Plochy podobných trojuholníkov sú spojené ako koeficient podobnosti. Pomer plôch podobných trojuholníkov

1.3. Pomer plôch podobných trojuholníkov. Veta. Pomer plôch dvoch podobných trojuholníkov sa rovná druhej mocnine koeficientu podobnosti. Dôkaz. Nech sú trojuholníky ABC a A1B1C1 podobné a koeficient podobnosti sa rovná k. Označme obsahy týchto trojuholníkov písmenami S a S1. Pretože A = A1, potom.

Geometria 8. ročník

"Obdĺžniky" - uhlopriečka. Obrazy. Strany obdĺžnika. Obvod obdĺžnika. Ľudské. Oblasť obdĺžnika. Obdĺžnik v živote. Definícia. Strana obdĺžnika. Uhlopriečky. Rozprávka o obdĺžniku. Obdĺžnik. Opačné strany.

„Bodový produkt v súradniciach“ - Vektor. Napoleonova veta. Dôsledok. Vlastnosti skalárneho súčinu vektorov. Výmena kariet. Poďme vyriešiť problém. Geometria. Bodový súčin v súradniciach a jeho vlastnosti. Test z matematiky. Nový materiál. Trojuholníkové riešenie. Matematická rozcvička. Meno autora vety. Dôkaz Pytagorovej vety.

„Nájdenie oblasti rovnobežníka“ - Oblasť rovnobežníka. Ústne cvičenia. Výška. Určenie výšky rovnobežníka. Výšky rovnobežníka. Nájdite oblasť rovnobežníka. Oblasť trojuholníka. Plocha štvorca. Vlastnosti oblastí. Nájdite oblasť trojuholníka. Nájdite obvod štvorca. Základňa. Nájdite oblasť obdĺžnika. Nájdite plochu námestia. Znaky rovnosti pravouhlých trojuholníkov.

„Vektory 8. ročníka“ – pomenujte rovnaké a opačné vektory. Vektory na hodinách fyziky. Absolútna veľkosť vektora. Absolútna veľkosť vektora. Obdĺžnik so všetkými stranami rovnakými. Vektorový koncept. Určte súradnice vektora. Nájdite a pomenujte rovnaké vektory na tomto obrázku. Rovnaké vektory. Samostatná práca vo dvojiciach. Vektorové súradnice. Motto lekcie. Skalárne fyzikálnych veličín, ako je trecia sila, rýchlosť.

„Rôzne typy symetrie“ - Požiadavka. Posuvná symetria. Rovnoramenný trojuholník so zrkadlovou symetriou. Teória skupín. Symetria v biológii. Rotačná symetria. Biradiálna symetria. Čo je symetria. Supersymetria. Symetria v geometrii. Symetria vo fyzike. Vrch zvončeka. Vzhľad bilaterálnej symetrie. Obojstranná symetria. Noetherova veta. Nedostatok symetrie. Symetria fyziky. Stredová symetria.

„Štvorec v živote“ - Štvorce nás nájdu všade. India. Magický štvorec Albrecht Dürer. Príbeh. Štvorce. Magický štvorec Lo Shu. Čierny štvorec. Hádanka „Štvorec“. Zaujímavosti o námestí. Geometrický štvorec. Malevičovo námestie. Magický štvorec. Obdĺžnik. Námestie. Základný koncept. Zaujímavosti. Čína.

učiteľ: .

Typ lekcie: lekciu o zavádzaní nového materiálu.

Účel lekcie: Dokážte vlastnosť plôch podobných trojuholníkov a ukážte jej praktický význam pri riešení úloh.

Ciele lekcie:

vyučovanie – dokázať vlastnosť plôch podobných trojuholníkov a ukázať jej praktický význam pri riešení úloh; rozvíjať - rozvíjať schopnosť analyzovať a vyberať argumenty pri riešení problému, ktorého spôsob riešenia nie je známy; vzdelávacie - pestovať záujem o predmet prostredníctvom obsahu vzdelávacieho procesu a vytvárania situácie úspechu, pestovať schopnosť pracovať v skupine.

Študent má tieto znalosti:

1. Definícia podobných trojuholníkov;

2. Aplikácia definície podobných trojuholníkov pri riešení úloh;

3. Veta o pomere plôch trojuholníkov s rovnakými uhlami;

Obsah aktivity, ktorý sa študenti musia naučiť:

Počas vyučovania.

1. Organizovanie času.

2. Aktualizácia vedomostí.

3. Práca s problémovou situáciou.

4. Zhrnutie hodiny a zaznamenanie domácich úloh, reflexia.

Vyučovacie metódy: verbálne, vizuálne, hľadanie problémov.

Formy školenia: frontálna práca, práca v miniskupinách, individuálna a samostatná práca.

technológie: orientovaný na úlohy, informačné technológie, prístup založený na kompetenciách.

Vybavenie:

počítač, projektor na predvádzanie prezentácií, interaktívna tabuľa, kamera na dokumenty; Počítačová prezentácia v programe Microsoft PowerPoint; podporné zhrnutie;

Počas vyučovania

1. Organizačný moment.

Ahojte chalani! Posaď sa. Dnes máme nezvyčajnú lekciu. Na našej lekcii máme hostí. Prosím, otočte sa a pozdravte ich kývnutím. Ďakujem chlapci. Posaď sa.

Dnes na lekcii nebudeme pracovať v notebookoch, ale v referenčných poznámkach, ktoré vyplníte na pokračovanie celej lekcie. Podpíš to. Známka za hodinu bude pozostávať z dvoch zložiek: za podporné poznámky a za aktívnu prácu na hodine.

2. Aktualizácia vedomostí žiakov. Príprava na aktívnu vzdelávaciu a kognitívnu činnosť v hlavnej fáze hodiny.

Pokračujeme v štúdiu témy „podobnosť trojuholníkov“. Poďme si teda pripomenúť, čo sme sa učili v minulej lekcii.

Teoretická rozcvička. Test. Vo vašich referenčných poznámkach je prvá úloha testovacieho charakteru. Odpovedzte na otázky výberom jednej z navrhovaných možností odpovede a v prípade potreby zadajte svoju odpoveď.

1) učiteľ:Ako sa nazýva pomer dvoch segmentov?

Odpoveď: Pomer dvoch segmentov dvoch segmentov je pomer ich dĺžok.

2) učiteľ:V akom prípade sú segmentyAB ACDproporcionálne k segmentomA1 B1 AC1 D1

Odpoveď: segmentyAB ACDproporcionálne k segmentomA1 B1 AC1 D1 , Ak

Vaše možnosti. Dobre. Nezabudnite opraviť každého, kto sa mýli.

3) učiteľ: Definujte podobné trojuholníky? Pozrite si referenčnú poznámku. Na odpoveď na túto otázku máte tri možnosti. Vyberte si ten správny. Zakrúžkujte to.

Tak prosím, ktorú možnosť ste si vybrali_______

Odpoveď: Dva trojuholníky sa nazývajú podobné, ak sú ich uhly rovnaké a strany jedného trojuholníka sú úmerné stranám druhého trojuholníka.

Výborne! Opravte každého, kto sa mýli.

4) učiteľ: Aký je pomer plôch dvoch trojuholníkov, ktoré majú rovnaké uhly?

Odpoveď: Ak sa uhol jedného trojuholníka rovná uhlu iného trojuholníka, potom sú plochy týchto trojuholníkov spojené ako súčin strán zvierajúcich rovnaké uhly.

Riešenie problémov pomocou hotových výkresov. Ďalej bude naše zahrievanie prebiehať pri riešení problémov pomocou hotových výkresov. Tieto úlohy môžete vidieť aj vo svojich referenčných poznámkach.

https://pandia.ru/text/80/368/images/image005_101.gif" width="480" height="360">

Odpoveď: strany Bermudského trojuholníka sú 2000 km, 1840 km, 2220 km. Dĺžka hranice je 6060 km.

Reflexia.

Možná odpoveď: Podobné trojuholníky majú podobné strany, ktoré sú proporcionálne.

2. Situácia úspechu.

Zistili sme rozmery Bermudského trojuholníka. Teraz zistime rozmery kvetinového záhonu. Otočíme podporné poznámky. Druhá úloha. Tento problém riešime prácou vo dvojiciach. Kontrolujeme podobným spôsobom, ale len výsledok predloží prvý pár, ktorý úlohu splnil.

Odpoveď: strany trojuholníkového záhona sú 10m a 11m 20 cm.

Takže, poďme sa na to pozrieť. Súhlasia všetci? Kto sa rozhodol inak?

Reflexia.

Akú metódu akcie ste použili na vyriešenie tohto problému? Zapíšte si to do referenčnej poznámky.

Možná odpoveď:

· podobné trojuholníky majú rovnaké zodpovedajúce uhly;

· Plochy trojuholníkov s rovnakými uhlami sú súčinom strán obsahujúcich rovnaké uhly.

3. Poruchová situácia.

5. Štúdium nového materiálu.

Pri riešení tretieho problému sú žiaci postavení pred problém. Nedokážu problém vyriešiť, pretože podľa ich názoru nie sú podmienky problému dostatočne úplné alebo dostanú neopodstatnenú odpoveď.

Žiaci sa s týmto typom problému doteraz nestretli, preto došlo k zlyhaniu pri riešení problému.

Reflexia.

Akú metódu ste skúšali vyriešiť?

Prečo ste nedokázali vyriešiť poslednú rovnicu?

Študenti: Nemôžeme nájsť oblasť trojuholníka, ak je známa iba oblasť podobného trojuholníka a koeficient podobnosti.

teda účel našej lekcie Nájdite plochu trojuholníka, ak je známa iba plocha podobného trojuholníka a koeficient podobnosti.

Preformulujme problém do geometrického jazyka. Poďme to vyriešiť a potom sa vráťme k tomuto problému.

Záver: Pomer plôch podobných trojuholníkov sa rovná druhej mocnine koeficientu podobnosti.

No a teraz sa vráťme k problému č.3 a vyriešme ho na základe overeného faktu.

7. Zhrnutie lekcie

Aké nové veci ste sa dnes naučili robiť?

Vyriešte problémy, v ktorých je známy koeficient podobnosti a plocha jedného z podobných trojuholníkov.

Aká geometrická vlastnosť nám k tomu pomohla?

Pomer plôch podobných trojuholníkov sa rovná druhej mocnine koeficientu podobnosti.

Domáca úloha.

S. 58 s. 139 č. 000, 548

Kreatívna úloha.

Zistite, aký je pomer obvodov dvoch podobných trojuholníkov (č. 000)

Účel lekcie: uveďte definíciu podobných trojuholníkov, dokážte vetu o vzťahu podobných trojuholníkov.

Ciele lekcie:

• Vzdelávacie:Študenti musia poznať definíciu podobných trojuholníkov, vetu o vzťahu podobných trojuholníkov, vedieť ich aplikovať pri riešení úloh a realizovať medziodborové súvislosti s algebrou a fyzikou.
• Vzdelávacie: pestovať pracovitosť, pozornosť, pracovitosť a pestovať kultúru správania žiakov.
• Vzdelávacie: rozvoj pozornosti žiakov, rozvoj schopnosti uvažovať, logicky myslieť, vyvodzovať závery, rozvoj kompetentnej matematickej reči a myslenia žiakov, rozvoj schopností sebaanalýzy a samostatnosti.
• Úspora zdravia: dodržiavanie sanitárnych a hygienických noriem, zmena druhov činností na vyučovacej hodine.

Vybavenie: počítač, projektor, didaktický materiál: nezávislý a testovacie papiere v algebre a geometrii pre ročník 8 A.P. Ershova atď.

Typ lekcie: učenie sa nového materiálu.

Počas vyučovania

I. Organizačný moment(pozdrav, kontrola pripravenosti na hodinu).

II. Správa k téme lekcie.

učiteľ: IN Každodenný život Existujú predmety rovnakého tvaru, ale rôznych veľkostí.

Príklad: futbalové a tenisové loptičky.

V geometrii sa figúry rovnakého tvaru nazývajú podobné: akékoľvek dva kruhy, akékoľvek dva štvorce.

Predstavme si koncept podobných trojuholníkov.

Definícia: Dva trojuholníky sa nazývajú podobné, ak sú ich uhly rovnaké a strany jedného trojuholníka sú úmerné podobným stranám druhého.

číslo k, rovný pomeru podobných strán podobných trojuholníkov sa nazýva koeficient podobnosti. ΔABC ~ A 1 B 1 C 1

1. Ústne: Sú trojuholníky podobné? prečo? (pripravený výkres na obrazovke).

a) Trojuholník ABC a trojuholník A 1 B 1 C 1, ak AB = 7, BC = 5, AC = 4, ∠A = 46˚, ∠C = 84˚, ∠A 1 = 46˚, ∠B 1 = 50 ˚, A1B1 = 10,5, B1C1 = 7,5, A1C1 = 6.

b) V jednom rovnoramennom trojuholníku je vrcholový uhol 24˚ a v druhom rovnoramennom trojuholníku je základný uhol 78˚.

Chlapci! Pripomeňme si vetu o pomere plôch trojuholníkov s rovnakými uhlami.

Veta: Ak sa uhol jedného trojuholníka rovná uhlu iného trojuholníka, potom sú plochy týchto trojuholníkov spojené ako súčin strán zvierajúcich rovnaké uhly.

2. Písomná práca podľa pripravených výkresov.

Kresba na obrazovke:

a) Dané: BN: NC = 1:2,

BM = 7 cm, AM = 3 cm,

S MBN = 7 cm2.

Nájsť: S ABC

(odpoveď: 30 cm 2.)

b) Dané: AE = 2 cm,

S AEK = 8 cm2.

Nájsť: S ABC

(odpoveď: 56 cm 2.)

3. Dokážme vetu o pomere plôch podobných trojuholníkov ( Žiak dokazuje vetu na tabuli, pomáha celá trieda).

Veta: Pomer dvoch podobných trojuholníkov sa rovná druhej mocnine koeficientu podobnosti.

4. Aktualizácia vedomostí.

Riešenie problémov:

1. Plochy dvoch podobných trojuholníkov sú 75 cm 2 a 300 cm 2. Jedna zo strán druhého trojuholníka má 9 cm. Nájdite podobnú stranu prvého trojuholníka. ( odpoveď: 4,5 cm)

2. Podobné strany podobných trojuholníkov sú 6 cm a 4 cm a súčet ich plôch je 78 cm2. Nájdite obsah týchto trojuholníkov. ( odpoveď: 54 cm2 a 24 cm2.)

Ak máš čas samostatná práca výchovného charakteru.

možnosť 1

Podobné trojuholníky majú podobné strany rovnajúce sa 7 cm a 35 cm.

Plocha prvého trojuholníka je 27 cm2.

Nájdite oblasť druhého trojuholníka. ( odpoveď: 675 cm 2.)

Možnosť 2

Plochy podobných trojuholníkov sú 17 cm2 a 68 cm2. Strana prvého trojuholníka je 8 cm. Nájdite podobnú stranu druhého trojuholníka. ( odpoveď: 4 cm)

5. Domáce úlohy: učebnica geometrie 7-9 L.S. Atanasyan a kol., odseky 57, 58, č. 545, 547.

6. Zhrnutie lekcie.

Lekcia 34. Veta o pomere plôch podobných trojuholníkov. TEOREM. Pomer plôch dvoch podobných trojuholníkov sa rovná druhej mocnine koeficientu podobnosti. kde k je koeficient podobnosti. Pomer obvodov dvoch podobných trojuholníkov sa rovná koeficientu podobnosti. V. A. S. R. M. K. Riešenie úloh: č.545, 549. Domáca úloha: str.56-58, č.544,548.

Geometria 8. ročník

"Definícia osovej symetrie" - Symetria v prírode. Nápoveda. Osi symetrie. Nakreslite bod. Konštrukcia bodu. Konštrukcia trojuholníka. Konštrukcia segmentu. národy. Symetria v poézii. Postavy, ktoré nemajú osovú symetriu. Postavy s dvoma osami symetrie. Obdĺžnik. Symetria. Rovno. Nakreslite body. Osová súmernosť. Segment čiary. Os symetrie. Nakreslite dve rovné čiary. Body ležiace na tej istej kolmici. Proporcionalita.

"Nájdenie oblasti rovnobežníka" - Nájdite oblasť rovnobežníka. Oblasť rovnobežníka. Výška. Nájdite plochu námestia. Plocha štvorca. Výšky rovnobežníka. Nájdite oblasť trojuholníka. Znaky rovnosti pravouhlých trojuholníkov. Nájdite oblasť obdĺžnika. Určenie výšky rovnobežníka. Základňa. Oblasť trojuholníka. Nájdite obvod štvorca. Vlastnosti oblastí. Ústne cvičenia.

„Úlohy na nájdenie oblasti“ - Lekcia - vysvetlenie nového materiálu vo forme prezentácie „Power point“. Primárny cieľ. "Oblasť rovnobežníka." "Oblasť lichobežníka." KONTROLA NAUČENÉHO MATERIÁLU. Vyriešiť problém. Pracovný zošitč. 42, zopakujte všetky naštudované vzorce. Odvoďte vzorce pre oblasti obdĺžnika, rovnobežníka, lichobežníka a trojuholníka. Rozšírte a prehĺbte svoje chápanie merania plochy. Formulovať medzi žiakmi pojem oblasť.

„Geometria „Podobné trojuholníky““ - Dva trojuholníky sa nazývajú podobné. Proporcionalita strán uhla. Hodnoty sínus, kosínus a tangens. Prvý znak podobnosti trojuholníkov. Proporcionálne segmenty v pravouhlom trojuholníku. Vlastnosť osi trojuholníka. Matematický diktát. Nájdite oblasť rovnoramenného pravouhlého trojuholníka. Proporcionálne segmenty. Hodnoty sínusu, kosínusu a tangenty pre uhly 30°, 45°, 60°.

"Obdĺžniky" - Muž. Opačné strany. Strana obdĺžnika. Rozprávka o obdĺžniku. Strany obdĺžnika. Obdĺžnik v živote. Obvod obdĺžnika. Obdĺžnik. Uhlopriečky. Obrazy. Uhlopriečka. Definícia. Oblasť obdĺžnika.

„Oblasť obdĺžnika“ 8. ročník“ - Plocha tieňovaného štvorca. Strany každého z obdĺžnikov. ABCD a DСМK sú štvorce. Na strane AB je zostrojený rovnobežník. Jednotky merania plochy. Nájdite plochu námestia. Oblasť obdĺžnika. ABCD je rovnobežník. Vlastnosti oblastí. Nájdite oblasť štvoruholníka. Plochy štvorcov postavené po stranách obdĺžnika. Podlaha miestnosti má tvar obdĺžnika. Plocha štvorca sa rovná štvorcu jeho strany.

Proporcionálne segmenty

Aby sme zaviedli pojem podobnosti, musíme si najskôr pripomenúť pojem proporcionálne segmenty. Pripomeňme si aj definíciu pomeru dvoch segmentov.

Definícia 1

Pomer dvoch segmentov je pomer ich dĺžok.

Pojem proporcionality segmentov sa vzťahuje aj na viac segmentov. Nech je napríklad $AB=2$, $CD=4$, $A_1B_1=1$, $C_1D_1=2$, $A_2B_2=4$, $C_2D_2=8$, potom

To znamená, že segmenty $AB$, $A_1B_1$, $\A_2B_2$ sú úmerné segmentom $CD$, $C_1D_1$, $C_2D_2$.

Podobné trojuholníky

Najprv si spomeňme, čo pojem podobnosť vo všeobecnosti predstavuje.

Definícia 3

Figúrky sa nazývajú podobné, ak majú rovnaký tvar, ale rôzne veľkosti.

Poďme teraz pochopiť koncept podobných trojuholníkov. Zvážte obrázok 1.

Obrázok 1. Dva trojuholníky

Nech tieto trojuholníky majú $\uhol A=\uhol A_1,\ \uhol B=\uhol B_1,\ \uhol C=\uhol C_1$. Uveďme si nasledujúcu definíciu:

Definícia 4

Strany dvoch trojuholníkov sa nazývajú podobné, ak ležia oproti rovnakým uhlom týchto trojuholníkov.

Na obrázku 1 sú strany $AB$ a $A_1B_1$, $BC$ a $B_1C_1$, $AC$ a $A_1C_1$ podobné. Uveďme si teraz definíciu podobných trojuholníkov.

Definícia 5

Dva trojuholníky sa nazývajú podobné, ak sa uhly všetkých uhlov jedného trojuholníka rovnajú uhlom druhého a trojuholníka a všetky podobné strany týchto trojuholníkov sú úmerné, tj.

\[\uhol A=\uhol A_1,\ \uhol B=\uhol B_1,\ \uhol C=\uhol C_1,\] \[\frac(AB)(A_1B_1)=\frac(BC)((B_1C) _1)=\frac(AC)(A_1C_1)\]

Obrázok 1 zobrazuje podobné trojuholníky.

Označenie: $ABC\sim A_1B_1C_1$

Pre pojem podobnosti existuje aj pojem koeficient podobnosti.

Definícia 6

Číslo $k$, ktoré sa rovná pomeru podobných strán podobných útvarov, sa nazýva koeficient podobnosti týchto útvarov.

Plochy podobných trojuholníkov

Uvažujme teraz vetu o pomere plôch podobných trojuholníkov.

Veta 1

Pomer plôch dvoch podobných trojuholníkov sa rovná druhej mocnine koeficientu podobnosti, tj

\[\frac(S_(ABC))(S_(A_1B_1C_1))=k^2\]

Dôkaz.

Uvažujme dva podobné trojuholníky a označme ich obsah ako $S$ a $S_1$ (obr. 2).

Obrázok 2

Ak chcete dokázať túto vetu, pripomeňte si nasledujúcu vetu:

Veta 2

Ak sa uhol jedného trojuholníka rovná uhlu druhého trojuholníka, potom ich plochy súvisia ako súčin strán susediacich s týmto uhlom.

Keďže trojuholníky $ABC$ a $A_1B_1C_1$ sú podobné, potom podľa definície $\uhol A=\uhol A_1$. Potom to získame pomocou vety 2

Keďže $\frac(AB)(A_1B_1)=\frac(AC)(A_1C_1)=k$, dostaneme

Veta bola dokázaná.

Problémy súvisiace s konceptom podobnosti trojuholníkov

Príklad 1

Dané podobné trojuholníky $ABC$ a $A_1B_1C_1.$ Strany prvého trojuholníka sú $AB=2,\ BC=5,\ AC=6$. Koeficient podobnosti týchto trojuholníkov je $k=2$. Nájdite strany druhého trojuholníka.

Riešenie.

Tento problém má dve možné riešenia.

Nech $k=\frac(A_1B_1)(AB)=\frac((B_1C)_1)(BC)=\frac(A_1C_1)(AC)$.

Potom $A_1B_1=kAB,\ (B_1C)_1=kBC,\ A_1C_1=kAC$.

Preto $A_1B_1=4,\ (B_1C)_1=10,\ A_1C_1=12$

Nech $k=\frac(AB)(A_1B_1)=\frac(BC)((B_1C)_1)=\frac(AC)(A_1C_1)$

Potom $A_1B_1=\frac(AB)(k),\ (B_1C)_1=\frac(BC)(k),\ A_1C_1=\frac(AC)(k)$.

Preto $A_1B_1=1,\ (B_1C)_1=2,5,\ \ A_1C_1=3$.

Príklad 2

Dané podobné trojuholníky $ABC$ a $A_1B_1C_1.$ Strana prvého trojuholníka je $AB=2$, zodpovedajúca strana druhého trojuholníka je $A_1B_1=6$. Výška prvého trojuholníka je $CH=4$. Nájdite oblasť druhého trojuholníka.

Riešenie.

Keďže trojuholníky $ABC$ a $A_1B_1C_1$ sú podobné, potom $k=\frac(AB)(A_1B_1)=\frac(1)(3)$.

Nájdite oblasť prvého trojuholníka.

Podľa vety 1 máme:

\[\frac(S_(ABC))(S_(A_1B_1C_1))=k^2\] \[\frac(4)(S_(A_1B_1C_1))=\frac(1)(9)\] \