Ecuația cu două x. Sisteme cu ecuații neliniare

Ecuații neliniare cu două necunoscute

Definiția 1. Să fie A niște set de perechi de numere (x; y). Ei spun că mulțimea A este dată functie numerica z din două variabile

x și y , dacă se specifică o regulă cu ajutorul căreia fiecare pereche de numere din mulțimea A este asociată unui anumit număr. Specificarea unei funcții numerice z a două variabile x și y este adesea denota

Aşa: Unde (x , y) f

Unde (x , y) = – orice altă funcție decât o funcție ,

topor+de+c

unde a, b, c sunt numere date. Definiția 3. Rezolvarea ecuației (2) x; y sunați o pereche de numere (

) , pentru care formula (2) este o egalitate adevărată.

Exemplul 1. Rezolvați ecuația

Deoarece pătratul oricărui număr este nenegativ, din formula (4) rezultă că necunoscutele x și y satisfac sistemul de ecuații

soluția la care este o pereche de numere (6; 3).

Răspuns: (6; 3)

Exemplul 2. Rezolvați ecuația Prin urmare, soluția ecuației (6) este număr infinit de perechi de numere

(1 + y ; y) ,

fel

unde y este orice număr.

liniar Definiția 4.

Rezolvarea unui sistem de ecuații x; y sunați o pereche de numere (

) , la substituirea lor în fiecare dintre ecuațiile acestui sistem se obține egalitatea corectă.

Sistemele cu două ecuații, dintre care una liniară, au forma(x , y)

g

Exemplul 4. Rezolvarea sistemului de ecuații

Soluție. Să exprimăm necunoscuta y din prima ecuație a sistemului (7) prin necunoscuta x și să substituim expresia rezultată în a doua ecuație a sistemului:

x 1 = - 1 , x 2 = 9 .

Rezolvarea ecuației

y 1 = 8 - x 1 = 9 ,
y 2 = 8 - x 2 = - 1 .

Prin urmare,

Sisteme de două ecuații, dintre care una omogenă

Sistemele cu două ecuații, dintre care una omogenă, au forma Sistemele cu două ecuații, dintre care una liniară, au forma(x , y) unde a, b, c sunt date numere și

– funcția a două variabile x și y.

Exemplul 6. Rezolvarea sistemului de ecuații

3x 2 + 2Soluție. Să rezolvăm ecuația omogenă - y 2 = 0 ,

3x 2 + 17Soluție. Să rezolvăm ecuația omogenă + 10y 2 = 0 ,

xy

.

tratându-l ca o ecuație pătratică în raport cu necunoscutul x: x = - 5yÎn cazul în care

5y 2 = - 20 ,

, din a doua ecuație a sistemului (11) obținem ecuația

care nu are rădăcini.

În cazul în care

,

din a doua ecuație a sistemului (11) obținem ecuația y 1 = 3 , y 2 = - 3 . ale căror rădăcini sunt numere

Găsind pentru fiecare dintre aceste valori y valoarea corespunzătoare x, obținem două soluții ale sistemului: (- 2 ; 3) , (2 ; - 3) .

Răspuns: (- 2 ; 3) , (2 ; - 3)

Exemple de rezolvare a sistemelor de ecuații de alte tipuri

Exemplul 8. Rezolvarea unui sistem de ecuații (MIPT)

Pentru a rescrie sistemul (12) în termeni de noi necunoscute, mai întâi exprimăm necunoscutele x și y în termeni de u și v. Din sistemul (13) rezultă că

Să rezolvăm sistemul liniar (14) eliminând variabila x din a doua ecuație a acestui sistem.

• În acest scop, efectuăm următoarele transformări pe sistemul (14):
• Vom lăsa neschimbată prima ecuație a sistemului;

din a doua ecuație scădem prima ecuație și înlocuim a doua ecuație a sistemului cu diferența rezultată.

Ca rezultat, sistemul (14) este transformat într-un sistem echivalent

din care găsim

Folosind formulele (13) și (15), rescriem sistemul original (12) în forma

Prima ecuație a sistemului (16) este liniară, deci putem exprima din ea necunoscutul u prin necunoscutul v și înlocuim această expresie în a doua ecuație a sistemului. La cursul de matematică de clasa a VII-a ne întâlnim pentru prima dată ecuații cu două variabile , dar ele sunt studiate numai în contextul sistemelor de ecuații cu două necunoscute. De aceea cade din vedere o serie intreaga probleme în care se introduc anumite condiţii asupra coeficienţilor ecuaţiei care le limitează. În plus, metodele de rezolvare a problemelor precum „Rezolvarea unei ecuații în numere naturale sau întregi” sunt, de asemenea, ignorate, deși în Materiale pentru examenul de stat unificat

Iar la examenele de admitere se intalnesc tot mai des probleme de acest gen.

Care ecuație va fi numită ecuație cu două variabile?

Deci, de exemplu, ecuațiile 5x + 2y = 10, x 2 + y 2 = 20 sau xy = 12 sunt ecuații în două variabile.

Luați în considerare ecuația 2x – y = 1. Devine adevărată când x = 2 și y = 3, deci această pereche de valori variabile este o soluție a ecuației în cauză.

Astfel, soluția oricărei ecuații cu două variabile este un set de perechi ordonate (x; y), valori ale variabilelor care transformă această ecuație într-o adevărată egalitate numerică.

O ecuație cu două necunoscute poate: O) au o singura solutie.

De exemplu, ecuația x 2 + 5y 2 = 0 are o soluție unică (0; 0); b) au mai multe solutii.

De exemplu, (5 -|x|) 2 + (|y| – 2) 2 = 0 are 4 soluții: (5; 2), (-5; 2), (5; -2), (-5; - 2); V) nu au solutii.

De exemplu, ecuația x 2 + y 2 + 1 = 0 nu are soluții; G) au infinit de solutii.

Principalele metode de rezolvare a ecuațiilor cu două variabile sunt metode bazate pe factorizarea expresiilor, izolarea unui pătrat complet și utilizarea proprietăților ecuație pătratică, limitări ale expresiilor, metode de evaluare. Ecuația este de obicei convertită într-o formă din care se poate obține un sistem pentru găsirea necunoscutelor.

Factorizarea

Exemplul 1.

Rezolvați ecuația: xy – 2 = 2x – y.

Soluţie.

Grupăm termenii în scopul factorizării:

(xy + y) – (2x + 2) = 0. Din fiecare paranteză scoatem un factor comun:

y(x + 1) – 2(x + 1) = 0;

(x + 1)(y – 2) = 0. Avem:

y = 2, x – orice număr real sau x = -1, y – orice număr real.

Astfel, răspunsul este toate perechile de forma (x; 2), x € R și (-1; y), y € R.

Egalitatea numerelor nenegative la zero

Exemplul 2.

Rezolvați ecuația: 9x 2 + 4y 2 + 13 = 12(x + y).

Soluţie.

Grupare:

(9x 2 – 12x + 4) + (4y 2 – 12y + 9) = 0. Acum fiecare paranteză poate fi pliat folosind formula diferenței pătrate.

(3x – 2) 2 + (2y – 3) 2 = 0.

Suma a două expresii nenegative este zero numai dacă 3x – 2 = 0 și 2y – 3 = 0.

Aceasta înseamnă x = 2/3 și y = 3/2.

Răspuns: (2/3; 3/2).

Metoda de estimare

Exemplul 3.

Rezolvați ecuația: (x 2 + 2x + 2)(y 2 – 4y + 6) = 2.

Soluţie.

În fiecare paranteză selectăm un pătrat complet:

((x + 1) 2 + 1)((y – 2) 2 + 2) = 2. Să estimăm sensul expresiilor din paranteze.

(x + 1) 2 + 1 ≥ 1 și (y – 2) 2 + 2 ≥ 2, atunci partea stângă a ecuației este întotdeauna cel puțin 2. Egalitatea este posibilă dacă:

(x + 1) 2 + 1 = 1 și (y – 2) 2 + 2 = 2, ceea ce înseamnă x = -1, y = 2.

Răspuns: (-1; 2).

Să facem cunoștință cu o altă metodă de rezolvare a ecuațiilor cu două variabile de gradul doi. Această metodă constă în tratarea ecuației ca pătrat în raport cu o variabilă.

Exemplul 4.

Rezolvați ecuația: x 2 – 6x + y – 4√y + 13 = 0.

Soluţie.

Să rezolvăm ecuația ca o ecuație pătratică pentru x. Să găsim discriminantul:

D = 36 – 4(y – 4√y + 13) = -4y + 16√y – 16 = -4(√y – 2) 2 . Ecuația va avea o soluție numai când D = 0, adică dacă y = 4. Înlocuim valoarea lui y în ecuația originală și aflăm că x = 3.

Răspuns: (3; 4).

Adesea în ecuații cu două necunoscute indică restricții asupra variabilelor.

Exemplul 5.

Rezolvați ecuația în numere întregi: x 2 + 5y 2 = 20x + 2.

Soluţie.

Să rescriem ecuația sub forma x 2 = -5y 2 + 20x + 2. Latura dreaptă a ecuației rezultate atunci când este împărțită la 5 dă un rest de 2. Prin urmare, x 2 nu este divizibil cu 5. Dar pătratul lui a numărul nedivizibil cu 5 dă un rest de 1 sau 4. Astfel, egalitatea este imposibilă și nu există soluții.

Răspuns: fără rădăcini.

Exemplul 6.

Rezolvați ecuația: (x 2 – 4|x| + 5)(y 2 + 6y + 12) = 3.

Soluţie.

Să evidențiem pătratele complete din fiecare paranteză:

((|x| – 2) 2 + 1)((y + 3) 2 + 3) = 3. Partea stângă a ecuației este întotdeauna mai mare sau egală cu 3. Egalitatea este posibilă cu condiția |x| – 2 = 0 și y + 3 = 0. Astfel, x = ± 2, y = -3.

Răspuns: (2; -3) și (-2; -3).

Exemplul 7.

Pentru fiecare pereche de numere întregi negative (x;y) care satisface ecuația
x 2 – 2xy + 2y 2 + 4y = 33, calculați suma (x + y). Vă rugăm să indicați cea mai mică sumă în răspunsul dvs.

Soluţie.

Să selectăm pătrate complete:

(x 2 – 2xy + y 2) + (y 2 + 4y + 4) = 37;

(x – y) 2 + (y + 2) 2 = 37. Deoarece x și y sunt numere întregi, pătratele lor sunt de asemenea numere întregi. Obținem suma pătratelor a două numere întregi egale cu 37 dacă adunăm 1 + 36. Prin urmare:

(x – y) 2 = 36 și (y + 2) 2 = 1

(x – y) 2 = 1 și (y + 2) 2 = 36.

Rezolvând aceste sisteme și ținând cont de faptul că x și y sunt negative, găsim soluții: (-7; -1), (-9; -3), (-7; -8), (-9; -8).

Răspuns: -17.

Nu disperați dacă aveți dificultăți în rezolvarea ecuațiilor cu două necunoscute. Cu puțină practică, poți gestiona orice ecuație.

Mai ai întrebări? Nu știi cum să rezolvi ecuații în două variabile?
Pentru a primi ajutor de la un tutor -.
Prima lecție este gratuită!

blog.site, atunci când copiați materialul integral sau parțial, este necesar un link către sursa originală.

Ecuație liniară cu două variabile - orice ecuație care are următoarea formă: a*x + b*y =с. Aici x și y sunt două variabile, a,b,c sunt niște numere.

Mai jos sunt câteva exemple de ecuații liniare.

1. 10*x + 25*y = 150;

Ca și ecuațiile cu o necunoscută, o ecuație liniară cu două variabile (necunoscute) are și ea o soluție. De exemplu, ecuația liniară x-y=5, cu x=8 și y=3 se transformă în identitatea corectă 8-3=5. În acest caz, se spune că perechea de numere x=8 și y=3 este o soluție a ecuației liniare x-y=5. De asemenea, puteți spune că o pereche de numere x=8 și y=3 satisface ecuația liniară x-y=5.

Rezolvarea unei ecuații liniare

Astfel, soluția ecuației liniare a*x + b*y = c este orice pereche de numere (x,y) care satisface această ecuație, adică transformă ecuația cu variabilele x și y într-o egalitate numerică corectă. Observați cum sunt scrise aici perechea de numere x și y. Această intrare este mai scurtă și mai convenabilă. Trebuie doar să rețineți că primul loc într-o astfel de înregistrare este valoarea variabilei x, iar al doilea este valoarea variabilei y.

Vă rugăm să rețineți că numerele x=11 și y=8, x=205 și y=200 x= 4,5 și y= -0,5 satisfac, de asemenea, ecuația liniară x-y=5 și, prin urmare, sunt soluții ale acestei ecuații liniare.

Rezolvarea unei ecuații liniare cu două necunoscute nu este singurul. Fiecare ecuație liniară din două necunoscute are infinit de soluții diferite. Adică există infinit de multe diferite două numere x și y care transformă o ecuație liniară într-o identitate adevărată.

Dacă mai multe ecuații cu două variabile au soluții identice, atunci astfel de ecuații se numesc ecuații echivalente. Trebuie remarcat faptul că dacă ecuațiile cu două necunoscute nu au soluții, atunci sunt considerate și echivalente.

Proprietățile de bază ale ecuațiilor liniare cu două necunoscute

1. Oricare dintre termenii din ecuație poate fi transferat dintr-o parte în alta, dar este necesar să-i schimbi semnul în cel opus. Ecuația rezultată va fi echivalentă cu cea inițială.

2. Ambele părți ale ecuației pot fi împărțite la orice număr care nu este zero. Ca rezultat, obținem o ecuație echivalentă cu cea inițială.

Folosind acest program matematic, puteți rezolva un sistem de două ecuații liniare cu două variabile folosind metoda substituției și metoda adunării.

Programul nu numai că oferă răspunsul problemei, dar oferă și o soluție detaliată cu explicații ale pașilor soluționării în două moduri: metoda substituției și metoda adunării.

Acest program poate fi de folos elevilor de liceu scoli mediiîn pregătire pentru testeși examene, la testarea cunoștințelor înainte de Examenul de stat unificat, pentru ca părinții să controleze rezolvarea multor probleme de matematică și algebră. Sau poate este prea scump pentru tine să angajezi un tutor sau să cumperi noi manuale? Sau vrei doar să o faci cât mai repede posibil? teme pentru acasă

la matematică sau algebră? În acest caz, puteți folosi și programele noastre cu soluții detaliate.

În acest fel, vă puteți conduce propria pregătire și/sau formare a fraților sau surorilor mai mici, în timp ce nivelul de educație în domeniul rezolvării problemelor crește.

Reguli pentru introducerea ecuațiilor
Orice literă latină poate acționa ca o variabilă.

De exemplu: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\), etc. La introducerea ecuaţiilor poti folosi paranteze
. În acest caz, ecuațiile sunt mai întâi simplificate.

În ecuații, puteți folosi nu numai numere întregi, ci și fracții sub formă de zecimale și fracții obișnuite.

Reguli pentru introducerea fracțiilor zecimale.
Părți întregi și fracționale în zecimale pot fi separate fie prin punct, fie prin virgulă.
De exemplu: 2,1n + 3,5m = 55

Reguli pentru introducerea fracțiilor obișnuite.
Doar un număr întreg poate acționa ca numărător, numitor și parte întreagă a unei fracții.
Numitorul nu poate fi negativ.
Când introduceți o fracție numerică, numărătorul este separat de numitor printr-un semn de împărțire: /
Toată parte separate de fracție printr-un ampersand: &

Exemple.
-1&2/3y + 5/3x = 55
2,1p + 55 = -2/7(3,5p - 2&1/8q)

S-a descoperit că unele scripturi necesare pentru a rezolva această problemă nu au fost încărcate și este posibil ca programul să nu funcționeze.
Este posibil să aveți AdBlock activat.
În acest caz, dezactivați-l și reîmprospătați pagina.

Deoarece Există o mulțime de oameni dispuși să rezolve problema, cererea dvs. a fost pusă în coadă.
În câteva secunde, soluția va apărea mai jos.
Va rugam asteptati sec...

Dacă tu observat o eroare în soluție, apoi puteți scrie despre asta în Formularul de feedback.
Nu uita indicați ce sarcină tu decizi ce intra in campuri.

Jocurile, puzzle-urile, emulatorii noștri:

Puțină teorie.

Rezolvarea sistemelor de ecuații liniare. Metoda de înlocuire

Secvența de acțiuni la rezolvarea unui sistem de ecuații liniare folosind metoda substituției:
1) exprimă o variabilă dintr-o ecuație a sistemului în termenii alteia;
2) înlocuiți expresia rezultată într-o altă ecuație a sistemului în locul acestei variabile;

$$ \left\( \begin(array)(l) 3x+y=7 \\ -5x+2y=3 \end(array) \right. $$

Să exprimăm y în termeni de x din prima ecuație: y = 7-3x. Înlocuind expresia 7-3x în a doua ecuație în loc de y, obținem sistemul:
$$ \left\( \begin(array)(l) y = 7-3x \\ -5x+2(7-3x)=3 \end(array) \right. $$

Este ușor de demonstrat că primul și al doilea sistem au aceleași soluții. În cel de-al doilea sistem, a doua ecuație conține o singură variabilă. Să rezolvăm această ecuație:
$$ -5x+2(7-3x)=3 \Rightarrow -5x+14-6x=3 \Rightarrow -11x=-11 \Rightarrow x=1 $$

Înlocuind 1 în loc de x în egalitatea y=7-3x, găsim valoarea corespunzătoare a lui y:
$$ y=7-3 \cdot 1 \Rightarrow y=4 $$

Perechea (1;4) - soluția sistemului

Se numesc sisteme de ecuații din două variabile care au aceleași soluții echivalent. Sistemele care nu au soluții sunt de asemenea considerate echivalente.

Rezolvarea sistemelor de ecuații liniare prin adunare

Să luăm în considerare o altă modalitate de a rezolva sistemele de ecuații liniare - metoda adunării. Atunci când rezolvăm sisteme folosind această metodă, precum și când rezolvăm prin metoda substituției, trecem de la un sistem dat la altul, echivalent, în care una dintre ecuații conține o singură variabilă.

Secvența de acțiuni la rezolvarea unui sistem de ecuații liniare folosind metoda adunării:
1) înmulțiți ecuațiile termenului de sistem cu termen, selectând factori astfel încât coeficienții uneia dintre variabile să devină numere opuse;
2) se adaugă laturile stânga și dreapta ale ecuațiilor sistemului termen cu termen;
3) rezolvați ecuația rezultată cu o variabilă;
4) găsiți valoarea corespunzătoare a celei de-a doua variabile.

Exemplu. Să rezolvăm sistemul de ecuații:
$$ \left\( \begin(array)(l) 2x+3y=-5 \\ x-3y=38 \end(array) \right. $$

În ecuațiile acestui sistem, coeficienții lui y sunt numere opuse. Adunând laturile stânga și dreapta ale ecuațiilor termen cu termen, obținem o ecuație cu o variabilă 3x=33. Să înlocuim una dintre ecuațiile sistemului, de exemplu prima, cu ecuația 3x=33. Să luăm sistemul
$$ \left\( \begin(array)(l) 3x=33 \\ x-3y=38 \end(array) \right. $$

Din ecuația 3x=33 aflăm că x=11. Înlocuind această valoare x în ecuația \(x-3y=38\) obținem o ecuație cu variabila y: \(11-3y=38\). Să rezolvăm această ecuație:
\(-3y=27 \Rightarrow y=-9 \)

Astfel, am găsit soluția sistemului de ecuații prin adunare: \(x=11; y=-9\) sau \((11;-9)\)

Profitând de faptul că în ecuațiile sistemului coeficienții lui y sunt numere opuse, am redus soluția acestuia la soluția unui sistem echivalent (prin însumarea ambelor părți ale fiecăreia dintre ecuațiile sistemului original), în care dintre ecuații conține o singură variabilă.

Subiect:Funcția liniară

Lecţie:Ecuație liniară în două variabile și graficul acesteia

Ne-am familiarizat cu conceptele de axă de coordonate și plan de coordonate. Știm că fiecare punct din plan definește în mod unic o pereche de numere (x; y), primul număr fiind abscisa punctului, iar al doilea fiind ordonata.

Foarte des vom întâlni o ecuație liniară în două variabile, a cărei soluție este o pereche de numere care pot fi reprezentate pe planul de coordonate.

Ecuația de formă:

Unde a, b, c sunt numere și

Se numește ecuație liniară cu două variabile x și y. Soluția unei astfel de ecuații va fi orice astfel de pereche de numere x și y, înlocuind-o în ecuație, vom obține egalitatea numerică corectă.

O pereche de numere va fi reprezentată pe planul de coordonate ca punct.

Pentru astfel de ecuații vom vedea multe soluții, adică multe perechi de numere, iar toate punctele corespunzătoare se vor afla pe aceeași dreaptă.

Să ne uităm la un exemplu:

Pentru a găsi soluții la această ecuație, trebuie să selectați perechile corespunzătoare de numere x și y:

Fie , atunci ecuația inițială se transformă într-o ecuație cu o necunoscută:

,

Adică prima pereche de numere care este o soluție a unei ecuații date (0; 3). Am obținut punctul A(0; 3)

Lasă . Obținem ecuația inițială cu o variabilă: , de aici, avem punctul B(3; 0)

Să punem perechile de numere în tabel:

Să trasăm punctele pe grafic și să desenăm o linie dreaptă:

Rețineți că orice punct de pe o dreaptă dată va fi o soluție a ecuației date. Să verificăm - luați un punct cu o coordonată și folosiți graficul pentru a găsi a doua coordonată. Este evident că în acest moment. Să înlocuim această pereche de numere în ecuație. Obținem 0=0 - o egalitate numerică corectă, ceea ce înseamnă că un punct situat pe o dreaptă este o soluție.

Deocamdată, nu putem demonstra că orice punct situat pe dreapta construită este o soluție a ecuației, așa că acceptăm acest lucru ca fiind adevărat și îl vom demonstra mai târziu.

Exemplul 2 - reprezentați grafic ecuația:

Să facem un tabel, avem nevoie doar de două puncte pentru a construi o linie dreaptă, dar vom lua un al treilea pentru control:

În prima coloană am luat una convenabilă, o vom găsi din:

, ,

În a doua coloană am luat una convenabilă, să găsim x:

, , ,

Să verificăm și să găsim:

, ,

Să construim un grafic:

Să înmulțim ecuația dată cu două:

Dintr-o astfel de transformare, setul de soluții nu se va schimba și graficul va rămâne același.

Concluzie: am învățat să rezolvăm ecuații cu două variabile și să construim graficele acestora, am învățat că graficul unei astfel de ecuații este o dreaptă și că orice punct de pe această dreaptă este o soluție a ecuației

1. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovici E.A. şi altele Algebra 7. ediţia a VI-a. M.: Iluminismul. 2010

2. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebra 7. M.: VENTANA-GRAF

3. Kolyagin Yu.M., Tkacheva M.V., Fedorova N.E. şi alţii Algebra 7.M.: Iluminismul. 2006

2. Portal pentru vizionarea familiei ().

Sarcina 1: Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebra 7, Nr. 960, Art. 210;

Sarcina 2: Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebra 7, Nr. 961, Art. 210;

Sarcina 3: Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebra 7, Nr. 962, Art. 210;