二面角とは何ですか？ 平面に垂直な二面角
レッスンのテキスト説明:
面積測定では、主なオブジェクトは線、セグメント、光線、および点です。 1 点から放射される光線は、その幾何学的形状の 1 つである角度を形成します。
直線角度は度とラジアンで測定されることがわかっています。
ステレオメトリでは、平面がオブジェクトに追加されます。 直線 a と、共通の境界 a を持つ 2 つの半平面によって形成される図形で、幾何学的に同じ平面に属さない図形は、二面角と呼ばれます。 半平面は二面角の面です。 直線 a は二面角の端です。
二面角は、直線角と同様に、名前を付けたり、測定したり、構築したりできます。 これが、このレッスンで見つけようとしていることです。
ABCD 四面体モデルの二面角を見つけます。
エッジABを持つ二面角はCABDと呼ばれ、C点とD点は角度の異なる面に属し、エッジABは真ん中で呼び出されます
私たちの身の回りには、二面角の形をした要素を持つ物体がたくさんあります。
多くの都市では、和解のための特別なベンチが公園に設置されています。 ベンチは、中心に向かって収束する2つの傾斜面の形で作られています。
家を建てるとき、いわゆる 切妻屋根. この家の屋根は二面角90度の形で作られています。
二面角も度またはラジアンで測定されますが、その測定方法。
家の屋根が垂木の上にあることに注目するのは興味深いことです。 また、垂木の木枠は、所定の角度で 2 つの屋根の斜面を形成します。
イメージを図面に転送しましょう。 図では、二面角を見つけるために、点 B がその端にマークされており、この点から 2 つの梁 BA と BC が角度の端に垂直に描かれています。 これらの光線によって形成される角度 ABC は、二面角の直線角と呼ばれます。
二面角の度数は、その直線角の度数に等しくなります。
角度 AOB を測定してみましょう。
与えられた二面角の度数は 60 度です。
二面角の直線角は無数に描くことができますが、それらがすべて等しいことを知っておくことが重要です。
2 つの直線角 AOB と A1O1B1 を考えます。 光線 OA と O1A1 は同じ面にあり、直線 OO1 に対して垂直であるため、同じ方向を向いています。 光線 OB と O1B1 も共同監督です。 したがって、角度 AOB は、同方向の辺を持つ角度として、角度 A1O1B1 に等しくなります。
したがって、二面角は直線角によって特徴付けられ、直線角は鋭角、鈍角、直角です。 二面角のモデルを考えてみましょう。
鈍角とは、直線角が 90 度から 180 度の間の角度です。
直線の角度が 90 度の場合は直角。
直線角度が 0 ～ 90 度の場合、鋭角。
直線角の重要な性質の 1 つを証明しましょう。
直線角の平面は、二面角の端に垂直です。
角 AOB を与えられた二面角の直線角とします。 構造上、光線 AO と OB は直線 a に垂直です。
平面 AOB は、次の定理に従って、交差する 2 本の線 AO と OB を通過します。平面は 2 本の交差する線を通過し、さらに 1 本だけを通過します。
線ａは、この平面にある２つの交差する線に垂直である。これは、線と平面の直角の符号により、線ａが平面ＡＯＢに垂直であることを意味する。
問題を解決するには、与えられた二面角の直線角を構築できることが重要です。 四面体 ABCD のエッジ AB との二面角の直線角度を作成します。
私たちは二面角について話しています。二面角は、まずエッジ AB、1 つのファセット ABD、2 番目のファセット ABC によって形成されます。
ビルドする方法の 1 つを次に示します。
点 D から平面 ABC に垂線を引き、点 M を垂線の底としてマークします。 四面体では、垂線の底が四面体の底に内接する円の中心と一致することを思い出してください。
点 D からエッジ AB に垂直な勾配を描き、点 N を勾配のベースとしてマークします。
三角形 DMN では、線分 NM は斜め DN の平面 ABC への投影になります。 三垂線の定理によれば、エッジ AB は射影 NM に対して垂直になります。
これは、角度 DNM の辺がエッジ AB に対して垂直であることを意味します。つまり、構築された角度 DNM が必要な直線角度であることを意味します。
二面角を計算する問題を解く例を考えてみましょう。
二等辺三角形 ABC と正三角形 ADB は同一平面上にありません。 セグメント CD は平面 ADB に垂直です。 AC=CB=2cm、AB=4cmのとき、二面角DABCを求めよ。
二面角DABCはその直線角に等しい。 このコーナーを作りましょう。
三角形 ACB は二等辺三角形であるため、辺 AB に垂直な斜め SM を描きましょう。その場合、点 M は辺 AB の中点と一致します。
線 CD は平面 ADB に垂直です。これは、この平面にある線 DM に垂直であることを意味します。 線分 MD は斜め SM を平面 ADB に射影したものです。
線分 AB は、構成上斜線 CM に垂直です。つまり、3 つの垂線の定理により、射影 MD に垂直になります。
したがって、2 つの垂線 CM と DM がエッジ AB に見つかります。 したがって、それらは二面角 DABC の直線角 СMD を形成します。 そして、直角三角形СDMからそれを見つけることは残っています。
セグメント SM は中央値であり、二等辺三角形 ASV の高さであるため、ピタゴラスの定理によれば、SM の脚は 4 cm です。
ピタゴラスの定理によれば、直角三角形 DMB から、脚 DM は 3 の 2 つの根に等しくなります。
直角三角形からの角度のコサインは比率に等しい 隣接する脚 MD から斜辺 CM までであり、3 の 3 乗根 x 2 に等しい。 したがって、角度 CMD は 30 度です。
第 1 章 線と面
V. 二面角、平面との直角、
2 つの交差する権利の角度、多面体の角度
二面角
38. 定義。その平面にある線の片側にある平面の部分は呼ばれます 半平面. 1 本の直線 (AB) から発する 2 つの半平面 (P と Q、図 26) によって形成される図は、 二面角. 直線ABは 角、および半平面 P および Q - パーティーまた 顔二面角。
このような角度は通常、その端に配置された 2 つの文字で表されます (二面角 AB)。 しかし、一方の辺に二面角がない場合、それぞれは 4 つの文字で表され、そのうちの 2 つの中央のものは端にあり、2 つの極端なものは面にあります (たとえば、二面角 SCDR) (図. 27)。
任意の点 D から、辺 AB (図 28) が辺に垂線に沿って各面に描かれている場合、それらによって形成される角度 CDE が呼び出されます。 直線角二面角。
直線角度の値は、エッジ上の頂点の位置に依存しません。 したがって、直線角 CDE と C 1 D 1 E 1 は、それらの辺がそれぞれ平行で同じ方向を向いているため、等しいです。
直線角の平面は、それに垂直な 2 本の線が含まれているため、エッジに垂直です。 したがって、直線角を得るには、特定の二面角の面をエッジに垂直な平面と交差させ、この平面で得られた角度を考慮するだけで十分です。
39. 二面角の等号と不等号。 2 つの二面角は、入れ子になったときに組み合わせることができる場合、等しいと見なされます。 それ以外の場合、二面角の 1 つが小さいと見なされ、それが他の角度の一部を形成します。
面積測定の角度と同様に、二面角は次のようになります。 隣接、垂直等
隣接する 2 つの二面角が互いに等しい場合、それぞれが呼び出されます。 右二面角.
定理。 1) 等しい二面角は、等しい直線角に対応します。
2) 二面角が大きいほど、直線角が大きくなります。
PABQ と P 1 A 1 B 1 Q 1 (図 29) を 2 つの二面角とします。 エッジ A 1 B 1 がエッジ AB と一致し、面 P 1 が面 P と一致するように、角度 A 1 B 1 を角度 AB に埋め込みます。
次に、これらの二面角が等しい場合、面 Q 1 は面 Q と一致します。 角度 A 1 B 1 が角度 AB より小さい場合、面 Q 1 は、たとえば Q 2 のように、二面角の内側に位置します。
これに注目して、共通の辺にある点 B を取り、それを通る平面 R を辺に垂直に描きます。 この平面と二面角の面との交点から、直線角が得られます。 二面角が一致する場合、それらは同じ直線角 CBD を持つことは明らかです。 二面角が一致しない場合、たとえば、面 Q 1 が位置 Q 2 を取る場合、二面角が大きいほど線形角度が大きくなります (つまり、 / CBD > / C2BD)。
40. 逆定理。 1) 等しい直線角は、等しい二面角に対応します。
2) 直線角が大きいほど、二面角が大きくなります .
これらの定理は、矛盾によって容易に証明されます。
41. 結果。 1) 直角二面角は直角に対応し、その逆も成り立ちます。
二面角 PABQ を直角とする (図 30)。 これは隣接角ＱＡＢＰ１に等しいことを意味する。 ただし、この場合、直線角 CDE と CDE 1 も等しくなります。 それらは隣接しているため、それぞれがまっすぐでなければなりません。 逆に、隣接する直線角 CDE と CDE 1 が等しい場合、隣接する二面角も等しくなります。つまり、それぞれが正しい必要があります。
2) すべての直角二面角は等しく、直線角が等しいから .
同様に、次のことも簡単に証明できます。
3) 垂直二面角は等しい.
4) 二面角 対応する平行面と同じ方向 (または反対方向) の面の角度は等しいです。
5) 直線角の単位に対応する二面角を二面角の単位とすると、二面角はその直線角で測定されると言えます。
二面角。 二面角の直線角。 二面角は、同じ平面に属さず、共通の境界 (直線 a) を持つ 2 つの半平面によって形成される図形です。 二面角を形成する半平面はその面と呼ばれ、これらの半平面の共通の境界は二面角のエッジと呼ばれます。 二面角の直線角は、二面角の面が二面角の端に垂直な平面と交差する光線を辺とする角度です。 各二面角には、必要な数の線形角度があります。エッジの各点を介して、このエッジに垂直な平面を描くことができます。 この平面が二面角の面と交差する光線に沿って、直線角を形成します。
二面角のすべての直線角は互いに等しい。 ピラミッド KABC の底辺の平面とその側面の平面によって形成される二面角が等しい場合、頂点 K から引いた垂線の底辺が三角形に内接する円の中心であることを証明しましょう。 ABC。
証拠。 まず、等しい二面角の直線角を構成します。 定義により、直線角の平面は二面角のエッジに垂直でなければなりません。 したがって、二面角のエッジは直線角の辺に対して垂直でなければなりません。 KO が底面に垂直な場合、OP を AC に垂直に、OR を CB に垂直に、OQ を垂直 AB に、点 P、Q、R を点 K と結ぶことができます。したがって、射影を作成します。エッジAC、CB、ABがこれらの投影に垂直になるように、斜めRK、QK、RKの。 したがって、これらのエッジは、傾斜したエッジに対しても垂直になります。 したがって、三角形ROK、QOK、ROKの平面は、二面角の対応するエッジに垂直であり、条件で言及されているそれらの等しい直線角を形成します。 直角三角形 ROK、QOK、ROK は等しい (共通の脚 OK があり、この脚の反対側の角が等しいため)。 したがって、OR = OR = OQ. 中心が O、半径が OP の円を描く場合、三角形 ABC の辺は半径 OP、OR、OQ に垂直であり、したがってこの円に接しています。
平面の垂直性。 平面アルファとベータは、それらの交点で形成される二面角の 1 つの直線角度が 90" である場合、垂直であると呼ばれます。垂直です。
図は直方体を示しています。 その底辺は長方形 ABCD と A1B1C1D1 です。 また、側面のエッジ AA1 BB1、CC1、DD1 はベースに対して垂直です。 したがって、AA1 は AB に対して垂直、つまり側面は長方形になります。 したがって、立方体の特性を実証することができます。立方体では、6 つの面すべてが長方形です。 直方体では、6 つの面すべてが長方形です。 直方体の二面角はすべて直角です。 直方体の二面角はすべて直角です。
定理 直方体の対角線の 2 乗は、その 3 次元の 2 乗の和に等しい。 AC12 \u003d AB2 + AD2 + AA12 エッジ CC1 がベース ABCD に対して垂直であるため、角度 AC1 は正しいことを証明します。 直角三角形 ACC1 から、ピタゴラスの定理に従って、AC12=AC2+CC12 が得られます。 しかし、AC は長方形 ABCD の対角線なので、AC2 = AB2+AD2 です。 また、CC1 = AA1 です。 したがって、 AC12=AB2+AD2+AA12 定理が証明されました。
このレッスンは、トピック「二面角」の自習を目的としています。 このレッスンでは、生徒は最も重要な幾何学的形状の 1 つである二面角について学習します。 また、レッスンでは、検討中の幾何学的図形の直線角度を決定する方法と、図形の底面での二面角とは何かを学習する必要があります。
平面上の角度とその測定方法を繰り返しましょう。
米。 1.飛行機
平面 α を考えてみましょう (図 1)。 点から だいたいビームが2本出る OVと OA.
意味. 同じ点から発する 2 つの光線によって形成される図形は、角度と呼ばれます。
角度は度とラジアンで測定されます。
ラジアンとは何かを思い出しましょう。
米。 2.ラジアン
円弧の長さが半径に等しい中心角がある場合、そのような中心角は 1 ラジアン角と呼ばれます。 、∠ AOB= 1 ラジアン (図 2)。
ラジアンと度の関係。
嬉しい。
わかりました、幸せです。 (). それから、 
意味. 二面角直線によって形成される図形と呼ばれる あおよび共通の境界を持つ 2 つの半平面 あ同じ平面に属していません。
米。 3. 半平面
2 つの半平面 α と β を考えます (図 3)。 彼らの共通の境界は あ. この角度を二面角といいます。
用語
半平面 α と β は、二面角の面です。
真っ直ぐ あ二面角の端です。
共通のエッジで あ二面角 任意の点を選ぶ だいたい（図4）。 点から半平面 α で だいたい垂直を元に戻す OA直線に あ. 同点から だいたい 2 番目の半平面 β では、垂線を作成します。 OV肋骨に あ. 角ができた AOB、二面角の直線角と呼ばれます。
米。 4.二面角測定
与えられた二面角に対してすべての直線角が等しいことを証明しましょう。
二面角があるとします (図 5)。 ポイントを選ぶ だいたいとポイント 約1直線上 あ. ポイントに対応する直線角度を構築しましょう だいたい、つまり、2 つの垂線を引きます OAと OV平面αおよびβで、それぞれエッジまで あ. 角度を取得します AOB二面角の直線角です。
米。 5. 証明の図解
点から 約1 2 つの垂線を引く OA1と OB1肋骨に あそれぞれ平面αとβで、2番目の直線角度を取得します A 1 O 1 B 1.
レイズ O 1 A 1と OA同じ半平面にあり、同じ線に対する 2 つの垂線として互いに平行であるため、同方向です。 あ.
同様に、光線 約1分の1と OV整列、つまり ∠ AOB =∠ A 1 O 1 B 1証明されるべき同方向の側面を持つ角度として。
直線角の平面は、二面角の端に垂直です。
証明: あ ⊥ あああ。
米。 6. 証明の図解
証拠:
OA ⊥ あ構造によって、 OV ⊥ あ構造による（図6）。
私たちはその行を取得します あ 2 つの交差する線に垂直 OAと OV面外 AOB、つまりまっすぐ あ平面に垂直 OAB、それは証明されるべきでした。
二面角は、その直線角度によって測定されます。 これは、ラジアンの度数が直線角に含まれるように、ラジアンの度数がその二面角に含まれることを意味します。 これに応じて、次の種類の二面角が区別されます。
シャープ（図6）
直線角が鋭角である場合、二面角は鋭角です。 .
ストレート（図7）
二面角は直角が 90 ° のとき直角 - 鈍角 (図 8)
直線角が鈍角である場合、二面角は鈍角です。 
.
米。 7.直角
米。 8. 鈍角
実数で直線角度を構成する例
ABCD- 四面体。
1. 辺のある二面角の直線角を構成する AB.
米。 9. 問題の説明
建物:
エッジによって形成される二面角について話している ABと顔 ABDと ABC（図9）。
直線を引きましょう Dひ平面に垂直 ABC, ひ垂線の底です。 斜線を引きましょう DM線に垂直 AB、M- 傾斜ベース。 三垂線の定理により、斜めの射影は次のようになります。 NMまた、線に対して垂直 AB.
つまり、その点から Mエッジへの 2 つの垂線を復元しました AB両側に ABDと ABC. 線形の角度を取得しました Dミネソタ州.
気づいて、それ AB、直線角の平面、つまり平面に垂直な二面角の端 Dミネソタ州. 問題が解決しました。
コメント. 二面角は次のように表すことができます。 DABC、 どこ
AB- エッジとポイント Dと と寝転ぶ さまざまな顔角度。
2. 辺のある二面角の直線角を構成する 交流.
垂線を引きましょう Dひ飛行機へ ABCと斜め DN線に垂直 として。三垂線の定理から、 HN- 斜め投影 DN飛行機へ ABC、また、線に対して垂直 として。DNH- リブ付き二面角の直線角 交流.
四面体で DABCすべてのエッジは等しいです。 ドット M- 肋骨の真ん中 交流. であることを証明してください。 DMV- 二面角の直線角 あなたD、つまり、エッジを持つ二面角 交流. その縁の一つは 交流D、 2番 - DIA（図10）。
米。 10. 問題の図解
解決:
三角形 ADC- 等辺、 DMは中央値であり、したがって高さです。 意味、 DM ⊥ として。同様に、三角形 あのC- 等辺、 のMは中央値、したがって高さです。 意味、 VM ⊥ として。
では、要点から Mリブ 交流二面角が 2 つの垂線を復元しました DMと VM二面角の面のこのエッジに。
だから∠ DMのは、証明されるべき二面角の直線角です。
したがって、二面角、二面角の直線角を定義しました。
次のレッスンでは、線と平面の垂直性を検討し、次に図の底辺での二面角を学習します。
トピック「二面角」、「幾何学図形の底辺の二面角」に関する参考文献
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宿題トピック「二面角」について、図の底にある二面角の決定
ジオメトリ。 10-11 年生: 教育機関の学生向けの教科書 (基本およびプロファイル レベル) / I. M. Smirnova、V. A. Smirnov. - 第 5 版、修正および補足 - M.: Mnemozina、2008 年。 - 288 ページ: 病気。
タスク 2、3 p. 67。
二面角の直線角は何度ですか? それを構築する方法は？
ABCD- 四面体。 辺を持つ二面角の直線角を構築する：
A) のD b) Dと。
ABCダ 1 B 1 C 1 D 1 - 立方体 二面角の直線角のプロット A1ABCリブ付き AB. その度数を決定します。
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