete transformovať maticu do kanonickej formy, môžete vymeniť dva paralelné riadky. Kanonická forma znamená, že všetky prvky matice, ktoré sa nachádzajú pozdĺž hlavnej uhlopriečky, sa stanú jednotkami a zvyšné sa stanú nulami.
• Zodpovedajúce prvky rovnobežných radov matice môžu byť navzájom sčítané.

Jordan-Gaussova metóda

Podstatou riešenia sústav lineárnych homogénnych a nehomogénnych rovníc Gaussovou metódou je postupné odstraňovanie neznámych. Povedzme, že máme systém dvoch rovníc, v ktorých sú dve neznáme. Ak ich chcete nájsť, musíte skontrolovať kompatibilitu systému. Rovnica je riešená veľmi jednoducho Gaussovou metódou. Koeficienty nachádzajúce sa pri každej neznámej je potrebné zapísať v maticovom tvare. Na vyriešenie systému budete musieť vypísať rozšírenú maticu. Ak jedna z rovníc obsahuje menší počet neznámych, potom sa namiesto chýbajúceho prvku musí vložiť „0“. Na maticu sa aplikujú všetky známe transformačné metódy: násobenie, delenie číslom, sčítanie zodpovedajúcich prvkov radu k sebe a iné. Ukazuje sa, že v každom riadku je potrebné ponechať jednu premennú s hodnotou „1“, zvyšok by sa mal znížiť na nulu. Pre presnejšie pochopenie je potrebné zvážiť Gaussovu metódu s príkladmi.

Jednoduchý príklad riešenia systému 2x2

Na začiatok si zoberme jednoduchú sústavu algebraických rovníc, v ktorej budú 2 neznáme.

Prepíšme to do rozšírenej matice.

Na vyriešenie tohto systému lineárnych rovníc sú potrebné iba dve operácie. Potrebujeme priviesť maticu do kanonickej formy, aby na hlavnej diagonále boli jedničky. Takže prenesením z maticového tvaru späť do systému dostaneme rovnice: 1x+0y=b1 a 0x+1y=b2, kde b1 a b2 sú výsledné odpovede v procese riešenia.

1. Prvá akcia pri riešení rozšírenej matice bude takáto: prvý riadok treba vynásobiť -7 a do druhého riadku pridať zodpovedajúce prvky, aby sme sa zbavili jednej neznámej v druhej rovnici.
2. Keďže riešenie rovníc pomocou Gaussovej metódy zahŕňa redukciu matice na kanonickú formu, potom je potrebné vykonať rovnaké operácie s prvou rovnicou a odstrániť druhú premennú. Aby sme to urobili, odpočítame druhý riadok od prvého a získame požadovanú odpoveď - riešenie SLAE. Alebo, ako je znázornené na obrázku, vynásobíme druhý riadok koeficientom -1 a pripočítame prvky druhého riadku k prvému riadku. To je to isté.

Ako vidíme, náš systém bol vyriešený Jordan-Gaussovou metódou. Poďme to prepísať požadovaný formulár: x=-5, y=7.

Príklad riešenia 3x3 SLAE

Predpokladajme, že máme zložitejší systém lineárnych rovníc. Gaussova metóda umožňuje vypočítať odpoveď aj pre zdanlivo najprehľadnejší systém. Preto, aby ste sa hlbšie ponorili do metodiky výpočtu, môžete prejsť na zložitejší príklad s tromi neznámymi.

Rovnako ako v predchádzajúcom príklade prepíšeme systém do podoby rozšírenej matice a začneme ho uvádzať do kanonickej podoby.

Na vyriešenie tohto systému budete musieť vykonať oveľa viac akcií ako v predchádzajúcom príklade.

1. Najprv musíte urobiť prvý stĺpec jedným jednotkovým prvkom a zvyšok nulami. Ak to chcete urobiť, vynásobte prvú rovnicu -1 a pridajte k nej druhú rovnicu. Je dôležité si zapamätať, že prvý riadok prepisujeme do pôvodnej podoby a druhý do upravenej podoby.
2. Ďalej odstránime tú istú prvú neznámu z tretej rovnice. Za týmto účelom vynásobte prvky prvého riadku -2 a pridajte ich do tretieho riadku. Teraz sú prvý a druhý riadok prepísané do pôvodnej podoby a tretí - so zmenami. Ako vidíte z výsledku, prvú sme dostali na začiatok hlavnej uhlopriečky matice a zvyšné nuly. Ešte pár krokov a systém rovníc Gaussovou metódou bude spoľahlivo vyriešený.
3. Teraz musíte vykonať operácie na iných prvkoch riadkov. Tretiu a štvrtú akciu je možné spojiť do jednej. Druhý a tretí riadok musíme vydeliť -1, aby sme sa zbavili mínusových na uhlopriečke. Tretí riadok sme už priviedli do požadovanej podoby.
4. Ďalej uvedieme druhý riadok do kanonickej podoby. Aby sme to urobili, vynásobíme prvky tretieho riadku -3 a pridáme ich do druhého riadku matice. Z výsledku je zrejmé, že aj druhý riadok je zredukovaný do podoby, akú potrebujeme. Zostáva vykonať niekoľko ďalších operácií a odstrániť koeficienty neznámych z prvého riadku.
5. Ak chcete vytvoriť 0 z druhého prvku v rade, musíte vynásobiť tretí riadok -3 a pridať ho do prvého riadku.
6. Ďalším rozhodujúcim krokom bude pridanie potrebných prvkov druhého radu do prvého radu. Takto dostaneme kanonickú formu matice, a teda aj odpoveď.

Ako vidíte, riešenie rovníc pomocou Gaussovej metódy je celkom jednoduché.

Príklad riešenia sústavy rovníc 4x4

Niektoré zložitejšie sústavy rovníc je možné riešiť pomocou Gaussovej metódy pomocou počítačových programov. Koeficienty pre neznáme je potrebné zadať do existujúcich prázdnych buniek a program sám krok za krokom vypočíta požadovaný výsledok s podrobným popisom každej akcie.

Popísané nižšie návod krok za krokom riešenia tohto príkladu.

V prvom kroku sa do prázdnych buniek zadajú voľné koeficienty a čísla pre neznáme. Dostaneme teda rovnakú rozšírenú maticu, ktorú napíšeme ručne.

A vykonajú sa všetky potrebné aritmetické operácie, aby sa rozšírená matica dostala do jej kanonickej formy. Je potrebné pochopiť, že odpoveďou na systém rovníc nie sú vždy celé čísla. Niekedy môže byť riešenie zo zlomkových čísel.

Kontrola správnosti riešenia

Jordan-Gaussova metóda umožňuje kontrolu správnosti výsledku. Aby ste zistili, či sú koeficienty vypočítané správne, stačí výsledok dosadiť do pôvodnej sústavy rovníc. Ľavá strana rovnice musí zodpovedať pravá strana, ktorý sa nachádza za znakom rovnosti. Ak sa odpovede nezhodujú, musíte systém prepočítať alebo naň skúsiť použiť inú metódu riešenia SLAE, ktorú poznáte, ako je substitúcia alebo odčítanie a sčítanie po členoch. Matematika je predsa veda, ktorá má obrovské množstvo rôznych metód riešenia. Ale pamätajte: výsledok by mal byť vždy rovnaký, bez ohľadu na to, aký spôsob riešenia ste použili.

Gaussova metóda: najčastejšie chyby pri riešení SLAE

Počas rozhodovania lineárne systémy rovníc, najčastejšie dochádza k chybám ako je nesprávny prevod koeficientov do maticového tvaru. Existujú systémy, v ktorých niektoré neznáme chýbajú v jednej z rovníc; potom sa pri prenose údajov do rozšírenej matice môžu stratiť. Výsledkom je, že pri riešení tohto systému nemusí výsledok zodpovedať skutočnosti.

Ďalšou veľkou chybou môže byť nesprávne vypísanie konečného výsledku. Je potrebné jasne pochopiť, že prvý koeficient bude zodpovedať prvému neznámemu zo systému, druhému - druhému atď.

Gaussova metóda podrobne popisuje riešenie lineárnych rovníc. Vďaka nemu je ľahké vykonať potrebné operácie a nájsť správny výsledok. Navyše ide o univerzálny nástroj na nájdenie spoľahlivej odpovede na rovnice akejkoľvek zložitosti. Možno aj preto sa tak často používa pri riešení SLAE.

Gaussova metóda je jednoduchá! prečo? Slávny nemecký matematik Johann Carl Friedrich Gauss počas svojho života získal uznanie ako najväčšieho matematika všetkých čias, génia a dokonca aj prezývku „kráľ matematiky“. A všetko dômyselné, ako viete, je jednoduché! Mimochodom, peniaze nedostávajú len hlupáci, ale aj géniovia - Gaussov portrét bol na 10-tich nemeckých markách (pred zavedením eura) a Gauss sa na Nemcov stále záhadne usmieva z obyčajných poštových známok.

Gaussova metóda je jednoduchá v tom, že na jej zvládnutie STAČÍ VEDOMOSTI ŽIAKA 5. ROČNÍKA. Musíte vedieť sčítať a násobiť! Nie náhodou učitelia často uvažujú o metóde postupného vyraďovania neznámych v školských výberových predmetoch z matematiky. Je to paradox, ale pre študentov je najťažšia Gaussova metóda. Nič prekvapujúce - je to všetko o metodológii a pokúsim sa hovoriť o algoritme metódy v prístupnej forme.

Najprv systematizujeme trochu vedomostí o sústavách lineárnych rovníc. Systém lineárnych rovníc môže:

1) Majte jedinečné riešenie.
2) Mať nekonečne veľa riešení.
3) Nemať žiadne riešenia (buď nekĺbové).

Gaussova metóda je najvýkonnejší a univerzálny nástroj na hľadanie riešenia akýkoľvek sústavy lineárnych rovníc. Ako si pamätáme, Cramerovo pravidlo a maticová metóda sú nevhodné v prípadoch, keď má systém nekonečne veľa riešení alebo je nekonzistentný. A metóda postupnej eliminácie neznámych Každopádne nás privedie k odpovedi! V tejto lekcii sa budeme opäť zaoberať Gaussovou metódou pre prípad č. 1 (jediné riešenie systému), článok je venovaný situáciám bodov č. 2-3. Podotýkam, že samotný algoritmus metódy funguje vo všetkých troch prípadoch rovnako.

Vráťme sa k najjednoduchší systém z triedy Ako vyriešiť sústavu lineárnych rovníc?
a vyriešiť to pomocou Gaussovej metódy.

Prvým krokom je zapísať rozšírená matica systému:
. Myslím, že každý vidí, akým princípom sa koeficienty píšu. Vertikálna čiara vo vnútri matice nemá žiadny matematický význam - je to jednoducho prečiarknuté pre zjednodušenie návrhu.

Odkaz :Odporúčam zapamätať si podmienky lineárna algebra. Systémová matica je matica zložená len z koeficientov pre neznáme, v tomto príklade matica sústavy: . Rozšírená systémová matica je rovnaká matica systému plus stĺpec voľných výrazov, v v tomto prípade: . Pre stručnosť, ktorúkoľvek z matíc možno jednoducho nazvať maticou.

Po napísaní rozšírenej matice systému je potrebné s ňou vykonať niektoré akcie, ktoré sa tiež nazývajú elementárne transformácie.

Existujú nasledujúce elementárne transformácie:

1) Struny matice Môcť preusporiadať na niektorých miestach. Napríklad v uvažovanej matici môžete bezbolestne preusporiadať prvý a druhý riadok:

2) Ak má matica (alebo sa objavila) proporcionálnu (napr špeciálny prípad– identické) riadky, potom nasleduje vymazať Všetky tieto riadky sú z matice okrem jedného. Zoberme si napríklad maticu . V tejto matici sú posledné tri riadky proporcionálne, takže stačí nechať len jeden z nich: .

3) Ak sa pri transformáciách objaví v matici nulový riadok, potom by mal byť tiež vymazať. Nebudem kresliť, samozrejme, nulová čiara je čiara, v ktorej všetky nuly.

4) Riadok matice môže byť násobiť (deliť) na ľubovoľné číslo nenulové. Zoberme si napríklad maticu . Tu je vhodné vydeliť prvý riadok –3 a druhý vynásobiť 2: . Táto akcia je veľmi užitočná, pretože zjednodušuje ďalšie transformácie matice.

5) Táto transformácia spôsobuje najväčšie ťažkosti, ale v skutočnosti nie je nič zložité. Do riadku matice môžete pridajte ďalší reťazec vynásobený číslom, odlišný od nuly. Zvážte našu maticu praktický príklad: . Najprv veľmi podrobne opíšem premenu. Vynásobte prvý riadok -2: , A k druhému riadku pridáme prvý riadok vynásobený –2: . Teraz je možné prvý riadok rozdeliť „späť“ na –2: . Ako vidíte, riadok, ktorý je PRIDANÝ LI – sa nezmenil. Vždy riadok, KTORÝ JE PRIDANÝ, sa mení UT.

V praxi to, samozrejme, nepíšu tak podrobne, ale píšu to stručne:

Ešte raz: do druhého riadku pridal prvý riadok vynásobený –2. Čiara sa zvyčajne násobí ústne alebo na koncepte, pričom proces mentálneho výpočtu prebieha asi takto:

„Prepíšem maticu a prepíšem prvý riadok: »

„Prvý stĺpec. V spodnej časti potrebujem dostať nulu. Preto to, čo je hore, vynásobím –2: , a prvé pripočítam k druhému riadku: 2 + (–2) = 0. Výsledok zapíšem do druhého riadku: »

„Teraz druhý stĺpec. V hornej časti vynásobím -1 -2: . Prvý pridám do druhého riadku: 1 + 2 = 3. Do druhého riadku zapíšem výsledok: »

"A tretí stĺpec." V hornej časti vynásobím -5 -2: . Prvý pridám do druhého riadku: –7 + 10 = 3. Do druhého riadku zapíšem výsledok: »

Pozorne pochopte tento príklad a pochopte algoritmus sekvenčného výpočtu, ak tomu rozumiete, potom máte Gaussovu metódu prakticky vo vrecku. Ale, samozrejme, na tejto premene ešte popracujeme.

Elementárne transformácie nemenia riešenie sústavy rovníc

! POZOR: považované za manipulácie nemožno použiť, ak vám bude ponúknutá úloha, kde sa matice dávajú „samo od seba“. Napríklad pri „klasickom“ operácie s maticami Za žiadnych okolností by ste nemali nič prestavovať vo vnútri matríc!

Vráťme sa k nášmu systému. Je prakticky rozobraný na kusy.

Zapíšme si rozšírenú maticu systému a pomocou elementárnych transformácií ju zredukujme na stupňovitý pohľad:

(1) Prvý riadok bol pridaný k druhému riadku, vynásobený –2. A opäť: prečo násobíme prvý riadok –2? Aby sa naspodku dostala nula, čo znamená zbaviť sa jednej premennej v druhom riadku.

(2) Vydeľte druhý riadok 3.

Účel elementárnych transformácií – zredukovať maticu na postupný tvar: . Pri návrhu úlohy jednoducho vyznačia „schody“ jednoduchou ceruzkou a tiež zakrúžkujú čísla, ktoré sa nachádzajú na „schodoch“. Samotný pojem „odstupňovaný pohľad“ nie je úplne teoretický, vo vedeckej a náučnej literatúre sa často nazýva lichobežníkový pohľad alebo trojuholníkový pohľad.

V dôsledku elementárnych transformácií sme získali ekvivalent pôvodný systém rovníc:

Teraz je potrebné systém „rozvinúť“. opačný smer– zdola nahor, tento proces sa nazýva inverzná ku Gaussovej metóde.

V spodnej rovnici už máme hotový výsledok: .

Zoberme si prvú rovnicu systému a dosaďte do nej už známu hodnotu „y“:

Zoberme si najbežnejšiu situáciu, keď Gaussova metóda vyžaduje riešenie sústavy troch lineárnych rovníc s tromi neznámymi.

Príklad 1

Riešte sústavu rovníc pomocou Gaussovej metódy:

Napíšme rozšírenú maticu systému:

Teraz okamžite nakreslím výsledok, ku ktorému dôjdeme počas riešenia:

A opakujem, naším cieľom je dostať maticu do stupňovitej formy pomocou elementárnych transformácií. Kde začať?

Najprv sa pozrite na ľavé horné číslo:

Mal by tu byť takmer vždy jednotka. Vo všeobecnosti postačí –1 (a niekedy aj iné čísla), ale akosi sa už tradične stáva, že sa tam zvyčajne umiestňuje jedna. Ako organizovať jednotku? Pozeráme sa na prvý stĺpec – máme hotovú jednotku! Transformácia jedna: vymeňte prvý a tretí riadok:

Teraz zostane prvý riadok nezmenený až do konca riešenia. Teraz dobre.

Jednotka v ľavom hornom rohu je usporiadaná. Teraz musíte získať nuly na týchto miestach:

Nuly dostaneme pomocou „ťažkej“ transformácie. Najprv sa zaoberáme druhým riadkom (2, –1, 3, 13). Čo je potrebné urobiť, aby ste na prvej pozícii dostali nulu? Potrebovať k druhému riadku pridajte prvý riadok vynásobený –2. V duchu alebo na koncepte vynásobte prvý riadok –2: (–2, –4, 2, –18). A dôsledne vykonávame (opäť mentálne alebo na návrh) pridávanie, k druhému riadku pridáme prvý riadok, už vynásobený –2:

Výsledok zapíšeme do druhého riadku:

S tretím riadkom zaobchádzame rovnakým spôsobom (3, 2, –5, –1). Ak chcete získať nulu na prvej pozícii, potrebujete k tretiemu riadku pridajte prvý riadok vynásobený –3. V duchu alebo na koncepte vynásobte prvý riadok –3: (–3, –6, 3, –27). A do tretieho riadku pridáme prvý riadok vynásobený –3:

Výsledok zapíšeme do tretieho riadku:

V praxi sa tieto úkony zvyčajne vykonávajú ústne a zapisujú sa v jednom kroku:

Netreba počítať všetko naraz a v rovnakom čase. Poradie výpočtov a „zapisovanie“ výsledkov konzistentné a väčšinou je to takto: najprv prepíšeme prvý riadok a pomaly na seba naťahujeme - DÔSLEDNE a POZORNE:


A o mentálnom procese samotných výpočtov som už hovoril vyššie.

V tomto príklade je to jednoduché, druhý riadok vydelíme –5 (keďže všetky čísla sú bezo zvyšku deliteľné 5). Tretí riadok zároveň vydelíme –2, pretože čím menšie číslo, tým jednoduchšie riešenie:

Zapnuté záverečná fáza elementárne transformácie musíte získať ďalšiu nulu tu:

Pre to k tretiemu riadku pridáme druhý riadok vynásobený –2:


Pokúste sa prísť na túto akciu sami - v duchu vynásobte druhý riadok -2 a vykonajte sčítanie.

Poslednou vykonanou akciou je účes výsledku, vydeľte tretí riadok 3.

V dôsledku elementárnych transformácií sa získal ekvivalentný systém lineárnych rovníc:

V pohode.

Teraz prichádza na rad opak Gaussovej metódy. Rovnice sa „odvíjajú“ zdola nahor.

V tretej rovnici už máme hotový výsledok:

Pozrime sa na druhú rovnicu: . Význam „zet“ je už známy, teda:

A na záver prvá rovnica: . „Igrek“ a „zet“ sú známe, ide len o maličkosti:

Odpoveď:

Ako už bolo niekoľkokrát spomenuté, pri akomkoľvek systéme rovníc je možné a potrebné skontrolovať nájdené riešenie, našťastie je to jednoduché a rýchle.

Príklad 2

Toto je príklad pre nezávislé rozhodnutie, vzorová úprava a odpoveď na konci hodiny.

Treba poznamenať, že váš priebeh rozhodnutia sa nemusí zhodovať s mojím rozhodovacím procesom, a to je vlastnosť Gaussovej metódy. Ale odpovede musia byť rovnaké!

Príklad 3

Riešte sústavu lineárnych rovníc pomocou Gaussovej metódy

Zapíšme si rozšírenú maticu systému a pomocou elementárnych transformácií ju priveďme do stupňovitého tvaru:

Pozeráme sa na ľavý horný „krok“. Mali by sme tam jeden mať. Problém je, že v prvom stĺpci nie sú vôbec žiadne jednotky, takže preskupenie riadkov nič nevyrieši. V takýchto prípadoch musí byť jednotka organizovaná pomocou elementárnej transformácie. Zvyčajne sa to dá urobiť niekoľkými spôsobmi. Urobil som toto:
(1) K prvému riadku pridáme druhý riadok, vynásobený –1. To znamená, že druhý riadok sme v duchu vynásobili –1 a pridali prvý a druhý riadok, pričom druhý riadok sa nezmenil.

Teraz vľavo hore je „mínus jedna“, čo nám celkom vyhovuje. Každý, kto chce získať +1, môže vykonať ďalší pohyb: vynásobiť prvý riadok –1 (zmeniť jeho znamienko).

(2) Prvý riadok vynásobený 5 bol pridaný k druhému riadku.Prvý riadok vynásobený 3 bol pridaný k tretiemu riadku.

(3) Prvý riadok bol vynásobený –1, v zásade je to pre krásu. Zmenilo sa aj znamienko tretieho riadku a posunulo sa na druhé miesto, aby sme na druhom „kroku“ mali požadovanú jednotku.

(4) Druhý riadok bol pridaný k tretiemu riadku, vynásobený 2.

(5) Tretí riadok bol delený 3.

Zlé znamenie, ktoré označuje chybu vo výpočtoch (zriedkavejšie preklep), je „zlý“ spodný riadok. To znamená, že ak dostaneme niečo ako , nižšie a podľa toho , potom s vysokou mierou pravdepodobnosti môžeme povedať, že pri elementárnych transformáciách došlo k chybe.

Účtujeme naopak, pri návrhu príkladov často neprepisujú samotný systém, ale rovnice sú „priamo prevzaté z danej matice“. Spätný ťah, pripomínam, funguje zdola nahor. Áno, tu je darček:

Odpoveď: .

Príklad 4

Riešte sústavu lineárnych rovníc pomocou Gaussovej metódy

Toto je príklad, ktorý môžete vyriešiť sami, je to o niečo zložitejšie. Nevadí, ak je niekto zmätený. Úplné riešenie a vzorový návrh na konci lekcie. Vaše riešenie sa môže líšiť od môjho riešenia.

V poslednej časti sa pozrieme na niektoré funkcie Gaussovho algoritmu.
Prvou vlastnosťou je, že v systémových rovniciach niekedy chýbajú niektoré premenné, napríklad:

Ako správne napísať maticu rozšíreného systému? O tomto bode som už hovoril v triede. Cramerovo pravidlo. Maticová metóda. V rozšírenej matici systému umiestnime nuly na miesto chýbajúcich premenných:

Mimochodom, toto je pomerne jednoduchý príklad, pretože prvý stĺpec už má jednu nulu a je potrebné vykonať menej elementárnych transformácií.

Druhá vlastnosť je toto. Vo všetkých uvažovaných príkladoch sme na „kroky“ umiestnili buď –1 alebo +1. Môžu tam byť aj iné čísla? V niektorých prípadoch môžu. Zvážte systém: .

Tu v ľavom hornom „kroku“ máme dvojku. Ale všimneme si fakt, že všetky čísla v prvom stĺpci sú bezo zvyšku deliteľné 2 – a to druhé je dva a šesť. A tie dve vľavo hore nám pristanú! V prvom kroku musíte vykonať nasledujúce transformácie: pridajte prvý riadok vynásobený –1 k druhému riadku; k tretiemu riadku pridajte prvý riadok vynásobený –3. Takto dostaneme požadované nuly v prvom stĺpci.

Alebo iný konvenčný príklad: . Tu nám vyhovuje aj trojka na druhom „kroku“, keďže 12 (miesto, kde potrebujeme dostať nulu) je bezo zvyšku deliteľné 3. Je potrebné vykonať nasledujúcu transformáciu: pridajte druhý riadok k tretiemu riadku, vynásobte -4, v dôsledku čoho sa získa nula, ktorú potrebujeme.

Gaussova metóda je univerzálna, no má jednu zvláštnosť. Môžete sa s istotou naučiť riešiť systémy pomocou iných metód (Cramerova metóda, maticová metóda) doslova prvýkrát - majú veľmi prísny algoritmus. Ale aby ste sa cítili istí v Gaussovej metóde, musíte sa v nej dobre zorientovať a vyriešiť aspoň 5-10 systémov. Preto môže na začiatku dôjsť k zmätku a chybám vo výpočtoch a na tom nie je nič neobvyklé alebo tragické.

Daždivé jesenné počasie za oknom.... Preto pre všetkých, ktorí chcú viac komplexný príklad pre nezávislé riešenie:

Príklad 5

Riešte sústavu štyroch lineárnych rovníc so štyrmi neznámymi pomocou Gaussovej metódy.

Takáto úloha nie je v praxi taká zriedkavá. Myslím, že aj čajník, ktorý si túto stránku dôkladne preštudoval, pochopí algoritmus na riešenie takéhoto systému intuitívne. V zásade je všetko rovnaké - existuje viac akcií.

Prípady, keď systém nemá riešenia (nekonzistentné) alebo má nekonečne veľa riešení, rozoberáme v lekcii Nekompatibilné systémy a systémy so všeobecným riešením. Tam môžete opraviť uvažovaný algoritmus Gaussovej metódy.

Prajem ti úspech!

Riešenia a odpovede:

Príklad 2: Riešenie : Zapíšme si rozšírenú maticu systému a pomocou elementárnych transformácií ju priveďme do stupňovitého tvaru.


Vykonané elementárne transformácie:
(1) Prvý riadok bol pridaný k druhému riadku, vynásobený –2. Prvý riadok bol pridaný k tretiemu riadku, vynásobený –1. Pozor! Tu môžete byť v pokušení odčítať prvý od tretieho riadku, dôrazne odporúčam neodčítať ho - riziko chyby sa výrazne zvyšuje. Stačí ho zložiť!
(2) Znamienko druhého riadku bolo zmenené (vynásobené –1). Druhý a tretí riadok boli vymenené. Poznámka, že na „stupňoch“ sa uspokojíme nielen s jednotkou, ale aj s –1, čo je ešte výhodnejšie.
(3) Druhý riadok bol pridaný k tretiemu riadku, vynásobený 5.
(4) Znamienko druhého riadku bolo zmenené (vynásobené –1). Tretí riadok bol rozdelený 14.

Obrátené:

Odpoveď: .

Príklad 4: Riešenie : Zapíšme si rozšírenú maticu systému a pomocou elementárnych transformácií ju priveďme do stupňovitého tvaru:

Vykonané konverzie:
(1) K prvému riadku bol pridaný druhý riadok. Požadovaná jednotka je teda usporiadaná v ľavom hornom „kroku“.
(2) Prvý riadok vynásobený 7 bol pridaný k druhému riadku.Prvý riadok vynásobený 6 bol pridaný k tretiemu riadku.

S druhým „krokom“ sa všetko zhoršuje , „kandidátmi“ na ňu sú čísla 17 a 23 a potrebujeme buď jednotku alebo –1. Transformácie (3) a (4) budú zamerané na získanie požadovanej jednotky

(3) Druhý riadok bol pridaný k tretiemu riadku, vynásobený –1.
(4) Tretí riadok bol pridaný k druhému riadku, vynásobený –3.
(3) Druhý riadok bol pridaný k tretiemu riadku vynásobenému 4. Druhý riadok bol pridaný k štvrtému riadku vynásobenému –1.
(4) Znamienko druhého riadku bolo zmenené. Štvrtý riadok bol rozdelený 3 a umiestnený na miesto tretieho riadku.
(5) Tretí riadok bol pridaný k štvrtému riadku, vynásobený –5.

Obrátené:

Dva systémy lineárnych rovníc sa nazývajú ekvivalentné, ak sa množina všetkých ich riešení zhoduje.

Elementárne transformácie sústavy rovníc sú:

1. Vymazanie triviálnych rovníc zo systému, t.j. tie, pre ktoré sú všetky koeficienty rovné nule;
2. Násobenie akejkoľvek rovnice číslom iným ako nula;
3. Pridanie ľubovoľnej j-tej rovnice vynásobenej ľubovoľným číslom do ľubovoľnej i-tej rovnice.

Premenná x i sa nazýva voľná, ak táto premenná nie je povolená, ale je povolený celý systém rovníc.

Veta. Elementárne transformácie transformujú sústavu rovníc na ekvivalentnú.

Zmyslom Gaussovej metódy je transformovať pôvodný systém rovníc a získať ekvivalentný vyriešený alebo ekvivalentný nekonzistentný systém.

Gaussova metóda teda pozostáva z nasledujúcich krokov:

1. Pozrime sa na prvú rovnicu. Vyberieme si prvý nenulový koeficient a vydelíme ním celú rovnicu. Získame rovnicu, do ktorej vstupuje nejaká premenná x i s koeficientom 1;
2. Odčítajme túto rovnicu od všetkých ostatných a vynásobme ju takými číslami, aby koeficienty premennej x i v zostávajúcich rovniciach boli nulové. Získame systém vyriešený vzhľadom na premennú x i a ekvivalentný pôvodnej;
3. Ak vzniknú triviálne rovnice (zriedka, ale stáva sa to; napr. 0 = 0), zo sústavy ich prečiarkneme. Výsledkom je, že existuje o jednu rovnicu menej;
4. Predchádzajúce kroky opakujeme maximálne n-krát, kde n je počet rovníc v sústave. Zakaždým, keď vyberieme novú premennú na „spracovanie“. Ak vzniknú nekonzistentné rovnice (napríklad 0 = 8), systém je nekonzistentný.

Výsledkom je, že po niekoľkých krokoch získame buď vyriešený systém (prípadne s voľnými premennými), alebo nekonzistentný. Povolené systémy spadajú do dvoch prípadov:

1. Počet premenných sa rovná počtu rovníc. To znamená, že systém je definovaný;
2. Počet premenných ďalšie číslo rovnice. Zhromažďujeme všetky voľné premenné napravo - dostaneme vzorce pre povolené premenné. Tieto vzorce sú napísané v odpovedi.

To je všetko! Sústava lineárnych rovníc vyriešená! Ide o pomerne jednoduchý algoritmus a na jeho zvládnutie nemusíte kontaktovať vyššieho učiteľa matematiky. Pozrime sa na príklad:

Úloha. Vyriešte sústavu rovníc:

Popis krokov:

1. Odpočítajte prvú rovnicu od druhej a tretej – dostaneme povolenú premennú x 1;
2. Druhú rovnicu vynásobíme (−1), tretiu rovnicu vydelíme (−3) – dostaneme dve rovnice, do ktorých vstupuje premenná x 2 s koeficientom 1;
3. K prvej pripočítame druhú rovnicu a od tretej odpočítame. Dostaneme povolenú premennú x 2 ;
4. Nakoniec od prvej odčítame tretiu rovnicu – dostaneme povolenú premennú x 3;
5. Dostali sme schválený systém, zapíšte si odpoveď.

Všeobecné riešenie simultánneho systému lineárnych rovníc je nový systém, ekvivalentný pôvodnému, v ktorom sú všetky povolené premenné vyjadrené ako voľné.

Kedy môže byť potrebné všeobecné riešenie? Ak musíte urobiť menej krokov ako k (k je počet rovníc). Avšak dôvody, prečo proces končí v niektorom kroku l< k , может быть две:

1. Po 1. kroku sme dostali systém, ktorý neobsahuje rovnicu s číslom (l + 1). V skutočnosti je to dobré, pretože... autorizovaný systém je stále získaný - dokonca o niekoľko krokov skôr.
2. Po 1. kroku sme dostali rovnicu, v ktorej sú všetky koeficienty premenných rovné nule a voľný koeficient je odlišný od nuly. Toto je protichodná rovnica, a preto je systém nekonzistentný.

Je dôležité pochopiť, že vznik nekonzistentnej rovnice pomocou Gaussovej metódy je dostatočným základom pre nekonzistentnosť. Zároveň poznamenávame, že v dôsledku 1. kroku nemôžu zostať žiadne triviálne rovnice - všetky sú prečiarknuté priamo v procese.

Popis krokov:

1. Odpočítajte prvú rovnicu vynásobenú 4 od druhej. Prvú rovnicu pridáme aj do tretej – dostaneme povolenú premennú x 1;
2. Odpočítajte tretiu rovnicu vynásobenú 2 od druhej - dostaneme protichodnú rovnicu 0 = −5.

Takže systém je nekonzistentný, pretože bola objavená nekonzistentná rovnica.

Úloha. Preskúmajte kompatibilitu a nájdite všeobecné riešenie systému:

Popis krokov:

1. Prvú rovnicu odpočítame od druhej (po vynásobení dvoma) a tretiu - dostaneme povolenú premennú x 1;
2. Odpočítajte druhú rovnicu od tretej. Keďže všetky koeficienty v týchto rovniciach sú rovnaké, tretia rovnica sa stane triviálnou. Zároveň vynásobte druhú rovnicu číslom (−1);
3. Od prvej rovnice odčítame druhú - dostaneme povolenú premennú x 2. Celý systém rovníc je teraz tiež vyriešený;
4. Keďže premenné x 3 a x 4 sú voľné, presunieme ich doprava, aby sme vyjadrili povolené premenné. Toto je odpoveď.

Systém je teda konzistentný a neurčitý, keďže existujú dve povolené premenné (x 1 a x 2) a dve voľné (x 3 a x 4).