Pravdepodobnosť kocky. Pravdepodobnosť kockou Kockou sa hodí raz

Vysvetlite princíp riešenia problému. Kocky boli hodené raz. Aká je pravdepodobnosť hodenia menej ako 4 body? a dostal najlepšiu odpoveď

Odpoveď od Divergent [guru]
50 percent
Princíp je mimoriadne jednoduchý. Celkové výsledky 6: 1,2,3,4,5,6
Z toho tri spĺňajú podmienku: 1,2,3 a tri nie: 4,5,6. Preto je pravdepodobnosť 3/6 = 1/2 = 0,5 = 50 %

Odpoveď od som superman[guru]
Celkovo môže byť šesť možností (1,2,3,4,5,6)
A z týchto možností sú 1, 2 a 3 menej ako štyri
Takže 3 odpovede zo 6
Na výpočet pravdepodobnosti vydelíme priaznivé rozdelenie na všetko, t.j. 3 x 6 = 0,5 alebo 50 %

Odpoveď od Oriy Dovbysh[aktívny]
50%
vydeliť 100 % počtom čísel na kocke,
a potom vynásobte prijaté percento sumou, ktorú potrebujete zistiť, teda 3)

Odpoveď od Ivan Panin[guru]
neviem naisto, pripravujem sa na GIA, ale dnes mi ucitel nieco povedal, len o pravdepodobnosti aut, kedze som pochopil, ze pomer sa uvadza zlomkom, hore cislo je priaznive. , a dole je to podla mna vseobecne, no, mali sme to o autach : Taxi spolocnost ma momentalne k dispozicii 3 cierne, 3 zlte a 14 zelenych aut. Jedno z áut odišlo k zákazníkovi. Nájdite pravdepodobnosť, že k nemu príde žltý taxík. Takže žlté taxíky sú 3 a z celkového počtu áut sú 3, vychádza nám, že na zlomok napíšeme 3, keďže ide o priaznivý počet áut a na spodok napíšeme 20 , kedze vo flotile taxi je celkovo 20 aut, tak dostaneme pravdepodobnost 3 az 20 alebo 3/20 zlomkom, no, tak som to pochopil.... neviem presne ako sa s tym kosti, ale možno to nejakým spôsobom pomohlo...

Odpoveď od 3 odpovede[guru]

Ahoj! Tu je výber tém s odpoveďami na vašu otázku: Vysvetlite princíp riešenia problému. Kocky boli hodené raz. Aká je pravdepodobnosť hodenia menej ako 4 body?

Problém 19 ( OGE - 2015, Yashchenko I.V.)

Olya, Denis, Vitya, Arthur a Rita hádžu, kto by mal začať hru. Nájdite pravdepodobnosť, že Rita začne hru.

Riešenie

Hru môže začať celkovo 5 ľudí.

Odpoveď: 0,2.

Problém 19 ( OGE - 2015, Yashchenko I.V.)

Mišo mal vo vrecku štyri cukríky – „Griláž“, „Maska“, „Veverička“ a „Červená čiapočka“, ako aj kľúče od bytu. Mišovi pri vyberaní kľúčov omylom vypadol jeden cukrík. Nájdite pravdepodobnosť, že sa cukrík Maska stratí.

Riešenie

Celkom sú 4 možnosti.

Pravdepodobnosť, že Misha upustila cukrík Maska, sa rovná

Odpoveď: 0,25.

Problém 19 ( OGE - 2015, Yashchenko I.V.)

Kocky (kocky) sú hodené raz. Aká je pravdepodobnosť, že hodené číslo nie je menšie ako 3?

Riešenie

Celkom rôzne možnosti body padnuté na kocke - 6.

Počet bodov, nie menej ako 3, môže byť: 3,4,5,6 - teda 4 možnosti.

To znamená, že pravdepodobnosť je P = 4/6 = 2/3.

Odpoveď: 2/3.

Problém 19 ( OGE - 2015, Yashchenko I.V.)

Babička sa rozhodla dať svojmu vnukovi Iľjušovi na cestu nejaké náhodne vybrané ovocie. Mala 3 zelené jablká, 3 zelené hrušky a 2 žlté banány. Nájdite pravdepodobnosť, že Ilya dostane od babičky zelené ovocie.

Riešenie

3+3+2 = 8 - celkový počet plodov. Z toho je 6 zelených (3 jablká a 3 hrušky).

Potom sa pravdepodobnosť, že Ilja dostane od babičky zelený plod, rovná

P = 6/8 = 3/4 = 0,75.

Odpoveď: 0,75.

Problém 19 ( OGE - 2015, Yashchenko I.V.)

Kocky sa hádžu dvakrát. Nájdite pravdepodobnosť, že v oboch prípadoch padne číslo väčšie ako 3.

Riešenie

6*6 = 36 - celkový počet možných čísel pri hode dvoma kockami.

Možnosti, ktoré nám vyhovujú, sú:

Celkovo existuje 9 takýchto možností.

To znamená, že pravdepodobnosť, že číslo väčšie ako 3 padne v oboch prípadoch, sa rovná

P = 9/36 = 1/4 = 0,25.

Odpoveď: 0,25.

Problém 19 ( OGE - 2015, Yashchenko I.V.)

Kocky (kocky) sa hádžu 2-krát. Nájdite pravdepodobnosť, že raz padne číslo väčšie ako 3 a inokedy číslo menšie ako 3.

Riešenie

Celkový počet možností: 6*6 = 36.

Vyhovujú nám tieto výsledky:

Úlohy pre pravdepodobnosť kociek nie menej populárne ako problémy s hádzaním mincí. Podmienka takéhoto problému zvyčajne znie takto: aká je pravdepodobnosť, že pri hode jednou alebo viacerými kockami (2 alebo 3) bude súčet bodov rovný 10, alebo počet bodov bude 4, resp. súčin počtu bodov, alebo súčin počtu bodov delený 2 atď.

Aplikácia klasického pravdepodobnostného vzorca je hlavnou metódou riešenia problémov tohto typu.

Jedna kocka, pravdepodobnosť.

S jednou kockou je situácia celkom jednoduchá. je určená vzorcom: P=m/n, kde m je počet výsledkov priaznivých pre udalosť a n je počet všetkých elementárnych rovnako možných výsledkov pokusu s hodom kosti alebo kocky.

Problém 1. Kocky sú hodené raz. Aká je pravdepodobnosť získania párneho počtu bodov?

Keďže kocka je kocka (alebo sa nazýva aj bežná kocka, kocka dopadne na všetky strany s rovnakou pravdepodobnosťou, keďže je vyvážená), kocka má 6 strán (počet bodov od 1 do 6, ktoré sú zvyčajne označené bodkami), to znamená, že problém má celkový počet výsledkov: n=6. Udalosť je zvýhodnená iba výsledkami, v ktorých sa objaví strana s párnymi bodmi 2, 4 a 6, kocka má tieto strany: m=3. Teraz môžeme určiť požadovanú pravdepodobnosť kocky: P=3/6=1/2=0,5.

Úloha 2. Kocky sú hodené raz. Aká je pravdepodobnosť, že získate aspoň 5 bodov?

Tento problém je vyriešený analogicky s príkladom uvedeným vyššie. Pri hode kockou je celkový počet rovnako možných výsledkov: n=6 a iba 2 výsledky spĺňajú podmienku úlohy (aspoň 5 zhodených bodov, teda 5 alebo 6 hodených bodov), čo znamená m =2. Ďalej nájdeme požadovanú pravdepodobnosť: P=2/6=1/3=0,333.

Dve kocky, pravdepodobnosť.

Pri riešení problémov s hádzaním 2 kockami je veľmi vhodné použiť špeciálnu bodovaciu tabuľku. Na ňom je počet bodov, ktoré padli na prvej kocke, zobrazený horizontálne a počet bodov, ktoré padli na druhej kocke, je zobrazený vertikálne. Obrobok vyzerá takto:

Vynára sa však otázka, čo bude v prázdnych bunkách tabuľky? Závisí to od problému, ktorý je potrebné vyriešiť. Ak sa problém týka súčtu bodov, tak sa tam zapíše súčet, a ak ide o rozdiel, zapíše sa rozdiel atď.

Úloha 3. Súčasne sú hodené 2 kockami. Aká je pravdepodobnosť získania menej ako 5 bodov?

Najprv musíte zistiť, aký bude celkový počet výsledkov experimentu. Všetko bolo zrejmé pri hode jednou kockou, 6 strán kocky - 6 výsledkov experimentu. Ale keď už existujú dve kocky, možné výsledky môžu byť reprezentované ako usporiadané dvojice čísel vo forme (x, y), kde x ukazuje, koľko bodov bolo hodených na prvej kocke (od 1 do 6) a y - koľko bodov bolo hodených na druhej kocke (od 1 do 6). Celkovo bude takýchto číselných párov: n=6*6=36 (v tabuľke výsledkov zodpovedajú presne 36 bunkám).

Teraz môžete vyplniť tabuľku, na tento účel sa do každej bunky zadá počet bodov, ktoré padli na prvej a druhej kocke. Vyplnená tabuľka vyzerá takto:

Pomocou tabuľky určíme počet výsledkov, ktoré uprednostňujú podujatie „celkovo sa objaví menej ako 5 bodov“. Spočítajme počet buniek, v ktorých bude súčtová hodnota menšia ako číslo 5 (sú to 2, 3 a 4). Pre pohodlie premaľujeme takéto bunky, bude ich m=6:

Vzhľadom na údaje v tabuľke, pravdepodobnosť kociek sa rovná: P=6/36=1/6.

Úloha 4. Boli hodené dve kocky. Určte pravdepodobnosť, že súčin počtu bodov bude deliteľný 3.

Aby sme problém vyriešili, urobme si tabuľku súčinov bodov, ktoré padli na prvej a druhej kocke. V ňom okamžite zvýrazníme čísla, ktoré sú násobkami 3:

Zapíšeme si celkový počet výsledkov experimentu n=36 (zdôvodnenie je rovnaké ako v predchádzajúcej úlohe) a počet priaznivých výsledkov (počet buniek, ktoré sú v tabuľke vytieňované) m=20. Pravdepodobnosť udalosti je: P=20/36=5/9.

Úloha 5. Kocky sú hodené dvakrát. Aká je pravdepodobnosť, že rozdiel v počte bodov na prvej a druhej kocke bude od 2 do 5?

Na určenie pravdepodobnosť kociek Napíšeme si tabuľku bodových rozdielov a vyberieme v nej tie bunky, ktorých rozdielová hodnota bude medzi 2 a 5:

Počet priaznivých výsledkov (počet vytieňovaných buniek v tabuľke) je m=10, celkový počet rovnako možných elementárnych výsledkov bude n=36. Určuje pravdepodobnosť udalosti: P=10/36=5/18.

V prípade jednoduchej udalosti a pri hode 2 kockami musíte zostaviť tabuľku, potom v nej vybrať potrebné bunky a vydeliť ich počet 36, bude sa to považovať za pravdepodobnosť.

Ciele lekcie:

Študenti by mali vedieť:

• určenie pravdepodobnosti náhodnej udalosti;
• vedieť riešiť úlohy na zistenie pravdepodobnosti náhodnej udalosti;
• môcť uplatniť teoretické poznatky na praxi.

Ciele lekcie:

Vzdelávacie: vytvárať podmienky, aby si žiaci osvojili systém vedomostí, zručností a schopností s pojmami pravdepodobnosť udalosti.

Výchovné: formovať u študentov vedecký svetonázor

Rozvojové: rozvíjať u žiakov kognitívny záujem, tvorivosť, vôľu, pamäť, reč, pozornosť, predstavivosť, vnímanie.

Metódy organizácie vzdelávacích a kognitívnych aktivít:

• vizuálne,
• praktické,
• duševnou činnosťou: induktívna,
• podľa asimilácie materiálu: čiastočne vyhľadávacie, rozmnožovacie,
• podľa stupňa nezávislosti: samostatná práca,
• stimulujúce: povzbudenie,
• typy kontroly: kontrola nezávisle vyriešených problémov.

Plán lekcie

1. Ústne cvičenia
2. Učenie sa nového materiálu
3. Riešenie úloh.
4. Samostatná práca.
5. Zhrnutie lekcie.
6. Komentovanie domácich úloh.

Vybavenie: multimediálny projektor (prezentácia), karty ( samostatná práca)

Organizácia triedy počas celej hodiny, pripravenosť žiakov na hodinu, poriadok a disciplína.

Stanovenie učebných cieľov pre žiakov, a to ako na celú vyučovaciu hodinu, tak aj na jej jednotlivé etapy.

Určite význam študovaného materiálu v tejto téme aj v celom kurze.

II. Opakovanie

1. Čo je pravdepodobnosť?

Pravdepodobnosť je možnosť, že sa niečo stane alebo bude uskutočniteľné.

2. Akú definíciu uvádza zakladateľ modernej teórie pravdepodobnosti A.N. Kolmogorov?

Matematická pravdepodobnosť je číselná charakteristika miery možnosti výskytu určitej udalosti za určitých určitých podmienok, ktorá sa môže opakovať neobmedzene veľakrát.

3. Aká je klasická definícia pravdepodobnosti, ktorú uvádzajú autori školských učebníc?

Pravdepodobnosť P(A) udalosti A v štúdii s rovnako možnými elementárnymi výsledkami je pomer počtu výsledkov m priaznivých pre udalosť A k počtu n všetkých výsledkov štúdie.

Záver: v matematike sa pravdepodobnosť meria číslom.

Dnes budeme pokračovať v zvažovaní matematického modelu „kocky“.

Predmetom výskumu v teórii pravdepodobnosti sú udalosti, ktoré sa objavujú za určitých podmienok a ktoré je možné reprodukovať neobmedzene veľakrát. Každý výskyt týchto stavov sa nazýva test.

Skúškou je hádzanie kockou.

Udalosť – hod šestkou alebo hádzanie párneho počtu bodov.

Keď hodíte kockou viackrát, každá strana má rovnakú pravdepodobnosť, že sa objaví (kocka je spravodlivá).

1. Kocky (kocky) boli hodené raz. Aká je pravdepodobnosť, že padne 4?

Riešenie. Náhodný experiment je hádzanie kockou. Udalosť – číslo na vypadnutej strane. Tvárí je len šesť. Vymenujme všetky udalosti: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Takže P= 6. Udalosť A = (4 hodené body) je zvýhodnená jednou udalosťou: 4. Preto T= 1. Udalosti sú rovnako možné, pretože sa predpokladá, že kocka je spravodlivá. Preto P(A) = t/n= 1/6 = 0,17.

2. Kocky (kocky) boli hodené raz. Aká je pravdepodobnosť, že nepadne viac ako 4 body?

P= 6. Udalosť A = (hodené nie viac ako 4 body) je zvýhodnená 4 udalosťami: 1, 2, 3, 4. Preto T= 4. Preto P(A) = t/n= 4/6 = 0,67.

3. Kocky (kocky) boli hodené raz. Aká je pravdepodobnosť hodenia menej ako 4 body?

Riešenie. Náhodný experiment je hádzanie kockou. Udalosť – číslo na vypadnutej strane. Prostriedky P= 6. Udalosť A = (hodené menej ako 4 body) je zvýhodnená 3 udalosťami: 1, 2, 3. Preto T= 3. P(A) = t/n= 3/6 = 0,5.

4. Kocky (kocky) boli hodené raz. Aká je pravdepodobnosť, že padne nepárny počet bodov?

Riešenie. Náhodný experiment je hádzanie kockou. Udalosť – číslo na vypadnutej strane. Prostriedky P= 6. Udalosť A = (hádže sa nepárny počet bodov) je zvýhodnená 3 udalosťami: 1,3,5. Preto T= 3. P(A) = t/n= 3/6 = 0,5.

Dnes sa budeme zaoberať problémami, keď sa v náhodnom experimente použijú dve kocky alebo sa vykonajú dva alebo tri hody.

1. V náhodnom pokuse sa hádžu dve kocky. Nájdite pravdepodobnosť, že súčet vyžrebovaných bodov je 6. Odpoveď zaokrúhlite na stotiny .

Riešenie. Výsledkom tohto experimentu je usporiadaná dvojica čísel. Prvé číslo sa objaví na prvej kocke, druhé na druhej. Je vhodné prezentovať súbor výsledkov v tabuľke.

Riadky zodpovedajú počtu bodov na prvej kocke, stĺpce - na druhej kocke. Totálne elementárne udalosti P= 36.

Napíšeme súčet hodených bodov do každej bunky a vyfarbíme bunky, kde je súčet 6.

Takýchto buniek je 5. To znamená, že udalosť A = (súčet vyžrebovaných bodov je 6) je zvýhodnená 5 výsledkami. teda T= 5. Preto P(A) = 5/36 = 0,14.

2. V náhodnom pokuse sa hádžu dve kocky. Nájdite pravdepodobnosť, že súčet bude 3 body. Výsledok zaokrúhlite na stotiny .

P= 36.

Udalosť A = (súčet sa rovná 3) je zvýhodnená 2 výsledkami. teda T= 2.

Preto P(A) = 2/36 = 0,06.

3. V náhodnom pokuse sa hádžu dve kocky. Nájdite pravdepodobnosť, že súčet bude viac ako 10 bodov. Výsledok zaokrúhlite na stotiny .

Riešenie. Výsledkom tohto experimentu je usporiadaná dvojica čísel. Celkový počet udalostí P= 36.

Udalosť A = (spolu bude hodených viac ako 10 bodov) je uprednostnená 3 výsledkami.

teda T

4. Lyuba hodí kockou dvakrát. Celkovo získala 9 bodov. Nájdite pravdepodobnosť, že jeden z hodov bude mať 5 bodov .

Riešenie Výsledkom tohto experimentu je usporiadaná dvojica čísel. Prvé číslo sa objaví pri prvom hode, druhé pri druhom. Je vhodné prezentovať súbor výsledkov v tabuľke.

Riadky zodpovedajú výsledku prvého hodu, stĺpce - výsledok druhého hodu.

Celkový počet udalostí, ktorých celkové skóre je 9 P= 4. Udalosť A = (jeden z hodov viedol k 5 bodom) je zvýhodnená 2 výsledkami. teda T= 2.

Preto P(A) = 2/4 = 0,5.

5. Sveťa hodí kockou dvakrát. Celkovo získala 6 bodov. Nájdite pravdepodobnosť, že jeden z hodov bude mať za následok 1 bod.

Existuje 5 rovnako možných výsledkov.

Pravdepodobnosť udalosti je p = 2/5 = 0,4.

6. Olya hodí kockou dvakrát. Celkovo získala 5 bodov. Nájdite pravdepodobnosť, že pri prvom hode získate 3 body.

Existujú 4 rovnako možné výsledky.

Priaznivé výsledky - 1.

Pravdepodobnosť udalosti R= 1/4 = 0,25.

7. Natasha a Vitya hrajú kocky. Raz hodia kockou.

Vyhráva ten, kto hodí viac bodov. Ak sú body rovnaké, nasleduje remíza. Celkovo je 8 bodov. Nájdite pravdepodobnosť, že vyhrala Nataša.

Existuje 5 rovnako možných výsledkov.

Priaznivé výsledky - 2.

Pravdepodobnosť udalosti R= 2/5 = 0,4.

8. Tanya a Natasha hrajú kocky. Raz hodia kockou. Vyhráva ten, kto hodí viac bodov. Ak sú body rovnaké, nasleduje remíza. Celkovo bolo hodených 6 bodov. Nájdite pravdepodobnosť, že Tanya prehrala.

Existuje 5 rovnako možných výsledkov.

Priaznivé výsledky - 2.

Pravdepodobnosť udalosti R= 2/5 = 0,4.

9. Kolja a Lena hrajú kocky. Raz hodia kockou. Vyhráva ten, kto hodí viac bodov. Ak sú body rovnaké, nasleduje remíza. Ako prvý hádzal Kolja, ktorý získal 3 body. Nájdite pravdepodobnosť, že Lena nevyhrá.

Kolja získal 3 body.

Lena má 6 rovnako možných výsledkov.

Pri prehre sú 3 priaznivé výsledky (pri 1, 2 a 3).

Pravdepodobnosť udalosti R= 3/6 = 0,5.

10. Máša hodí kockou trikrát. Aká je pravdepodobnosť, že dostanete párne čísla všetky trikrát?

Máša má 6 6 6 = 216 rovnako možných výsledkov.

Existuje 3 · 3 · 3 = 27 priaznivých výsledkov pre prehru.

Pravdepodobnosť udalosti R= 27/216 = 1/8 = 0,125.

11. V náhodnom pokuse sa hádže tromi kockami. Nájdite pravdepodobnosť, že súčet bude 16 bodov. Výsledok zaokrúhlite na stotiny.

Riešenie.

Rovnako možné výsledky – 6 6 6 = 216.

Priaznivé výsledky - 6.

Pravdepodobnosť udalosti R= 6/216 = 1/36 = 0,277... = 0,28. teda T= 3. Preto P (A) = 3/36 = 0,08.

Možnosť 1.

1. Kocky (kocky) sú hodené raz. Aká je pravdepodobnosť, že ste hodili aspoň 4 body? (Odpoveď: 0,5)
2. V náhodnom experimente sa hádžu dve kocky. Nájdite pravdepodobnosť, že súčet bude 5 bodov. Výsledok zaokrúhlite na stotiny. (Odpoveď: 0,11)
3. Anya hodí kockou dvakrát. Celkovo získala 3 body. Nájdite pravdepodobnosť, že pri prvom hode získate 1 bod. (Odpoveď: 0,5)
4. Káťa a Ira hrajú kocky. Raz hodia kockou. Vyhráva ten, kto hodí viac bodov. Ak sú body rovnaké, nasleduje remíza. Spolu je to 9 bodov. Nájdite pravdepodobnosť, že Ira prehral. (Odpoveď: 0,5)
5. V náhodnom pokuse sa hádžu tri kocky. Nájdite pravdepodobnosť, že súčet bude 15 bodov. Výsledok zaokrúhlite na stotiny. (Odpoveď:0,05)

Možnosť 2.

1. Kocky (kocky) sú hodené raz. Aká je pravdepodobnosť, že nepadne viac ako 3 body? (Odpoveď: 0,5)
2. V náhodnom experimente sa hádžu dve kocky. Nájdite pravdepodobnosť, že súčet bude 10 bodov. Výsledok zaokrúhlite na stotiny. (Odpoveď:0,08)
3. Zhenya hodí kockou dvakrát. Celkovo získala 5 bodov. Nájdite pravdepodobnosť, že pri prvom hode získate 2 body. (Odpoveď: 0,25)
4. Máša a Dáša hrajú kocky. Raz hodia kockou. Vyhráva ten, kto hodí viac bodov. Ak sú body rovnaké, nasleduje remíza. Celkovo bolo 11 bodov. Nájdite pravdepodobnosť, že Masha vyhrala. (Odpoveď: 0,5)
5. V náhodnom pokuse sa hádžu tri kocky. Nájdite pravdepodobnosť, že súčet bude 17 bodov. Výsledok zaokrúhlite

1. V náhodnom pokuse sa hádžu tri kocky. Celkovo je 12 bodov. Nájdite pravdepodobnosť, že pri prvom hode získate 5 bodov. Výsledok zaokrúhlite na stotiny.
2. Káťa hodí kockou trikrát. Aká je pravdepodobnosť, že sa tri razy objavia rovnaké čísla?

Čo potrebujete vedieť, aby ste našli pravdepodobnosť náhodnej udalosti?

Na výpočet klasickej pravdepodobnosti potrebujete poznať všetky možné výsledky udalosti a priaznivé výsledky.

Klasická definícia pravdepodobnosti je použiteľná len na udalosti s rovnako pravdepodobnými výsledkami, čo obmedzuje jej rozsah.

Prečo sa v škole učíme teóriu pravdepodobnosti?

Mnohé javy vo svete okolo nás možno opísať len pomocou teórie pravdepodobnosti.

Literatúra

1. Algebra a začiatky matematickej analýzy 10.-11. ročník: učebnica. pre všeobecné vzdelávacie inštitúcie: základná úroveň / [Sh.A. Alimov, Yu.M. Kolyagin, M.V. Tkacheva atď.]. – 16. vyd., prepracované. – M.: Vzdelávanie, 2010. – 464 s.
2. Semenov A.L. Jednotná štátna skúška: 3000 úloh s odpoveďami z matematiky. Všetky úlohy skupiny B / – 3. vyd., prepracované. a dodatočné – M.: Vydavateľstvo „Skúška“, 2012. – 543 s.
3. Vysotsky I.R., Yashchenko I.V. Jednotná štátna skúška 2012. Matematika. Problém B10. Teória pravdepodobnosti. Pracovný zošit/Ed. A. L. Semenov a I. V. Yashchenko. – M.: MCSHMO, 2012. – 48 s.