Ako nájsť celú časť. Škola matematiky pre každého, kto študuje a učí

V tomto článku budeme hovoriť o zmiešané čísla. Najprv definujme zmiešané čísla a uveďme príklady. Ďalej sa pozrime na súvislosť medzi zmiešanými číslami a nesprávnymi zlomkami. Potom vám ukážeme, ako previesť zmiešané číslo na nesprávny zlomok. Nakoniec poďme študovať spätný proces, čo sa nazýva oddelenie celej časti od nesprávneho zlomku.

Navigácia na stránke.

Zmiešané čísla, definícia, príklady

Matematici sa zhodli, že súčet n+a/b, kde n je prirodzené číslo, a/b je vlastný zlomok, možno písať bez znaku sčítania v tvare. Napríklad súčet 28+5/7 možno stručne zapísať ako . Takýto záznam sa nazýval zmiešaný a číslo, ktoré tomuto zmiešanému záznamu zodpovedá, sa nazývalo zmiešané číslo.

Takto sa dostávame k definícii zmiešaného čísla.

Definícia.

Zmiešané číslo je číslo rovné súčtu prirodzeného čísla n a vlastného obyčajného zlomku a/b a zapísané v tvare . V tomto prípade sa volá číslo n celú časť čísla a volá sa číslo a/b zlomková časť čísla.

Podľa definície sa zmiešané číslo rovná súčtu jeho celých a zlomkových častí, to znamená, že rovnosť je pravdivá, čo možno zapísať takto: .

Dajme si príklady zmiešaných čísel. Číslo je zmiešané číslo prirodzené číslo 5 je celá časť čísla a je zlomková časť čísla. Ďalšie príklady zmiešaných čísel sú .

Niekedy môžete nájsť čísla v zmiešanom zápise, ale s nesprávnym zlomkom, napríklad, alebo. Tieto čísla sa chápu ako súčet ich celých a zlomkových častí, napr. A . Takéto čísla však nezodpovedajú definícii zmiešaného čísla, pretože zlomková časť zmiešaných čísel musí byť správnym zlomkom.

Číslo tiež nie je zmiešané číslo, pretože 0 nie je prirodzené číslo.

Vzťah medzi zmiešanými číslami a nesprávnymi zlomkami

Sledujte spojenie medzi zmiešanými číslami a nesprávnymi zlomkami najlepšie s príkladmi.

Nech je na podnose koláč a ďalšie 3/4 toho istého koláča. To znamená, že podľa významu pridania je na tácke 1+3/4 koláčov. Po zapísaní posledného množstva ako zmiešaného čísla konštatujeme, že na podnose je koláč. Teraz nakrájajte celý koláč na 4 rovnaké časti. Vo výsledku bude na podnose 7/4 koláča. Je jasné, že „množstvo“ torty sa nezmenilo, takže .

Z uvažovaného príkladu je jasne viditeľné nasledujúce spojenie: Akékoľvek zmiešané číslo môže byť reprezentované ako nesprávny zlomok.

Teraz nech je na podnose 7/4 koláča. Po zložení celej torty zo štyroch častí bude na podnose 1 + 3/4, teda torta. Z toho je zrejmé, že .

Z tohto príkladu je zrejmé, že Nesprávny zlomok môže byť reprezentovaný ako zmiešané číslo. (V špeciálnom prípade, keď je čitateľ nevlastného zlomku delený rovnomerne menovateľom, môže byť nevlastný zlomok reprezentovaný ako prirodzené číslo, napr. pretože 8:4 = 2).

Prevod zmiešaného čísla na nesprávny zlomok

Na popravu rôzne akcie Pri zmiešaných číslach je užitočná zručnosť reprezentovať zmiešané čísla ako nesprávne zlomky. V predchádzajúcom odseku sme zistili, že akékoľvek zmiešané číslo možno previesť na nesprávny zlomok. Je čas zistiť, ako sa takýto preklad vykonáva.

Poďme napísať algoritmus, ktorý ukazuje ako previesť zmiešané číslo na nesprávny zlomok:

Pozrime sa na príklad prevodu zmiešaného čísla na nesprávny zlomok.

Príklad.

Vyjadrite zmiešané číslo ako nesprávny zlomok.

Riešenie.

Vykonajte všetky potrebné kroky algoritmu.

Zmiešané číslo sa rovná súčtu jeho celých a zlomkových častí: .

Po zapísaní čísla 5 ako 5/1 bude mať posledný súčet tvar .

Na dokončenie prevodu pôvodného zmiešaného čísla na nesprávny zlomok zostáva len pridať zlomky s rôznymi menovateľmi: .

Krátke zhrnutie celého riešenia je: .

odpoveď:

Ak teda chcete previesť zmiešané číslo na nesprávny zlomok, musíte vykonať nasledujúci reťazec akcií: . Konečne prijaté , ktoré budeme ďalej používať.

Príklad.

Napíšte zmiešané číslo ako nesprávny zlomok.

Riešenie.

Použime vzorec na prevod zmiešaného čísla na nesprávny zlomok. V tomto príklade n=15, a=2, b=5. teda .

odpoveď:

Oddelenie celej časti od nesprávnej frakcie

Nebýva zvykom písať do odpovede nesprávny zlomok. Nevlastný zlomok sa najskôr nahradí buď rovnakým prirodzeným číslom (keď je čitateľ deliteľný menovateľom), alebo sa vykoná tzv. oddelenie celej časti od nevlastného zlomku (keď čitateľ nie je deliteľný menovateľom). ).

Definícia.

Oddelenie celej časti od nesprávnej frakcie- Toto je nahradenie zlomku rovnakým zmiešaným číslom.

Zostáva zistiť, ako môžete izolovať celú časť od nesprávnej frakcie.

Je to veľmi jednoduché: nevlastný zlomok a/b sa rovná zmiešanému číslu tvaru, kde q je čiastočný kvocient a r je zvyšok deleného b. To znamená, že celá časť sa rovná neúplnému podielu delenia a číslom b a zvyšok sa rovná čitateľovi zlomkovej časti.

Dokážme toto tvrdenie.

Na to stačí ukázať, že . Zmiešané prevedieme na nesprávny zlomok, ako sme to urobili v predchádzajúcom odseku: . Pretože q je neúplný kvocient a r je zvyšok po delení a číslom b, potom platí rovnosť a=b·q+r (ak je to potrebné, pozri

Chcete sa cítiť ako sapér? Potom je táto lekcia pre vás! Pretože teraz budeme študovať zlomky - to sú také jednoduché a neškodné matematické objekty, ktoré svojou schopnosťou „vyfúknuť myseľ“ prevyšujú zvyšok kurzu algebry.

Hlavným nebezpečenstvom zlomkov je, že sa vyskytujú v skutočný život. Tým sa líšia napríklad od polynómov a logaritmov, ktoré si môžete naštudovať a po skúške ich ľahko zabudnete. Preto materiál prezentovaný v tejto lekcii možno bez preháňania nazvať výbušným.

Číselný zlomok (alebo len zlomok) je pár celých čísel oddelených lomkou alebo vodorovnou čiarou.

Zlomky napísané cez vodorovnú čiaru:

Rovnaké zlomky písané lomkou:
5/7; 9/(−30); 64/11; (−1)/4; 12/1.

Zlomky sa zvyčajne píšu cez vodorovnú čiaru – takto sa s nimi ľahšie pracuje a vyzerajú lepšie. Číslo napísané hore sa nazýva čitateľ zlomku a číslo napísané nižšie sa nazýva menovateľ.

Akékoľvek celé číslo môže byť vyjadrené ako zlomok s menovateľom 1. Napríklad 12 = 12/1 je zlomok z vyššie uvedeného príkladu.

Vo všeobecnosti môžete do čitateľa a menovateľa zlomku vložiť akékoľvek celé číslo. Jediným obmedzením je, že menovateľ sa musí líšiť od nuly. Pamätajte na staré dobré pravidlo: "Nemôžete deliť nulou!"

Ak má menovateľ stále nulu, zlomok sa nazýva neurčitý zlomok. Takýto záznam je nezmyselný a nedá sa použiť pri výpočtoch.

Hlavná vlastnosť zlomku

Zlomky a /b a c /d sa považujú za rovnaké, ak ad = bc.

Z tejto definície vyplýva, že ten istý zlomok možno zapísať rôznymi spôsobmi. Napríklad 1/2 = 2/4, keďže 1 4 = 2 2. Samozrejme, existuje veľa zlomkov, ktoré sa navzájom nerovnajú. Napríklad 1/3 ≠ 5/4, keďže 1 4 ≠ 3 5.

Vyvstáva rozumná otázka: ako nájsť všetky zlomky rovné danému? Odpoveď dávame vo forme definície:

Hlavnou vlastnosťou zlomku je, že čitateľ a menovateľ môžu byť vynásobené rovnakým číslom iným ako nula. Výsledkom bude zlomok rovný zadanému.

Toto je veľmi dôležitá vlastnosť – zapamätajte si ju. Pomocou základnej vlastnosti zlomku môžete mnohé výrazy zjednodušiť a skrátiť. V budúcnosti bude neustále „vyskakovať“ vo forme rôznych vlastností a teorémov.

Nepravé zlomky. Výber celej časti

Ak je čitateľ menší ako menovateľ, nazýva sa to vlastný zlomok. V opačnom prípade (t. j. keď je čitateľ väčší alebo aspoň rovný menovateľovi), zlomok sa nazýva nesprávny a dá sa v ňom rozlíšiť celá časť.

Celá časť je zaznamenaná vo veľkom počte pred zlomkom a vyzerá takto (označené červenou):

Ak chcete izolovať celú časť nesprávnej frakcie, musíte vykonať tri jednoduché kroky:

1. Zistite, koľkokrát sa menovateľ zmestí do čitateľa. Inými slovami, nájdite maximálne celé číslo, ktoré po vynásobení menovateľom bude stále menšie ako čitateľ (nanajvýš rovné). Toto číslo bude celá časť, preto ho napíšeme dopredu;
2. Vynásobte menovateľa celočíselnou časťou zistenou v predchádzajúcom kroku a odčítajte výsledok od čitateľa. Výsledný „stub“ sa nazýva zvyšok delenia; vždy bude kladný (v extrémnych prípadoch nula). Zapíšeme ho do čitateľa nového zlomku;
3. Menovateľa prepíšeme bez zmien.

No je to ťažké? Na prvý pohľad to môže byť ťažké. Ale s trochou cviku to zvládnete takmer orálne. Medzitým si pozrite príklady:

Úloha. Vyberte celú časť v uvedených zlomkoch:

Vo všetkých príkladoch je celá časť zvýraznená červenou farbou a zvyšok rozdelenia je zvýraznený zelenou farbou.

Venujte pozornosť poslednému zlomku, kde sa zvyšok delenia rovná nule. Ukazuje sa, že čitateľ je úplne rozdelený menovateľom. Je to celkom logické, pretože 24: 6 = 4 je tvrdý fakt z násobilky.

Ak je všetko urobené správne, čitateľ nového zlomku bude určite menší ako menovateľ, t.j. zlomok bude správny. Poznamenám tiež, že je lepšie zvýrazniť celú časť na samom konci problému, skôr ako zapíšete odpoveď. V opačnom prípade môžu byť výpočty značne komplikované.

Prechod na nesprávny zlomok

Existuje aj spätná operácia, kedy sa zbavíme celej časti. Toto sa nazýva prechod nesprávnych zlomkov a je oveľa bežnejší, pretože práca s nesprávnymi zlomkami je oveľa jednoduchšia.

Prechod na nesprávnu frakciu sa tiež vykonáva v troch krokoch:

1. Vynásobte celú časť menovateľom. Výsledok môže byť dosť veľké čísla, ale to by nás nemalo trápiť;
2. Výsledné číslo pridajte do čitateľa pôvodného zlomku. Výsledok zapíšte do čitateľa nesprávneho zlomku;
3. Prepíšte menovateľa - opäť bez zmien.

Tu sú konkrétne príklady:

Úloha. Previesť na nesprávny zlomok:

Pre prehľadnosť je celočíselná časť opäť zvýraznená červenou farbou a čitateľ pôvodného zlomku je zvýraznený zelenou farbou.

Zvážte prípad, keď čitateľ alebo menovateľ zlomku obsahuje záporné číslo. Napríklad:

V zásade v tom nie je nič trestné. Práca s takýmito frakciami však môže byť nepohodlná. Preto je v matematike zvykom umiestňovať mínusy ako zlomkové znaky.

Je to veľmi jednoduché, ak si pamätáte pravidlá:

1. "Plus za mínus dáva mínus." Ak teda čitateľ obsahuje záporné číslo a menovateľ obsahuje kladné číslo (alebo naopak), pokojne prečiarknite mínus a dajte ho pred celý zlomok;
2. "Dva negatíva potvrdzujú." Keď je v čitateli aj menovateli mínus, jednoducho ich prečiarkneme – nie sú potrebné žiadne ďalšie akcie.

Samozrejme, tieto pravidlá možno použiť aj v opačný smer, t.j. Pod znamienko zlomku (najčastejšie v čitateli) môžete zadať znamienko mínus.

Zámerne neberieme do úvahy prípad „plus na plus“ - myslím si, že s ním je všetko jasné. Pozrime sa, ako tieto pravidlá fungujú v praxi:

Úloha. Vyberte negatívy štyroch vyššie napísaných zlomkov.

Venujte pozornosť poslednému zlomku: pred ním je už znamienko mínus. Je však „spálený“ podľa pravidla „mínus za mínus dáva plus“.

Taktiež nepresúvajte mínusky v zlomkoch so zvýraznenou celou časťou. Tieto zlomky sa najskôr prevedú na nesprávne zlomky – a až potom sa začnú výpočty.

Ako oddeliť celú časť od nesprávneho zlomku?

1. Zvýrazníte, koľkokrát sa menovateľ zmestí do čitateľa, potom odčítate menovateľa od čitateľa, menovateľ zostane nezmenený.
2. skús si to vypočítať na kalkulačke))
   Vydeľte číslovku menovateľom a napíšte číslo naľavo od desatinnej čiarky.
   ak potrebujete vybrať zlomkovú časť:
   Vybratú časť celého čísla vynásobíte menovateľom a výsledné číslo odčítate od čitateľa. To je:
   79/3
   1. vyberte celú časť: 26
   2. vynásobte vybranú časť celého čísla menovateľom: 26*3
   3. odčítajte výsledné číslo od čitateľa 79-(26*3)
3. Vyberte celú časť z nesprávnych zlomkov a usporiadajte výsledné zmiešané čísla v zostupnom poradí: 13/5, 53/10, 52/9, 23/5, 3/2, 49/2, 35/9, 35/11, 12 /5, 31/9, 5/4, 33/5, 31/7, 7/4, 35/8, 51/8, 6/5, 57/10. Dané písmená B, A, A, B, L, V, K, R, I, E, E, S, A, L, S, O, J, K. Dešifrujte meno anglického spisovateľa z konca 19. storočia . začiatok 20. storočia a názov jedného z jeho diel (a: 5+5+5; b; 6+12)
4. 
   
   Zdroj: matematika
5. vydeľte čitateľa menovateľom, číslo pred desatinnou čiarkou je celá časť, potom celú časť vynásobte menovateľom a odčítajte od pôvodného čitateľa. Tento údaj bude čitateľom.
   napríklad: 88/16=5,5
   16*5=80
   88-80=8
   5 8/16=5 1/2
6. Ďakujem všetkým
7. 
   
8. Vydeľte čitateľa menovateľom a výsledné číslo zapíšte ako celé číslo a zvyšok ako čitateľ a menovateľ zostáva rovnaký.
9. Zdá sa to správne asi 3/2. Stačí vydeliť čitateľa menovateľom so zvyškom. Potom je kvocient celá časť, zvyšok je čitateľ a deliteľ je menovateľ (t. j. zostane tak, ako bol). Napríklad
   48/13. Vydeľte 48 číslom 13, aby ste dostali 3 a zvyšok je 9. Takže 48/13 = 3 celé 9/13
10. 25/22, 22/22 je jeden celok a zostávajú 3/22 a potom 1 celok a 22.
11. Sakra, najprv som sa naučil, ako to urobiť. Až potom sa objavil internet, naučil som sa ho správne používať a netrvalo dlho a našiel som túto stránku)
12. 1) Ak chcete previesť nevlastný zlomok na zmiešaný zlomok, musíte: vydeliť čitateľa menovateľom so zvyškom pomocou stĺpca, čiastočný podiel je celá časť, zvyšok je čitateľ a menovateľ je rovnaký.
    2) Ak chcete zmeniť zmiešaný zlomok na nesprávny, musíte: vynásobiť celú časť menovateľom a pridať čitateľa, výsledné číslo prejde do čitateľa, ale menovateľ zostane rovnaký.
13. 233 deliť číslom a poznať prvé číslo a násobiť
14. napríklad 1000/9....ľahko vydelíte 1000 9...dostanete 111, čo je celé číslo a zvyšok ide do čitateľa a menovateľ zostane rovnaký 9....
15. napríklad 23/3 - pomocou kalkulačky (ak ju máte nablízku) vydeľte čitateľa menovateľom, vezmite prvé číslo, vynásobte menovateľom a získajte celú časť tohto zlomku. Od čitateľa odčítate číslo, ktoré ste získali pri vynásobení menovateľom, a dostanete správny zlomok. Vo svojej odpovedi napíšte celú časť a vedľa nej správny zlomok.
    Ak nie je nablízku žiadna kalkulačka, potom sa rozdelíte trochu intuitívne a potom urobíte to isté.
    Najlepšie zlomky sú tie, ktorých menovateľ je 2, 5 alebo 10 :)
16. Vydeľte čitateľa menovateľom - dostanete celú časť a zvyšok (zlomok)
17. Mágia
18. Ak chcete previesť číslo, musíte deliť čitateľa menovateľom so zvyškom, t. j. zistiť, koľko „celočíselných“ krát obsahuje. A tento neúplný kvocient bude celá časť. Potom je zvyšok (ak existuje jeden) daný čitateľom a deliteľ je menovateľom zlomkovej časti (aby to bolo jasnejšie, musíte vynásobiť menovateľa celým číslom, ktoré ste dostali predtým, a potom odpočítať od NUMERATOR, čo ste teraz dostali)
    Napríklad: 136/28 = 4 celé 24/28, toto je redukovateľný zlomok = 4 celé 6/7
    Vydelil som 136 28 a dostal som 4. Potom, aby som zistil čitateľa, vynásobil som 28 4, aby som dostal 112, a od 136 som odčítal 112. Ak chcete znížiť, musíte deliť čitateľa aj menovateľa rovnakým číslom ( v v tomto prípade toto je 4)
    Veľa štastia!
19. Ak chcete izolovať celú časť od nesprávneho zlomku, musíte výsledný čitateľ rozdeliť menovateľom
    napíšte číslo ako celú časť a zvyšok ako čitateľ a menovateľ je rovnaký.

Zmiešané čísla. Výber celej časti

Medzi bežnými zlomkami existujú dva rôzne typy.
Správne a nesprávne zlomky
Pozrime sa na zlomky.

Upozorňujeme, že v prvých dvoch zlomkoch (3/7 a 5/7) sú čitatelia menšie ako menovatelia. Takéto zlomky sa nazývajú vlastné.

• Vlastný zlomok má čitateľa menšieho ako jeho menovateľ. Správny zlomok je preto vždy menší ako jedna.

Pozrime sa na dva zostávajúce zlomky.
Zlomok 7/7 má čitateľa rovného menovateľovi (takéto zlomky sa rovnajú jednotkám) a zlomok 11/7 má čitateľa väčšieho ako menovateľ. Takéto zlomky sa nazývajú nesprávne.

• Nevlastný zlomok má čitateľ rovnaký alebo väčší ako jeho menovateľ. Preto sa nesprávny zlomok rovná jednej alebo je väčší ako jedna.

Akýkoľvek nesprávny zlomok je vždy väčší ako vlastný zlomok.

Ako vybrať celú časť
Nesprávny zlomok môže mať celú časť. Pozrime sa, ako sa to dá urobiť.

Ak chcete izolovať celú časť od nesprávnej frakcie, musíte:
1. vydeľte čitateľa menovateľom so zvyškom;
2. Výsledný neúplný podiel zapíšeme do celej časti zlomku;
3. zvyšok zapíšte do čitateľa zlomku;
4. Deliteľa zapíšeme do menovateľa zlomku.

Príklad. Vyberieme celú časť z nesprávneho zlomku 11/2.
. Vydeľte čitateľa menovateľom v stĺpci.

. Teraz si napíšme odpoveď.

• Výsledné číslo vyššie, obsahujúce celé číslo a zlomkovú časť, sa nazýva zmiešané číslo.

Dostali sme zmiešané číslo z nevlastného zlomku, ale môžeme to urobiť aj opačne, teda reprezentovať zmiešané číslo ako nevlastný zlomok.
Na vyjadrenie zmiešaného čísla ako nesprávneho zlomku:
1. vynásobte jeho celočíselnú časť menovateľom zlomkovej časti;
2. k výslednému produktu pridajte čitateľa zlomkovej časti;
3. Výslednú sumu z bodu 2 zapíšte do čitateľa zlomku a menovateľa zlomkovej časti nechajte rovnakého.
Príklad. Predstavme zmiešané číslo ako nevlastný zlomok.
. Vynásobte časť celého čísla menovateľom.

3 . 5 = 15
. Pridajte čitateľa.

15 + 2 = 17
. Výslednú sumu zapíšeme do čitateľa nového zlomku a menovateľa necháme rovnaký.

Akékoľvek zmiešané číslo môže byť reprezentované ako súčet celého čísla a zlomkovej časti.

• Akékoľvek prirodzené číslo možno zapísať ako zlomok s ľubovoľným prirodzeným menovateľom.

Podiel delenia čitateľa menovateľom takéhoto zlomku sa bude rovnať danému prirodzenému číslu.
Príklady.

Ako oddeliť celú časť od nesprávneho zlomku? Ak chcete oddeliť celú časť od nesprávneho zlomku, musíte: Vydeliť čitateľa menovateľom zvyškom; Neúplný kvocient bude celá časť; Zvyšok (ak existuje) je daný čitateľom a deliteľ je menovateľ zlomku. Kompletné čísla 1057, 1058, 1059, 1060. 1062, 1063. 1064. 7.

Rozmery: 960 x 720 pixelov, formát: jpg. Na stiahnutie obrázku zadarmo hodina matematiky, kliknite pravým tlačidlom myši na obrázok a kliknite na „Uložiť obrázok ako...“. Na zobrazenie obrázkov v lekcii si môžete bezplatne stiahnuť prezentáciu „Zmiešané čísla ročník 5.ppt“ v celom rozsahu so všetkými obrázkami v zip archíve. Veľkosť archívu je 304 kB.

Zmiešané čísla

„Poznámky z lekcie matematiky“ – Postupujte podľa príkladu. a) 4/7+2/7= (4+2)/7= 6/7 b, c, d (na šachovnici) d) 7/9-2/9= (7-2)/9= 5 / 9 f, g, h (pri tabuli). Zo záhrady sa nazbieralo 12 kg uhoriek. 2/3 všetkých uhoriek boli nakladané. 6/7-3/7=(6-3)/7=3/7 2/11+5/11=(2+5)/22=7/22 9/10-8/10=(9-8 )/10=2/10. Ukáž zlomok 2/8+3/8. Formulujte pravidlo odčítania. Učenie nového materiálu:

„Porovnávanie desatinných zlomkov“ - Účel lekcie. Porovnanie čísel: Mentálne počítanie. 9,85 a 6,97; 75,7 a 75,700; 0,427 a 0,809; 5,3 a 5,03; 81,21 a 81,201; 76,005 a 76,05; 3,25 a 3,502; Prečítajte si zlomky: 41,1 ; 77,81; 21,005; 0,0203. 41,1; 77,81; 21,005; 0,0203. Vyrovnajte počet desatinných miest. Plán lekcie. Poradie desatinné miesta. Posilňovacia hodina v 5. ročníku.

„Pravidlá zaokrúhľovania čísel“ - 1.8. 48. Výborne! 3. 3. Naučte sa aplikovať pravidlo zaokrúhľovania pomocou príkladov. Skúste porovnať. Zaokrúhlite celé čísla na desať. 1. Pamätajte na pravidlo pre zaokrúhľovanie čísel. Je výhodné pracovať s takýmto číslom? Stotisíciny. 3. Zapíšte si výsledok. 5312. >. 2. Odvoďte pravidlo na zaokrúhľovanie desatinných zlomkov na danú číslicu.

“Sčítanie zmiešaných čísel” - 25. Príklad 4. Nájdite hodnotu rozdielu 3 4\9-1 5\6. 3 4\9=3 818; 1 5\6=1 15\18. 3 4\9=3 8\18=3+8\18=2+1+8\18=2+8\18+18\18=2+ +26\18=2 26\18. Poznámky z hodiny v 6. ročníku