Riešenie príkladov s x. Pravidlo na riešenie jednoduchých rovníc

Budeme analyzovať dva typy systémov riešenia rovníc:

1. Riešenie sústavy substitučnou metódou.
2. Riešenie sústavy po členoch sčítaním (odčítaním) rovníc sústavy.

Aby sme vyriešili sústavu rovníc substitučná metóda musíte postupovať podľa jednoduchého algoritmu:
1. Vyjadrujeme. Z ľubovoľnej rovnice vyjadríme jednu premennú.
2. Náhradník. Do inej rovnice dosadíme namiesto vyjadrenej premennej výslednú hodnotu.
3. Výslednú rovnicu riešime s jednou premennou. Nájdeme riešenie systému.

Vyriešiť systém sčítaním (odčítaním) po členoch potrebovať:
1. Vyberte premennú, pre ktorú urobíme rovnaké koeficienty.
2. Rovnice sčítame alebo odčítame, vo výsledku dostaneme rovnicu s jednou premennou.
3. Vyriešime výslednú lineárnu rovnicu. Nájdeme riešenie systému.

Riešením sústavy sú priesečníky grafov funkcie.

Pozrime sa podrobne na riešenie systémov pomocou príkladov.

Príklad č. 1:

Riešime substitučnou metódou

Riešenie sústavy rovníc substitučnou metódou

2x+5y=1 (1 rovnica)
x-10y=3 (2. rovnica)

1. Express
Je vidieť, že v druhej rovnici je premenná x s koeficientom 1, preto sa ukazuje, že najjednoduchšie je vyjadriť premennú x z druhej rovnice.
x = 3 + 10 rokov

2. Po vyjadrení dosadíme do prvej rovnice namiesto premennej x 3 + 10y.
2(3+10r)+5y=1

3. Výslednú rovnicu riešime s jednou premennou.
2(3+10r)+5y=1 (otvorené zátvorky)
6 + 20 rokov + 5 rokov = 1
25r = 1-6
25r=-5 |: (25)
y=-5:25
y = -0,2

Riešením sústavy rovníc sú priesečníky grafov, preto potrebujeme nájsť x a y, pretože priesečník sa skladá z x a y. Nájdite x, v prvom odseku, kde sme vyjadrili, dosadíme y.
x = 3 + 10 rokov
x=3+10*(-0,2)=1

Na prvom mieste je zvykom písať body, napíšeme premennú x a na druhé miesto premennú y.
Odpoveď: (1; -0,2)

Príklad č. 2:

Riešime sčítaním (odčítaním) po členoch.

Riešenie sústavy rovníc sčítacou metódou

3x-2y=1 (1 rovnica)
2x-3y=-10 (2. rovnica)

1. Vyberte premennú, povedzme, že vyberieme x. V prvej rovnici má premenná x koeficient 3, v druhej - 2. Musíme urobiť koeficienty rovnaké, na to máme právo rovnice vynásobiť alebo deliť ľubovoľným číslom. Prvú rovnicu vynásobíme 2 a druhú 3 a dostaneme celkový koeficient 6.

3x-2y=1 |*2
6x-4y=2

2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30

2. Od prvej rovnice odčítajte druhú, aby ste sa zbavili premennej x Vyriešte lineárnu rovnicu.
__6x-4y=2

5y=32 | :5
y = 6,4

3. Nájdite x. Nájdené y dosadíme do ktorejkoľvek z rovníc, povedzme do prvej rovnice.
3x-2y=1
3x-2*6,4=1
3x-12,8=1
3x = 1 + 12,8
3x=13,8 |:3
x = 4,6

Priesečník bude x=4,6; y = 6,4
Odpoveď: (4,6; 6,4)

Chcete sa pripraviť na skúšky zadarmo? Doučovateľ online zadarmo. Nerobím si srandu.

Riešenie exponenciálnych rovníc. Príklady.

Pozor!
Existujú ďalšie
materiál v osobitnom oddiele 555.
Pre tých, ktorí silne „nie veľmi...“
A pre tých, ktorí „veľmi...“)

Čo sa stalo exponenciálna rovnica? Toto je rovnica, v ktorej sú neznáme (x) a výrazy s nimi ukazovatele niektoré stupne. A len tam! To je dôležité.

Tak tu si príklady exponenciálnych rovníc:

3 x 2 x = 8 x + 3

Poznámka! V základoch stupňov (nižšie) - iba čísla. IN ukazovatele stupne (vyššie) - široká škála výrazov s x. Ak sa zrazu v rovnici objaví x niekde inde ako indikátor, napríklad:

toto bude rovnica zmiešaného typu. Takéto rovnice nemajú jasné pravidlá riešenia. Zatiaľ ich nebudeme zvažovať. Tu sa budeme zaoberať riešenie exponenciálnych rovníc vo svojej najčistejšej forme.

V skutočnosti ani čisté exponenciálne rovnice nie sú vždy jasne vyriešené. Existujú však určité typy exponenciálnych rovníc, ktoré sa dajú a mali by vyriešiť. Toto sú typy, na ktoré sa pozrieme.

Riešenie najjednoduchších exponenciálnych rovníc.

Začnime niečím úplne základným. Napríklad:

Aj bez akejkoľvek teórie je jednoduchým výberom jasné, že x = 2. Nič viac, však!? Žiadne ďalšie hody s hodnotou x. A teraz sa pozrime na riešenie tejto zložitej exponenciálnej rovnice:

čo sme urobili? My sme vlastne len vyhodili tie isté spodky (trojky). Úplne vyhodené. A čo sa páči, trafiť sa do čierneho!

Skutočne, ak v exponenciálnej rovnici vľavo a vpravo sú rovnakýčísla v akomkoľvek stupni, tieto čísla môžu byť odstránené a majú rovnaké exponenty. Matematika umožňuje. Zostáva vyriešiť oveľa jednoduchšiu rovnicu. Je to dobré, však?)

Pripomeňme si však ironicky: základne môžete odstrániť len vtedy, keď sú čísla základne vľavo a vpravo v nádhernej izolácii! Bez akýchkoľvek susedov a koeficientov. Povedzme v rovniciach:

2 x +2 x + 1 = 2 3, alebo

Nemôžete odstrániť dvojníkov!

No to najdôležitejšie sme zvládli. Ako prejsť od zlých exponenciálnych výrazov k jednoduchším rovniciam.

"Tu sú tie časy!" - ty hovoríš. "Kto dá takého primitíva na kontrolu a skúšky!?"

Nútený súhlasiť. Nikto nebude. Teraz však viete, kam sa obrátiť pri riešení mätúcich príkladov. Je potrebné si to pripomenúť, keď rovnaké základné číslo je vľavo - vpravo. Potom bude všetko jednoduchšie. V skutočnosti je to klasika matematiky. Berieme pôvodný príklad a transformujeme ho na požadované nás myseľ. Podľa pravidiel matematiky, samozrejme.

Zvážte príklady, ktoré si vyžadujú ďalšie úsilie, aby ste ich priviedli k najjednoduchším. Zavolajme im jednoduché exponenciálne rovnice.

Riešenie jednoduchých exponenciálnych rovníc. Príklady.

Pri riešení exponenciálnych rovníc sú hlavné pravidlá akcie s právomocami. Bez znalosti týchto akcií nebude fungovať nič.

K činom s titulmi treba pridať osobný postreh a vynaliezavosť. Potrebujeme rovnaké čísla- dôvody? V príklade ich teda hľadáme v explicitnej alebo zašifrovanej podobe.

Pozrime sa, ako sa to robí v praxi?

Uveďme si príklad:

2 2x - 8x+1 = 0

Prvý pohľad na dôvodov. Oni... Sú iní! Dva a osem. Ale je príliš skoro na to, aby sme sa nechali odradiť. Je načase si to pripomenúť

Dva a osem sú príbuzní v stupni.) Je celkom možné zapísať:

8 x + 1 = (2 3) x + 1

Ak si spomenieme na vzorec z akcií s právomocami:

(a n) m = a nm,

vo všeobecnosti to funguje skvele:

8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3 (x+1)

Pôvodný príklad vyzerá takto:

2 2x - 2 3(x+1) = 0

Prenášame 2 3 (x+1) doprava (nikto nezrušil základné matematické úkony!), dostaneme:

2 2x \u003d 2 3 (x + 1)

To je prakticky všetko. Odstránenie základov:

Vyriešime toto monštrum a dostaneme

Toto je správna odpoveď.

V tomto príklade nám pomohlo poznať sily dvoch. my identifikované v osmičke, zašifrovaná dvojka. Táto technika (kódovanie spoločných základov pod rôznymi číslami) je veľmi obľúbeným trikom v exponenciálnych rovniciach! Áno, dokonca aj v logaritmoch. Človek musí vedieť rozpoznať mocniny iných čísel v číslach. To je mimoriadne dôležité pre riešenie exponenciálnych rovníc.

Faktom je, že zvýšiť akékoľvek číslo na akúkoľvek moc nie je problém. Vynásobte, hoci aj na papieri, a to je všetko. Napríklad každý môže zvýšiť 3 na piatu mocninu. 243 vyjde, ak poznáte tabuľku násobenia.) Ale v exponenciálnych rovniciach je oveľa častejšie potrebné nezvýšiť na mocninu, ale naopak ... aké číslo v akom rozsahu skrýva sa za číslom 243, alebo povedzme 343... Tu vám nepomôže žiadna kalkulačka.

Musíš poznať mocniny niektorých čísel zrakom, áno... Zacvičíme si?

Určte, aké mocniny a aké čísla sú čísla:

2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.

Odpovede (samozrejme v neporiadku!):

5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .

Ak sa pozriete pozorne, môžete vidieť zvláštny fakt. Odpovedí je viac ako otázok! No, stáva sa... Napríklad 2 6 , 4 3 , 8 2 je všetko 64.

Predpokladajme, že ste zobrali na vedomie informáciu o oboznámení sa s číslami.) Pripomínam, že na riešenie exponenciálnych rovníc platí celá zásoba matematických vedomostí. Vrátane z nižšej strednej triedy. Nešiel si rovno na strednú, však?

Napríklad pri riešení exponenciálnych rovníc veľmi často pomáha vyňatie spoločného činiteľa zo zátvoriek (ahoj 7. ročník!). Pozrime sa na príklad:

3 2x+4 -119x = 210

A opäť prvý pohľad – na pozemok! Základy stupňov sú rôzne ... Tri a deväť. A chceme, aby boli rovnaké. No, v tomto prípade je túžba celkom uskutočniteľná!) Pretože:

9 x = (3 2) x = 3 2x

Podľa rovnakých pravidiel pre akcie s titulmi:

3 2x+4 = 3 2x 3 4

To je skvelé, môžete napísať:

3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210

Z rovnakých dôvodov sme uviedli príklad. Takže, čo bude ďalej!? Trojky sa nedajú vyhodiť... Slepá ulička?

Vôbec nie. Pamätajte na najuniverzálnejšie a najsilnejšie rozhodovacie pravidlo všetky matematické úlohy:

Ak nevieš, čo máš robiť, rob, čo môžeš!

Vyzeráš, všetko sa tvorí).

Čo je v tejto exponenciálnej rovnici Môcť robiť? Áno, ľavá strana si priamo pýta zátvorky! Spoločný faktor 3 2x tomu jasne napovedá. Skúsme a potom uvidíme:

3 2x (3 4 - 11) = 210

3 4 - 11 = 81 - 11 = 70

Príklad je stále lepší a lepší!

Pripomíname, že na odstránenie báz potrebujeme čistý stupeň, bez akýchkoľvek koeficientov. Trápi nás číslo 70. Takže obe strany rovnice vydelíme 70, dostaneme:

Op-pa! Všetko bolo v poriadku!

Toto je konečná odpoveď.

Stáva sa však, že sa dosiahne vyjazdenie z rovnakých dôvodov, ale nie ich likvidácia. To sa deje v exponenciálnych rovniciach iného typu. Zoberme si tento typ.

Zmena premennej pri riešení exponenciálnych rovníc. Príklady.

Poďme vyriešiť rovnicu:

4 x - 3 2 x +2 = 0

Najprv - ako obvykle. Prejdime k základni. Na dvojku.

4 x = (2 2) x = 2 2x

Dostaneme rovnicu:

2 2x - 3 2x +2 = 0

A tu budeme visieť. Predchádzajúce triky nebudú fungovať, nech to otočíte akokoľvek. Budeme sa musieť dostať z arzenálu iným mocným a všestranným spôsobom. Volá sa variabilná substitúcia.

Podstata metódy je prekvapivo jednoduchá. Namiesto jednej zložitej ikony (v našom prípade 2 x) napíšeme inú, jednoduchšiu (napríklad t). Takáto zdanlivo nezmyselná výmena vedie k úžasným výsledkom!) Všetko sa stáva jasným a zrozumiteľným!

Tak nech

Potom 2 2 x \u003d 2 x 2 \u003d (2 x) 2 \u003d t 2

V našej rovnici nahradíme všetky mocniny x za t:

No, svitá?) Ešte ste nezabudli na kvadratické rovnice? Riešime cez diskriminant, dostaneme:

Tu je hlavná vec nezastaviť sa, ako sa to stáva ... Toto ešte nie je odpoveď, potrebujeme x, nie t. Vraciame sa do Xs, t.j. vykonaním náhrady. Najprv pre t 1:

teda

Našiel sa jeden koreň. Hľadáme druhého, od t 2:

Hm... Vľavo 2 x, Vpravo 1... Zádrhel? Áno, vôbec nie! Stačí si zapamätať (z akcií s titulmi áno ...), že jednota je akýkoľvekčíslo na nulu. Akýkoľvek. Čokoľvek potrebujete, dáme to. Potrebujeme dvojku. znamená:

Teraz je to všetko. Mám 2 korene:

Toto je odpoveď.

O riešenie exponenciálnych rovníc na konci sa niekedy získa nejaký nepríjemný výraz. Typ:

Od sedmičky dvojka cez jednoduchý stupeň nefunguje. Nie sú príbuzní... Ako tu môžem byť? Niekto môže byť zmätený ... Ale osoba, ktorá čítal na tejto stránke tému "Čo je logaritmus?" , len sa striedmo usmejte a pevnou rukou napíšte absolútne správnu odpoveď:

V úlohách „B“ na skúške takáto odpoveď nemôže byť. Vyžaduje sa konkrétne číslo. Ale v úlohách "C" - ľahko.

Táto lekcia poskytuje príklady riešenia najbežnejších exponenciálnych rovníc. Vyzdvihnime to hlavné.

Praktické tipy:

1. V prvom rade sa pozrieme na dôvodov stupňa. Pozrime sa, či sa nedajú urobiť rovnaký. Skúsme to urobiť aktívnym používaním akcie s právomocami. Nezabudnite, že čísla bez x sa dajú zmeniť aj na stupne!

2. Snažíme sa dostať exponenciálnu rovnicu do tvaru, keď je ľavá a pravá rovnakýčísla v akomkoľvek stupni. Používame akcie s právomocami A faktorizácia.Čo sa dá spočítať na čísla - počítame.

3. Ak druhá rada nezabrala, skúsime použiť premennú substitúciu. Výsledkom môže byť rovnica, ktorá sa dá ľahko vyriešiť. Najčastejšie - štvorcový. Alebo zlomkové, ktoré sa tiež zmenší na štvorec.

4. Na úspešné vyriešenie exponenciálnych rovníc potrebujete poznať stupne niektorých čísel „z videnia“.

Ako obvykle, na konci lekcie ste vyzvaní, aby ste niečo vyriešili.) Na vlastnú päsť. Od jednoduchých po zložité.

Riešte exponenciálne rovnice:

Ťažšie:

2 x + 3 - 2 x + 2 - 2 x \u003d 48

9 x - 8 3 x = 9

2 x - 2 0,5 x + 1 - 8 = 0

Nájdite produkt koreňov:

2 3-x + 2 x = 9

Stalo?

No, potom najkomplikovanejší príklad (vyriešený však v mysli...):

7 0,13x + 13 0,7x+1 + 2 0,5x+1 = -3

Čo je zaujímavejšie? Potom je tu pre vás zlý príklad. Dosť ťahá na zvýšenej obtiažnosti. Naznačím, že v tomto príklade šetrí vynaliezavosť a najuniverzálnejšie pravidlo na riešenie všetkých matematických úloh.)

2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720 x

Príklad je jednoduchší, pre relaxáciu):

9 2 x - 4 3 x = 0

A na dezert. Nájdite súčet koreňov rovnice:

x 3 x - 9 x + 7 3 x - 63 = 0

Áno áno! Toto je rovnica zmiešaného typu! Čo sme v tejto lekcii nezohľadnili. A čo ich považovať, treba ich vyriešiť!) Táto lekcia úplne stačí na vyriešenie rovnice. No, vynaliezavosť je potrebná ... A áno, siedma trieda vám pomôže (toto je nápoveda!).

Odpovede (v neporiadku, oddelené bodkočiarkou):

1; 2; 3; 4; neexistujú žiadne riešenia; 2; -2; -5; 4; 0.

Je všetko úspešné? Skvelé.

Je tu problém? Žiaden problém! V špeciálnej časti 555 sú všetky tieto exponenciálne rovnice vyriešené pomocou podrobné vysvetlenia. Čo, prečo a prečo. A samozrejme sú tu ďalšie cenné informácie o práci so všetkými druhmi exponenciálnych rovníc. Nielen s týmito.)

Posledná zábavná otázka na zváženie. V tejto lekcii sme pracovali s exponenciálnymi rovnicami. Prečo som tu nepovedal ani slovo o ODZ? V rovniciach je to mimochodom veľmi dôležitá vec ...

Ak sa vám táto stránka páči...

Mimochodom, mám pre vás niekoľko ďalších zaujímavých stránok.)

Môžete si precvičiť riešenie príkladov a zistiť svoju úroveň. Testovanie s okamžitým overením. Učenie - so záujmom!)

môžete sa zoznámiť s funkciami a deriváciami.

Aplikácia

Riešenie akéhokoľvek typu rovníc online na stránke na konsolidáciu preštudovaného materiálu študentmi a školákmi. Riešenie rovníc online. Rovnice online. Existujú algebraické, parametrické, transcendentálne, funkcionálne, diferenciálne a iné typy rovníc. Niektoré triedy rovníc majú analytické riešenia, ktoré sú vhodné v tom, že poskytujú nielen presná hodnota root a umožňujú vám napísať riešenie vo forme vzorca, ktorý môže obsahovať parametre. Analytické výrazy umožňujú nielen vypočítať korene, ale analyzovať ich existenciu a ich počet v závislosti od hodnôt parametrov, čo je často ešte dôležitejšie pre praktické uplatnenie než špecifické koreňové hodnoty. Riešenie rovníc online.Rovnice online. Úlohou riešenia rovnice je nájsť také hodnoty argumentov, pre ktoré je táto rovnosť dosiahnutá. Na možné hodnoty argumentov je možné uložiť ďalšie podmienky (celé číslo, skutočné atď.). Riešenie rovníc online.Rovnice online. Rovnicu môžete vyriešiť online okamžite a s vysokou presnosťou výsledku. Argumenty daných funkcií (niekedy nazývané „premenné“) v prípade rovnice sa nazývajú „neznáme“. Hodnoty neznámych, pre ktoré je táto rovnosť dosiahnutá, sa nazývajú riešenia alebo korene danej rovnice. Hovorí sa, že korene spĺňajú danú rovnicu. Riešiť rovnicu online znamená nájsť množinu všetkých jej riešení (korene) alebo dokázať, že žiadne korene neexistujú. Riešenie rovníc online.Rovnice online. Ekvivalent alebo ekvivalent sa nazývajú rovnice, ktorých množiny koreňov sa zhodujú. Za ekvivalent sa považujú aj rovnice, ktoré nemajú korene. Ekvivalencia rovníc má vlastnosť symetrie: ak je jedna rovnica ekvivalentná inej, potom je druhá rovnica ekvivalentná prvej. Ekvivalencia rovníc má vlastnosť tranzitivity: ak je jedna rovnica ekvivalentná druhej a druhá je ekvivalentná tretej, potom je prvá rovnica ekvivalentná tretej. Vlastnosť ekvivalencie rovníc umožňuje vykonávať s nimi transformácie, na ktorých sú založené metódy ich riešenia. Riešenie rovníc online.Rovnice online. Stránka vám umožní vyriešiť rovnicu online. Rovnice, pre ktoré sú známe analytické riešenia, zahŕňajú algebraické rovnice nie vyššie ako štvrtý stupeň: lineárnu rovnicu, kvadratickú rovnicu, kubickú rovnicu a rovnicu štvrtého stupňa. Algebraické rovnice vo všeobecnom prípade nemajú analytické riešenie, hoci niektoré z nich možno zredukovať na rovnice nižších stupňov. Rovnice, ktoré zahŕňajú transcendentálne funkcie, sa nazývajú transcendentálne. Medzi nimi sú známe analytické riešenia pre niektoré goniometrické rovnice, pretože nuly goniometrických funkcií sú dobre známe. Vo všeobecnom prípade, keď nie je možné nájsť analytické riešenie, sa používajú numerické metódy. Numerické metódy nedávajú presné riešenie, ale umožňujú len zúžiť interval, v ktorom leží koreň, na určitú vopred určenú hodnotu. Riešenie rovníc online.. Online rovnice.. Namiesto online rovnice si predstavíme, ako ten istý výraz tvorí lineárnu závislosť a to nielen pozdĺž priamej dotyčnice, ale aj v samotnom bode ohybu grafu. Táto metóda je pri štúdiu predmetu vždy nevyhnutná. Často sa stáva, že riešenie rovníc sa pomocou nekonečných čísel a zapisovacích vektorov približuje ku konečnej hodnote. Je potrebné skontrolovať počiatočné údaje a to je podstatou úlohy. V opačnom prípade sa lokálna podmienka prevedie na vzorec. Inverzia priamej čiary danej funkcie, ktorú kalkulačka rovníc vypočíta bez veľkého oneskorenia pri vykonávaní, bude kompenzovaná výsadou priestoru. Pôjde o výkon študentov vo vedeckom prostredí. Avšak, rovnako ako všetky vyššie uvedené, nám pomôže v procese hľadania, a keď rovnicu úplne vyriešite, potom výslednú odpoveď uložte na koncoch priamky. Čiary v priestore sa pretínajú v bode a tento bod sa nazýva pretínaný čiarami. Interval na linke je označený tak, ako bolo uvedené vyššie. najvyšší post na štúdium matematiky budú zverejnené. Priradenie hodnoty argumentu z parametricky definovanej plochy a riešenie rovnice online bude môcť naznačiť princípy produktívneho volania funkcie. Möbiov pás, alebo ako sa tomu hovorí nekonečno, vyzerá ako osmička. Toto je jednostranný povrch, nie obojstranný. Podľa každému dobre známeho princípu budeme objektívne akceptovať lineárne rovnice ako základné označenie také, aké sú v študijnom odbore. Iba dve hodnoty za sebou daných argumentov dokážu odhaliť smer vektora. Predpokladať, že iné riešenie online rovníc je oveľa viac než len jeho riešenie, znamená získať na výstupe plnohodnotnú verziu invariantu. Bez integrovaný prístupžiaci sa ťažko učia tento materiál. Tak ako doteraz, pre každý špeciálny prípad naša pohodlná a inteligentná online kalkulačka rovníc pomôže každému v ťažkej chvíli, pretože stačí zadať vstupné parametre a systém sám vypočíta odpoveď. Predtým, ako začneme zadávať údaje, potrebujeme vstupný nástroj, ktorý sa dá urobiť bez väčších problémov. Číslo každého skóre odpovede bude kvadratickou rovnicou vedúcou k našim záverom, ale nie je to také ľahké, pretože je ľahké dokázať opak. Teória pre svoje zvláštnosti nie je podložená praktickými poznatkami. Vidieť zlomkovú kalkulačku vo fáze publikovania odpovede nie je v matematike ľahká úloha, pretože alternatíva zápisu čísla na množinu zvyšuje rast funkcie. Nebolo by však nekorektné nehovoriť o školení žiakov, preto sa vyjadríme každý toľko, koľko je potrebné urobiť. Predtým nájdená kubická rovnica bude právom patriť do oblasti definície a bude obsahovať priestor číselných hodnôt, ako aj symbolických premenných. Keď sa naši študenti naučili alebo zapamätali vetu, preukážu sa iba s lepšia strana a budeme za nich radi. Na rozdiel od množiny priesečníkov polí sú naše online rovnice opísané rovinou pohybu pozdĺž násobenia dvoch a troch číselných kombinovaných čiar. Množina v matematike nie je jednoznačne definovaná. Najlepším riešením je podľa študentov písomný prejav doplnený do konca. Ako bolo povedané vo vedeckom jazyku, abstrakcia symbolických výrazov nie je zahrnutá do stavu vecí, ale riešenie rovníc dáva vo všetkých známych prípadoch jednoznačný výsledok. Dĺžka sedenia učiteľa závisí od potrieb v tejto ponuke. Analýza ukázala potrebu všetkých výpočtových techník v mnohých oblastiach a je úplne jasné, že kalkulačka rovníc je nepostrádateľným nástrojom v nadaných rukách študenta. Lojálny prístup k štúdiu matematiky určuje dôležitosť pohľadov rôznych smerov. Chcete určiť jednu z kľúčových viet a vyriešiť rovnicu takým spôsobom, v závislosti od odpovede, ktorej bude ďalšia potreba jej aplikácie. Analytika v tejto oblasti naberá na obrátkach. Začnime od začiatku a odvodíme vzorec. Po prelomení úrovne zvýšenia funkcie povedie dotyčnica v inflexnom bode nevyhnutne k tomu, že riešenie rovnice online bude jedným z hlavných aspektov pri zostavovaní rovnakého grafu z argumentu funkcie. Amatérsky prístup má právo na uplatnenie, ak táto podmienka nie je v rozpore so závermi študentov. Je to čiastková úloha, ktorá posúva analýzu matematických podmienok ako lineárnych rovníc do existujúcej domény definície objektu, ktorá sa dostáva do pozadia. Odsadenie v smere ortogonality ruší výhodu osamelej absolútnej hodnoty. Modulo, riešenie rovníc online dáva rovnaký počet riešení, ak zátvorky otvoríte najskôr znamienkom plus a potom znamienkom mínus. V tomto prípade existuje dvakrát toľko riešení a výsledok bude presnejší. Stabilná a správna online kalkulačka rovníc je úspechom pri dosahovaní zamýšľaného cieľa v úlohe stanovenej učiteľom. Požadovaný spôsob je možné zvoliť vďaka významné rozdiely názory veľkých vedcov. Výsledná kvadratická rovnica popisuje krivku priamok, takzvanú parabolu a znamienko určí jej konvexnosť v štvorcovom súradnicovom systéme. Z rovnice získame diskriminant aj samotné korene podľa Vietovej vety. Výraz je potrebné prezentovať ako vlastný alebo nevlastný zlomok a v prvej fáze použiť zlomkovú kalkulačku. V závislosti od toho sa vytvorí plán našich ďalších výpočtov. Matematika s teoretickým prístupom je užitočná v každej fáze. Výsledok určite uvedieme ako kubickú rovnicu, pretože do tohto výrazu skryjeme jej korene, aby sme študentovi na vysokej škole zjednodušili úlohu. Akékoľvek metódy sú dobré, ak sú vhodné na povrchovú analýzu. Extra aritmetické operácie nevedú k chybám vo výpočtoch. Určite odpoveď s danou presnosťou. Pomocou riešenia rovníc si povedzme na rovinu – nájsť nezávislú premennú danej funkcie nie je také jednoduché, najmä pri štúdiu rovnobežiek v nekonečne. Vzhľadom na výnimku je potreba veľmi zrejmá. Rozdiel v polarite je jednoznačný. Zo skúseností s vyučovaním v ústavoch si náš učiteľ odniesol hlavná lekcia, na ktorom boli rovnice študované online v plnom matematickom zmysle. Tu išlo o vyššie úsilie a špeciálne zručnosti pri aplikácii teórie. V prospech našich záverov by sme sa nemali pozerať cez hranol. Až donedávna sa verilo, že uzavretá množina rýchlo rastie na ploche tak, ako je, a riešenie rovníc jednoducho treba preskúmať. V prvej fáze sme nezohľadnili všetky možné možnosti, ale takýto prístup je opodstatnenejší ako kedykoľvek predtým. Dodatočné akcie so zátvorkami odôvodňujú určité pokroky pozdĺž osi y a úsečky, ktoré nemožno prehliadnuť voľným okom. Existuje inflexný bod v zmysle širokého proporcionálneho zvýšenia funkcie. Opäť si ukážeme ako nevyhnutná podmienka sa použije počas celého zostupného intervalu jednej alebo druhej zostupnej polohy vektora. V podmienkach uzavretý priestor vyberieme premennú z úvodného bloku nášho skriptu. Systém postavený ako základ na troch vektoroch je zodpovedný za absenciu hlavného momentu sily. Kalkulačka rovníc však odvodila a pomohla nájsť všetky členy zostrojenej rovnice, a to ako nad povrchom, tak aj pozdĺž rovnobežných čiar. Opíšme kruh okolo počiatočného bodu. Začneme sa teda pohybovať nahor pozdĺž línií rezu a dotyčnica bude opisovať kružnicu po celej jej dĺžke, v dôsledku čoho dostaneme krivku, ktorá sa nazýva evolventa. Mimochodom, povedzme si o tejto krivke trochu histórie. Faktom je, že historicky v matematike neexistoval koncept samotnej matematiky v čistom zmysle, ako je tomu dnes. Predtým sa všetci vedci zaoberali jednou spoločnou vecou, teda vedou. Neskôr, o niekoľko storočí neskôr, keď bol vedecký svet naplnený obrovským množstvom informácií, ľudstvo predsa len vyčlenilo mnohé disciplíny. Stále zostávajú nezmenené. A predsa sa vedci na celom svete každý rok snažia dokázať, že veda je neobmedzená a rovnicu nevyriešite, ak nemáte znalosti o prírodných vedách. Skoncovať s tým možno nebude možné. Myslieť na to je rovnako zbytočné ako ohrievať vzduch vonku. Nájdite interval, v ktorom argument svojou kladnou hodnotou určuje modul hodnoty v prudko rastúcom smere. Reakcia pomôže nájsť aspoň tri riešenia, no bude potrebné ich skontrolovať. Začnime tým, že rovnicu musíme vyriešiť online pomocou unikátnej služby našej webovej stránky. Zadáme obe časti danej rovnice, stlačíme tlačidlo „RIEŠIŤ“ a dostaneme presnú odpoveď v priebehu niekoľkých sekúnd. V špeciálnych prípadoch si vezmeme knihu o matematike a skontrolujeme našu odpoveď, a to, že sa pozrieme iba na odpoveď a všetko bude jasné. Rovnaký projekt vyletí na umelom redundantnom hranole. Existuje rovnobežník so svojimi rovnobežnými stranami a vysvetľuje mnohé princípy a prístupy k štúdiu priestorového vzťahu vzostupného procesu akumulácie dutého priestoru vo vzorcoch. prirodzený vzhľad. Nejednoznačné lineárne rovnice ukazujú závislosť požadovanej premennej od nášho súčasného všeobecného riešenia a je potrebné nejakým spôsobom odvodiť a zredukovať nevlastný zlomok na netriviálny prípad. Na priamke označíme desať bodov a cez každý bod nakreslíme krivku v danom smere a konvexnosťou nahor. Naša kalkulačka rovníc bez väčších problémov predloží výraz v takej forme, že jeho kontrola platnosti pravidiel bude zrejmá už na začiatku záznamu. Systém špeciálnych reprezentácií stability pre matematikov v prvom rade, pokiaľ vzorec neustanovuje inak. Na to odpovieme podrobnou prezentáciou správy o izomorfnom stave plastickej sústavy telies a riešenie rovníc online popíše pohyb každého hmotného bodu v tejto sústave. Na úrovni hĺbkovej štúdie bude potrebné detailne objasniť otázku inverzií aspoň spodnej vrstvy priestoru. Vzostupne na úseku diskontinuity funkcie aplikujeme všeobecná metóda vynikajúci bádateľ, mimochodom, našinec, a o správaní sa lietadla si povieme nižšie. Vzhľadom na silné charakteristiky analyticky danej funkcie používame online kalkulačku rovníc iba na určený účel v rámci odvodených limitov autority. Ak budeme ďalej argumentovať, zastavíme náš prehľad o homogenite samotnej rovnice, to znamená, že jej pravá strana sa rovná nule. Opäť si overíme správnosť nášho rozhodnutia v matematike. Aby sme sa vyhli triviálnemu riešeniu, vykonáme určité úpravy počiatočných podmienok pre problém podmienenej stability systému. Zostavme kvadratickú rovnicu, ku ktorej pomocou známeho vzorca vypíšeme dve položky a nájdeme záporné korene. Ak jeden koreň presahuje druhý a tretí koreň o päť jednotiek, potom vykonaním zmien v hlavnom argumente skreslíme počiatočné podmienky podproblému. V jadre je niečo neobvyklé v matematike vždy opísať s presnosťou na stotiny kladného čísla. Kalkulačka zlomkov je niekoľkonásobne lepšia ako jej náprotivky na podobných zdrojoch v najlepšom momente zaťaženia servera. Na povrch vektora rýchlosti rastúceho pozdĺž osi y nakreslíme sedem línií ohnutých v opačných smeroch. Súmerateľnosť argumentu priradenej funkcie vedie počítadlo zostatku obnovy. V matematike možno tento jav znázorniť pomocou kubickej rovnice s imaginárnymi koeficientmi, ako aj v bipolárnom postupe klesajúcich čiar. Kritické body teplotného rozdielu v mnohých svojich významoch a priebehu opisujú proces faktorizácie komplexnej zlomkovej funkcie. Ak vám bolo povedané, aby ste rovnicu vyriešili, neponáhľajte sa s tým ešte túto minútu, jednoznačne najprv vyhodnoťte celý akčný plán a až potom urobte správny prístup. Výhody to určite bude. Ľahkosť v práci je zrejmá a v matematike je to rovnaké. Vyriešte rovnicu online. Všetky online rovnice sú určitým typom záznamu čísel alebo parametrov a premennou, ktorú je potrebné definovať. Vypočítajte túto premennú, to znamená nájdite konkrétne hodnoty alebo intervaly množiny hodnôt, pre ktoré bude identita splnená. Počiatočné a konečné podmienky priamo závisia. Všeobecné riešenie rovníc spravidla obsahuje niektoré premenné a konštanty, ktorých nastavením získame celé rodiny riešení pre daný problémový výrok. Vo všeobecnosti to odôvodňuje vynaložené úsilie v smere zvýšenia funkčnosti priestorovej kocky so stranou rovnajúcou sa 100 centimetrom. Veta alebo lemma môžete použiť v ktorejkoľvek fáze vytvárania odpovede. Stránka postupne vydáva kalkulačku rovníc, v prípade potreby ukáže najmenšiu hodnotu v akomkoľvek intervale súčtu súčinov. Takáto guľôčka ako dutá v polovici prípadov vo väčšej miere nespĺňa požiadavky na stanovenie medziodpovede. Minimálne na osi y v smere klesajúceho vektorového znázornenia bude tento podiel nepochybne optimálnejší ako predchádzajúci výraz. V hodinu, kedy lineárne funkcie Ak to bude úplná bodová analýza, v skutočnosti dáme dokopy všetky naše komplexné čísla a priestory bipolárnej roviny. Dosadením premennej do výsledného výrazu rovnicu vyriešite po etapách a dáte najpodrobnejšiu odpoveď s vysokou presnosťou. Opäť platí, že preverenie si svojich činov v matematike bude dobrou formou zo strany študenta. Podiel v pomere frakcií fixoval integritu výsledku vo všetkých dôležitých oblastiach aktivity nulového vektora. Triviálnosť sa potvrdzuje na konci vykonaných akcií. S jednoduchým súborom úloh nemôžu mať študenti ťažkosti, ak vyriešia rovnicu online v čo najkratšom čase, ale nezabúdajú na všetky druhy pravidiel. Množina podmnožín sa pretína v oblasti konvergujúcej notácie. IN rôznych príležitostiach výrobok nie je chybne faktorizovaný. S riešením rovnice online vám pomôže naša prvá sekcia o základoch matematických techník pre významné sekcie pre študentov univerzít a technických škôl. Zodpovedanie príkladov nás nenechá čakať niekoľko dní, keďže proces najlepšej interakcie vektorovej analýzy so sekvenčným hľadaním riešení bol patentovaný začiatkom minulého storočia. Ukazuje sa, že snahy o spojenie s okolitým tímom nevyšli nazmar, v prvom rade sa zjavne čakalo na niečo iné. O niekoľko generácií neskôr vedci z celého sveta verili, že matematika je kráľovnou vied. Či už ide o ľavú alebo správnu odpoveď, vyčerpávajúce pojmy treba aj tak napísať do troch riadkov, keďže v našom prípade budeme hovoriť jednoznačne len o vektorovej analýze vlastností matice. Nelineárne a lineárne rovnice spolu s bikvadratickými rovnicami zaujali v našej knihe osobitné miesto osvedčené postupy výpočet trajektórie pohybu v priestore všetkých hmotných bodov uzavretého systému. Lineárna analýza skalárneho súčinu troch po sebe nasledujúcich vektorov nám pomôže priviesť myšlienku k životu. Na konci každého nastavenia je úloha uľahčená zavedením optimalizovaných numerických výnimiek v kontexte vykonávaných prekrytí numerického priestoru. Iný rozsudok nebude odporovať nájdenej odpovedi v ľubovoľnej forme trojuholníka v kruhu. Uhol medzi týmito dvoma vektormi obsahuje potrebné percento marže a riešenie rovníc online často odhalí nejaký spoločný koreň rovnice na rozdiel od počiatočných podmienok. Výnimka zohráva úlohu katalyzátora v celom nevyhnutnom procese hľadania pozitívneho riešenia v oblasti definície funkcií. Ak sa nehovorí, že nemôžete používať počítač, potom je online kalkulačka rovníc ako stvorená pre vaše náročné úlohy. Stačí zadať vaše podmienené údaje v správnom formáte a náš server vám v čo najkratšom čase vystaví plnohodnotnú výslednú odpoveď. Exponenciálna funkcia rastie oveľa rýchlejšie ako lineárna. Svedčia o tom Talmudy šikovnej knižničnej literatúry. Výpočet vykoná v všeobecný zmysel ako by to urobila daná kvadratická rovnica s tromi komplexnými koeficientmi. Parabola v hornej časti polroviny charakterizuje priamočiary rovnobežný pohyb pozdĺž osí bodu. Tu stojí za zmienku potenciálny rozdiel v pracovnom priestore tela. Na oplátku za suboptimálny výsledok naša zlomková kalkulačka právom zaberá prvé miesto v matematickom hodnotení prehľadu funkčných programov na zadnej strane. Jednoduchosť používania tejto služby ocenia milióny používateľov internetu. Ak si s tým neviete rady, potom vám radi pomôžeme. Chceme tiež vyzdvihnúť a vyzdvihnúť kubickú rovnicu z množstva úloh pre žiakov prvého stupňa základných škôl, keď potrebujete rýchlo nájsť jej korene a nakresliť graf funkcie do roviny. vyššie stupne reprodukcia je jednou z najťažších matematických úloh na ústave a na jej štúdium je vyčlenený dostatočný počet hodín. Ako všetky lineárne rovnice, ani naša nie je výnimkou z mnohých objektívnych pravidiel, pozrite sa na to z rôznych uhlov pohľadu a ukáže sa, že je jednoduché a postačujúce na nastavenie počiatočných podmienok. Interval nárastu sa zhoduje s intervalom konvexnosti funkcie. Riešenie rovníc online. Štúdium teórie je založené na online rovniciach z mnohých sekcií o štúdiu hlavnej disciplíny. V prípade takéhoto prístupu pri neistých problémoch je veľmi jednoduché prezentovať riešenie rovníc vo vopred určenom tvare a nielen vyvodzovať závery, ale aj predpovedať výsledok takéhoto pozitívneho riešenia. Služba nám pomôže naučiť sa predmet v najlepších tradíciách matematiky tak, ako je to na východe zvykom. IN najlepšie momentyčasovom intervale sa podobné úlohy násobili spoločným násobiteľom desaťkrát. S množstvom násobení viacerých premenných v kalkulačke rovníc sa začalo násobiť kvalitou a nie kvantitatívnymi premennými, ako sú napríklad hmotnosť alebo telesná hmotnosť. Aby sme sa vyhli prípadom nerovnováhy materiálového systému, je nám celkom samozrejmé odvodenie trojrozmerného prevodníka na triviálnej konvergencii nedegenerovaných matematických matíc. Dokončite úlohu a vyriešte rovnicu dané súradnice, pretože výstup je vopred neznámy, rovnako ako všetky premenné zahrnuté v post-priestorovom čase sú neznáme. Na krátky čas vysuňte spoločný činiteľ zo zátvoriek a predtým vydeľte najväčším spoločným deliteľom oboch častí. Spod výslednej pokrytej podmnožiny čísel extrakt podrobným spôsobom tridsaťtri bodov v rade v krátkom období. Pokiaľ v v tom najlepšom pre každého študenta je možné rovnicu vyriešiť online s pohľadom dopredu, povedzme si jednu dôležitú, no kľúčovú vec, bez ktorej sa nám v budúcnosti nebude ľahko žiť. V minulom storočí si veľký vedec všimol množstvo zákonitostí v teórii matematiky. V praxi to dopadlo nie celkom očakávaným dojmom z udalostí. V zásade však práve toto riešenie rovníc online pomáha zlepšiť pochopenie a vnímanie holistického prístupu k štúdiu a praktickému upevňovaniu študentmi preberanej teoretickej látky. Počas štúdia je to oveľa jednoduchšie.

Lineárne rovnice. Riešenie, príklady.

Pozor!
Existujú ďalšie
materiál v osobitnom oddiele 555.
Pre tých, ktorí silne „nie veľmi...“
A pre tých, ktorí „veľmi...“)

Lineárne rovnice.

Lineárne rovnice nie sú najťažšou témou školskej matematiky. Existuje však niekoľko trikov, ktoré dokážu zmiasť aj trénovaného študenta. Prídeme na to?)

Lineárna rovnica sa zvyčajne definuje ako rovnica v tvare:

sekera + b = 0 Kde a a b- ľubovoľné čísla.

2x + 7 = 0. Tu a=2, b = 7

0,1x - 2,3 = 0 Tu a=0,1, b = -2,3

12x + 1/2 = 0 tu a=12, b = 1/2

Nič zložité, však? Najmä ak si nevšimnete slová: "kde a a b sú ľubovoľné čísla"... A ak si všimnete, ale bezstarostne o tom premýšľate?) Koniec koncov, ak a=0, b = 0(sú možné nejaké čísla?), potom dostaneme vtipný výraz:

Ale to nie je všetko! Ak povedzme a=0, A b=5, z toho vychádza niečo celkom absurdné:

Čo namáha a podkopáva dôveru v matematiku, áno ...) Najmä na skúškach. Ale z týchto zvláštnych výrazov musíte nájsť aj X! Ktorý vôbec neexistuje. A prekvapivo je toto X veľmi ľahké nájsť. Naučíme sa, ako na to. V tejto lekcii.

Ako rozpoznať lineárnu rovnicu vo vzhľade? Záleží na vzhľade.) Trik je v tom, že lineárne rovnice sa nazývajú nielen rovnice tvaru sekera + b = 0 , ale aj akékoľvek rovnice, ktoré sa transformáciou a zjednodušením redukujú do tohto tvaru. A kto vie, či je znížená alebo nie?)

V niektorých prípadoch možno jasne rozpoznať lineárnu rovnicu. Povedzme, že ak máme rovnicu, v ktorej sú len neznáme na prvom stupni, áno čísla. A rovnica nie zlomky delené o neznámy , to je dôležité! A rozdelenie podľa číslo, alebo číselný zlomok - to je všetko! Napríklad:

Toto je lineárna rovnica. Sú tu zlomky, ale nie sú x v štvorci, v kocke atď., a v menovateľoch nie sú x, t.j. Nie delenie x. A tu je rovnica

nemožno nazvať lineárnym. Tu sú x všetky na prvom stupni, ale je delenie výrazom s x. Po zjednodušeniach a transformáciách môžete získať lineárnu rovnicu a kvadratickú rovnicu a čokoľvek, čo sa vám páči.

Ukazuje sa, že je nemožné nájsť lineárnu rovnicu v nejakom zložitom príklade, kým ju takmer nevyriešite. Je to znepokojujúce. Ale v zadaniach sa spravidla nepýtajú na formu rovnice, však? V úlohách sú rovnice usporiadané rozhodnúť. Toto ma robí šťastným.)

Riešenie lineárnych rovníc. Príklady.

Celé riešenie lineárnych rovníc pozostáva z identických transformácií rovníc. Mimochodom, tieto transformácie (až dve!) sú základom riešení všetky matematické rovnice. Inými slovami, rozhodnutie akýkoľvek Rovnica začína rovnakými transformáciami. V prípade lineárnych rovníc to (riešenie) na týchto transformáciách končí plnohodnotnou odpoveďou. Dáva zmysel nasledovať odkaz, nie?) Okrem toho sú tam aj príklady riešenia lineárnych rovníc.

Začnime s najjednoduchším príkladom. Bez akýchkoľvek nástrah. Povedzme, že potrebujeme vyriešiť nasledujúcu rovnicu.

x - 3 = 2 - 4x

Toto je lineárna rovnica. X sú všetky na prvú mocninu, neexistuje žiadne delenie X. Ale v skutočnosti nás nezaujíma, aká je rovnica. Musíme to vyriešiť. Schéma je tu jednoduchá. Pozbierajte všetko s x na ľavej strane rovnice, všetko bez x (čísel) napravo.

Ak to chcete urobiť, musíte preniesť - 4x do lavej strany, so zmenou znamienka samozrejme, ale - 3 - doprava. Mimochodom, toto je prvá identická transformácia rovníc. Prekvapený? Takže nesledovali odkaz, ale márne ...) Dostávame:

x + 4x = 2 + 3

Dávame podobné, zvažujeme:

Čo potrebujeme, aby sme boli úplne šťastní? Áno, takže vľavo je čisté X! Päť sa postaví do cesty. Zbavte sa piatich s druhá identická transformácia rovníc. Totiž obe časti rovnice vydelíme 5. Dostaneme hotovú odpoveď:

Samozrejme elementárny príklad. Toto je na zahriatie.) Nie je celkom jasné, prečo som si tu spomenul na rovnaké premeny? OK. Berieme býka za rohy.) Poďme sa rozhodnúť pre niečo pôsobivejšie.

Napríklad tu je táto rovnica:

kde začneme? S X - doľava, bez X - doprava? Môže to tak byť. Malé kroky po dlhej ceste. A môžete okamžite, univerzálnym a výkonným spôsobom. Pokiaľ, samozrejme, vo vašom arzenáli nie sú identické transformácie rovníc.

Položím vám kľúčovú otázku: Čo sa vám na tejto rovnici najviac nepáči?

95 ľudí zo 100 odpovie: zlomky ! Odpoveď je správna. Tak sa ich zbavme. Začneme teda hneď s druhá identická transformácia. Čím treba vynásobiť zlomok vľavo, aby sa menovateľ úplne zmenšil? Správne, 3. A vpravo? 4. Ale matematika nám umožňuje vynásobiť obe strany rovnaké číslo. Ako sa dostaneme von? Vynásobme obe strany 12! Tie. na spoločného menovateľa. Potom sa tri znížia a štyri. Nezabudnite, že každú časť musíte vynásobiť úplne. Prvý krok vyzerá takto:

Rozšírenie zátvoriek:

Poznámka! Čitateľ (x+2) Vzal som v zátvorkách! Pri násobení zlomkov sa totiž čitateľ násobí celkom, úplne! A teraz môžete znížiť zlomky a znížiť:

Otvorenie zostávajúcich zátvoriek:

Nie príklad, ale čisté potešenie!) Teraz si pripomenieme kúzlo z nižších ročníkov: s x - doľava, bez x - doprava! A použite túto transformáciu:

Tu sú niektoré ako:

A obe časti delíme 25, t.j. znova použite druhú transformáciu:

To je všetko. odpoveď: X=0,16

Vezmite na vedomie: aby sme dostali pôvodnú mätúcu rovnicu do príjemnej podoby, použili sme dve (iba dve!) identické premeny- preklad zľava doprava so zmenou znamienka a násobením-delenie rovnice rovnakým číslom. Toto je univerzálny spôsob! Budeme pracovať týmto spôsobom akýkoľvek rovnice! Absolútne akékoľvek. Preto tieto identické premeny neustále opakujem.)

Ako vidíte, princíp riešenia lineárnych rovníc je jednoduchý. Zoberieme rovnicu a zjednodušíme ju pomocou identických transformácií, kým nedostaneme odpoveď. Hlavné problémy sú tu vo výpočtoch a nie v princípe riešenia.

Ale ... V procese riešenia tých najelementárnejších lineárnych rovníc sú také prekvapenia, že môžu priviesť až do silného stuporu ...) Našťastie, takéto prekvapenia môžu byť len dve. Nazvime ich špeciálne prípady.

Špeciálne prípady pri riešení lineárnych rovníc.

Najprv prekvapenie.

Predpokladajme, že narazíte na elementárnu rovnicu, niečo ako:

2x+3=5x+5 - 3x - 2

Mierne znudený presunieme s X doľava, bez X - doprava ... So zmenou znamienka je všetko brada-chinar ... Dostávame:

2x-5x+3x=5-2-3

Veríme, a ... ach jaj! Dostaneme:

Táto rovnosť sama osebe nie je sporná. Nula je naozaj nula. Ale X je preč! A do odpovede musíme napísať, čomu sa x rovná. Inak sa riešenie neráta, áno...) Slepá ulička?

Pokojne! V takýchto pochybných prípadoch šetria najvšeobecnejšie pravidlá. Ako riešiť rovnice? Čo znamená vyriešiť rovnicu? To znamená, nájdite všetky hodnoty x, ktoré nám po dosadení do pôvodnej rovnice dajú správnu rovnosť.

Ale máme správnu rovnosť už Stalo! 0=0, kde naozaj?! Zostáva zistiť, pri akom x sa to získa. Do akých hodnôt x možno dosadiť originálny rovnica, ak sú tieto x stále sa zmenšovať na nulu? Poď?)

Áno!!! Xs môžu byť substituované akýkoľvek!Čo chceš. Aspoň 5, aspoň 0,05, aspoň -220. Stále sa budú zmenšovať. Ak mi neveríte, môžete si to overiť.) Nahraďte ľubovoľné hodnoty x v originálny rovnica a výpočet. Po celý čas sa získa čistá pravda: 0=0, 2=2, -7,1=-7,1 atď.

Tu je vaša odpoveď: x je ľubovoľné číslo.

Odpoveď môže byť napísaná rôznymi matematickými symbolmi, podstata sa nemení. Toto je úplne správna a úplná odpoveď.

Prekvapenie druhé.

Zoberme si rovnakú elementárnu lineárnu rovnicu a zmeňme v nej iba jedno číslo. Takto sa rozhodneme:

2x+1=5x+5 - 3x - 2

Po rovnakých identických transformáciách dostaneme niečo zaujímavé:

Páči sa ti to. Vyriešil som lineárnu rovnicu, dostal zvláštnu rovnosť. Matematicky povedané, máme nesprávna rovnosť. A zjednodušene to nie je pravda. Rave. Ale napriek tomu je tento nezmysel celkom dobrým dôvodom na správne riešenie rovnice.)

Opäť si myslíme, že od všeobecné pravidlá. Čo nám dá x po dosadení do pôvodnej rovnice správne rovnosť? Áno, žiadne! Také xe neexistujú. Čokoľvek nahradíte, všetko sa zredukuje, zostanú nezmysly.)

Tu je vaša odpoveď: neexistujú žiadne riešenia.

Toto je tiež úplne správna odpoveď. V matematike sa takéto odpovede často vyskytujú.

Páči sa ti to. Teraz vás dúfam strata X v procese riešenia akejkoľvek (nielen lineárnej) rovnice nebude vôbec trápiť. Vec je známa.)

Teraz, keď sme sa vysporiadali so všetkými nástrahami v lineárne rovnice, má zmysel ich riešiť.

Ak sa vám táto stránka páči...

Mimochodom, mám pre vás niekoľko ďalších zaujímavých stránok.)

Môžete si precvičiť riešenie príkladov a zistiť svoju úroveň. Testovanie s okamžitým overením. Učenie - so záujmom!)

môžete sa zoznámiť s funkciami a deriváciami.

Kvadratické rovnice sa študujú v 8. ročníku, takže tu nie je nič zložité. Schopnosť ich riešiť je nevyhnutná.

Kvadratická rovnica je rovnica v tvare ax 2 + bx + c = 0, kde koeficienty a, b a c sú ľubovoľné čísla a a ≠ 0.

Pred štúdiom konkrétnych metód riešenia si všimneme, že všetky kvadratické rovnice možno rozdeliť do troch tried:

Nemať korene;
Majú presne jeden koreň;
Majú dva rôzne korene.

Toto je dôležitý rozdiel medzi kvadratickými a lineárnymi rovnicami, kde koreň vždy existuje a je jedinečný. Ako určiť, koľko koreňov má rovnica? Je na to úžasná vec - diskriminačný.

Diskriminačný

Nech je daná kvadratická rovnica ax 2 + bx + c = 0. Potom je diskriminantom jednoducho číslo D = b 2 − 4ac .

Tento vzorec musí byť známy naspamäť. Odkiaľ pochádza, nie je teraz dôležité. Ďalšia vec je dôležitá: podľa znamienka diskriminantu môžete určiť, koľko koreňov má kvadratická rovnica. menovite:

Ak D< 0, корней нет;
Ak D = 0, existuje práve jeden koreň;
Ak D > 0, budú existovať dva korene.

Upozorňujeme: diskriminant označuje počet koreňov a vôbec nie ich znaky, ako si z nejakého dôvodu mnohí ľudia myslia. Pozrite si príklady a sami všetko pochopíte:

Úloha. Koľko koreňov majú kvadratické rovnice:

x 2 - 8 x + 12 = 0;

5x2 + 3x + 7 = 0;

x 2 − 6x + 9 = 0.

Napíšeme koeficienty pre prvú rovnicu a nájdeme diskriminant:
a = 1, b = -8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

Takže diskriminant je kladný, takže rovnica má dva rôzne korene. Druhú rovnicu analyzujeme rovnakým spôsobom:
a = 5; b = 3; c = 7;
D \u003d 3 2 - 4 5 7 \u003d 9 - 140 \u003d -131.

Diskriminant je negatívny, neexistujú žiadne korene. Zostáva posledná rovnica:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

Diskriminant sa rovná nule - koreň bude jedna.

Všimnite si, že koeficienty boli napísané pre každú rovnicu. Áno, je to dlhé, áno, je to zdĺhavé – ale nebudete si miešať šance a neurobíte hlúpe chyby. Vyberte si sami: rýchlosť alebo kvalitu.

Mimochodom, ak si „naplníte ruku“, po chvíli už nebudete musieť vypisovať všetky koeficienty. Takéto operácie budete vykonávať v hlave. Väčšina ľudí to začne robiť niekde po 50-70 vyriešených rovniciach - vo všeobecnosti nie tak veľa.

Korene kvadratickej rovnice

Teraz prejdime k riešeniu. Ak je diskriminant D > 0, korene možno nájsť pomocou vzorcov:

Základný vzorec pre korene kvadratickej rovnice

Keď D = 0, môžete použiť ktorýkoľvek z týchto vzorcov – dostanete rovnaké číslo, ktoré bude odpoveďou. Nakoniec, ak D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

x 2 - 2 x - 3 = 0;

15 - 2x - x2 = 0;

x2 + 12x + 36 = 0.

Prvá rovnica:
x 2 - 2x - 3 = 0 ⇒ a = 1; b = -2; c = -3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ rovnica má dva korene. Poďme ich nájsť:

Druhá rovnica:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = -2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 (−1) 15 = 64.

D > 0 ⇒ rovnica má opäť dva korene. Poďme ich nájsť

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(zarovnať)\]

Nakoniec tretia rovnica:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ rovnica má jeden koreň. Môže sa použiť akýkoľvek vzorec. Napríklad ten prvý:

Ako vidíte z príkladov, všetko je veľmi jednoduché. Ak poznáte vzorce a viete počítať, nebudú žiadne problémy. Najčastejšie sa chyby vyskytujú, keď sa do vzorca dosadia záporné koeficienty. Tu opäť pomôže technika opísaná vyššie: pozrite sa na vzorec doslovne, namaľte každý krok - a veľmi skoro sa zbavte chýb.

Neúplné kvadratické rovnice

Stáva sa, že kvadratická rovnica je trochu odlišná od toho, čo je uvedené v definícii. Napríklad:

x2 + 9x = 0;
x2 − 16 = 0.

Je ľahké vidieť, že v týchto rovniciach chýba jeden z členov. Takéto kvadratické rovnice sa riešia ešte ľahšie ako štandardné: nepotrebujú ani vypočítať diskriminant. Predstavme si teda nový koncept:

Rovnica ax 2 + bx + c = 0 sa nazýva neúplná kvadratická rovnica, ak b = 0 alebo c = 0, t.j. koeficient premennej x alebo voľného prvku sa rovná nule.

Samozrejme, je možný veľmi ťažký prípad, keď sa oba tieto koeficienty rovnajú nule: b \u003d c \u003d 0. V tomto prípade má rovnica tvar ax 2 \u003d 0. Je zrejmé, že takáto rovnica má jedinú koreň: x \u003d 0.

Pozrime sa na ďalšie prípady. Nech b \u003d 0, potom dostaneme neúplnú kvadratickú rovnicu tvaru ax 2 + c \u003d 0. Poďme ju mierne transformovať:

Pretože aritmetika Odmocnina existuje len od nezáporného čísla, posledná rovnosť má zmysel len pre (−c /a ) ≥ 0. Záver:

Ak neúplná kvadratická rovnica v tvare ax 2 + c = 0 spĺňa nerovnosť (−c / a ) ≥ 0, korene budú dva. Vzorec je uvedený vyššie;
Ak (-c / a)< 0, корней нет.

Ako vidíte, diskriminačný znak sa nevyžadoval - neúplný kvadratické rovnicežiadne zložité výpočty. V skutočnosti si ani netreba pamätať nerovnosť (−c / a ) ≥ 0. Stačí vyjadriť hodnotu x 2 a pozrieť sa, čo je na druhej strane znamienka rovnosti. Ak existuje kladné číslo, budú existovať dva korene. Ak je negatívny, nebudú tam žiadne korene.

Teraz sa pozrime na rovnice tvaru ax 2 + bx = 0, v ktorých sa voľný prvok rovná nule. Všetko je tu jednoduché: vždy budú existovať dva korene. Polynóm stačí rozložiť na faktor:

Vyňatie spoločného faktora zo zátvorky

Súčin sa rovná nule, keď sa aspoň jeden z faktorov rovná nule. Odtiaľ pochádzajú korene. Na záver analyzujeme niekoľko z týchto rovníc:

Úloha. Riešte kvadratické rovnice:

x2 − 7x = 0;

5x2 + 30 = 0;

4x2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x2 = −(−7)/1 = 7.

5x2 + 30 = 0 ⇒ 5x2 = -30 ⇒ x2 = -6. Neexistujú žiadne korene, pretože štvorec sa nemôže rovnať zápornému číslu.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 \u003d -1,5.