基本的な三角関数の公式とアイデンティティ sin、cos、tg、ctg。 基本的な三角関数の公式とアイデンティティ sin、cos、tg、ctg グループ VII

三角法の基本公式。 レッスン1

三角法で使用される式の数は非常に多いです (「式」とは、定義 (たとえば、tgx=sinx/cosx) ではなく、sin2x=2sinxcosx のような同一の等式を意味します)。 この豊富な数式をより簡単にナビゲートし、無意味な詰め込みで学生を飽きさせないためには、それらの中で最も重要なものを選び出す必要があります. それらはほとんどありません-3つだけです。 残りのすべては、これら 3 つの式から導かれます。 これは、基本的な三角恒等式と、和と差の正弦と余弦の式です。

sin2x+cos2x=1 (1)

Sin(x±y)=sinxcosy±sinycosx (2)

Cos(x±y)=cosxcosy±sinxsiny (3)

絶対にサインとコサインのすべてのプロパティは、これらの 3 つの公式に従います (周期性、周期値、サイン値 30 0 = π / 6 = 1/2 など)。この観点から、学校のカリキュラムでは形式的に多くの余分な、冗長な情報。 したがって、式「1-3」は三角法の王国の支配者です。 式と結果に移りましょう:

1) 複数の角度の正弦と余弦

(2) と (3) に値 x=y を代入すると、次のようになります。

Sin2x=2sinxcosx; sin0=sinxcosx-sinxcosx=0

Cos2x=cos 2x-sin 2x; cos0=cos2x+sin2x=1

sin0=0; と推測しました。 サインとコサインの幾何学的解釈を参照せずに cos0=1 とします。 同様に、式「2-3」を 2 回適用すると、sin3x の式を導き出すことができます。 cos3x; sin4x; cos4xなど

Sin3x = sin(2x+x) = sin2xcosx+sinxcos2x = 2sinxcos 2 x+sinx(cos 2 x-sin 2 x) = 2sinx(1-sin 2 x)+sinx(1-2sin 2 x) = 3sinx-4sin 3バツ

生徒のタスク: cos3x の同様の式を導出します。 sin4x; cos4x

2) 還元式

複数の角度の余弦と正弦を使って正弦と余弦のべき乗を表すことにより、逆問題を解きます。

例: cos2x=cos 2 x-sin 2 x=2cos 2 x-1 したがって、cos 2 x=1/2+cos2x/2

Cos2x=cos 2 x-sin 2 x=1-2sin 2 x したがって、sin 2 x=1/2-cos2x/2

これらの式は非常に頻繁に使用されます。 それらをよりよく理解するために、左右の部分のグラフを描くことをお勧めします。 コサインとサインの二乗のグラフは、直線「y \u003d 1/2」のグラフを「ラップ」します（これは、多くの期間のcos 2 xとsin 2 xの平均値です）。 この場合、発振周波数は元のものに比べて 2 倍になり（cos 2 x sin 2 x 関数の周期は 2π /2=π）、発振振幅は半分になります（cos2x の前の係数 1/2）。

タスク: sin 3 x を表現します。 cos 3x; sin4x; cos 4 x は、複数の角度のコサインとサインで表されます。

3) キャスト式

それらは三角関数の周期性を使用して、三角関数円の任意の四分の一の値を最初の四分の一の値から計算できるようにします。 リダクション式は、「主な」式 (2-3) の非常に特殊なケースです. 例: cos(x+π/2)=cosxcos π/2-sinxsin π/2=cosx*0-sinx*1=sinx

したがって、Cos(x+ π/2) =sinx

タスク: sin(x+ π/2) の縮約式を導出します。 cos(x+ 3 π/2)

4) 余弦と正弦の和または差を積に、またはその逆に変換する式。

2 つの角度の和と差の正弦の公式を書きましょう。

Sin(x+y) = sinxcosy+sinycosx(1)

Sin(x-y) = sinxcosy-sinycosx(2)

これらの等式の左部分と右部分を追加します。

Sin(x+y) + sin(x-y) = sinxcosy +sinycosx +sinxcosy –sinycosx

同様の条件はキャンセルされるため、次のようになります。

sin(x+y) + sin(x-y) = 2sinxcozy(*)

a) (*) を右から左に読むと、次のようになります。

Sinxcosy= 1/2(sin(x+y) + sin(x-y)) (4)

2 つの角度のサインの積は、これらの角度の合計と差のサインの合計の半分です。

b) (*) を左から右に読む場合、次のように表すと便利です。

x-y = s。 ここから見つけます バツと で終えた Rと と、これら 2 つの等式の左辺と右辺を加算および減算します。

x \u003d (p + c) / 2、y \u003d (p-c) / 2、(x + y) および (x-y) の代わりに (*) を代入して、派生した新しい変数 Rと と、積による正弦の合計を表します。

sinp + sinc = 2sin(p+c)/2cos(p-c)/2 (5)

したがって、角度の和と差の正弦の基本式の直接的な結果は、2 つの新しい関係 (4) と (5) です。

c) ここで、等式 (1) と (2) の左辺と右辺を加算する代わりに、それらを互いに減算します。

sin(x+y) - sin(x-y) = 2sinycosx(6)

この恒等式を右から左に読むと、(4) のような式になり、面白くないことがわかります。 正弦と余弦の積を正弦の和に分解する方法は既にわかっています ((4) を参照)。 (6) を左から右に読むと、正弦の差を積に折りたたむ式が得られます。

sinp - sinc = 2sin((p-c)/2) * cos((p+c)/2) (7)

したがって、1 つの基本単位 sin (x±y) = sinxcosy±sinycosx から、3 つの新しい単位 (4)、(5)、(7) を取得しました。

別の基本恒等式 cos (x±y) = cosxcosy±sinxsiny で行われた同様の作業は、既に 4 つの新しいものにつながっています。

Cosxcosy = ½(cos(x+y) + cos(x-y)); cosp + cosc = 2cos((p+c)/2)cos((p-c)/2);

Sinxsiny = ½ (cos(x-y) - cos(x+y)); cosp-cosc = -2sin((p-c)/2)sin((p+c)/2)

タスク: サインとコサインの合計を積に変換します。

sinx+cosy=? 解決策: 式を導き出そうとせずに、三角関数の式の表ですぐに答えを覗いてみると、完成した結果が見つからない場合があります。 生徒は、sinx + cos = ... の別の式を暗記して表に入力する必要がないことを理解する必要があります。これは、次のような縮約式を使用して、任意の余弦を正弦として表すことができ、その逆も可能であるためです。 （π / 2 - x）、居心地の良い\u003d罪（π / 2 - y）。 したがって、sinx + cos \u003d sinx + sin (π / 2 - y) \u003d 2sin ((x + π / 2 - y) / 2) cos ((x - π / 2 + y) / 2.

三角法の基本公式は、基本的な三角関数間の関係を確立する公式です。 サイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントは、多くの関係によって相互接続されています。 以下に主な三角関数の公式を示し、便宜上、それらを目的に応じてグループ化します。 これらの式を使用すると、標準の三角法コースからほとんどすべての問題を解決できます。 式自体のみが以下に示され、それらの導出ではなく、個別の記事が専念されることにすぐに注意してください。

三角法の基本的な恒等式

三角恒等式は、ある角度のサイン、コサイン、タンジェント、およびコタンジェント間の関係を示し、ある関数を別の関数で表現できるようにします。

三角恒等式

sin 2 a + cos 2 a = 1 t g α = sin α cos α , c t g α = cos α sin α t g α c t g α = 1 t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α , c t g 2 α + 1 = 1 sin 2α

これらの恒等式は、単位円、サイン (sin)、コサイン (cos)、タンジェント (tg)、コタンジェント (ctg) の定義から直接導かれます。

キャスト式

鋳造式を使用すると、任意の大きな角度から、0 から 90 度の範囲の角度での作業に移行できます。

キャスト式

sin α + 2 π z = sin α , cos α + 2 π z = cos α t g α + 2 π z = t g α , c t g α + 2 π z = c t g α sin - α + 2 π z = - sin α , cos - α + 2 π z = cos α t g - α + 2 π z = - t g α , c t g - α + 2 π z = - c t g α sin π 2 + α + 2 π z = cos α , cos π 2 + α + 2 π z = - sin α t g π 2 + α + 2 π z = - c t g α , c t g π 2 + α + 2 π z = - t g α sin π 2 - α + 2 π z = cos α , cos π 2 - α + 2 π z = sin α t g π 2 - α + 2 π z = c t g α , c t g π 2 - α + 2 π z = t g α sin π + α + 2 π z = - sin α , cos π + α + 2 π z = - cos α t g π + α + 2 π z = t g α , c t g π + α + 2 π z = c t g α sin π - α + 2 π z = sin α , cos π - α + 2 π z = - cos α t g π - α + 2 π z = - t g α , c t g π - α + 2 π z = - c t g α sin 3 π 2 + α + 2 π z = - cos α , cos 3 π 2 + α + 2 π z = sin α t g 3 π 2 + α + 2 π z = - c t g α , c t g 3 π 2 + α + 2 π z = - t g α sin 3 π 2 - α + 2 π z = - cos α , cos 3 π 2 - α + 2 π z = - sin α t g 3 π 2 - α + 2 π z = c t g α , c t g 3 π 2 - α + 2 π z = t g α

リダクション式は、三角関数の周期性の結果です。

三角関数の加算式

三角法の加法式を使用すると、角度の和または差の三角関数を、これらの角度の三角関数で表すことができます。

三角関数の加算式

sin α ± β = sin α cos β ± cos α sin β cos α + β = cos α cos β - sin α sin β cos α - β = cos α cos β + sin α sin β t g α ± β = t g α ± t g β 1 ± t g α t g β c t g α ± β = - 1 ± c t g α c t g β c t g α ± c t g β

加算式に基づいて、複数の角度の三角関数式が導出されます。

複数の角度式: ダブル、トリプルなど

sin 2 α \u003d 2 sin α cos α cos 2 α \u003d cos 2 α - sin 2 α、cos 2 α \u003d 1 - 2 sin 2 α、cos 2 α \u003d 2 cos 2 α - 1 t g 2 α \ u003d 2 t g α 1 - t g 2 α with t g 2 α \u003d with t g 2 α - 1 2 with t g α sin 3 α \u003d 3 sin α cos 2 α - sin 3 α, sin 3 α \u003d 3 sin α - 4 sin 3 α cos 3 α = cos 3 α - 3 sin 2 α cos α , cos 3 α = - 3 cos α + 4 cos 3 α t g 3 α = 3 t g α - t g 3 α 1 - 3 t g 2 α c t g 3 α = c t g 3 α - 3 c t g α 3 c t g 2 α - 1

半角式

三角法の半角公式は、倍角公式の結果であり、半角の基本関数と全角の余弦との関係を表します。

半角式

sin 2 α 2 = 1 - cos α 2 cos 2 α 2 = 1 + cos α 2 t g 2 α 2 = 1 - cos α 1 + cos α c t g 2 α 2 = 1 + cos α 1 - cos α

還元式

sin 2 α = 1 - cos 2 α 2 cos 2 α = 1 + cos 2 α 2 sin 3 α = 3 sin α - sin 3 α 4 cos 3 α = 3 cos α + cos 3 α 4 sin 4 α = 3 - 4 cos 2 α + cos 4 α 8 cos 4 α = 3 + 4 cos 2 α + cos 4 α 8

多くの場合、計算では、面倒な力で操作するのは不便です。 次数削減式を使用すると、三角関数の次数を任意の大きな次数から最初の次数に減らすことができます。 彼らの一般的な見解は次のとおりです。

還元公式の一般形

偶数 n

sin n α = C n 2 n 2 n + 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n 2 - 1 (- 1) n 2 - k C k n cos ((n - 2 k) α) cos n α = C n 2 n 2 n + 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n 2 - 1 C k n cos ((n - 2 k) α)

奇数 n の場合

sin n α = 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n - 1 2 (- 1) n - 1 2 - k C k n sin ((n - 2 k) α) cos n α = 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n - 1 2 C k n cos ((n - 2 k) α)

三角関数の和と差

三角関数の差と和は積で表すことができます。 正弦と余弦の差の因数分解は、三角方程式を解いて式を簡略化するときに使用すると非常に便利です。

三角関数の和と差

sin α + sin β = 2 sin α + β 2 cos α - β 2 sin α - sin β = 2 sin α - β 2 cos α + β 2 cos α + cos β = 2 cos α + β 2 cos α - β 2 cos α - cos β \u003d - 2 sin α + β 2 sin α - β 2、cos α - cos β \u003d 2 sin α + β 2 sin β - α 2

三角関数の積

関数の和と差の式でそれらの積を求めることができる場合、三角関数の積の式は積から和への逆の遷移を実行します。 サイン、コサイン、およびサインとコサインの積の式が考慮されます。

三角関数の積の式

sin α sin β = 1 2 (cos (α - β) - cos (α + β)) cos α cos β = 1 2 (cos (α - β) + cos (α + β)) sin α cos β = 1 2 (sin (α - β) + sin (α + β))

普遍的な三角法の代入

すべての基本的な三角関数 (サイン、コサイン、タンジェント、コタンジェント) は、半角のタンジェントで表すことができます。

普遍的な三角法の代入

sin α = 2 t g α 2 1 + t g α 2 α 2 cos α = 1 - t g 2 α 2 1 + t g 2 α 2 t g α = 2 t g α 2 1 - t g 2 α 2 c t g α = 1 - t g 2 α 2 2tgα2

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