Ako vypočítať plochu obrázku ohraničenú funkčnými grafmi. Určitý integrál

V tomto článku sa naučíte, ako nájsť oblasť obrázku ohraničenú čiarami pomocou integrálnych výpočtov. Prvýkrát sa s formulovaním takéhoto problému stretávame na strednej škole, keď je práve ukončené štúdium určitých integrálov a je čas začať s geometrickým výkladom získaných poznatkov v praxi.

Čo je teda potrebné na úspešné vyriešenie problému nájdenia oblasti obrázku pomocou integrálov:

• Schopnosť správne kresliť kresby;
• Schopnosť riešiť určitý integrál pomocou známeho Newtonovho-Leibnizovho vzorca;
• Možnosť „vidieť“ výnosnejšie riešenie – t.j. pochopiť, ako bude v tomto alebo tom prípade pohodlnejšie vykonať integráciu? Pozdĺž osi x (OX) alebo osi y (OY)?
• Kde bez správnych výpočtov?) To zahŕňa pochopenie toho, ako vyriešiť tento iný typ integrálov a správne numerické výpočty.

Algoritmus na riešenie problému výpočtu plochy obrazca ohraničeného čiarami:

1. Staviame výkres. Je vhodné to urobiť na kus papiera v klietke vo veľkom meradle. Ceruzkou nad každým grafom podpisujeme názov tejto funkcie. Podpis grafov sa vykonáva výlučne pre pohodlie ďalších výpočtov. Po prijatí grafu požadovaného čísla bude vo väčšine prípadov okamžite jasné, ktoré integračné limity sa použijú. Úlohu teda riešime graficky. Stáva sa však, že hodnoty limitov sú zlomkové alebo iracionálne. Preto môžete vykonať ďalšie výpočty, prejdite na druhý krok.

2. Ak integračné limity nie sú explicitne stanovené, nájdeme medzi sebou priesečníky grafov a uvidíme, či sa naše grafické riešenie zhoduje s analytickým.

3. Ďalej musíte analyzovať výkres. V závislosti od toho, ako sú umiestnené grafy funkcií, existujú rôzne prístupy k nájdeniu oblasti obrázku. Zvážte rôzne príklady hľadania oblasti obrazca pomocou integrálov.

3.1. Najklasickejšia a najjednoduchšia verzia problému je, keď potrebujete nájsť oblasť krivočiareho lichobežníka. Čo je to krivočiary lichobežník? Toto je plochý obrazec ohraničený osou x (y \u003d 0), priamkami x \u003d a, x \u003d b a akoukoľvek krivkou súvislou v intervale od a do b. Toto číslo zároveň nie je záporné a nenachádza sa nižšie ako os x. V tomto prípade sa plocha krivočiareho lichobežníka numericky rovná určitému integrálu vypočítanému pomocou vzorca Newton-Leibniz:

Príklad 1 y = x2 - 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.

Aké čiary definujú postavu? Máme parabolu y \u003d x2 - 3x + 3, ktorá sa nachádza nad osou ОХ, je nezáporná, pretože všetky body tejto paraboly majú kladné hodnoty. Ďalej sú uvedené priamky x \u003d 1 a x \u003d 3, ktoré prebiehajú rovnobežne s osou ОУ, sú hraničnými čiarami obrázku vľavo a vpravo. No, y \u003d 0, je to tiež os x, ktorá obmedzuje číslo zdola. Výsledný obrázok je vytieňovaný, ako je vidieť na obrázku vľavo. IN tento prípad, môžete problém okamžite začať riešiť. Pred nami je jednoduchý príklad krivočiareho lichobežníka, ktorý potom riešime pomocou Newtonovho-Leibnizovho vzorca.

3.2. V predchádzajúcom odseku 3.1 bol analyzovaný prípad, keď je krivočiary lichobežník umiestnený nad osou x. Teraz zvážte prípad, keď sú podmienky problému rovnaké, okrem toho, že funkcia leží pod osou x. K štandardnému Newton-Leibnizovmu vzorcu sa pridáva mínus. Ako vyriešiť takýto problém, zvážime ďalej.

Príklad 2. Vypočítajte plochu obrázku ohraničenú priamkami y = x2 + 6x + 2, x = -4, x = -1, y = 0 .

V tomto príklade máme parabolu y \u003d x2 + 6x + 2, ktorá vychádza z osi OX, priame čiary x \u003d -4, x \u003d -1, y \u003d 0. Tu y = 0 obmedzuje požadovanú hodnotu zhora. Priamky x = -4 a x = -1 sú hranice, v rámci ktorých sa vypočíta určitý integrál. Princíp riešenia problému nájdenia oblasti obrázku sa takmer úplne zhoduje s príkladom číslo 1. Jediný rozdiel je v tom, že daná funkcia nie je kladná a je tiež spojitá na intervale [-4; -1]. Čo neznamená pozitívne? Ako je zrejmé z obrázku, obrazec, ktorý leží v danom x, má výlučne „záporné“ súradnice, čo musíme vidieť a zapamätať si pri riešení úlohy. Hľadáme oblasť postavy pomocou vzorca Newton-Leibniz, iba so znamienkom mínus na začiatku.

Článok nie je dokončený.

A)

Riešenie.

Najprv a rozhodujúci bod riešenia - zostavenie výkresu.

Urobme si kresbu:

Rovnica y=0 nastavuje os x;

- x = -2 A x=1- rovný, rovnobežný s osou OU;

- y \u003d x 2 +2 - parabola, ktorej vetvy smerujú nahor, s vrcholom v bode (0;2).

Komentujte. Na zostrojenie paraboly stačí nájsť body jej priesečníka so súradnicovými osami, t.j. uvedenie x=0 nájsť priesečník s osou OU a rozhodovanie o vhodnom kvadratická rovnica, nájdite priesečník s osou Oh .

Vrchol paraboly možno nájsť pomocou vzorcov:

Môžete kresliť čiary a bod po bode.

Na intervale [-2;1] graf funkcie y=x2+2 umiestnený nad osou Vôl, Preto:

odpoveď: S\u003d 9 štvorcových jednotiek

Po dokončení úlohy je vždy užitočné pozrieť sa na výkres a zistiť, či je odpoveď skutočná. V tomto prípade "od oka" počítame počet buniek na výkrese - dobre, asi 9 bude napísaných, zdá sa, že je to pravda. Je úplne jasné, že ak by sme mali povedzme odpoveď: 20 štvorcových jednotiek, tak sa, samozrejme, niekde stala chyba – 20 buniek sa do daného čísla zjavne nezmestí, nanajvýš tucet. Ak bola odpoveď záporná, úloha bola tiež vyriešená nesprávne.

Čo robiť, ak sa krivočiary lichobežník nachádza pod osou Oh?

b) Vypočítajte plochu obrázku ohraničenú čiarami y=-e x , x=1 a súradnicové osi.

Riešenie.

Urobme si kresbu.

Ak je krivočiary lichobežník úplne pod osou Oh , potom jeho oblasť možno nájsť podľa vzorca:

odpoveď: S=(e-1) sq. unit" 1,72 sq. unit

Pozor! Tieto dva typy úloh by sa nemali zamieňať:

1) Ak ste požiadaní, aby ste vyriešili len určitý integrál bez akéhokoľvek geometrického významu, potom môže byť záporný.

2) Ak ste požiadaní, aby ste našli plochu obrazca pomocou určitého integrálu, potom je plocha vždy kladná! Preto sa v práve uvažovanom vzorci objavuje mínus.

V praxi sa najčastejšie postava nachádza v hornej aj dolnej polrovine.

c) Nájdite oblasť plochá postava ohraničené čiarami y \u003d 2x-x 2, y \u003d -x.

Riešenie.

Najprv musíte urobiť kresbu. Všeobecne povedané, pri konštrukcii výkresu v plošných úlohách nás najviac zaujímajú priesečníky čiar. Nájdite priesečníky paraboly a priamy Dá sa to urobiť dvoma spôsobmi. Prvý spôsob je analytický.

Riešime rovnicu:

Čiže spodná hranica integrácie a=0, horná hranica integrácie b = 3 .

Je možné konštruovať čiary bod po bode, pričom hranice integrácie sa zisťujú akoby „sami od seba“. Analytická metóda hľadania limitov sa však stále niekedy musí použiť, ak je napríklad graf dostatočne veľký alebo závitová konštrukcia neodhalila limity integrácie (môžu byť zlomkové alebo iracionálne).

Požadovaný údaj je ohraničený parabolou zhora a priamkou zdola.

Na segmente , podľa zodpovedajúceho vzorca:

odpoveď: S\u003d 4,5 štvorcových jednotiek

Začneme uvažovať o samotnom procese výpočtu dvojitého integrálu a oboznámime sa s jeho geometrickým významom.

Dvojitý integrál numericky rovná ploche rovinný obrazec (regióny integrácie). Toto najjednoduchšia forma dvojitý integrál, keď sa funkcia dvoch premenných rovná jednej: .

Najprv sa pozrime na problém všeobecne. Teraz budete prekvapení, aké jednoduché to naozaj je! Vypočítajme plochu plochej postavy ohraničenú čiarami. Pre istotu predpokladáme, že na intervale . Plocha tohto obrázku sa číselne rovná:

Znázornime oblasť na výkrese:

Vyberme si prvý spôsob obídenia oblasti:

Takto:

A hneď dôležitý technický trik: iterované integrály možno posudzovať samostatne. Najprv vnútorný integrál, potom vonkajší integrál. Táto metóda sa dôrazne odporúča pre začiatočníkov v téme čajníky.

1) Vypočítajte vnútorný integrál, pričom integrácia sa vykonáva nad premennou "y":

Neurčitý integrál je tu najjednoduchší a potom sa používa banálny Newton-Leibnizov vzorec, len s tým rozdielom, že limity integrácie nie sú čísla, ale funkcie. Najprv sme dosadili hornú hranicu do „y“ (antiderivačná funkcia), potom dolnú hranicu

2) Výsledok získaný v prvom odseku musí byť dosadený do externého integrálu:

Kompaktnejší zápis celého riešenia vyzerá takto:

Výsledný vzorec - to je presne pracovný vzorec na výpočet plochy plochej postavy pomocou „obyčajného“ určitého integrálu! Pozrite si lekciu Výpočet plochy pomocou určitého integrálu, tam je to na každom kroku!

Teda problém výpočtu plochy pomocou dvojitého integrálu trochu inak z problému nájdenia oblasti pomocou určitého integrálu! V skutočnosti sú jedno a to isté!

Preto by nemali vzniknúť žiadne ťažkosti! Nebudem uvažovať o mnohých príkladoch, pretože ste sa s týmto problémom v skutočnosti opakovane stretli.

Príklad 9

Riešenie: Nakreslite oblasť na výkres:

Zvoľme nasledovné poradie prechodu regiónu:

Tu a nižšie sa nebudem zaoberať tým, ako prejsť oblasťou, pretože prvý odsek bol veľmi podrobný.

Takto:

Ako som už poznamenal, pre začiatočníkov je lepšie počítať iterované integrály samostatne, budem dodržiavať rovnakú metódu:

1) Najprv sa pomocou Newtonovho-Leibnizovho vzorca zaoberáme vnútorným integrálom:

2) Výsledok získaný v prvom kroku sa dosadí do vonkajšieho integrálu:

Bod 2 je vlastne nájdenie plochy plochej postavy pomocou určitého integrálu.

odpoveď:

Tu je taká hlúpa a naivná úloha.

Zaujímavý príklad pre nezávislé riešenie:

Príklad 10

Pomocou dvojitého integrálu vypočítajte plochu rovinného útvaru ohraničeného priamkami , ,

Príklad konečného riešenia na konci hodiny.

V príkladoch 9-10 je oveľa výhodnejšie použiť prvý spôsob obchádzania územia, zvedaví čitatelia si mimochodom môžu poradie obchvatu zmeniť a plochy vypočítať druhým spôsobom. Ak neurobíte chybu, prirodzene sa získajú rovnaké hodnoty plochy.

V niektorých prípadoch je však efektívnejší druhý spôsob, ako obísť oblasť, a na záver kurzu mladého hlupáka sa pozrime na niekoľko ďalších príkladov na túto tému:

Príklad 11

Pomocou dvojitého integrálu vypočítajte plochu rovinného útvaru ohraničeného čiarami.

Riešenie: tešíme sa na dve paraboly s vánkom, ktoré ležia na boku. Netreba sa usmievať, s podobnými vecami vo viacerých integráloch sa stretávame často.

Aký je najjednoduchší spôsob, ako urobiť kresbu?

Predstavme si parabolu ako dve funkcie:
- horná vetva a - spodná vetva.

Podobne si predstavte parabolu ako hornú a spodnú pobočky.

Ďalej, bodové vykresľovanie jednotiek, čo vedie k takémuto bizarnému obrázku:

Plocha obrázku sa vypočíta pomocou dvojitého integrálu podľa vzorca:

Čo sa stane, ak zvolíme prvý spôsob obídenia oblasti? Po prvé, táto oblasť bude musieť byť rozdelená na dve časti. A po druhé, uvidíme tento smutný obrázok: . Integrály, samozrejme, nie sú na superkomplexnej úrovni, ale ... staré matematické príslovie hovorí: kto je priateľský ku koreňom, ten nepotrebuje kompenzovanie.

Preto z nedorozumenia, ktoré je uvedené v podmienke, vyjadrujeme inverzné funkcie:

Inverzné funkcie v tomto príklade majú výhodu, že okamžite nastavia celú parabolu bez akýchkoľvek listov, žaluďov, konárov a koreňov.

Podľa druhej metódy bude prechod oblasti takýto:

Takto:

Ako sa hovorí, cítiť rozdiel.

1) Zaoberáme sa vnútorným integrálom:

Výsledok dosadíme do vonkajšieho integrálu:

Integrácia nad premennou "y" by nemala byť trápna, ak by tam bolo písmeno "zyu" - bolo by skvelé nad ním integrovať. Hoci niekto, kto si prečítal druhý odsek lekcie Ako vypočítať objem rotačného telesa, už necíti ani najmenšie rozpaky s integráciou nad „y“.

Venujte pozornosť aj prvému kroku: integrand je párny a segment integrácie je symetrický okolo nuly. Preto je možné segment rozdeliť na polovicu a výsledok môže byť dvojnásobný. Táto technika je v lekcii podrobne komentovaná. Efektívne metódy výpočet určitého integrálu.

Čo dodať…. Všetky!

odpoveď:

Ak chcete otestovať svoju integračnú techniku, môžete skúsiť vypočítať . Odpoveď by mala byť úplne rovnaká.

Príklad 12

Pomocou dvojitého integrálu vypočítajte plochu rovinného útvaru ohraničeného čiarami

Toto je príklad „urob si sám“. Je zaujímavé poznamenať, že ak sa pokúsite použiť prvý spôsob, ako obísť oblasť, postava sa už nerozdelí na dve, ale na tri časti! A podľa toho dostaneme tri páry iterovaných integrálov. Niekedy sa to stane.

Majstrovská trieda sa skončila a je čas prejsť na úroveň veľmajstra - Ako vypočítať dvojitý integrál? Príklady riešení. V druhom článku sa budem snažiť nebyť taký maniak =)

Prajem ti úspech!

Riešenia a odpovede:

Príklad 2:Riešenie: Nakreslite oblasť na výkrese:

Zvoľme nasledovné poradie prechodu regiónu:

Takto:
Prejdime k inverzným funkciám:


Takto:
odpoveď:

Príklad 4:Riešenie: Prejdime k priamym funkciám:


Vykonajte kreslenie:

Zmeňme poradie prechodu oblasti:

odpoveď:

Ako vložiť matematické vzorce na stránku?

Ak niekedy potrebujete pridať jeden alebo dva matematické vzorce na webovú stránku, najjednoduchší spôsob, ako to urobiť, je popísaný v článku: matematické vzorce sa jednoducho vložia na stránku vo forme obrázkov, ktoré Wolfram Alpha automaticky vygeneruje. Okrem jednoduchosti táto univerzálna metóda pomôže zlepšiť viditeľnosť stránky v vyhľadávače. Funguje to už dlho (a myslím si, že bude fungovať navždy), ale je morálne zastarané.

Ak na svojej stránke neustále používate matematické vzorce, potom vám odporúčam použiť MathJax, špeciálnu knižnicu JavaScript, ktorá zobrazuje matematický zápis vo webových prehliadačoch pomocou značiek MathML, LaTeX alebo ASCIIMathML.

Existujú dva spôsoby, ako začať používať MathJax: (1) pomocou jednoduchého kódu môžete rýchlo pripojiť skript MathJax na vašu stránku, ktorý sa automaticky načíta zo vzdialeného servera v správnom čase (zoznam serverov); (2) nahrajte skript MathJax zo vzdialeného servera na váš server a pripojte ho ku všetkým stránkam vášho webu. Druhý spôsob je zložitejší a časovo náročnejší a umožní vám zrýchliť načítavanie stránok vášho webu a ak sa materský server MathJax stane z nejakého dôvodu dočasne nedostupným, nijako to neovplyvní vašu vlastnú stránku. Napriek týmto výhodám som zvolil prvý spôsob, keďže je jednoduchší, rýchlejší a nevyžaduje technické zručnosti. Nasledujte môj príklad a do 5 minút budete môcť na svojej stránke využívať všetky funkcie MathJax.

Skript knižnice MathJax môžete pripojiť zo vzdialeného servera pomocou dvoch možností kódu prevzatých z hlavnej webovej stránky MathJax alebo zo stránky dokumentácie:

Jedna z týchto možností kódu by sa mala skopírovať a vložiť do kódu vašej webovej stránky, najlepšie medzi značky alebo hneď za značku. Podľa prvej možnosti sa MathJax načítava rýchlejšie a menej spomaľuje stránku. Ale druhá možnosť automaticky sleduje a načítava najnovšie verzie MathJax. Ak vložíte prvý kód, bude potrebné ho pravidelne aktualizovať. Ak prilepíte druhý kód, stránky sa budú načítavať pomalšie, ale nebudete musieť neustále sledovať aktualizácie MathJax.

Najjednoduchší spôsob pripojenia MathJax je v Blogger alebo WordPress: na ovládacom paneli stránky pridajte miniaplikáciu určenú na vkladanie kódu JavaScript tretej strany, skopírujte do nej prvú alebo druhú verziu vyššie uvedeného načítavacieho kódu a umiestnite widget bližšie k začiatku šablóny (mimochodom, nie je to vôbec potrebné, pretože skript MathJax sa načítava asynchrónne). To je všetko. Teraz sa naučte syntax značiek MathML, LaTeX a ASCIIMathML a ste pripravení vložiť matematické vzorce do svojich webových stránok.

Akýkoľvek fraktál je zostavený podľa určitého pravidla, ktoré sa dôsledne uplatňuje neobmedzený počet krát. Každý takýto čas sa nazýva iterácia.

Iteračný algoritmus na zostavenie Mengerovej špongie je celkom jednoduchý: pôvodná kocka so stranou 1 je rozdelená rovinami rovnobežnými s jej plochami na 27 rovnakých kociek. Odstráni sa z nej jedna centrálna kocka a 6 kociek, ktoré k nej priliehajú pozdĺž plôch. Vznikne sada pozostávajúca z 20 zostávajúcich menších kociek. Ak urobíme to isté s každou z týchto kociek, dostaneme súpravu pozostávajúcu zo 400 menších kociek. Pokračujúc v tomto procese donekonečna, dostaneme Mengerovu špongiu.

Teraz prejdeme k úvahám o aplikáciách integrálneho počtu. V tejto lekcii budeme analyzovať typický a najbežnejší problém - ako vypočítať plochu plochej postavy pomocou určitého integrálu. Konečne hľadať zmysel vo vyššej matematike nech si to nájdu. Nikdy nevieš. V živote sa musíme zblížiť vidiecka chatová oblasť elementárnych funkcií a nájsť jej obsah pomocou určitého integrálu.

Ak chcete úspešne zvládnuť materiál, musíte:

1) Pochopte neurčitý integrál aspoň na strednej úrovni. Preto by si figuríny mali najskôr prečítať lekciu Nie.

2) Byť schopný použiť Newtonov-Leibnizov vzorec a vypočítať určitý integrál. Vrúcne priateľské vzťahy s určitými integrálmi môžete nadviazať na stránke Určitý integrál. Príklady riešení.

V skutočnosti, aby ste našli oblasť obrázku, nepotrebujete toľko vedomostí o neurčitom a určitom integráli. Úloha "vypočítať plochu pomocou určitého integrálu" vždy zahŕňa vytvorenie výkresu, takže vaše znalosti a zručnosti pri kreslení výkresov budú oveľa relevantnejšou otázkou. V tomto smere je užitočné oprášiť grafiku hlavnej elementárne funkcie a prinajmenšom byť schopný postaviť priamku, parabolu a hyperbolu. Dá sa to (mnohí to potrebujú) pomocou metodického materiálu a článku o geometrických transformáciách grafov.

V skutočnosti každý pozná problém hľadania oblasti pomocou určitého integrálu už od školy a my trochu predbehneme školské osnovy. Tento článok by možno vôbec neexistoval, ale faktom je, že problém nastáva v 99 prípadoch zo 100, keď študenta s nadšením s ovládaním kurzu vyššej matematiky trápi nenávidená veža.

Materiály tohto workshopu sú prezentované jednoducho, podrobne a s minimom teórie.

Začnime s krivočiarym lichobežníkom.

Krivkový lichobežník je plochý útvar ohraničený osou, priamkami a grafom spojitej funkcie na segmente, ktorý na tomto intervale nemení znamienko. Nechajte tento obrázok nájsť nie menejúsečka:

Potom sa plocha krivočiareho lichobežníka číselne rovná určitému integrálu. Akýkoľvek určitý integrál (ktorý existuje) má veľmi dobrý geometrický význam. Jednoznačný integrál lekcie. Príklady riešenia Povedal som, že určitý integrál je číslo. A teraz je čas uviesť ďalšie užitočná skutočnosť. Z hľadiska geometrie je určitým integrálom PLOCHA.

To znamená, že určitý integrál (ak existuje) geometricky zodpovedá ploche nejakého obrázku. Uvažujme napríklad určitý integrál . Integrand definuje krivku v rovine, ktorá sa nachádza nad osou (tí, ktorí si želajú, môžu dokončiť výkres) a samotný určitý integrál sa číselne rovná ploche zodpovedajúceho krivočiareho lichobežníka.

Príklad 1

Toto je typická úloha. Prvým a najdôležitejším momentom rozhodnutia je konštrukcia výkresu. Okrem toho musí byť výkres vytvorený SPRÁVNE.

Pri konštrukcii výkresu odporúčam nasledujúce poradie: najprv je lepšie postaviť všetky čiary (ak existujú) a až potom - paraboly, hyperboly, grafy iných funkcií. Grafy funkcií je výhodnejšie stavať bod po bode, techniku ​​bodovej konštrukcie nájdete v referenčnom materiáli Grafy a vlastnosti elementárnych funkcií. Nájdete tam aj materiál, ktorý je veľmi užitočný v súvislosti s našou lekciou - ako rýchlo postaviť parabolu.

V tomto probléme môže riešenie vyzerať takto.
Urobme nákres (všimnite si, že rovnica definuje os):

Nebudem šrafovať krivočiary lichobežník, je zrejmé, o akej oblasti sa tu bavíme. Riešenie pokračuje takto:

Na segmente je graf funkcie umiestnený nad osou, preto:

odpoveď:

Kto má ťažkosti s výpočtom určitého integrálu a aplikáciou Newtonovho-Leibnizovho vzorca , pozrite si prednášku Určitý integrál. Príklady riešení.

Po dokončení úlohy je vždy užitočné pozrieť sa na výkres a zistiť, či je odpoveď skutočná. V tomto prípade „od oka“ spočítame počet buniek na výkrese - no, napíše sa asi 9, zdá sa, že je to pravda. Je celkom jasné, že ak by sme mali povedzme odpoveď: 20 štvorcových jednotiek, tak sa evidentne niekde stala chyba – 20 buniek sa evidentne nezmestí do predmetného čísla, nanajvýš tucet. Ak bola odpoveď záporná, úloha bola tiež vyriešená nesprávne.

Príklad 2

Vypočítajte plochu obrázku ohraničenú čiarami , , a osou

Toto je príklad „urob si sám“. Úplné riešenie a odpoveď na konci hodiny.

Čo robiť, ak sa krivočiary lichobežník nachádza pod osou?

Príklad 3

Vypočítajte plochu obrázku ohraničenú čiarami a súradnicovými osami.

Riešenie: Urobme kresbu:

Ak je krivočiary lichobežník umiestnený pod osou (alebo aspoň nie vyššie danú os), potom jeho plochu možno nájsť podľa vzorca:
V tomto prípade:

Pozor! Tieto dva typy úloh by sa nemali zamieňať:

1) Ak ste požiadaní, aby ste vyriešili len určitý integrál bez akéhokoľvek geometrického významu, potom môže byť záporný.

2) Ak ste požiadaní, aby ste našli plochu obrazca pomocou určitého integrálu, potom je plocha vždy kladná! Preto sa v práve uvažovanom vzorci objavuje mínus.

V praxi sa najčastejšie figúrka nachádza v hornej aj dolnej polrovine, a preto od najjednoduchších školských úloh prechádzame k zmysluplnejším príkladom.

Príklad 4

Nájdite plochu plochej postavy ohraničenú čiarami , .

Riešenie: Najprv musíte dokončiť výkres. Všeobecne povedané, pri konštrukcii výkresu v plošných úlohách nás najviac zaujímajú priesečníky čiar. Nájdite priesečníky paraboly a priamky. Dá sa to urobiť dvoma spôsobmi. Prvý spôsob je analytický. Riešime rovnicu:

Preto spodná hranica integrácie, horná hranica integrácie.
Ak je to možné, je lepšie túto metódu nepoužívať.

Oveľa výhodnejšie a rýchlejšie je stavať linky bod po bode, pričom hranice integrácie sa zistia akoby „sami od seba“. Technika bodovej konštrukcie pre rôzne grafy je podrobne rozobratá v pomocníkovi Grafy a vlastnosti elementárnych funkcií. Analytická metóda hľadania limitov sa však stále niekedy musí použiť, ak je napríklad graf dostatočne veľký alebo závitová konštrukcia neodhalila limity integrácie (môžu byť zlomkové alebo iracionálne). A tiež zvážime taký príklad.

Vraciame sa k našej úlohe: racionálnejšie je najprv zostrojiť priamku a až potom parabolu. Urobme si kresbu:

Opakujem, že pri bodovej konštrukcii sa hranice integrácie najčastejšie zisťujú „automaticky“.

A teraz pracovný vzorec: Ak je v segmente nejaká spojitá funkcia väčšia alebo rovná nejakej spojitej funkcii, potom oblasť čísla ohraničená grafmi týchto funkcií a priamkami možno nájsť podľa vzorca:

Tu už nie je potrebné premýšľať o tom, kde sa obrázok nachádza - nad osou alebo pod osou, a zhruba povedané, je dôležité, ktorý graf je NAD (vzhľadom na iný graf) a ktorý je POD.

V uvažovanom príklade je zrejmé, že na segmente sa parabola nachádza nad priamkou, a preto je potrebné odpočítať od

Dokončenie riešenia môže vyzerať takto:

Požadovaný údaj je ohraničený parabolou zhora a priamkou zdola.
Na segmente podľa zodpovedajúceho vzorca:

odpoveď:

V skutočnosti je školský vzorec pre oblasť krivočiareho lichobežníka v dolnej polrovine (pozri jednoduchý príklad č. 3) špeciálny prípad vzorce . Keďže os je daná rovnicou , a graf funkcie je umiestnený nie vyššie osy teda

A teraz pár príkladov pre nezávislé riešenie

Príklad 5

Príklad 6

Nájdite oblasť obrázku ohraničenú čiarami , .

Pri riešení úloh na výpočet plochy pomocou určitého integrálu sa občas stane vtipná príhoda. Kresba bola urobená správne, výpočty boli správne, ale kvôli nepozornosti ... bola nájdená oblasť nesprávneho čísla, presne takto to váš skromný sluha niekoľkokrát pokazil. Tu skutočný prípad zo života:

Príklad 7

Vypočítajte plochu obrázku ohraničenú čiarami , , , .

Riešenie: Najprv urobme kresbu:

...Eh, kresba vypadla, ale všetko sa zdá byť čitateľné.

Postava, ktorej oblasť musíme nájsť, je zatienená modrou farbou (pozorne sa pozrite na stav - ako je postava obmedzená!). V praxi sa však v dôsledku nepozornosti často vyskytuje „závada“, že musíte nájsť oblasť obrázku, ktorá je zatienená v zelenej farbe!

Tento príklad je užitočný aj v tom, že sa v ňom plocha obrázku počíta pomocou dvoch určitých integrálov. naozaj:

1) Na segmente nad osou je priamkový graf;

2) Na segmente nad osou je hyperbolový graf.

Je celkom zrejmé, že oblasti sa môžu (a mali by) pridať, preto:

odpoveď:

Prejdime ešte k jednej zmysluplnej úlohe.

Príklad 8

Vypočítajte plochu obrazca ohraničenú čiarami,
Uveďme rovnice v „školskej“ forme a vykonajte kreslenie bod po bode:

Z nákresu je vidieť, že naša horná hranica je „dobrá“: .
Aká je však spodná hranica? Je jasné, že to nie je celé číslo, ale čo? Možno ? Ale kde je záruka, že výkres je vyrobený s dokonalou presnosťou, môže sa to ukázať. Alebo root. Čo ak sme ten graf vôbec nepochopili?

V takýchto prípadoch je potrebné venovať viac času a analyticky spresniť hranice integrácie.

Nájdite priesečníky priamky a paraboly.
Aby sme to dosiahli, riešime rovnicu:


,

Naozaj,.

Ďalšie riešenie je triviálne, hlavnou vecou nie je zmiasť sa v zámenách a znamienkach, výpočty tu nie sú najjednoduchšie.

Na segmente , podľa zodpovedajúceho vzorca:

odpoveď:

Na záver lekcie zvážime dve ťažšie úlohy.

Príklad 9

Vypočítajte plochu obrázku ohraničenú čiarami , ,

Rozhodnutie: Znázornime tento obrázok na výkrese.

Sakra, zabudol som podpísať rozvrh a prerobiť obrázok, pardon, nie hotz. Nie kresba, dnes je skrátka deň =)

Pre bodovú konštrukciu je potrebné poznať vzhľad sínusoidy (a vo všeobecnosti je užitočné poznať grafy všetkých elementárnych funkcií), ako aj niektoré hodnoty sínusu, možno ich nájsť v trigonometrickej tabuľke. V niektorých prípadoch (ako v tomto prípade) je dovolené zostrojiť schematický výkres, na ktorom musia byť grafy a integračné limity zobrazené v zásade správne.

Problémy s integračnými limitmi tu nie sú, vyplývajú priamo z podmienky: - "x" sa zmení z nuly na "pi". Robíme ďalšie rozhodnutie:

Na segmente je graf funkcie umiestnený nad osou, preto: