ガウス法による系の調査。 逆ガウス法

ガウス法の本質は、(1) を三角行列を持つシステムに変換することです。そこから、すべての未知数の値が順番に (逆に) 取得されます。 計算方式の 1 つを考えてみましょう。 この回路は単分周回路と呼ばれます。 それでは、この図を見てみましょう。 11 ≠0 (主要素) を 11 で除算すると、最初の式が得られます。 得る
(2)
方程式 (2) を使用すると、システムの残りの方程式から未知の x 1 を除外するのは簡単です (このため、事前に x 1 で対応する係数を掛けた各方程式から方程式 (2) を引くだけで十分です)。 、最初のステップで取得します
.
つまり、ステップ 1 では、2 番目から始まる後続の行の各要素は、元の要素と、最初の列と最初の (変換された) 行でのその「射影」の積との差に等しくなります。
これに続いて、最初の方程式をそのままにして、最初のステップで得られたシステムの残りの方程式に対して同様の変換を実行します。それらの中から主要な要素を持つ方程式を選択し、それを使用して残りの方程式から x 2 を除外します。 （ステップ2）。
n ステップの後、(1) の代わりに同等のシステムが得られます。
(3)
したがって、最初の段階で、三角形システム (3) を取得します。 このステップはフォワードと呼ばれます。
第 2 段階 (逆移動) では、(3) から値 x n 、x n -1 、…、x 1 を順番に見つけます。
得られた解を x 0 としましょう。 次に、差 ε=b-A x 0 残差と呼ばれる.
ε=0 の場合、見つかった解 x 0 は正しいです。

ガウス法による計算は、次の 2 つの段階で実行されます。

1. 最初の段階は、メソッドの直接コースと呼ばれます。 最初の段階で、元のシステムが三角形に変換されます。
2. 第二段階はリバースと呼ばれます。 第 2 段階では、元の三角形システムと同等の三角形システムが解かれます。

ガウス法の目的

ガウス法の種類

1. 古典的なガウス法;
2. ガウス法の修正。 ガウス法の修正の 1 つは、主要な要素を選択した回路です。 主要素を選択するガウス法の特徴は、k 番目のステップで主要な要素が k 番目の列の最大の要素になるような方程式の順列です。
3. ジョーダン・ガウス法;

ガウス解の例
系を解いてみましょう：

計算の便宜上、行を入れ替えます。

2 行目に (2) を掛けます。 2行目に3行目を追加

2 行目に (-1) を掛けます。 1行目に2行目を追加

1 行目から x 3 を表現します。
2 行目から x 2 を表現します。
3 行目から x 1 を表します。

Jordan-Gauss 法による解の例
Jordano-Gauss 法を使用して同じ SLAE を解きます。

行列の主対角にある RE の解決要素を順番に選択します。
有効化要素は (1) と同じです。



NE \u003d SE - (A * B) / RE
RE - イネーブル要素 (1)、A および B - STE および RE の要素で長方形を形成するマトリックス要素。
各要素の計算を表の形式で提示しましょう。

ガウス法の実装

ガウス法を使う

ゲーム理論におけるガウス法の応用

微分方程式を解く際のガウス法の適用

線形計画法における Jordano-Gauss 法の適用

最も偉大な数学者であるカール・フリードリッヒ・ガウスは、哲学と数学のどちらを選ぶかについて長い間ためらっていました。 おそらく、彼が世界科学で非常に顕著に「去る」ことを可能にしたのは、まさにそのような考え方でした。 特に「ガウス法」を生み出すことで……

ほぼ 4 年間、このサイトの記事は、主に哲学の観点から、子供たちの心に導入された (誤解) 理解の原則から、学校教育に関係しています。 より詳細、例、および方法の時が来ています...これは、慣れ親しんだ、紛らわしい、そして 重要人生の領域が最良の結果をもたらします。

私たち人間は、あなたがいくら話しても、 抽象的思考、 しかし 理解 いつも例を通して起こる. 例がなければ、原則を理解することは不可能です...山の頂上にいることは、麓から斜面全体を通過する以外に不可能です。

学校も同じ：とりあえず 生きた物語私たちは本能的に、子どもたちが理解することを教えられる場所だと考え続けています。

たとえば、ガウス法を教えること...

小学5年生のガウス法

すぐに予約します。ガウス法には、たとえば次の問題を解くときなど、はるかに広い用途があります。 線形方程式系. これからお話しすることは、5年生で行われます。 これ 始める、どれを理解すると、より多くの「高度なオプション」を理解するのがはるかに簡単になります。 この記事では、 級数の和を求めるときのガウスの方法（メソッド）

これは私が学校から持ってきた例です 次男モスクワ体育館の5年生に出席。

ガウス法の学校でのデモンストレーション

インタラクティブ ホワイトボードを使用する数学教師 ( 現代の方法トレーニング) は、小さなガウスによる「メソッドの作成」の歴史のプレゼンテーションを子供たちに見せました.

学校の先生はカールをむちで打ちました (時代遅れの方法で、今では学校では使用されていません)。

1 から 100 までの数字を順番に加算して合計を求めるのではなく、 気がついた等差数列の端から等間隔にある数のペアは、合計すると同じ数になります。 たとえば、100 と 1、99 と 2 などです。そのようなペアの数を数えると、小さなガウスは、教師が提案した問題をほぼ即座に解決しました。 そのため、彼は驚いた大衆の前で処刑されました。 残りの人にとって、考えるのは無礼でした。

小さなガウスは何をしましたか 発展した 数感覚? 気がついたいくつかの機能一定のステップを持つ数値シリーズ (算術進行)。 と まさにこれ後に彼を偉大な科学者にした 気づくことができる、所持 感覚、理解の本能.

これが発展する数学の価値です。 見る能力一般特に - 抽象的思考. したがって、ほとんどの親や雇用主は 本能的に数学を重要な分野と考える ...

「数学は後で教えて、心を整える必要があります。
M.V.ロモノソフ」。

しかし、将来の天才をむち打った人々の信奉者は、メソッドを反対のものに変えました. 私の上司が 35 年前に言ったように、「彼らは問題を学んだ」のです。 または、私の末っ子がガウス法について昨日言ったように、「これで大きな科学を作る価値はないかもしれませんね?」

「科学者」の創造性の結果は、現在の学校の数学のレベル、その教育のレベル、および大多数による「科学の女王」の理解に見られます。

しかし、続けましょう...

ガウス法を小学5年生に説明する方法

モスクワの体育館の数学教師が、Vilenkin のやり方でガウス法を説明すると、作業が複雑になりました。

等差数列の差 (ステップ) が 1 ではなく、別の数である場合はどうなりますか? たとえば、20 です。

彼が5年生に与えた課題：

20+40+60+80+ ... +460+480+500

体育館の方法に慣れる前に、Web を見てみましょう: 学校の先生 - 数学の家庭教師はどのようにそれを行うのですか? ..

ガウス法: 説明 #1

彼の YOUTUBE チャンネルの有名な家庭教師は、次の理由を述べています。

「1 から 100 までの数字を次のように書きましょう。

最初に 1 から 50 までの一連の数字、厳密にはその下に 50 から 100 までの別の一連の数字が逆順で」

1, 2, 3, ... 48, 49, 50

100, 99, 98 ... 53, 52, 51

「注意してください: 上段と下段の数字の各ペアの合計は同じで、101 です! ペアの数を数えましょう。50 で、1 つのペアの合計にペアの数を掛けます! ほら:答えは準備ができています！」.

「わからなくても怒らないで！」と先生は説明の中で3回繰り返しました。 「あなたはこの方法で中学2年生に合格します！」

ガウス法: 説明 #2

あまり知られていない (ビューの数から判断すると) 別の家庭教師は、より科学的なアプローチを取り、順番に完了する必要がある 5 点ソリューション アルゴリズムを提供します。

初心者向け: 5 は伝統的に魔法と見なされているフィボナッチ数の 1 つです。 たとえば、5 ステップの方法は常に 6 ステップの方法よりも科学的です。 ...そして、これはほとんど偶然ではありません。おそらく、著者はフィボナッチ理論の隠れた支持者です

等差数列を考えると、次のようになります。 4, 10, 16 ... 244, 250, 256 .

ガウス法を使用して系列内の数値の合計を求めるアルゴリズム:

4, 10, 16 ... 244, 250, 256

256, 250, 244 ... 16, 10, 4

同時に、次のことを覚えておく必要があります。 プラスワンルール : 結果の商に 1 を追加する必要があります。そうしないと、より 1 少ない結果が得られます。 真数ペア: 42 + 1 = 43.

これは、差が 6 の 4 から 256 までの等差数列の望ましい合計です!

ガウス法：モスクワ体育館5年生での説明

そして、級数の和を求める問題を解決するために必要な方法は次のとおりです。

20+40+60+ ... +460+480+500

モスクワ体育館の5年生で、ヴィレンキンの教科書（息子によると）。

プレゼンテーションを行った後、数学の教師はいくつかのガウスの例を示し、クラスに 20 刻みの数列の数の合計を求めるタスクを与えました。

これには以下が必要でした。

ご覧のとおり、よりコンパクトで 効果的なテクニック: 数字の 3 もフィボナッチ数列のメンバーです。

ガウス法の学校版についての私のコメント

偉大な数学者は、彼の追随者が彼の「方法」を何に変えるかを予見していたなら、間違いなく哲学を選んだでしょう. ドイツ語の先生棒でカールをむち打った人。 彼は象徴主義と弁証法的スパイラルと「教師」の不滅の愚かさを見たでしょう。 生きた数学的思考と誤解の代数との調和を測定しようとする ....

ところで、ご存知ですか。 私たちの教育制度は 18 世紀と 19 世紀のドイツの学校に根ざしていると思いますか?

しかし、ガウスは数学を選びました。

彼のメソッドの本質は何ですか？

の 簡素化. の 観察と捕獲数字の単純なパターン。 の 乾いた学校の算術を 面白くて楽しい活動 、脳内で継続したいという欲求を活性化し、高コストの精神活動を妨げません。

上記の「ガウス法の修正」のいずれかを使用して、等差数列の数の合計を計算することは可能ですか? 即座に? 「アルゴリズム」によれば、小さなカールはお尻を叩かれることを避け、数学への嫌悪感を養い、芽の創造的な衝動を抑えることが保証されていたでしょう.

なぜ家庭教師は 5 年生にこの方法の「誤解を恐れないように」しつこく忠告し、9 年生ですでに「そのような」問題を解決できると説得したのでしょうか。 心理的に文盲の行動. 注意してよかったです： "またね すでに5年生でできます 4年で合格する問題を解こう！ なんていい奴なんだ！」

ガウス法を使用するには、クラスのレベル 3 で十分です通常の子供が2〜3桁の数字の足し算、掛け算、割り算をすでに知っている場合。 数学だけでなく、通常の人間の言語で最も単純なことを説明する方法を「入力しない」大人の教師ができないために問題が発生します...彼らは数学に興味を持ち、「できる」人でさえ完全に落胆させることができません。

または、私の息子がコメントしたように、「それから大きな科学を作りましょう」.

ガウス法、私の説明

妻と私はこの「方法」を子供に説明したようです。

複雑さや質問のゲームの代わりにシンプルさ - 答え

「ほら、ここに1から100までの数字がある。何が見える？」

それは子供が見ているものではありません。 トリックは彼を見せることです。

「どうやってそれらを組み合わせることができますか？」 息子は、そのような質問は「そのように」尋ねられず、「どういうわけか、彼が通常とは異なる方法で」質問を見る必要があることに気づきました。

子供がすぐに解決策を見ても問題ありません。 彼が 見ることを恐れなくなった、または私が言うように、「タスクを動かした」. これが理解への道の始まりです

「たとえば、5 と 6 と 5 と 95 を足すと、どちらが簡単ですか?」 主要な質問... しかし、結局のところ、トレーニングは、人を「答え」に「導く」ことに帰着します。

この段階では、計算を「保存」する方法についてはすでに推測されている可能性があります。

私たちが行ったのはヒントだけです。「正面、線形」のカウント方法だけが可能な方法ではありません。 子供がこれを切り捨てた場合、後でそのような方法をさらに多く発明します。 面白いから！！！そして、彼は間違いなく数学の「誤解」を避け、嫌悪感を抱くことはありません。 彼は勝った！

もしも 赤ちゃん発見 100 になる数字のペアを追加するのは些細な作業です。 「差1の算術累進」-子供にとってはかなり退屈で面白くないこと-突然 彼に命を与えた . 混沌から秩序が生まれ、これは常に熱狂的です。 それが私たちのやり方です!

簡単な質問: なぜ、子供の洞察の後で、この場合も機能的に役に立たないドライ アルゴリズムのフレームワークに再び追い込まれる必要があるのでしょうか?!

なぜ愚かな書き直しをするのかノートの一連番号: 有能な人でさえ理解する機会が一度もないように? 統計的にはもちろんですが、大衆教育は「統計」に重点を置いています...

ゼロはどこへ行った？

それでも、合計すると 100 になる数を足すことは、101 を与えるよりもはるかに頭に受け入れられます...

「学校のガウス法」はまさにこれを必要とします： 無意識に折る数のペアの進行の中心から等距離にある、 すべてにもかかわらず.

見てみたら？

それでも、ゼロ 最大の発明 2000年以上の歴史を持つ人類。 そして、数学の教師は彼を無視し続けています。

1 から始まる一連の数値を 0 から始まる一連の数値に変換する方がはるかに簡単です。合計は変わりませんね。 「教科書で考える」のをやめて、探し始める必要があります...そして、合計が 101 のペアが、合計が 100 のペアに完全に置き換えられることがわかります。

0 + 100, 1 + 99, 2 + 98 ... 49 + 51

「ルールプラス1」を廃止するには？

正直なところ、そのYouTubeの家庭教師からそのようなルールについて初めて聞いた.

シリーズのメンバー数を決定する必要がある場合、どうすればよいですか?

シーケンスを見る：

1, 2, 3, .. 8, 9, 10

完全に疲れたら、より単純な行に移動します。

1, 2, 3, 4, 5

5 から 1 を引くと 4 になります。 見る 5桁！ したがって、1 つ追加する必要があります。 発達した数感覚 小学校、示唆: シリーズのメンバーの Google 全体 (10 の 100 乗) があっても、パターンは同じままです。

ルールをファック？

それで、数年から3年で、額と後頭部の間のすべてのスペースを埋めて、考えるのをやめるのですか？ パンとバターを稼ぐのはどうですか？ 結局のところ、私たちは互角にデジタル経済の時代に突入しています!

ガウスの学校の方法についての詳細: 「なぜ科学をこれから作るのですか? ..」

息子のノートのスクリーンショットを投稿したのは無駄ではありませんでした...

「レッスンには何がありましたか？」

「ええと、私はすぐに数えて手を上げましたが、彼女は尋ねませんでした。そのため、他の人が数えている間、時間を無駄にしないようにロシア語でDZを始めました。そして、他の人が書き終わったとき（?? ?)、彼女は私を理事会に呼びました。私は答えを言いました。」

「そうだね、どうやって解いたか見せてよ」と先生。 見せた。 彼女は言った：「間違っています、あなたは私が示したように数える必要があります！」

「デュースを入れなかったのは良かったです。そして、ノートに独自の方法で「決定プロセス」を書かせました。なぜこれから大きな科学を作るのですか? ..」

数学教師の主な犯罪

ほとんど後 その場合カール・ガウスは、数学の学校の先生に高い敬意を払っていました。 しかし、もし彼が方法を知っていたら あの先生の信者 メソッドの本質を歪曲する... 彼は憤慨して咆哮し、世界知的所有権機関 WIPO を通じて、学校の教科書で彼の名を使用することを禁止したでしょう! ..

何 主な間違い学校のアプローチ? それとも、私が言うように、学校の数学教師の子供に対する犯罪ですか?

誤解されたアルゴリズム

大多数が考え方を知らない学校の方法論者は何をしているのだろうか?

メソッドとアルゴリズムを作成します (参照)。 これ 教師を批判から保護し（「すべては...に従って行われます」）、子供たちを理解から保護する防御反応。 したがって、教師を批判したいという願望から！（官僚的な「知恵」の二次派生物、問題への科学的アプローチ）。 意味を理解していない人は、学校制度の愚かさではなく、むしろ自分の誤解を責めるでしょう。

何が起こっているのか：親は子供たちを非難し、教師は... 「数学を理解していない子供たちにも同じです！..

あなたは精通していますか？

小さなカールは何をしましたか。

テンプレートタスクにまったく型にはまらないアプローチ. これが彼のアプローチの真髄です。 これ 学校で教えるべき主なことは、教科書ではなく頭で考えることです. もちろん、使用できるインストゥルメンタルコンポーネントもあります... よりシンプルに 効果的な方法アカウント.

Vilenkin によるガウス法

学校ではガウス法とは

何、 行の要素数が奇数の場合、息子に割り当てられたタスクのように? ..

「トリック」は、この場合 シリーズの「余分な」数を見つける必要がありますペアの合計に追加します。 この例では、この数は 260 です。.

発見する方法は？ ノートの数字のペアをすべて書き換える！(そのため、教師は子供たちにこのばかげた仕事をさせ、ガウス法を使用して「創造性」を教えようとしました...そして、そのような「方法」が大規模なデータシリーズには実際には適用できない理由です。それがガウス法ではない理由です。方法）。

学校の日課にちょっとした創造性を...

息子は違う行動をしました。

(20 + 500, 40 + 480 ...).

0+500, 20+480, 40+460 ...

簡単ですよね？

しかし、実際にはさらに簡単になり、ロシア語でのリモートセンシングに2〜3分を割くことができ、残りは「カウント」されます。 さらに、方法論のステップ数は 5 のままであり、非科学的であるというアプローチを批判することはできません。

明らかに、このアプローチは、メソッドのスタイルで、より単純で、より高速で、より用途が広いです。 でも…先生は褒めてくれなかっただけでなく、書き直させてくれました」 正しい方法「（スクリーンショットを参照）。つまり、彼女は創造的な衝動と芽の数学を理解する能力を抑えようと必死に試みました！どうやら、後で家庭教師として雇われるために…彼女は間違った人を攻撃しました.. .

私が非常に長く退屈に説明したことはすべて、通常の子供に最大30分で説明できます。 例とともに。

そして、彼がそれを決して忘れないように。

そして、それは 理解への一歩...数学だけではありません。

認めてください: あなたの人生でガウス法を使って足し算をしたことが何回ありますか? そして、私は決して！

しかし 理解の本能、学校で数学的方法を勉強する過程で発達する（または消滅する）...ああ！..これは本当にかけがえのないものです！

特に、私たちは党と政府の厳格な指導の下で静かに突入した普遍的なデジタル化の時代に。

先生を擁護するためのいくつかの言葉...

このスタイルの教育について、すべての責任を学校の教師だけに負わせるのは不公平であり、間違っています。 システムは稼働中です。

いくつかの教師は何が起こっているのか不条理を理解していますが、どうすればいいですか？ 教育法、連邦国家教育基準、方法、レッスンカード... すべては「それに基づいて」行われるべきであり、すべてが文書化されるべきです。 脇に置いてください-解雇の列に並んでいました。 偽善者にならないようにしましょう: モスクワの教師の給料はとても良いです. 彼らが解雇されたら、どこに行くべきですか?..

そこでこのサイト 教育についてではない. 彼は約 個別教育、 それだけ 可能な方法群衆から抜け出す ジェネレーションZ ...

16 ～ 18 世紀の初めから、数学者は関数を集中的に研究し始めました。そのおかげで、私たちの生活は大きく変わりました。 この知識のないコンピューター技術は存在しません。 複雑な問題を解決するために、一次方程式や関数、さまざまな概念、定理、解決手法が作成されています。 線形方程式とそのシステムを解くためのそのような普遍的で合理的な方法と手法の 1 つは、ガウス法でした。 行列、そのランク、行列式 - 複雑な演算を使用せずにすべてを計算できます。

SLAUとは

数学では、線形のシステムである SLAE の概念があります。 代数方程式. 彼女は何を表していますか？ これは、必要な n 個の未知数を含む一連の m 個の方程式であり、通常は x、y、z、または x 1 、x 2 ... x n、またはその他の記号として表されます。 この系をガウス法で解くということは、未知の未知数をすべて見つけることを意味します。 システムに 同じ番号未知数と方程式の場合、それは n 次システムと呼ばれます。

SLAE を解決するための最も一般的な方法

の 教育機関中等教育では、そのようなシステムを解決するためのさまざまな手法を研究しています。 たいていこれ 簡単な方程式、2 つの未知数で構成されるため、任意の 既存の方法それらに対する答えを見つけるのにそれほど時間はかかりません。 これは、ある方程式から別の方程式を導き出し、元の方程式に代入する代入法のようなものです。 または項ごとの減算と加算。 しかし、ガウス法は最も簡単で最も普遍的であると考えられています。 これにより、任意の数の未知数を含む方程式を解くことができます。 この手法が合理的であると考えられるのはなぜですか? すべてがシンプルです。 行列法は、不要な文字を未知数の形で何度も書き換える必要がなく、係数に対して算術演算を行うだけで十分であり、信頼できる結果が得られるため、優れています。

SLAE は実際にどこで使用されていますか?

SLAE の解は、関数のグラフ上の線の交点です。 私たちのハイテクコンピュータ時代では、ゲームやその他のプログラムの開発に密接に関わっている人々は、そのようなシステムを解決する方法、それらが何を表しているのか、そして結果の結果の正確さをチェックする方法を知る必要があります. ほとんどの場合、プログラマーは特別な線形代数計算機を開発します。これには線形方程式のシステムが含まれます。 ガウス法を使用すると、既存のすべての解を計算できます。 その他の簡略化された式と手法も使用されます。

SLAE 互換性基準

このようなシステムは、互換性がある場合にのみ解決できます。 わかりやすくするために、SLAE を Ax=b の形式で示します。 rang(A) が rang(A,b) と等しい場合、解があります。 この場合、(A,b) は、行列 A を自由項で書き換えて得られる拡張形式の行列です。 ガウス法を使用して線形方程式を解くのは非常に簡単であることがわかります。

一部の表記は完全に明確ではない可能性があるため、例を挙げてすべてを検討する必要があります。 次のようなシステムがあるとしましょう: x+y=1; 2x-3y=6。 これは、2 つの未知数がある 2 つの方程式のみで構成されます。 システムは、行列のランクが拡張行列のランクと等しい場合にのみ解を持ちます。 ランクとは何ですか？ システムの独立回線数です。 この場合、行列のランクは 2 です。行列 A は未知数の近くにある係数で構成され、「=」記号の後ろの係数も展開された行列に収まります。

SLAE を行列形式で表現できる理由

証明された Kronecker-Capelli の定理による互換性基準に基づいて、線形代数方程式系を行列形式で表すことができます。 ガウス カスケード法を使用すると、行列を解き、システム全体で唯一の信頼できる答えを得ることができます。 通常の行列のランクがその拡張行列のランクに等しいが、未知数の数よりも少ない場合、システムには無限の数の答えがあります。

行列変換

行列の解決に進む前に、要素に対して実行できるアクションを知る必要があります。 いくつかの基本的な変換があります。

• 系を行列形式に書き直してその解法を実行することにより、級数のすべての要素に同じ係数を掛けることができます。
• 行列を正準形式に変換するために、2 つの平行な行を入れ替えることができます。 正準形は、主対角線に沿って配置された行列のすべての要素が 1 になり、残りの要素が 0 になることを意味します。
• 行列の平行な行の対応する要素は、互いに追加できます。

ジョーダン・ガウス法

ガウス法による線形同次および非同次方程式系の解の本質は、未知数を徐々に排除することです。 未知数が 2 つある 2 つの連立方程式があるとします。 それらを見つけるには、システムの互換性を確認する必要があります。 ガウス方程式は非常に簡単に解けます。 各未知数の近くにある係数を行列形式で書き出す必要があります。 この系を解くには、拡張行列を書き出す必要があります。 方程式の 1 つに含まれる未知数が少ない場合は、欠落している要素の代わりに "0" を配置する必要があります。 既知のすべての変換方法が行列に適用されます。乗算、数値による除算、行の対応する要素の相互加算などです。 各行で、値が「1」の変数を1つ残す必要があり、残りはゼロに減らす必要があることがわかりました。 より正確に理解するには、例を挙げてガウス法を検討する必要があります。

2x2 システムを解く簡単な例

まず、未知数が 2 つある単純な代数方程式系を考えてみましょう。

拡張行列に書き直してみましょう。

この連立一次方程式を解くために必要な操作は 2 つだけです。 主対角線に沿って単位が存在するように、行列を正準形式にする必要があります。 したがって、行列形式からシステムに戻すと、方程式 1x+0y=b1 および 0x+1y=b2 が得られます。ここで、b1 と b2 は、解く過程で得られた答えです。

1. 拡張行列を解く最初のステップは次のとおりです。2 番目の方程式の未知数を取り除くために、最初の行に -7 を掛け、対応する要素を 2 番目の行に追加する必要があります。
2. ガウス法による方程式の解は、行列を正準形式にすることを意味するため、最初の方程式で同じ操作を行い、2 番目の変数を削除する必要があります。 これを行うには、最初の行から 2 行目を引いて、必要な答え、つまり SLAE の解を取得します。 または、図に示すように、2 行目に係数 -1 を掛けて、2 行目の要素を 1 行目に追加します。 同じです。

ご覧のとおり、私たちのシステムは Jordan-Gauss 法によって解かれています。 で書き直します 必要なフォーム: x=-5、y=7。

SLAE 3x3 の解決例

もっと複雑な線形方程式系があるとします。 ガウス法により、一見ややこしいシステムでも答えを計算することができます。 したがって、計算方法をより深く掘り下げるために、3 つの未知数を含むより複雑な例に進むことができます。

前の例のように、システムを展開されたマトリックスの形式で書き直し、それを標準的な形式に変換し始めます。

このシステムを解決するには、前の例よりも多くのアクションを実行する必要があります。

1. 最初に、最初の列を 1 つの要素にし、残りをゼロにする必要があります。 これを行うには、最初の式に -1 を掛け、2 番目の式を足します。 最初の行を元の形式で書き直し、2 行目は既に変更された形式で書き直すことを覚えておくことが重要です。
2. 次に、同じ最初の未知数を 3 番目の式から削除します。 これを行うには、1 行目の要素に -2 を掛けて、3 行目に追加します。 現在、1行目と2行目は元の形式で書き直されており、3行目はすでに変更されています。 結果からわかるように、行列の主対角線の先頭に最初のものを取得し、残りはゼロです。 さらにいくつかの操作を行うと、ガウス法による連立方程式が確実に解かれます。
3. ここで、行の他の要素に対して操作を行う必要があります。 3 番目と 4 番目の手順は、1 つに結合できます。 2 番目と 3 番目の線を -1 で割って、対角線の負の線を取り除く必要があります。 3 行目はすでに必要な形式になっています。
4. 次に、2 行目を正規化します。 これを行うには、3 行目の要素に -3 を掛けて、行列の 2 行目に追加します。 結果から、2 行目も必要な形式に縮小されていることがわかります。 さらにいくつかの操作を行い、最初の行から未知数の係数を削除する必要があります。
5. 行の 2 番目の要素から 0 を作成するには、3 行目に -3 を掛けて 1 行目に追加する必要があります。
6. 次の決定的なステップは、2 行目の必要な要素を 1 行目に追加することです。 したがって、行列の正準形式が得られ、それに応じて答えが得られます。

ご覧のとおり、ガウス法による方程式の解は非常に単純です。

4x4 連立方程式を解く例

いくつかのより複雑な連立方程式は、コンピューター プログラムを使用してガウス法で解くことができます。 未知数の係数を既存の空のセルに打ち込む必要があり、プログラムは必要な結果を段階的に計算し、各アクションを詳細に記述します。

以下で説明します ステップバイステップの説明この例の解決策。

最初のステップでは、未知数の自由係数と数値が空のセルに入力されます。 したがって、手で書いたものと同じ拡張行列が得られます。

そして、必要なすべての算術演算が実行されて、拡張された行列が正準形式になります。 連立方程式の答えは必ずしも整数ではないことを理解する必要があります。 場合によっては、解が分数から得られることがあります。

解の正しさの確認

Jordan-Gauss メソッドは、結果の正しさをチェックするために用意されています。 係数が正しく計算されているかどうかを確認するには、結果を元の連立方程式に代入するだけです。 方程式の左辺は一致する必要があります 右側、「等号」記号の後にあります。 答えが一致しない場合は、システムを再計算するか、代入または項ごとの減算と加算など、既知の SLAE を解く別の方法を適用する必要があります。 結局のところ、数学は膨大な数の異なる解決方法を持つ科学です。 ただし、覚えておいてください。使用した解法に関係なく、結果は常に同じでなければなりません。

ガウス法: SLAE を解く際の最も一般的なエラー

決定の間 線形システム方程式の場合、行列形式への係数の不適切な転送などのエラーが最も頻繁に発生します。 方程式の 1 つにいくつかの未知数が欠落しているシステムがあり、データを拡張行列に転送すると、それらが失われる可能性があります。 その結果、このシステムを解くと、結果が実際の結果と一致しない場合があります。

もう 1 つの主な間違いは、最終結果を誤って書き出すことです。 最初の係数はシステムからの最初の未知数に対応し、2 番目の係数は 2 番目の係数などに対応することを明確に理解する必要があります。

ガウス法は、線形方程式の解を詳細に記述します。 彼のおかげで、必要な操作を実行して正しい結果を見つけるのは簡単です。 さらに、これは、複雑な方程式に対する信頼できる答えを見つけるための普遍的なツールです。 おそらくそれが、SLAE の解決に頻繁に使用される理由です。

ガウス法は簡単！なぜ？ 有名なドイツの数学者ヨハン・カール・フリードリッヒ・ガウスは、生前、史上最高の数学者、天才、そして「数学の王」というあだ名さえ認められました。 ご存知のように、独創的なものはすべてシンプルです。ちなみに、吸盤だけでなく天才もお金に落ちます-ガウスの肖像画は10ドイツマルクの請求書（ユーロ導入前）で誇示され、ガウスは通常の切手からドイツ人に不思議なことに微笑んでいます。

ガウス法は、それを習得するには小学 5 年生の知識で十分であるという点で単純です。 加算と乗算ができる必要があります。未知数を連続的に排除する方法が、学校の数学の選択科目の教師によってしばしば考慮されるのは偶然ではありません。 逆説的ですが、ガウス法は学生にとって最大の困難を引き起こします。 驚くべきことではありません-それはすべて方法論に関するものであり、メソッドのアルゴリズムについてアクセス可能な形式で伝えようとします.

まず、連立一次方程式に関する知識を少し体系化します。 線形方程式系は次のことができます。

1) 独自のソリューションを用意する。
2) 解が無数にある。
3) 解決策がない (なる 非互換).

ガウス法は、解を見つけるための最も強力で用途の広いツールです どれでも線形方程式系。 私たちが覚えているように クラメールの法則と行列法システムに無限に多くのソリューションがある場合や一貫性がない場合には適していません。 未知数の逐次消去法 ともかく答えに導きます！ このレッスンでは、ケース No. 1 (システムの唯一の解決策) のガウス法を再度検討します。この記事は、ポイント No. 2-3 の状況のた​​めに予約されています。 メソッド アルゴリズム自体は、3 つのケースすべてで同じように機能することに注意してください。

戻る 最も単純なシステムレッスンから 線形連立方程式を解くには?
ガウス法で解いてください。

最初のステップは書くことです 拡張マトリックスシステム:
. どのような原理で係数が記録されているかは、誰でもわかると思います。 マトリックス内の垂直線には、数学的な意味はありません。設計を容易にするための取り消し線です。

参照 :覚えておくことをお勧めします 条項線形代数。 システムマトリックスは、未知数の係数のみで構成される行列です。この例では、次の系の行列です。 拡張システム マトリックスは、システムと自由メンバーの列の同じ行列です。 この場合: . 簡潔にするために、任意の行列を単に行列と呼ぶことができます。

システムの拡張マトリックスが作成された後、それを使用していくつかのアクションを実行する必要があります。 初等変換.

次の基本変換があります。

1) ストリングス行列 できる 並べ替え場所。 たとえば、検討中のマトリックスでは、1 行目と 2 行目を安全に並べ替えることができます。

2) マトリックスに比例 (または出現) が含まれている場合 ( 特別なケースは同じ) 文字列の場合、次のようになります。 消去行列から、1 つを除くこれらすべての行。 たとえば、行列を考えてみましょう . この行列では、最後の 3 つの行は比例関係にあるため、そのうちの 1 つだけを残すだけで十分です。 .

3) 変換中にマトリックスにゼロ行が表示された場合、それも続きます。 消去. もちろん描きませんが、ゼロラインは ゼロのみ.

4) 行列の行は 掛ける（割る）任意の数 非ゼロ. たとえば、行列を考えてみましょう。 ここでは、最初の行を -3 で割り、2 番目の行を 2 で乗算することをお勧めします。 . このアクションは、マトリックスのさらなる変換を簡素化するため、非常に便利です。

5) この変換は最も困難を引き起こしますが、実際には複雑なことも何もありません。 行列の行に対して、次のことができます 数値を掛けた別の文字列を追加します、ゼロとは異なります。 からの行列を考えてみましょう ケーススタディ: . まず、変換について詳しく説明します。 最初の行に -2 を掛けます。 、 と 2 行目には、最初の行に -2 を掛けて追加します: . これで、最初の行を -2: で「後方」に分割できます。 ご覧のとおり、追加された行 リ – 変わっていない. いつも行が変更され、TO WHICH ADDED UT.

もちろん、実際には、彼らはそれほど詳細には描きませんが、短く書きます。

もう一度：2行目へ -2 を掛けた最初の行を追加. ラインは通常、口頭またはドラフトで乗算されますが、計算の精神的なコースは次のようなものです。

「行列を書き直し、最初の行を書き直します。 »

まず最初の列。 以下では、ゼロにする必要があります。 したがって、上記の単位に -2: を掛けて、最初の値を 2 行目に追加します: 2 + (-2) = 0. 結果を 2 行目に書き込みます。 »

「では、第 2 列です。 -1 回以上 -2: . 最初の値を 2 行目に追加します: 1 + 2 = 3. 結果を 2 行目に書き込みます。 »

「そして三列目。 -5 回以上 -2: . 最初の行を 2 行目に追加します: -7 + 10 = 3。2 行目に結果を書き込みます。 »

この例についてよく考えて、逐次計算アルゴリズムを理解してください。これを理解すれば、ガウス法は実質的に「あなたのポケットに」入っています。 しかし、もちろん、私たちはまだこの変革に取り組んでいます。

初等変換は連立方程式の解を変えない

! 注意: 考慮された操作 使えない、行列が「単独で」与えられるタスクを提供された場合。 たとえば、「クラシック」では 行列マトリックス内で何かを再配置する必要はありません。

システムに戻りましょう。 彼女はほとんどバラバラに壊れています。

システムの拡張行列を書き、基本変換を使用して、それを ステップビュー:

(1) 最初の行が 2 番目の行に追加され、-2 が乗算されます。 繰り返しますが、なぜ最初の行に -2 を掛けるのでしょうか? 一番下のゼロを取得するには、2 行目の変数を 1 つ削除することを意味します。

(2) 2 行目を 3 で割ります。

基本変換の目的 – 行列をステップ形式に変換します。 . タスクの設計では、単純な鉛筆で「はしご」を直接描き、「ステップ」にある数字を丸で囲みます。 「ステップ ビュー」という用語自体は完全に理論的なものではありません。科学および教育文献では、しばしば次のように呼ばれます。 台形ビューまた 三角図.

基本変換の結果として、 同等元の連立方程式:

ここで、システムを「ねじれを解く」必要があります 逆方向下から上に、このプロセスは呼び出されます 逆ガウス法.

下の方程式では、すでに完成した結果があります: .

システムの最初の方程式を考えて、「y」の既知の値をそれに代入します。

3 つの未知数を持つ 3 つの線形方程式系を解くためにガウス法が必要な、最も一般的な状況を考えてみましょう。

例 1

ガウス法を使用して連立方程式を解きます。

システムの拡張行列を書きましょう。

ここで、ソリューションの過程で得られる結果をすぐに描画します。

繰り返しますが、私たちの目標は、初等変換を使用して行列を階段状にすることです。 どこから行動を開始しますか？

まず、左上の数字を見てください。

ほとんど常にここにいるはずです ユニット. 一般的に言えば、-1 (および場合によっては他の数値) も適していますが、どういうわけか、ユニットが通常そこに配置されることが伝統的に起こりました。 ユニットを編成するには？ 最初の列を見てください - 完成したユニットがあります! 変換 1: 1 行目と 3 行目を入れ替えます。

これで、ソリューションが終了するまで最初の行は変更されません。. 今は大丈夫です。

左上のユニットが整理されています。 次に、これらの場所でゼロを取得する必要があります。

ゼロは、「難しい」変換の助けを借りて取得されます。 まず、2 行目 (2, -1, 3, 13) を扱います。 最初の位置でゼロを取得するには何をする必要がありますか? する必要がある 2 行目に、最初の行に -2 を掛けて追加します. 精神的に、または下書きでは、最初の行に -2 を掛けます: (-2, -4, 2, -18)。 そして、私たちは一貫して（再び精神的に、または下書きで）追加を実行します。 2 行目には、すでに -2 を掛けた最初の行を追加します:

結果は 2 行目に書き込まれます。

同様に、3 行目 (3, 2, -5, -1) を扱います。 最初の位置でゼロを取得するには、必要です 3 行目には、1 行目に -3 を掛けた値を追加します. 精神的に、または下書きでは、最初の行に -3 を掛けます: (-3, -6, 3, -27)。 と 3 行目には、最初の行に -3 を掛けたものを追加します:

結果は 3 行目に次のように書かれています。

実際には、これらのアクションは通常、口頭で実行され、1 つのステップで書き留められます。

一度にすべてを数える必要はありません. 計算の順序と結果の「挿入」 一貫性のある通常は次のように: 最初に最初の行を書き直し、静かに膨らませます - 一貫して 注意深く:


そして、私はすでに上記の計算自体の精神的な経過を検討しました.

この例では、これは簡単に行うことができます。2 行目を -5 で割ります (そこにあるすべての数値は 5 で割り切れるので、余りはありません)。 同時に、3 行目を -2 で割ります。これは、数値が小さいほど解が単純になるためです。

基本変換の最終段階で、ここでもう 1 つのゼロを取得する必要があります。

このため 3 行目に 2 行目を追加し、-2 を掛けます:


このアクションを自分で解析してみてください - 精神的に 2 行目に -2 を掛けて加算を実行してください。

実行された最後のアクションは、結果のヘアスタイルであり、3 行目を 3 で割ったものです。

初等変換の結果として、線形方程式の同等の初期システムが得られました。

いいね。

ここで、ガウス法の逆コースが登場します。 方程式はボトムアップで「ほどける」。

3 番目の式では、すでに完成した結果が得られています。

2 番目の式を見てみましょう。 「z」の意味はすでに知られているため、次のようになります。

そして最後に、最初の式: . 「Y」と「Z」はわかっていますが、問題は小さいです。

答え:

繰り返し指摘されているように、どの連立方程式についても、見つかった解を確認することが可能であり、必要です。幸いなことに、これは難しくも速くもありません。

例 2

これは例です 独立したソリューション、仕上げの見本、レッスンの最後に答えがあります。

あなたの 行動方針私の行動方針と一致しないかもしれませんが、 これがガウス法の特徴です. しかし、答えは同じでなければなりません！

例 3

ガウス法を使用して一次方程式系を解く

システムの拡張行列を書き、基本変換を使用して、それをステップ形式にします。

左上の「ステップ」を見てください。 そこにユニットが必要です。 問題は、最初の列に何もないため、行を並べ替えても何も解決できないことです。 このような場合、単位は基本的な変換を使用して編成する必要があります。 これは通常、いくつかの方法で行うことができます。 これは私がしました：
(1) 最初の行に 2 番目の行を追加し、-1 を掛けます. つまり、精神的に 2 行目に -1 を掛け、1 行目と 2 行目の加算を実行しましたが、2 行目は変更されませんでした。

左上の「マイナス 1」は、私たちにぴったりです。 +1 を取得したい人は、追加のジェスチャーを実行できます。最初の行に -1 を掛けます (符号を変更します)。

(2) 1 行目の 5 倍を 2 行目に加算 1 行目の 3 倍を 3 行目に加算

(3) 1 行目は、原則として -1 を掛けました。これは美容用です。 3 行目の符号も変更されて 2 番目に移動されたため、2 番目の「ステップ」で目的のユニットが得られました。

(4) 2 行目を 2 倍したものが 3 行目に追加されました。

(5) 3 行目を 3 で割りました。

計算エラー (タイプミスの頻度は低い) を示す悪い兆候は、「悪い」最終結果です。 つまり、以下のようなものが得られた場合、したがって、 、その後、高い確率で、基本的な変換の過程でエラーが発生したと主張することができます.

例の設計では、システム自体はしばしば書き直されず、方程式は「与えられた行列から直接取得」されます。 逆の動きは、下から上に機能することを思い出してください。 はい、プレゼントがあります：

答え: .

例 4

ガウス法を使用して一次方程式系を解く

これは独立したソリューションの例であり、やや複雑です。 誰かが混乱しても大丈夫です。 レッスンの最後に完全なソリューションと設計サンプル。 あなたの解決策は私のものとは異なる場合があります。

最後の部分では、Gauss アルゴリズムのいくつかの機能について検討します。
最初の特徴は、システムの方程式で一部の変数が欠落している場合があることです。たとえば、次のようになります。

システムの拡張行列を正しく記述する方法は? この瞬間についてはすでにレッスンで話しました。 クレーマーの法則。 マトリックス法. システムの展開された行列では、欠落している変数の代わりにゼロを配置します。

ところで、これはかなり簡単な例です。なぜなら、最初の列にはすでにゼロが 1 つあり、実行する基本変換が少ないからです。

2つ目の特徴はこれです。 検討したすべての例で、「ステップ」に -1 または +1 を配置しました。 他の数字もあり得る？ 場合によっては可能です。 システムを考えてみましょう: .

ここで、左上の「ステップ」にデュースがあります。 しかし、最初の列のすべての数値が 2 で割り切れ、余りがなく、さらに 2 と 6 であることがわかります。 そして左上のデュースが似合います！ 最初のステップでは、次の変換を実行する必要があります。-1 を掛けた最初の行を 2 行目に追加します。 3 行目には、1 行目に -3 を掛けた値を追加します。 したがって、最初の列で目的のゼロを取得します。

または別の架空の例: . ここで、2 番目の「ラング」のトリプルも適しています。12 (ゼロを取得する必要がある場所) は 3 で割り切れるからです。 次の変換を実行する必要があります。3 行目に 2 行目を追加し、-4 を掛けると、必要なゼロが得られます。

Gauss 法は普遍的ですが、1 つの特殊性があります。 他の方法 (Cramer 法、行列法) でシステムを解く方法を文字通り最初から自信を持って学習できます。非常に厳格なアルゴリズムがあります。 しかし、ガウス法に自信を持つためには、「手をいっぱいにして」、少なくとも 5 ～ 10 のシステムを解く必要があります。 したがって、最初は混乱や計算の誤りがあるかもしれませんが、これには珍しいことや悲劇的なことは何もありません。

窓の外は雨の秋晴れ…。 複雑な例独立解の場合:

例 5

ガウス法を使用して、4 つの未知数を持つ 4 つの線形方程式系を解きます。

実際には、このようなタスクはそれほど珍しくありません。 このページを詳細に研究したティーポットでさえ、このようなシステムを解くためのアルゴリズムを直感的に理解していると思います。 基本的には同じ - アクションが増えるだけです。

システムに解がない (矛盾する) または無限に多くの解がある場合は、このレッスンで考慮されます。 そこで、考慮されているガウス法のアルゴリズムを修正できます。

私はあなたの成功を祈って！

解決策と答え:

例 2: 解決 : システムの拡張された行列を書き留めて、基本的な変換を使用して、それを階段状にします。


実行された基本的な変換:
(1) 最初の行が 2 番目の行に追加され、-2 が乗算されます。 1 行目が 3 行目に追加され、-1 が乗算されます。 注意！ここで、3 行目から 1 行目を減算したくなるかもしれませんが、減算は強くお勧めしません。エラーのリスクが大幅に増加します。 折りたたむだけです！
(2) 2 行目の符号を変更 (-1 倍) しました。 2 行目と 3 行目が入れ替わっています。 ノート「ステップ」では、1つだけでなく、さらに便利な-1にも満足しています。
(3) 3 行目に 2 行目を追加し、5 倍します。
(4) 2 行目の符号を変更 (-1 倍) しました。 3 行目は 14 で分割されました。

逆移動:

答え: .

例 4: 解決 : システムの拡張行列を書き、基本変換を使用して、それをステップ形式にします。

実行された変換:
(1) 1 行目に 2 行目が追加されました。 このように、目的のユニットは左上の「ステップ」に編成されます。
(2) 1 行目の 7 倍を 2 行目に加算し、1 行目の 6 倍を 3 行目に加算します。

2番目の「ステップ」では、すべてが悪化します 、その「候補」は数字の 17 と 23 であり、1 か -1 のいずれかが必要です。 変換 (3) および (4) は、目的の単位を取得することを目的としています。

(3) 2 行目が 3 行目に追加され、-1 が乗算されます。
(4) -3 を掛けた 3 行目が 2 行目に追加されました。
(3) 2 行目の 4 倍を 3 行目に追加し、2 行目の -1 倍を 4 行目に追加しました。
(4) 2 行目の符号を変更しました。 4 行目は 3 で分割され、3 行目の代わりに配置されました。
(5) 3 行目が 4 行目に追加され、-5 が乗算されます。

逆移動:

線形方程式の 2 つのシステムは、すべての解のセットが同じである場合、同等であると言われます。

連立方程式の初等変換は次のとおりです。

1. 自明な方程式系からの削除、つまり すべての係数がゼロに等しいもの。
2. 方程式にゼロ以外の数を掛ける。
3. 任意の j 番目の式の i 番目の式への加算に任意の数を掛けます。

この変数が許可されていない場合、変数 x i は free と呼ばれ、方程式系全体が許可されます。

定理。 初等変換は、方程式系を等価なものに変換します。

ガウス法の意味は、元の連立方程式を変換し、同等の許容または同等の矛盾したシステムを取得することです。

したがって、ガウス法は次の手順で構成されます。

1. 最初の方程式を考えてみましょう。 最初の非ゼロ係数を選択し、それで方程式全体を割ります。 ある変数 x i が係数 1 で入る方程式を取得します。
2. 残りの方程式の変数 x i の係数がゼロに設定されるように、この方程式を他のすべての方程式から差し引き、数字を掛けます。 変数 x i に関して解決され、元のシステムと同等のシステムが得られます。
3. 些細な方程式が発生した場合 (めったにありませんが、発生します。たとえば、0 = 0)、システムからそれらを削除します。 その結果、方程式は 1 つ少なくなります。
4. 前の手順を n 回まで繰り返します。ここで、n はシステム内の方程式の数です。 「処理」のために新しい変数を選択するたびに。 競合する方程式が発生した場合 (たとえば、0 = 8)、システムは矛盾しています。

その結果、いくつかのステップの後、許可されたシステム (おそらく自由変数を含む) または矛盾したシステムのいずれかが得られます。 許可されたシステムは、次の 2 つのケースに分類されます。

1. 変数の数は方程式の数と同じです。 したがって、システムが定義されます。
2. 変数の数 もっと数方程式。 右側の自由変数をすべて収集します。許可された変数の式を取得します。 これらの式は回答に書かれています。

それで全部です！ 一次方程式系が解けました！ これは非常に単純なアルゴリズムであり、それを習得するために数学の家庭教師に連絡する必要はありません。 例を考えてみましょう:

タスク。 連立方程式を解く：

手順の説明:

1. 2 番目と 3 番目の式から最初の式を引きます。許容される変数 x 1 が得られます。
2. 2 番目の方程式に (-1) を掛け、3 番目の方程式を (-3) で割ります。変数 x 2 が係数 1 で入力される 2 つの方程式が得られます。
3. 2 番目の式を最初の式に加算し、3 番目の式から減算します。 許可された変数 x 2 を取得しましょう。
4. 最後に、最初の式から 3 番目の式を引きます - 許容変数 x 3 を取得します。
5. 認定システムを受け取りました。回答を書き留めます。

連立一次方程式系の一般解は、元の系と同等の新しい系であり、許容される変数はすべて自由変数で表されます。

一般的な解決策が必要になるのはいつですか? k よりも少ないステップを実行する必要がある場合 (k は合計で方程式の数です)。 ただし、プロセスが何らかのステップ l で終了する理由< k , может быть две:

1. l 番目のステップの後、数 (l + 1) の方程式を含まないシステムを取得します。 実際、これは良いことです。 とにかく、解決されたシステムが受信されます-数ステップ前であっても。
2. l 番目のステップの後、変数のすべての係数がゼロに等しく、自由係数がゼロとは異なる方程式が得られます。 これは一貫性のない方程式であるため、システムは一貫性がありません。

ガウス法による矛盾した方程式の出現は、矛盾の十分な理由であることを理解することが重要です。 同時に、 l 番目のステップの結果として、自明な方程式を残すことはできません。それらはすべてプロセスで直接削除されます。

手順の説明:

1. 2 番目の式から 4 を掛けた最初の式を引きます。 また、最初の式を 3 番目の式に追加します。許可された変数 x 1 を取得します。
2. 2 番目の式から 2 を掛けた 3 番目の式を引くと、矛盾する式 0 = −5 が得られます。

したがって、一貫性のない方程式が見つかったため、システムは一貫性がありません。

タスク。 互換性を調査し、システムの一般的な解決策を見つけます。

手順の説明:

1. 2 番目の式 (2 を掛けた後) と 3 番目の式から最初の式を引きます - 許容変数 x 1 を取得します。
2. 3 番目の式から 2 番目の式を引きます。 これらの方程式の係数はすべて同じなので、3 番目の方程式は自明になります。 同時に、2 番目の式に (-1) を掛けます。
3. 最初の式から 2 番目の式を引きます - 許容変数 x 2 を取得します。 連立方程式全体も解決されました。
4. 変数 x 3 と x 4 は自由なので、許可された変数を表すためにそれらを右に移動します。 これが答えです。

したがって、2 つの許容変数 (x 1 と x 2) と 2 つの自由変数 (x 3 と x 4) があるため、このシステムは合同で不定です。