Lecție de matematică pe tema „împărțirea unui produs la un număr”. Regula de împărțire a diferenței la un număr

Împărțirea unui număr la un produs. Învață și exersează tehnici de împărțire a unui număr la un produs.

Slide 8 din prezentare „Divizia” de matematică clasa a IV-a. Dimensiunea arhivei cu prezentarea este de 2492 KB.

Matematica clasa a IV-a

„Joc de matematică în clasa a IV-a” - Zece soldați s-au aliniat la rând. KVN matematic. Dă-ți seama. Să ne jucăm cu numerele. Doi rinoceri au 2 coarne. Cifre misterioase. Sarcini pentru cei atenți. Ce număr am avut în vedere? Puzzle-uri distractive. Monedele zdrăngăneau în buzunarul lui Kolya. Găsiți simbolul „în plus”. Exprimați în unități mai mici. Ce număr nu poate fi niciodată divizor?

„Acțiuni cu numere din mai multe cifre” - Lucru individual. V. Rezolvarea problemelor care implică mișcare în direcții opuse. Minut de educație fizică. Comunicați subiectul și obiectivele lecției. Progresul lecției. Rezolvă puzzle-ul. Rezumând lecția. E: Problemă: În timpul unei călătorii, mașina transportă 172 de cutii de marfă. Numărarea orală. Moment organizatoric. Rezolvarea problemelor care implică operații cu numere din mai multe cifre.

„Sarcini pe seturi” - Nr. 2 Pentru apă dulce. Poti sa ajuti? Artiștii Cape. Înotăm cu Delfinul! " Muzicieni din orașul Bremen" Reinstalăm mulțimi. Mulțimi. Nr. 6 la pagina 4. Păsări care pot înota. Bună, pe navă! Vocale în rusă. Nr. 1 Reumplerea proviziilor. Adică, salut! Frații din basm „Păsicul în ghete”. Salutări, marinari, pe peninsula noastră! Bun venit pe Insula Poigray! Polii Pământului.

„Proprietate distributivă” - „Ar trebui să iubim matematica din acest motiv, deoarece pune mintea în ordine.” masa de curcan. Găsiți semnificația expresiilor în două moduri. Proprietățile distributive ale înmulțirii. Scrieți expresii egale cu datele. Test. Contribuția lui M. V. Lomonosov la știință. Numărarea orală. Distribuiți egalitățile în două coloane. Eșantion de verificare.

„Elemente de geometrie în școala elementară” - Modalități raționale de rezolvare a problemelor. Mărimi geometrice. Linii drepte. Multe forme geometrice. Trei bețe. Relații spațiale. Foaie dreptunghiulară. Studierea elementelor de bază ale geometriei. Originalitate și independență de gândire. Exemple de probleme de tip deschis.

„Unități de zonă Clasa 4” - Matematicienii au propriul lor limbaj. Unități de suprafață. O sută este o nouă unitate de suprafață. Revedeți scrisul de pe tablă. Formule. Lungimea totală a granițelor Rusiei este de 60.933 km. Notați în caiet, aranjați aceste numere în ordine crescătoare. Loto matematic. Sarcini. Prinde greșeala. Sotka este un ar. Hectar.

Există un total de 51 de prezentări la tema „Matematică clasa a IV-a”

Împărțirea numerelor întregi, reguli, exemple.

În acest articol ne vom uita la împărțirea numerelor întregi fără rest. Aici vom vorbi doar despre împărțirea unor astfel de numere întregi, ale căror valori absolute sunt divizibile cu un întreg (vezi sensul împărțirii numerelor naturale fără rest). Vom vorbi despre împărțirea numerelor întregi cu un rest într-un articol separat.

Mai întâi, vom introduce termenii și notația pe care le vom folosi pentru a descrie împărțirea numerelor întregi. În continuare vom indica semnificația împărțirii numerelor întregi, ceea ce ne va ajuta să obținem regulile de împărțire a numerelor întregi pozitive, întregi negative și întregi cu semne diferite. Aici ne vom uita la exemple de aplicare a regulilor de împărțire a numerelor întregi. În cele din urmă, vom arăta cum să verificăm rezultatul împărțirii numerelor întregi.

Termeni și simboluri

Pentru a descrie împărțirea numerelor întregi, vom folosi aceiași termeni și notații pe care le-am folosit pentru a descrie împărțirea numerelor naturale (vezi secțiunea despre teoria dividendului, divizorului, coeficientului și semnului împărțirii). Să le reamintim.

Numărul întreg care este împărțit este numit divizibil. Numărul întreg prin care se face împărțirea se numește separator. Rezultatul împărțirii numerelor întregi se numește privat.

Împărțirea este indicată printr-un simbol de forma:, care se află între dividend și divizor (uneori există un simbol ÷, care denotă și împărțirea). Împărțirea unui număr întreg a cu un număr întreg b poate fi scrisă folosind simbolul: ca a:b . Dacă împărțirea unui număr întreg a la un număr întreg b are ca rezultat un număr c, atunci este convenabil să scrieți acest fapt ca egalitatea a:b=c. O expresie de forma a:b se mai numește și coeficient, la fel ca și sensul acestei expresii.

Semnificația împărțirii numerelor întregi

Știm că există o legătură între înmulțirea și împărțirea numerelor naturale. Din această legătură am ajuns la concluzia că diviziunea înseamnă găsirea unui factor necunoscut atunci când al doilea factor și produsul sunt cunoscuți. Să dăm același sens împărțirii numerelor întregi. Adică, împărțirea numerelor întregi înseamnă găsirea, folosind un produs dat și unul dintre factorii întregi, a unui alt factor întreg.

Pe baza semnificației împărțirii numerelor întregi, putem spune că dacă produsul a două numere întregi a și b este egal cu c, atunci câtul lui c împărțit la a este egal cu b, iar câtul lui c împărțit la b este egal la a. Să dăm un exemplu. Să presupunem că știm că produsul a două numere întregi 5 și −7 este egal cu −35, atunci putem spune că câtul (−35):5 este egal cu −7, iar câtul (−35):(−7) ) este egal cu 5.

Rețineți că câtul unui număr întreg a împărțit la un număr întreg b este un număr întreg (dacă a este divizibil cu b fără rest).

Reguli pentru împărțirea numerelor întregi

Sensul împărțirii numerelor întregi, indicat în paragraful anterior, ne permite să afirmăm că unul dintre cei doi factori este coeficient din împărțirea produsului lor la celălalt factor. Dar nu oferă o modalitate de a găsi un factor necunoscut dintr-un factor și produs cunoscut. De exemplu, egalitatea 6·(−7)=−42 ne permite să spunem că coeficientii (−42):6 și (−42):(−7) sunt egali cu −7 și, respectiv, 6. Totuși, dacă știm că produsul a doi factori este egal cu 45 și unul dintre factori este egal cu −5, atunci sensul împărțirii numerelor întregi nu ne oferă un răspuns direct la întrebarea cu ce este egal celălalt factor. .

Acest raționament ne conduce la următoarea concluzie: avem nevoie de reguli care să ne permită să împărțim un întreg la altul. Acum le vom primi. Aceste reguli ne vor permite să reducem împărțirea numerelor întregi la împărțirea numerelor naturale.

Împărțirea numerelor întregi pozitive

Numerele întregi pozitive sunt numere naturale, deci împărțirea numerelor întregi pozitive urmează toate regulile de împărțire a numerelor naturale. Nu mai este nimic de adăugat aici, trebuie doar să luăm în considerare soluția la câteva exemple în care se realizează împărțirea numerelor întregi pozitive.

Împărțiți numărul întreg pozitiv 104 la numărul întreg pozitiv 8.

Dividend 104 in în acest caz, poate fi reprezentat ca sumă 80+24 și apoi folosiți regula împărțirii sumei la acest număr. Obținem 104:8=(80+24):8=80:8+24:8=10+3=13.

Calculați coeficientul 308 716:452.

În acest caz, cea mai ușoară modalitate de a obține coeficientul de împărțire a acestor numere întregi pozitive este efectuarea diviziunii lungi:

Regula pentru împărțirea numerelor întregi negative, exemple

Următorul raționament ne va ajuta să formulăm regula de împărțire a numerelor întregi negative.

Trebuie să împărțim un număr întreg negativ a la un întreg negativ b. Să notăm cu litera c câtul necesar de împărțire a a la b, adică a:b=c. Să aflăm mai întâi care este valoarea absolută a numărului c.

Datorită semnificației împărțirii numerelor întregi, egalitatea b·c=a trebuie să fie adevărată. Apoi . Proprietățile modulului unui număr ne permit să scriem egalitatea , prin urmare, . Din egalitatea rezultată rezultă că, adică valoarea absolută a coeficientului este egală cu câtul modulelor dividendului și divizorului.

Rămâne de determinat semnul numărului c. Cu alte cuvinte, să aflăm dacă rezultatul împărțirii numerelor întregi negative este un întreg pozitiv sau negativ.

În sensul împărțirii numerelor întregi, egalitatea b·c=a este adevărată. Apoi din regulile de înmulțire a numerelor întregi rezultă că numărul c trebuie să fie pozitiv. În caz contrar, b·c va fi un produs al numerelor întregi negative, care, conform regulii înmulțirii, va fi egal cu produsul modulelor factorilor, prin urmare, va fi un număr pozitiv, iar numărul nostru a este un număr întreg negativ. Astfel, câtul c al împărțirii numerelor întregi negative este un întreg pozitiv.

Acum să combinăm concluziile pe care le-am tras în regula de împărțire a numerelor întregi negative. Pentru a împărți un număr întreg negativ la un întreg negativ, trebuie să împărțiți modulul dividendului la modulul divizorului. Adică, dacă a și b sunt numere întregi negative, atunci .

Să luăm în considerare utilizarea regulii pentru împărțirea numerelor întregi negative atunci când rezolvăm exemple.

Împărțiți întregul negativ −92 la întregul negativ −4.

Conform regulii de împărțire a numerelor întregi negative, rezultatul dorit este egal cu câtul dintre modulul dividendului împărțit la modulul divizorului. Înțelegem.

Împărțirea numerelor naturale: reguli, exemple și soluții.

În acest articol vom înțelege regulile după care împărțirea numerelor naturale. Aici vom lua în considerare doar împărțirea numerelor naturale fără rest, sau, cum se mai spune, diviziune completă(adică numai acele cazuri în care se păstrează sensul împărțirii numerelor naturale). Împărțirea numerelor naturale cu un rest merită un articol separat.

Regulile de împărțire a numerelor naturale nu pot fi formulate fără a urmări legătura dintre împărțire și înmulțire, ceea ce s-a făcut chiar la începutul acestui articol. Mai jos sunt cele mai multe reguli simpleîmpărțirile care decurg direct din proprietățile acestei acțiuni sunt împărțirea numerelor naturale egale și împărțirea unui număr natural la unu. După aceasta, împărțirea folosind tabelul înmulțirii este discutată în detaliu cu exemple. Următoarele arată cum se realizează împărțirea la zece, o sută, mii etc., împărțirea numerelor naturale ale căror înregistrări se termină cu 0 și toate celelalte cazuri. Tot materialul este prevăzut cu exemple descriere detaliată deciziilor. La sfârșitul articolului, vă arătăm cum să verificați rezultatul împărțirii folosind înmulțirea. Ca rezultat, veți avea toate abilitățile necesare pentru a împărți numere naturale arbitrare.

Navigare în pagină.

Relația dintre împărțire și înmulțire

Să urmărim legătura dintre împărțire și înmulțire. Pentru a face acest lucru, amintiți-vă că diviziunea este asociată cu reprezentarea mulțimii pe care o împărțim ca o uniune a mai multor mulțimi identice în care împărțim mulțimea originală (am vorbit despre acest lucru în secțiunea ideea generală a împărțirii). La rândul său, înmulțirea este asociată cu combinarea unui anumit număr de mulțimi identice într-una singură (dacă este necesar, consultați secțiunea teorie - o idee generală a înmulțirii). Astfel, împărțirea este inversul înmulțirii.

Să explicăm ce înseamnă ultima frază.

Pentru a face acest lucru, luați în considerare următoarea situație. Să avem b seturi de c obiecte fiecare și le combinăm într-un singur set, care produce un obiect. Pe baza semnificației înmulțirii numerelor naturale, se poate susține că acțiunii descrise corespunde egalității c·b=a. Acum împărțim din nou mulțimea rezultată în b mulțimi identice. Este clar că în acest caz vor exista c obiecte în fiecare mulțime rezultată. Apoi, amintindu-ne sensul împărțirii numerelor naturale, putem scrie egalitatea a:b=c.

Ajungem la următoarea afirmație: dacă produsul numerelor naturale c și b este egal cu a, atunci câtul împărțirii a la b este egal cu c.

Deci, dacă c·b=a, atunci a:b=c. Totuși, datorită proprietății comutative a înmulțirii numerelor naturale, putem rescrie egalitatea c·b=a ca b·c=a, ceea ce implică că a:c=b. Astfel, dacă știm că produsul a două numere naturale c și b este egal cu a, adică c·b=a, atunci putem spune că coeficientii a:b și a:c sunt egali cu c și respectiv b .

Pe baza tuturor informațiilor furnizate, se poate da o definiție a împărțirii numerelor naturale pe baza înmulțirii.

Diviziune este o acțiune prin care se găsește un factor atunci când se cunosc produsul și un alt factor.

Pe baza acestei definiții, vom construi reguli pentru împărțirea numerelor naturale.

Împărțirea numerelor naturale ca scădere secvențială

În principiu, știind că împărțirea este inversul înmulțirii este suficient pentru a învăța cum să efectuați această operație. Cu toate acestea, aș dori să vorbesc despre o altă abordare a împărțirii numerelor naturale, în care împărțirea este considerată ca scădere secvențială. Acest lucru se datorează simplității și evidenței sale.

Pentru a face totul cât mai clar posibil, să ne uităm la un exemplu.

Care este rezultatul împărțirii a 12 la 4?

Pe baza semnificației împărțirii numerelor naturale, problema pusă poate fi modelată după cum urmează: sunt 12 obiecte, acestea trebuie împărțite în grămezi egale de câte 4 obiecte în fiecare, numărul de grămezi obținut ne va oferi răspunsul la întrebare. din ceea ce este egal coeficientul 12:4.

Să luăm secvenţial, pas cu pas, 4 articole din elementele iniţiale şi să formăm grămezile necesare din ele până când elementele iniţiale se epuizează. Numărul de pași pe care trebuie să-i facem ne va spune numărul de grămezi rezultate și, prin urmare, răspunsul la întrebarea pusă.

Deci, din cele 12 articole inițiale, am lăsat 4 deoparte, ele formează primul teanc. După această acțiune, 12−4=8 elemente rămân în grămada originală (dacă este necesar, amintiți-vă semnificația scăderii numerelor naturale). Din aceste 8 articole luăm încă 4 articole și formăm o a doua grămadă din ele. După această acțiune, 8−4=4 elemente rămân în teancul original de obiecte. Evident, din elementele rămase putem forma o altă grămadă, a treia, după care nu vom mai avea un singur articol în grămada originală (adică vom avea 4−4 = 0 articole în grămada originală). Astfel, am obținut 3 grămezi și putem spune că am împărțit numărul natural 12 la număr natural 4, în timp ce obțineți 3.

Acum să ne îndepărtăm de obiecte și să vedem ce am făcut cu numerele naturale 12 și 4? Am efectuat scăderea secvențială a divizorului 4 până când am obținut zero, numărând în același timp numărul de acțiuni necesare, ceea ce ne-a dat rezultatul împărțirii.

Concluzie: împărțirea unui număr natural la altul se poate face prin scăderea secvențială.

Pentru a consolida materialul acestui paragraf al articolului, să luăm în considerare soluția unui alt exemplu.

Să calculăm câtul 108:27 efectuând scăderea secvențială.

Prima acțiune: 108−27=81 (dacă aveți dificultăți cu scăderea, consultați articolul despre scăderea numerelor naturale).

A doua acțiune: 81−27=54.

A treia acțiune: 54−27=27.

Deci, am obținut zero prin scăderea secvenţială de 4 ori, prin urmare, 108:27=4.

Este demn de remarcat faptul că împărțirea numerelor naturale în acest mod este convenabilă de utilizat numai atunci când este necesar un număr mic de scăderi succesive pentru a obține rezultatul. În alte cazuri, se folosesc regulile de împărțire a numerelor naturale, pe care le vom discuta în detaliu mai jos.

Împărțirea numerelor naturale egale

Coeficientul unui număr natural împărțit la numărul său natural egal este egal cu unu. Această afirmație este o proprietate a împărțirii numerelor naturale egale.

De exemplu, 1:1=1, 143:143=1, rezultatul împărțirii numerelor naturale 10.555 și 10.555 este, de asemenea, unul.

Împărțirea unui număr natural la unu

Proprietatea de a împărți un număr natural la unu ne permite să formulăm imediat regula împărțirii corespunzătoare. Sună așa: câtul oricărui număr natural împărțit la unu este egal cu numărul natural care se împarte.

De exemplu, 21:1=21, 13.003:1=13.003, în mod similar, rezultatul împărțirii numărului natural 555.987 la unu este numărul 555.987.

Împărțirea numerelor naturale folosind tabele de înmulțire

După cum știți, tabla înmulțirii vă permite să găsiți produsul a două numere naturale cu o singură cifră.

Folosind tabelul înmulțirii, puteți găsi, de asemenea, unul dintre cei doi factori cu o singură cifră, dacă produsul și celălalt factor sunt cunoscuți. Și în primul paragraf al acestui articol am aflat că împărțirea înseamnă găsirea unuia dintre factorii din produs și un alt factor. Astfel, folosind tabelul înmulțirii, puteți împărți oricare dintre numerele naturale aflate în tabelul înmulțirii pe fond roz cu un număr natural dintr-o singură cifră.

De exemplu, să împărțim 48 la 6. Folosind tabla înmulțirii, acest lucru se poate face în unul din două moduri. Să dăm mai întâi o ilustrare grafică, apoi să dăm o descriere.

Prima metodă (corespunde cu imaginea de mai sus din stânga). Găsim dividendul (în exemplul nostru, numărul natural 48) în coloana din celula de sus a căreia există un divizor (de exemplu, numărul 6). Rezultatul împărțirii se află în celula din stânga a rândului în care se află dividendul găsit. Pentru exemplul nostru, acesta este numărul 8, care este încercuit cu albastru.

A doua metodă (corespunde cu imaginea de mai sus din dreapta). Găsim dividendul 48 în rândul în care se află divizorul 6 în celula din stânga. Coeficientul necesar în acest caz este situat în celula de sus a coloanei în care se află dividendul găsit 48. Rezultatul este încercuit cu albastru.

Deci, folosind tabla înmulțirii, am împărțit 48 la 6 și am obținut 8.

Pentru a consolida materialul, vă prezentăm un desen care arată procesul de împărțire a numărului natural 7 la 1.

Împărțire cu 10, 100, 1.000 etc.

Vom da imediat formularea regulii de împărțire a numerelor naturale la 10, 100, 1.000, ... (vom presupune că o astfel de împărțire este posibilă) și vom da un exemplu, apoi vom da explicațiile necesare.

Rezultatul împărțirii unui număr natural la 10, 100, 1.000 etc. este un număr natural, a cărui notare se obține din notarea dividendului dacă unul, doi, trei și așa mai departe se aruncă zerouri în dreapta (adică se aruncă atâtea cifre 0 câte sunt conținute în notația de dividendul).

De exemplu, câtul de 30 împărțit la 10 este egal cu 3 (o cifră 0 a fost eliminată din dreapta dividendului de 30), iar câtul de 120.000:1.000 este egal cu 120 (trei cifre de 0 au fost eliminate din drept de 120.000).

Regula declarată este destul de simplu de justificat. Pentru a face acest lucru, amintiți-vă regulile pentru înmulțirea unui număr natural cu zece, o sută, o mie etc. Să dăm un exemplu. Trebuie să calculăm coeficientul 10 200:100. Deoarece 102·100=10.200, atunci, datorită legăturii dintre adunare și înmulțire, rezultatul împărțirii numărului natural 10.200 la 100 este numărul natural 102.

Reprezentarea dividendului ca produs

Uneori, împărțirea numerelor naturale vă permite să reprezentați dividendul ca un produs a două numere, dintre care cel puțin unul este divizibil cu divizor. Această metodă de împărțire se bazează pe proprietatea de a împărți produsul a două numere la un număr natural.

Să ne uităm la unul dintre cele mai simple exemple tipice.

Împărțiți 30 la 3.

Evident, dividendul 30 poate fi reprezentat ca produsul numerelor naturale 3 și 10. Avem 30:3=(3·10):3. Utilizați proprietatea de a împărți produsul a două numere la un număr natural. Avem (3·10):3=(3:3)·10=1·10=10. Deci, câtul de 30 împărțit la 3 este 10.

Să dăm soluții la câteva exemple similare.

Împărțiți 7.200 la 72.

În acest caz, dividendul 7200 poate fi considerat ca fiind produsul numerelor 72 și 100. În acest caz, obținem următorul rezultat: 7 200:72=(72·100):72= (72:72)·100=1·100=100.

Împărțiți 1.600.000 la 160.

Evident, 1.600.000 este produsul dintre 160 și 10.000, deci 1.600.000:160=(160·10.000):160= (160:160)·10.000=1·10.000=10.000.

1 600 000:160=10 000 .

În mai mult exemple complexe Când reprezentați dividendul ca produs, trebuie să vă bazați pe tabla înmulțirii. Următoarele exemple vor clarifica ce ne referim.

Împărțiți numărul natural 5400 la 9.

Folosind tabelul înmulțirii, putem împărți 54 la 9, așa că este logic să prezentăm dividendul 5.400 ca un produs de 54·100 și să completăm împărțirea: 5.400:9=(54·100):9= (54:9) ·100=6·100 =600 .

Pentru a consolida materialul, luați în considerare soluția unui alt exemplu.

Să calculăm coeficientul 120:4.

Pentru a face acest lucru, imaginați-vă dividendul 120 ca produsul dintre 12 și 10, după care folosim proprietatea de a împărți produsul a două numere la un număr natural. Avem 120:4=(12·10):4=(12:4)·10=3·10=30.

Împărțirea numerelor naturale care se termină cu 0

Aici trebuie să ne amintim proprietatea de a împărți un număr natural la produsul a două numere. Să explicăm de ce. Pentru a efectua împărțirea numerelor naturale ale căror intrări se termină cu 0, divizorul este reprezentat ca produs a două numere naturale, iar apoi se aplică proprietatea de împărțire menționată.

Să înțelegem asta cu exemple. Să luăm două numere naturale ale căror intrări se termină cu zero și să le împărțim.

Împărțiți 490 la 70.

Deoarece 70=10·7, atunci 490:70=490:(10·7). Ultima expresie, datorită proprietății de a împărți un număr natural la un produs, este egală cu (490:10):7. Am învățat cum să împărțim la 10 într-unul din paragrafele anterioare, obținem (490:10):7=49:7. Găsim coeficientul rezultat folosind tabelul înmulțirii și, ca rezultat, obținem 490:70=7.

Pentru a consolida materialul, să luăm în considerare soluția unui alt exemplu mai complex.

Să calculăm coeficientul 54.000:5.400.

Reprezentăm 5.400 ca produs de 100·54 și împărțim numărul natural la produsul: 54.000:5.400=54.000:(100·54)= (54.000:100):54=540:54. Aici rămâne să ne imaginăm 540 ca 54·10 (dacă este necesar, reveniți la punctul anterior) și să terminați calculele: 540:6=(54·10):54= (54:54)·10=1·10=10 . Deci, 54.000:5.400=10.

Informațiile din acest paragraf pot fi rezumate prin următoarea declarație: dacă atât în ​​înregistrarea dividendului, cât și a divizorului există numere 0 în dreapta, atunci în înregistrări trebuie să scăpați de același număr de zerouri din dreapta , apoi împărțiți numerele rezultate. De exemplu, împărțirea numerelor naturale 818.070.000 și 201.000 se reduce la împărțirea numerelor 818.070 și 201 după ce eliminăm trei cifre 0 din înregistrările dividendului și divizorului din dreapta.

Selecția de privat

Fie numerele naturale a și b astfel încât a să fie divizibil cu b, iar dacă b este înmulțit cu 10, rezultatul este un număr care este mai mare decât a. În acest caz, câtul a:b este un număr natural dintr-o singură cifră, adică un număr de la 1 la 9 și este cel mai ușor de găsit. Pentru a face acest lucru, divizorul este înmulțit succesiv cu 1, 2, 3 și așa mai departe până când produsul este egal cu dividendul. De îndată ce se obține o astfel de egalitate, se va găsi câtul a:b.

Să găsim coeficientul 108:27.

Evident, divizorul 108 este mai mic decât 27 10 = 270 (dacă este necesar, consultați articolul care compară numerele naturale). Să selectăm coeficientul. Pentru a face acest lucru, vom înmulți succesiv divizorul 27 cu 1, 2, 3, ... până când obținem dividendul 108. Să mergem: 27·1=27, 27·2=54, 27·3=81, 27·4=108 (dacă este necesar, vezi articolul despre înmulțirea numerelor naturale). Prin urmare, 108:27=4.

În încheierea acestui paragraf, observăm că în astfel de cazuri coeficientul nu poate fi selectat, ci găsit folosind scăderea secvenţială.

Reprezentarea dividendului ca sumă de numere naturale

Dacă toate metodele discutate mai sus nu permit împărțirea numerelor naturale, atunci trebuie să reprezentați dividendul ca sumă a mai multor termeni, fiecare dintre care este ușor împărțit de divizor. În continuare, va trebui să utilizați proprietatea de a împărți suma numerelor naturale la un număr dat și să finalizați calculele. Rămășițe întrebarea principală: „Sub ce termeni ar trebui să reprezentăm dividendul”?

Să descriem algoritmul pentru obținerea termenilor care se adună la dividend. Pentru o mai mare accesibilitate, vom lua în considerare simultan un exemplu în care dividendul este egal cu 8.551 și divizorul este egal cu 17.

Mai întâi, calculăm cu cât numărul de cifre din dividend este mai mare decât numărul de cifre din divizor și ne amintim acest număr.

De exemplu, dacă dividendul este numărul natural 8551, iar divizorul este numărul 17, atunci înregistrarea dividendului conține încă 2 cifre (8551 este un număr din patru cifre, 17 este un număr din două cifre, deci diferența în numărul de cifre este determinat de diferenţa 4−2=2) . Adică, amintiți-vă de numărul 2.

Acum în intrarea divizorului din dreapta adunăm numerele 0 în cantitatea determinată de numărul obținut în paragraful anterior. În plus, dacă numărul scris este mai mare decât dividendul, atunci trebuie să scazi 1 din numărul amintit în paragraful anterior.

Să revenim la exemplul nostru. În intrarea pentru divizorul 17, adăugăm două cifre 0 la dreapta și obținem numărul 1.700. Acest număr este mai mic decât dividendul 8551, astfel încât numărul amintit în paragraful anterior NU trebuie redus cu 1. Astfel, numărul 2 rămâne în memoria noastră.

După aceasta, numărului 1 din dreapta atribuim numerele 0 într-o sumă determinată de numărul memorat în paragraful anterior. În acest caz, obținem o unitate de cifră, cu care vom lucra în continuare.

În exemplul nostru, atribuim 2 zerouri numărului 1, avem numărul 100, adică vom lucra cu locul sutelor.

Acum înmulțim succesiv divizorul cu 1, 2, 3, ... unități ale cifrei de lucru până când obținem un număr mai mare decât dividendul.

În exemplul nostru, cifra de lucru este cifra sutelor. Prin urmare, înmulțim mai întâi divizorul cu o unitate în locul sutelor, adică înmulțim 17 cu 100, obținem 17·100=1.700. Numărul rezultat 1.700 este mai mic decât dividendul 8.551, așa că trecem la înmulțirea divizorului cu două unități în locul sutelor, adică înmulțirea lui 17 cu 200. Avem 17·200=3 400 8 551 .

Numărul obținut la penultimul pas al înmulțirii este primul dintre termenii solicitați.

În exemplul analizat, termenul necesar este numărul 8.500 (acest număr este egal cu produsul 17·500, din care se poate observa că 8.500:17=500, vom folosi această egalitate în continuare).

După aceasta, găsim diferența dintre dividend și primul termen găsit. Dacă numărul rezultat nu este egal cu zero, atunci trecem la găsirea celui de-al doilea termen. Pentru a face acest lucru, repetăm ​​toți pașii descriși ai algoritmului, dar acum luăm ca dividend numărul obținut aici. Dacă în acest moment obținem din nou un număr altul decât zero, atunci procedăm la găsirea celui de-al treilea termen, repetând din nou pașii algoritmului, luând ca dividend numărul rezultat. Și așa mergem mai departe, găsind termenii al patrulea, al cincilea și următorii până când numărul obținut în acest punct este egal cu zero. De îndată ce obținem 0 aici, atunci toți termenii sunt găsiți și putem trece la partea finală a calculării coeficientului inițial.

Să revenim la exemplul nostru. La acest pas avem 8.551−8.500=51. Deoarece 51 nu este egal cu 0, luăm acest număr ca dividend și repetăm ​​toți pașii algoritmului cu el.

Numărul de caractere din înregistrările numerelor 51 și al divizorului 17 este același, așa că ne amintim numărul 0.

În intrarea divizorului, nu este nevoie să adăugați o singură cifră 0 la dreapta, deoarece am memorat numărul 0. Adică, numărul 17 rămâne așa cum este. Acest număr este mai mic de 51, deci nu este nevoie să scădeți unul din numărul memorat 0. Astfel, numărul 0 rămâne în memoria noastră.

Nu vom atribui o singură cifră 0 numărului 1 din dreapta, deoarece avem numărul 0 în memorie. Adică vom lucra cu cifrele celor.

Acum înmulțim succesiv divizorul 17 cu 1, 2, 3 și așa mai departe până când obținem un număr mai mare de 51. Avem 17·1=17 51 . În penultimul pas am obținut numărul 51 (acest număr este egal cu produsul 17·3 și îl vom folosi în continuare). Prin urmare, al doilea termen este numărul 51.

Aflați diferența dintre numărul 51 și numărul 51 obținut în paragraful anterior. Avem 51−51=0. Prin urmare, încetăm să căutăm termeni.

Acum știm că dividendul 8.551 trebuie reprezentat ca suma a doi termeni 8.500 și 51.

Să terminăm de găsirea coeficientului. Avem 8.551:17=(8.500+51):17. Acum ne amintim de proprietatea împărțirii sumei a două numere la un număr natural, ceea ce ne conduce la egalitatea (8.500+51):17=8.500:17+51:17. Mai sus am aflat că 8.500:17=500 și 51:17=3. Astfel, 8500:17+51:17=500+3=503. Deci, 8551:17=503.

Pentru a consolida abilitățile de a reprezenta dividendul ca o sumă de termeni, să luăm în considerare rezolvarea unui alt exemplu.

Împărțiți 64 la 2.

1) Dividendele are un semn mai mult decât divizorul, așa că rețineți numărul 1.

2) Dacă adăugăm o cifră 0 la divizorul din dreapta, atunci obținem numărul 20, care este mai mic decât dividendul 64. Prin urmare, numărul 1 memorat nu trebuie redus cu unu.

3) Acum lui 1 îi atribuim unul (întrucât avem numărul 1 în memorie) numărul 0 în dreapta, obținem numărul 10, adică vom lucra cu zeci.

4) Începem să înmulțim secvențial divizorul 2 cu 10, 20, 30 etc. Avem: 2·10=20 64 . Astfel, primul termen este numărul 60 (deoarece 2·30=60, apoi 60:2=30, această egalitate ne va fi utilă mai târziu).

5) Calculați diferența 64−60, care este egală cu 4. Putem împărți cu ușurință acest număr la un divizor 2, așa că vom lua acest număr ca al doilea (și ultimul) termen. (Desigur, am putea să luăm acest număr drept dividend și să trecem din nou prin toți pașii algoritmului; ei ne vor conduce la faptul că al doilea termen este numărul 4.)

Deci, am prezentat dividendul 64 ca sumă a doi termeni 60 și 4. Rămâne de finalizat calculele: 64:2=(60+4):2=60:2+4:2=30+2=32.

Să mai rezolvăm un exemplu.

Să calculăm coeficientul 1 178:31.

1) Există 2 cifre mai multe în notația de dividend decât în ​​divizor. Prin urmare, amintiți-vă de numărul 2.

2) Dacă adăugăm două cifre 0 la divizorul din dreapta, obținem numărul 3 100, care este mai mare decât dividendul. Prin urmare, numărul 2 amintit în paragraful anterior trebuie redus cu unul: 2−1=1, rețineți acest număr.

3) Acum la numărul 1 adăugăm o cifră 0 din dreapta, obținem numărul 10 și apoi lucrăm cu zeci.

4) Înmulțiți constant divizorul cu 10, 20, 30 etc. Se obține 31·10=310 1 178. Așa am găsit primul termen. Este egal cu 930 (mai târziu vom avea nevoie de egalitatea 930:31=30, care rezultă din egalitatea 31·30=930).

5) Calculați diferența: 1.178−930=248. Deoarece am primit un număr care nu este egal cu zero, îl acceptăm ca dividend și începem căutarea celui de-al doilea termen folosind același algoritm.

1) Numărul 248 are cu 1 cifră mai mult decât divizorul 31. Prin urmare, ne amintim numărul 1.

2) Adăugați o cifră 0 la divizorul din dreapta, obținem numărul 310, care este mai mare decât numărul 248. Prin urmare, din numărul 1 memorat trebuie să scădeți 1, în acest caz obținem numărul 0 și îl amintim.

3) Deoarece avem numărul 0 în memorie, nu este nevoie să adăugăm zerouri la numărul 1 din dreapta. Deci lucrăm cu unități.

4) Înmulțiți constant divizorul 31 cu 1, 2, 3 și așa mai departe. Avem 31·1=31.248. Al doilea termen este egal cu 248 (din egalitatea 248=31·8 rezultă că 248:31=8, vom avea nevoie de acesta mai târziu).

5) Calculăm diferența dintre numărul 248 și numărul rezultat 248, avem 248−248=0. În consecință, căutarea termenilor se oprește aici.

Astfel, reprezentăm 1.178 ca sumă 930+248. Mai rămâne doar să finalizați calculele: 1.178:31=(930+248):31= 930:31+248:31=30+8=38 (am fost atenți la rezultatele 930:31=30 și 248:31). =8 de mai sus).

În acest articol vom studia idei generale legate de împărțirea numerelor naturale. Ele sunt de obicei numite proprietăți ale procesului de fisiune. Le vom analiza pe cele principale, le vom explica semnificația și ne vom susține raționamentul cu exemple.

Împărțirea a două numere naturale egale

Pentru a înțelege cum să împărțiți un număr natural cu altul egal cu acesta, trebuie să reveniți la înțelegerea sensului procesului de divizare în sine. Rezultatul final depinde de ce semnificație dăm divizorului. Să ne uităm la două opțiuni posibile.

Deci, avem un obiect (a este un număr natural arbitrar). Să distribuim articolele în mod egal în grupuri, iar numărul de grupuri ar trebui să fie egal cu a. Evident, va fi un singur subiect în fiecare grupă.

Să reformulăm puțin diferit: cum să distribuiți un obiect în grupuri de obiecte în fiecare? Câte grupuri vor fi până la urmă? Desigur, doar unul.

Să rezumăm și să derivăm prima proprietate de împărțire a numerelor naturale de aceeași dimensiune:

Definiția 1

Împărțind un număr natural la egalul său rezultă unul. Cu alte cuvinte, a: a = 1 (a este orice număr natural).

Să ne uităm la două exemple pentru claritate:

Exemplul 1

Dacă 450 este împărțit la 450, rezultatul este 1. Dacă împărțiți 67 la 67, obțineți 1.

După cum puteți vedea, nimic nu depinde de numerele specifice, rezultatul va fi același, cu condiția ca dividendul și divizorul să fie egali.

Împărțirea unui număr natural la unu

Ca și în paragraful anterior, să începem cu sarcinile. Să presupunem că avem orice obiecte în cantitate egală cu a. Este necesar să le împărțiți într-un număr de părți cu câte un subiect în fiecare. Este clar că vom ajunge cu o piese.

Și dacă ne întrebăm: câte obiecte vor fi într-un grup dacă un obiect este plasat în el? Răspunsul este evident - a.

Astfel, ajungem la formularea proprietății de a împărți numerele naturale la 1:

Definiția 2

Când orice număr natural este împărțit la unu, se obține același număr, adică a: 1 = a.

Să ne uităm la 2 exemple:

Exemplul 2

Dacă împărțiți 25 la 1, obțineți 25.

Exemplul 3

Dacă împărțiți 11.345 la 1, rezultatul este 11.345.

Lipsa proprietății comutative pentru împărțirea numerelor naturale

În cazul înmulțirii, putem schimba liber factorii și obținem același rezultat, dar această regulă nu se aplică împărțirii. Dividendele și divizorul pot fi schimbate numai dacă sunt numere naturale egale (am discutat deja despre această proprietate în primul paragraf). Adică, putem spune că proprietatea comutativă se aplică numai dacă în împărțire sunt implicate numere naturale egale.

În alte cazuri, nu puteți schimba dividendul și divizorul, deoarece acest lucru va distorsiona rezultatul. Să explicăm mai detaliat de ce.

Nu putem împărți întotdeauna orice numere naturale în altele, de asemenea luate în mod arbitrar. De exemplu, dacă dividendul este mai mic decât divizorul, atunci nu putem rezolva un astfel de exemplu (vom discuta despre cum să împărțim numerele naturale cu un rest într-un material separat). Cu alte cuvinte, dacă un număr natural egal cu a, putem împărți la b? Și valorile lor nu sunt egale, atunci a va fi mai mare decât b, iar notația b: a nu va avea sens. Să derivăm regula:

Definiția 3

Împărțirea sumei a 2 numere naturale la un alt număr natural

Pentru a explica mai bine această regulă, să luăm câteva exemple ilustrative.

Avem un grup de copii, printre care trebuie să împărțim în mod egal mandarinele. Fructele se pun in doua pungi. Să luăm condiția ca numărul de mandarine să fie astfel încât să poată fi împărțit între toți copiii fără niciun rest. Puteți turna mandarinele într-o pungă comună, apoi împărțiți și distribuiți. Sau puteți împărți mai întâi fructele dintr-o pungă, apoi din cealaltă. Evident, în ambele cazuri nimeni nu va fi jignit și totul va fi împărțit în mod egal. Prin urmare putem spune:

Definiția 4

Rezultatul împărțirii sumei a 2 numere naturale la un alt număr natural este egal cu rezultatul adunării coeficientilor împărțirii fiecărui termen la același număr natural, i.e. (a + b) : c = a: c + b: c . În acest caz, valorile tuturor variabilelor sunt numere naturale, valoarea a poate fi împărțită la c, iar b poate fi împărțită și la c fără rest.

Avem o egalitate, pe partea dreaptă a cărei împărțire se efectuează prima, iar adunarea este efectuată a doua (amintiți-vă cum să efectuați corect operațiile aritmetice în ordine).

Să demonstrăm validitatea egalității rezultate folosind un exemplu.

Exemplul 4

Să luăm numere naturale potrivite: (18 + 36) : 6 = 18: 6 + 36: 6 .

Acum să calculăm și să aflăm dacă este corect. Să calculăm valoarea părții stângi: 18 + 36 = 54 și (18 + 36): 6 = 54: 6.

Ne amintim rezultatul din tabla înmulțirii (dacă ați uitat, găsiți în ea valoarea necesară): 54: 6 = 9.

Să ne amintim cât va fi 18: 6 = 3 și 36: 6 = 6. Deci, 18: 6 + 36: 6 = 3 + 6 = 9.

Se obține egalitatea corectă: (18 + 36): 6 = 18: 6 + 36: 6.

Suma numerelor naturale, care apare ca dividend în exemplu, poate fi nu numai 2, ci și 3 sau mai mult. Această proprietate, în combinație cu proprietatea asociativă de a adăuga numere naturale, ne oferă posibilitatea de a efectua astfel de calcule.

Exemplul 5

Deci, (14 + 8 + 4 + 2) : 2 va fi egal cu 14: 2 + 8: 2 + 4: 2 + 2: 2.

Împărțirea diferenței a 2 numere naturale la un alt număr natural

Într-un mod similar, putem deriva o regulă pentru diferența numerelor naturale, pe care o vom împărți la un alt număr natural:

Definiția 5

Rezultatul împărțirii diferenței a două numere naturale la o treime este egal cu ceea ce obținem scăzând din câtul minuend și al treilea număr câtul subtraendului și al treilea număr.

Aceste. (a - b) : c = a: c – b: c . Valorile variabilelor sunt numere naturale, cu un mai mare decât b sau egal cu acesta, a și b pot fi împărțite la c.

Să demonstrăm validitatea acestei reguli folosind un exemplu.

Exemplul 6

Să înlocuim valori adecvateîn egalitate și calculați: (45 - 25) : 5 = 45: 5 - 25: 5 . 45 - 25 = 20 (am scris deja despre cum să găsim diferența numerelor naturale). (45 - 25) : 5 = 20: 5 .

Folosind tabla înmulțirii, reamintim că rezultatul va fi egal cu 4.

Numărăm partea dreaptă: 45: 5 - 25: 5. 45: 5 = 9 și 25: 5 = 5, rezultând 45: 5 - 25: 5 = 9 - 5 = 4. 4 = 4, rezultă că (45 - 25) : 5 = 45: 5 - 25: 5 este o egalitate corectă.

Împărțirea produsului a două numere naturale la un alt număr natural

Să ne amintim ce legătură există între împărțire și înmulțire, atunci proprietatea împărțirii unui produs la un număr natural egal cu unul dintre factori ne va fi evidentă. Să derivăm regula:

Definiția 6

Dacă împărțim produsul a două numere naturale la o treime egală cu unul dintre factori, ajungem la un număr egal cu celălalt factor.

Literal, aceasta poate fi scrisă ca (a · b): a = b sau (a · b) : b = a (valorile lui a și b sunt numere naturale).

Exemplul 7

Deci, rezultatul împărțirii produsului dintre 2 și 8 la 2 va fi egal cu 8 și (3 · 7): 7 = 3.

Dar dacă divizorul nu este egal cu niciunul dintre factorii care formează dividendul? Apoi se aplică o altă regulă:

Definiția 7

Rezultatul împărțirii produsului a două numere naturale la un al treilea număr natural este egal cu ceea ce obțineți dacă împărțiți unul dintre factori la acest număr și înmulțiți rezultatul cu celălalt factor.

Am primit o declarație care a fost foarte neevidentă la prima vedere. Totuși, dacă ținem cont de faptul că înmulțirea numerelor naturale, în esență, se rezumă la adunarea termenilor de valoare egală (vezi materialul despre înmulțirea numerelor naturale), atunci putem deriva această proprietate dintr-o alta, care despre care am vorbit chiar mai sus.

Să scriem această regulă sub formă de litere (valorile tuturor variabilelor sunt numere naturale).

Dacă putem împărți a la c, atunci (a · b) va fi adevărată: c = (a: c) · b.

Dacă b este divizibil cu c, atunci (a · b) este adevărată: c = a · (b: c) .

Dacă ambele a și b sunt divizibile cu c, atunci putem echivala o egalitate cu cealaltă: (a · b) : c = (a: c) · b = a · (b: c) .

Ținând cont de proprietatea împărțirii unui produs la un alt număr natural discutat mai sus, egalitățile (8 · 6) : 2 = (8: 2) · 6 și (8 · 6) : 2 = 8 · (6: 2) vor fi adevărat.

Le putem scrie ca o egalitate dublă: (8 · 6) : 2 = (8: 2) · 6 = 8 · (6: 2) .

Împărțirea unui număr natural la produsul a altor 2 numere naturale

Din nou, vom începe cu un exemplu. Avem un anumit număr de premii, să-l notăm a. Acestea trebuie distribuite în mod egal între membrii echipei. Să notăm numărul de participanți cu litera c și numărul de echipe cu litera b. În acest caz, luăm astfel de valori ale variabilelor pentru care notația de divizare va avea sens. Problema poate fi rezolvată cu doi în moduri diferite. Să ne uităm la amândouă.

1. Puteți calcula numărul total de participanți înmulțind b cu c, apoi împărțind toate premiile la numărul rezultat. În formă literală, această soluție poate fi scrisă ca a: (b · c) .

2. Puteți mai întâi să împărțiți premiile la numărul de echipe, apoi să le distribuiți în cadrul fiecărei echipe. Să-l scriem ca (a: b): c .

Evident, ambele metode ne vor oferi răspunsuri identice. Prin urmare, putem echivala ambele egalități între ele: a: (b · c) = (a: b) : c. Aceasta va fi reprezentarea cu litere a proprietății diviziunii pe care o luăm în considerare în acest paragraf. Să formulăm o regulă:

Definiția 8

Rezultatul împărțirii unui număr natural la un produs este egal cu numărul pe care îl obținem împărțind acest număr la unul dintre factori și împărțind câtul rezultat la celălalt factor.

Exemplul 8

Să dăm un exemplu de sarcină. Să demonstrăm că egalitatea 18 este adevărată: (2 · 3) = (18: 2) : 3.

Să calculăm partea stângă: 2 · 3 = 6 și 18: (2 · 3) este 18: 6 = 3.

Numărăm partea dreaptă: (18: 2) : 3. 18: 2 = 9 și 9: 3 = 3, apoi (18: 2): 3 = 3.

Am primit acel 18: (2 · 3) = (18: 2) : 3. Această egalitate ne ilustrează proprietatea divizării pe care am prezentat-o ​​în acest paragraf.

Împărțirea zero la un număr natural

Ce este zero? Mai devreme am convenit că înseamnă absența a ceva. Nu clasificăm zero ca număr natural. Se pare că dacă împărțim zero la un număr natural, va fi echivalent cu încercarea de a împărți golul în părți. Este clar că până la urmă tot nu vom obține „nimic”, indiferent în câte părți îl împărțim. De aici derivăm regula:

Definiția 9

Când împărțim zero la orice număr natural, obținem zero. În formă literală, aceasta este scrisă ca 0: a = 0, iar valoarea variabilei poate fi oricare.

Exemplul 9

Deci, de exemplu, 0: 19 = 0 și 0: 46869 vor fi, de asemenea, egale cu zero.

Împărțirea unui număr natural la zero

Această acțiune nu poate fi efectuată. Să aflăm exact de ce.

Să luăm un număr arbitrar a și să presupunem că poate fi împărțit la 0 și, în cele din urmă, obținem un anumit număr b. Să scriem asta ca a: 0 = b. Acum să ne amintim cum înmulțirea și împărțirea sunt legate între ele și vom obține egalitatea b · 0 = a, care ar trebui să fie și ea valabilă.

Dar mai devreme am explicat deja proprietatea înmulțirii numerelor naturale cu zero. Potrivit lui, b · 0 = 0. Dacă comparăm egalitățile rezultate, obținem că a = 0, iar acest lucru contrazice condiția inițială (la urma urmei, zero nu este un număr natural). Rezultă că avem o contradicție care dovedește imposibilitatea unei astfel de acțiuni.

Definiția 10

Nu poți împărți un număr natural la zero.

Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Să dăm un exemplu care confirmă validitatea proprietății de a împărți suma a două numere naturale la un număr natural dat. Să arătăm că egalitatea (18+36):6=18:6+36:6 este corectă. Mai întâi, să calculăm valoarea expresiei din partea stângă a egalității. Deoarece 18+36=54, atunci (18+36):6=54:6. Din tabla înmulțirii găsim 54:6=9 (vezi secțiunea despre teoria împărțirii folosind tabla înmulțirii). Să trecem la calcularea valorii expresiei 18:6+36:6. Din tabla înmulțirii avem 18:6=3 și 36:6=6, deci 18:6+36:6=3+6=9. Prin urmare, egalitatea (18+36):6=18:6+36:6 este corectă.

De asemenea, ar trebui să acordați atenție faptului că această proprietate, precum și proprietatea asociativă de a adăuga numere naturale, vă permite să împărțiți suma a trei sau mai multe numere naturale la un număr natural dat. De exemplu, câtul (14+8+4+2):2 este egal cu suma următorilor câte 14:2+8:2+4:2+2:2.

Proprietatea de a împărți diferența a două numere naturale la un număr natural.

Similar cu proprietatea anterioară, se formulează proprietatea împărțirii diferenței a două numere naturale la un număr natural dat: împărțirea diferenței a două numere la un număr dat este aceeași cu scăderea din câtul minuendului și al numărului dat câtul dintre subtraend și numărul dat.

Folosind litere, această proprietate a împărțirii poate fi scrisă după cum urmează: (a-b):c=a:c-b:c, unde a, b și c sunt numere naturale astfel încât a este mai mare sau egal cu b și, de asemenea, ambele a și b pot fi împărțite la c.

Ca exemplu de confirmare a proprietății divizării luate în considerare, vom arăta validitatea egalității (45-25):5=45:5-25:5. Deoarece 45-25=20 (dacă este necesar, studiați articolul despre scăderea numerelor naturale), atunci (45-25):5=20:5. Folosind tabla înmulțirii, constatăm că câtul rezultat este egal cu 4. Acum să calculăm valoarea expresiei 45:5-25:5, care se află în partea dreaptă a egalității. Din tabla înmulțirii avem 45:5=9 și 25:5=5, apoi 45:5-25:5=9-5=4. Prin urmare, egalitatea (45-25):5=45:5-25:5 este adevărată.

Proprietatea de a împărți produsul a două numere naturale la un număr natural.

Dacă vezi legătura dintre împărțire și înmulțire, atunci va fi vizibilă și proprietatea împărțirii produsului a două numere naturale la un număr natural dat egal cu unul dintre factori. Formularea sa este următoarea: rezultatul împărțirii produsului a două numere naturale la un număr natural dat, care este egal cu unul dintre factori, este egal cu celălalt factor. Iată forma literală a acestei proprietăți de împărțire: (a·b):a=b sau (a·b):b=a, unde a și b sunt numere naturale.

De exemplu, dacă împărțim produsul numerelor 2 și 8 la 2, obținem 8 și (3·7):7=3.

Acum vom presupune că divizorul nu este egal cu niciunul dintre factorii care formează dividendul. Să formulăm proprietatea de a împărți produsul a două numere naturale la un număr natural dat pentru aceste cazuri. În acest caz, vom presupune că cel puțin unul dintre factori poate fi împărțit la un număr natural dat. Deci, împărțirea produsului a două numere naturale la un număr natural dat este aceeași cu împărțirea unuia dintre factori la acest număr și înmulțirea rezultatului cu un alt factor.

Proprietatea declarată nu este, pentru a spune ușor, evidentă. Dar dacă ne amintim că înmulțirea numerelor naturale este în esență adăugarea unui anumit număr de termeni egali (despre acest lucru este scris în secțiunea de teorie a sensului înmulțirii numerelor naturale), atunci proprietatea în cauză decurge din.

Să scriem această proprietate folosind litere. Fie a, b și c numere naturale. Atunci, dacă a poate fi împărțit la c, atunci egalitatea este adevărată (a·b):c=(a:c)·b; dacă b poate fi împărțit la c, atunci egalitatea este adevărată (a·b):c=a·(b:c); și dacă ambele a și b pot fi împărțite la c, atunci ambele egalități sunt valabile simultan, adică (a·b):c=(a:c)·b=a·(b:c) .

De exemplu, datorită proprietății considerate de a împărți produsul a două numere naturale la un număr natural dat, egalitățile (8 6): 2 = (8: 2) 6 și (8 6): 2 = 8 (6: 2) ) sunt valide, care pot fi scrise ca o dublă egalitate de forma (8·6):2=(8:2)·6=8·(6:2) .

Proprietatea de a împărți un număr natural la produsul a două numere naturale.

Să ne uităm la următoarea situație. Să presupunem că trebuie să împărțim în mod egal a premii între participanții la b echipe, c oameni din fiecare echipă (vom presupune că numerele naturale a, b și c sunt astfel încât împărțirea specificată să poată fi efectuată). Cum se poate face acest lucru? Să luăm în considerare două cazuri.

• Mai întâi, puteți afla numărul total de participanți (pentru a face acest lucru trebuie să calculați produsul b·c), apoi împărțiți toate premiile a la toți participanții b·c. Din punct de vedere matematic, acestui proces îi corespunde a:(b·c) .
• În al doilea rând, un premiu poate fi împărțit în b echipe, după care numărul de premii rezultat în fiecare echipă (va fi egal cu coeficientul a:b ) este împărțit în c participanți. Matematic, acest proces este descris prin expresia (a:b):c.

Este clar că atât în ​​prima și a doua opțiune, fiecare participant va primi același număr de premii. Adică, o egalitate a formei va fi adevărată a:(b·c)=(a:b):c, care este o reprezentare literală a proprietății de a împărți un număr natural la produsul a două numere naturale. De remarcat că datorită proprietății comutative de înmulțire a numerelor naturale, egalitatea rezultată poate fi scrisă sub forma a:(b·c)=(a:c):b .

Tot ce rămâne este să formulezi proprietatea de împărțire luată în considerare: împărțirea unui număr natural la un produs este la fel cu împărțirea acestui număr la unul dintre factori și apoi împărțirea coeficientului rezultat la un alt factor.

Să dăm un exemplu. Să arătăm validitatea egalității 18:(2·3)=(18:2):3, care va confirma proprietatea împărțirii unui număr natural la produsul a două numere naturale. Deoarece 2·3=6, atunci câtul 18:(2·3) este egal cu 18:6=3. Acum să calculăm valoarea expresiei (18:2):3. Din tabla înmulțirii aflăm că 18:2=9 și 9:3=3, apoi (18:2):3=3. Prin urmare, 18:(2·3)=(18:2):3.

Proprietatea de a împărți zero la un număr natural.

Am acceptat convenția că numărul zero (rețineți că zero nu este un număr natural) înseamnă absența a ceva. Astfel, împărțirea zero la un număr natural înseamnă împărțirea „nimic” în mai multe părți. Evident, în fiecare dintre părțile rezultate va exista și „nimic”, adică zero. Aşa, 0:a=0, unde a este orice număr natural.

Expresia rezultată este o reprezentare literală a proprietății de a împărți zero la un număr natural, care este formulată după cum urmează: rezultatul împărțirii zero la un număr natural arbitrar este zero.

De exemplu, 0:105=0, iar câtul zero împărțit la 300.553 este, de asemenea, zero.

Un număr natural nu poate fi împărțit la zero.

De ce un număr natural nu poate fi împărțit la zero? Să ne dăm seama.

Să presupunem că un număr natural a poate fi împărțit la zero, iar rezultatul împărțirii este un alt număr natural b, adică egalitatea a:0=b este adevărată. Dacă ne amintim legătura dintre împărțire și înmulțire, atunci egalitatea scrisă a:0=b înseamnă valabilitatea egalității b·0=a. Cu toate acestea, proprietatea de a înmulți un număr natural și zero afirmă că b·0=0. O comparație a ultimelor două egalități indică faptul că a=0, ceea ce nu poate fi, deoarece am spus că a este un număr natural. Astfel, presupunerea noastră despre posibilitatea împărțirii unui număr natural la zero duce la o contradicție.

Aşa, un număr natural nu poate fi împărțit la zero.

Referințe.

• Matematică. Orice manuale pentru clasele I, a II-a, a III-a, a IV-a din instituțiile de învățământ general.
• Matematică. Orice manuale pentru clasa a V-a a instituțiilor de învățământ general.

Shabalina Natalya Alekseevna. Școala Gimnazială MKOU Tuturskaya

Matematica clasa a III-a.

Subiect: Proprietate - împărțirea unei sume la un număr.

Scop: cunoașterea unei noi proprietăți aritmetice, dezvoltarea capacității de a o folosi la rezolvarea expresiilor.

Rezultate planificate.

Subiect:

Cunoașteți numele noii proprietăți;

Cunoașterea algoritmilor de rezolvare a expresiilor folosind această proprietate;

Să fiți capabil să comparați diferite metode de calcul și să alegeți cea mai convenabilă.

Personal:

Realizați importanța studierii proprietăților pentru ușurința calculului;

Apare nevoia de a veni în ajutorul unui coleg de clasă în caz de dificultăți,

Stima de sine propriile actiuni si realizari.

Metasubiect:

Stabilirea independentă a obiectivelor lecției;

Auto-construire rostirea discursului despre modalități de rezolvare a expresiilor;

Determinarea independentă a metodelor de rezolvare și formularea algoritmilor de acțiune;

Determinarea semnificației unei reprezentări schematice a unei proprietăți;

Discuție colectivă a metodelor de acțiune.

1 Numărarea orală cu scopul lecției.

Împart carduri cu prima sarcină de învățare (denumită în continuare HL)

UZ nr 1 (comunicativ)

Note:

Îmi notez cine a fost primul care a rezolvat cutare sau cutare expresie. Nu îl vor putea rezolva pe ultimul, așa că vă rugăm să comentați primele trei. Mă bazez în special pe băieții care au găsit primii valorile corecte. Sunt discutate cele mai raționale metode. Dacă nu sunt găsite, vă rugăm să le găsiți frontal. Nr. 1 - a aplicat proprietatea de combinare (grupate): (27 + 3) + (16 + 4) Nr. 2 - a rotunjit minuend: 50-7 Nr. 3 - a aplicat proprietatea de a înmulți o sumă cu un număr (15 + 5).3

Pe baza acestei sarcini,precizați scopul lecției.

Ei pot spune: „Învață să rezolvi exemple noi. Aflați cum să rezolvați astfel de exemple.” Dacă nu vă vorbesc despre metodă, vă reamintesc că cele trei exemple nu au fost rezolvate la fel, ci au fost folosite altele diferite, ce...? (metode) Vă rugăm să stabiliți o succesiune logică a acestor obiective. Pe tablă apar 2 ținte (personificarea obiectivelor) cu semnăturile corespunzătoare (1 - aflați mod nou, 2- învață să rezolvi cu ea) Îți reamintesc: „Cine înțelege că a atins deja obiectivul, se apropie de tablă ca de obicei și țintește săgeata către ochiul taurului.”

2 Stabilirea subiectului lecției.

Să începem să căutăm modalități de a rezolva un exemplu dificil și o nouă proprietate a operațiilor aritmetice va ajuta, pe care vei încerca să o numești. Dar să ne uităm la asta folosind un exemplu mai simplu.

Pe tablă există un model și expresii:

(6+4).2 6-4 (6+4):2

După ce am selectat o expresie pentru model, determinăm numele proprietății.

Să discutăm despre model. Pe el împărțim atât roșul, cât și albastrul în 2 părți în același timp, prin urmare, ultima expresie este potrivită. Vă rugăm să citiți expresia (suma 6 și 4 se împarte la 2)

Cum ar trebui să numim proprietatea?

(Ei încearcă ei înșiși. Dacă nu funcționează, vă rugăm să-l denumiți prin analogie cu proprietatea studiată a înmulțirii.)

Împărțirea unei sume la un număr.

Să formulăm obiectivul nr. 1 mai precis. (Dacă nu pot, atunci mă concentrez pe o nouă proprietate. Scopul este să găsesc o modalitate sau modalități de a împărți o sumă la un număr.)

4 Căutați soluții.

Împărțim clasa în perechi sau tripleți. Distribuesc 6 cercuri roșii și 4 albastre, cartonașe cu LS No. 2 (cognitive)

Nu acord mai mult de 5 minute. Metoda este prezentată folosind figuri demonstrative pe o pânză de tipărire.

1 cale:

Fără să acorde atenție culorii, au „amestecat-o” într-o sumă și a fost împărțită în jumătate (6+4): 2=5

Să clarificăm algoritmul.

Mai întâi, au găsit suma și apoi au împărțit-o la număr.

Metoda 2:

Pe cele roșii le-am împărțit separat, apoi le-am împărțit pe cele albastre și apoi le-am adunat în fiecare parte (6:2)+(4:2)=5

Să clarificăm algoritmul.

Am împărțit fiecare termen al sumei separat, apoi am adăugat rezultatele împărțirii.

Dacă deodată nimeni nu găsește prima metodă, vă rog să o găsiți, fără să acordați atenție culorii figurilor. Dacă nu o găsesc pe a doua, vă reamintesc că din anumite motive cănile sunt date în două culori.

Poate că unii dintre copii vor vedea deja realizarea primului obiectiv. Dacă toată lumea tace, voi întreba: „De ce ai îndeplinit această sarcină?” (Am mers la primul obiectiv și l-am atins, dar pe al doilea nu l-am atins încă, pentru că nu știm încă dacă metodele găsite vor fi utile pentru rezolvarea unor exemple mai complexe.)

Cum pot verifica asta? (Dacă nu vă spun ei înșiși, vă rugăm să amintiți ce dificultate au întâmpinat în UZ nr. 1. Așa că trebuie să încercăm să rezolvăm exemplul (70+8):6

Vă sugerez să rezolvați singur în caiete în două moduri, folosind algoritmi de pe ecran. Verific și întreb cine a atins al doilea obiectiv (acești copii își trag săgeata în „ochiul de taur” de pe tablă)

Ce se întâmplă dacă cineva nu a atins încă acea țintă? („Experții” vor preda - legea clasei.) Oricare dintre cei care au rezolvat exemplul vine la tablă și își arată metoda cu o pronunție clară a algoritmului.

De ce să studiezi ambele metode? Concluzionam că trebuie să alegeți o soluție convenabilă.

5 Consolidare primară

Ofer două KZ din care să aleg și spun că unul este foarte dificil. Îi sfătuiesc pe cei care nu au atins singuri al doilea obiectiv să ia KZ No. 3 (a) - reflectorizant. Cei care au mai multă încredere în ei înșiși, să ia UZ nr. 3 (b)

Regatul Unit nr. 3 (a)-reflexiv

UZ nr 3(b)-reflexiv

6 Reflecție

Dacă doriți, vă rog să discutați despre autoevaluarea lucrării din lecție din punctul de vedere al atingerii obiectivelor unuia dintre copiii care au absolvit CL nr. 3 (a) și unul dintre cei care au finalizat CL nr. 3 (b)

7 D.Z. prin alegere.

Rezolvați numărul din manual pentru a consolida metodele de rezolvare.

Sarcină de dificultate crescută (distribuirea cărților)

Ce numere pot fi introduse în expresia (___ + ___): ___ astfel încât fiecare dintre ele să fie divizibil cu 2, iar suma lor să fie divizibilă cu 2. Notați cât mai multe opțiuni. Gândiți-vă la modelul în selectarea acestor numere.

În această lecție, elevii au ocazia să repete cazuri tabelare de înmulțire și împărțire, să se familiarizeze cu regula împărțirii unei sume la un număr și, de asemenea, să exerseze îndeplinirea diferitelor sarcini pe tema lecției.

Citiți și comparați expresiile scrise pe tablă.

(6 + 4) + 2

(6 + 4) - 2

(6 + 4) * 2

(6 + 4) : 2

Ai observat că în fiecare expresie suma numerelor este 6 + 4.

Să citim expresiile.

(6 + 4) + 2

Suma numerelor 6 + 4 crește cu 2.

(6 + 4) - 2

Suma numerelor 6 + 4 se reduce cu 2.

(6 + 4) * 2

Se dublează suma numerelor 6 + 4.

(6 + 4) : 2

Suma numerelor 6 + 4 se reduce la jumătate

Crezi că valorile acestor sume vor fi aceleași?

Să verificăm. Să calculăm valorile expresiilor. Amintiți-vă că efectuam prima acțiune între paranteze.

(6 + 4) + 2 = 12

(6 + 4) - 2 = 8

(6 + 4) * 2 = 20

(6 + 4) : 2 = 5

Avem valori diferite.

Să vedem cum poate fi împărțită o sumă la un număr.

Orez. 1. Împărțirea unei sume la un număr

Metoda 1.

Mai întâi am adunat pătratele albastre și roșii, apoi am împărțit numărul lor în două părți egale.

(6 + 4) : 2 = 10: 2 = 5

Metoda 2.

În primul rând, putem împărți pătratele albastre în două părți egale, apoi împărțim pătratele roșii în două părți egale și apoi adăugăm rezultatele.

(6 + 4) : 2 = 6: 2 + 4: 2 = 3 + 2 = 5

Când efectuați acțiuni în moduri diferite, rezultatul este același. Prin urmare, putem trage o concluzie.

Pentru a împărți o sumă la un număr, puteți împărți fiecare termen la acel număr,

și se adună coeficientii rezultați.

(6 + 4) : 2 = 6: 2 + 4: 2

Să aplicăm în practică cunoștințele dobândite. Să calculăm valorile expresiilor.

(64 + 72) : 8

(36 + 81) : 9

(80 + 16) : 4

Pentru a împărți suma cu un număr, împărțiți fiecare termen la acest număr și adăugați valorile rezultate ale coeficientilor.

(64 + 72) : 8 = 64: 8 + 72: 8 = 8 + 9 = 17

(36 + 81) : 9 = 36: 9 + 81: 9 = 4 + 9 = 13

(80 + 16) : 4 = 80: 4 + 16: 4 = 20 + 4 = 24

Luați în considerare expresiile. Ce au în comun?

(36 + 6) : 6

(10 + 32) : 6

(34 + 8) : 6

(24 + 18) : 6

Corect. În fiecare expresie, trebuie să împărțiți suma la numărul 6.

Să împărțim expresiile în două grupuri.

În primul, notăm acele expresii în care putem aplica proprietatea de a împărți o sumă la un număr. În aceste expresii, fiecare termen al sumei este împărțit la 6.

(36 + 6) : 6

(24 + 18) : 6

În a doua grupă vom scrie expresii în care sumele sumei nu sunt divizibile cu 6, asta înseamnă că nu li se poate aplica proprietatea de a împărți o sumă la un număr.

(10 + 32) : 6

(34 + 8) : 6

Să finalizăm sarcina.

Care dintre aceste numere poate fi scris ca o sumă a doi termeni, în care fiecare dintre termeni este divizibil cu 7?

35, 43, 28, 14, 7, 47, 56, 49, 63, 26, 70

În primul rând, notăm numerele care sunt divizibile cu numărul 7 fără rest.

35, 28, 14, 7, 56, 49, 63, 70

Să inventăm expresii și să le găsim semnificațiile.

(35 + 28) : 7 = 35: 7 + 28: 7 = 5 + 4 = 9

(70 + 14) : 7 = 70: 7 + 14: 7 = 10 + 2 = 12

(56 + 49) : 7 = 56: 7 + 49: 7 = 8 + 7 = 15

Să îndeplinim următoarea sarcină.

Completați numerele care lipsesc folosind regula împărțirii sumei la număr.

(… + …) : 8 = 8 + 6

(… + …) : 9 = 9 + 5

(… + …) : 3 = 8 + 5

Să gândim așa.

(… + …) : 8 = 8 + 6

Primul termen a fost împărțit la 8 și am primit numărul 8. Deci a fost numărul 64. Al doilea termen a fost împărțit la 8 și am primit numărul 6. Deci a fost numărul 48. Să scriem soluția.

(64 + 48) : 8 = 8 + 6

(… + …) : 9 = 9 + 5

Primul termen a fost împărțit la 9 și am primit numărul 9. Deci a fost numărul 81. Al doilea termen a fost împărțit la 9 și am primit numărul 5. Deci a fost numărul 45. Să scriem soluția.

(81 + 45) : 9 = 9 + 5

(… + …) : 3 = 8 + 5

Primul termen a fost împărțit la 3 și am primit numărul 8. Deci a fost numărul 24. Al doilea termen a fost împărțit la 3 și am primit numărul 5. Deci a fost numărul 15. Să scriem soluția.

(24 + 15) : 3 = 8 + 5

Astăzi, la clasă, am învățat despre regula împărțirii unei sume la un număr și am exersat rezolvarea exemplelor pe tema lecției.

Referințe

1. M.I. Moreau, M.A. Bantova și alții Matematică: manual. Clasa a III-a: în 2 părți, partea 1. - M.: „Iluminări”, 2012.
2. M.I. Moreau, M.A. Bantova și alții Matematică: manual. Clasa a III-a: în 2 părți, partea a 2-a. - M.: „Iluminări”, 2012.
3. M.I. Moro. Lecții de matematică: Recomandări metodice pentru profesor. clasa a III-a. - M.: Educație, 2012.
4. Document de reglementare. Monitorizarea și evaluarea rezultatelor învățării. - M.: „Iluminismul”, 2011.
5. „Școala Rusiei”: Programe pentru școală primară. - M.: „Iluminismul”, 2011.
6. SI. Volkova. Matematică: Lucru de testare. clasa a III-a. - M.: Educație, 2012.
7. V.N. Rudnitskaia. Teste. - M.: „Examen”, 2012.