Teorema lui Thales și demonstrația ei. teorema lui Thales

Dacă liniile paralele care intersectează laturile unui unghi taie segmente egale pe o parte, atunci ele tăie segmente egale pe cealaltă parte.

Dovada. Fie A 1, A 2, A 3 punctele de intersecție ale dreptelor paralele cu una dintre laturile unghiului și A 2 se află între A 1 și A 3 (Fig. 1).

Fie B 1 B 2, B 3 punctele corespunzătoare de intersecție ale acestor drepte cu cealaltă parte a unghiului. Să demonstrăm că dacă A 1 A 2 = A 2 A 3, atunci B 1 B 2 = B 2 B 3.

Să trasăm o dreaptă EF prin punctul B 2, paralelă cu dreapta A 1 A 3. Prin proprietatea unui paralelogram A 1 A 2 = FB 2, A 2 A 3 = B 2 E.

Și deoarece A 1 A 2 = A 2 A 3, atunci FB 2 = B 2 E.

Triunghiurile B 2 B 1 F și B 2 B 3 E sunt egale conform celui de-al doilea criteriu. Au B 2 F = B 2 E conform celor dovedite. Unghiurile de la vârful B 2 sunt egale ca verticale, iar unghiurile B 2 FB 1 și B 2 EB 3 sunt egale ca interioare încrucișate cu paralelele A 1 B 1 și A 3 B 3 și secantele EF. Din egalitatea triunghiurilor rezultă egalitatea laturilor: B 1 B 2 = B 2 B 3. Teorema a fost demonstrată.

Folosind teorema lui Thales, se stabilește următoarea teoremă.

Teorema 2. Linia de mijloc a triunghiului este paralelă cu a treia latură și egală cu jumătatea acesteia.

Linia mediană a unui triunghi este segmentul care leagă punctele medii ale celor două laturi ale sale. În figura 2, segmentul ED - linia mediană triunghiul ABC.

ED - linia mediană a triunghiului ABC

Exemplul 1.Împărțiți acest segment în patru părți egale.

Soluţie. Fie AB un segment dat (Fig. 3), care trebuie împărțit în 4 părți egale.

Împărțirea unui segment în patru părți egale

Pentru a face acest lucru, trageți o semi-linie arbitrară a prin punctul A și trasați pe ea succesiv patru segmente egale AC, CD, DE, EK.

Să conectăm punctele B și K cu un segment. Să trasăm drepte paralele cu linia BK prin punctele rămase C, D, E, astfel încât acestea să intersecteze segmentul AB.

Conform teoremei lui Thales, segmentul AB va fi împărțit în patru părți egale.

Exemplul 2. Diagonala unui dreptunghi este a. Care este perimetrul unui patrulater ale cărui vârfuri sunt punctele mijlocii ale laturilor dreptunghiului?

Soluţie. Fie că Figura 4 îndeplinește condițiile problemei.

Atunci EF este linia mediană a triunghiului ABC și, prin urmare, prin teorema 2. $$ EF = \frac(1)(2)AC = \frac(a)(2) $$

În mod similar $$ HG = \frac(1)(2)AC = \frac(a)(2) , EH = \frac(1)(2)BD = \frac(a)(2) , FG = \frac( 1)(2)BD = \frac(a)(2) $$ și deci perimetrul patrulaterului EFGH este 2a.

Exemplul 3. Laturile unui triunghi sunt de 2 cm, 3 cm și 4 cm, iar vârfurile sale sunt punctele mijlocii ale laturilor altui triunghi. Aflați perimetrul triunghiului mare.

Soluţie. Fie ca Figura 5 să îndeplinească condițiile problemei.

Segmentele AB, BC, AC sunt liniile de mijloc ale triunghiului DEF. Prin urmare, conform teoremei 2 $$ AB = \frac(1)(2)EF\ \ ,\ \ BC = \frac(1)(2)DE\ \ ,\ \ AC = \frac(1)(2) DF $$ sau $$ 2 = \frac(1)(2)EF\ \ ,\ \ 3 = \frac(1)(2)DE\ \ ,\ \ 4 = \frac(1)(2)DF $ $ de unde $$ EF = 4\ \ ,\ \ DE = 6\ \ ,\ \ DF = 8 $$ și, prin urmare, perimetrul triunghiului DEF este de 18 cm.

Exemplul 4.Într-un triunghi dreptunghic, linii drepte paralele cu catetele sale sunt trasate prin mijlocul ipotenuzei sale. Aflați perimetrul dreptunghiului rezultat dacă catetele triunghiului au 10 cm și 8 cm.

Soluţie. În triunghiul ABC (Fig. 6)

∠ A este o linie dreaptă, AB = 10 cm, AC = 8 cm, KD și MD sunt liniile mediane ale triunghiului ABC, de unde $$ KD = \frac(1)(2)AC = \\ MD = \. frac(1) (2)AB = 5 cm $$ Perimetrul dreptunghiului K DMA este de 18 cm.

1. 
   Formulare;
2. 
   Dovada;

1. 
   Teoremă asupra segmentelor proporționale;
2. 
   teorema lui Ceva;

1. 
   Formulare;
2. 
   Dovada;

1. 
   teorema lui Menelaus;

1. 
   Formulare;
2. 
   Dovada;

1. 
   Probleme și soluțiile lor;
2. 
   Concluzie;
3. 
   Lista surselor și literaturii utilizate.

Introducere.

Totul este nevoie de puțin

Pentru a fi semnificativ...

I. Severyanin
Acest eseu este dedicat aplicării metodei liniilor paralele pentru demonstrarea teoremelor și rezolvarea problemelor. De ce apelăm la această metodă? In aceasta an universitar La olimpiada școlară de matematică s-a propus o problemă geometrică, care ni s-a părut foarte dificilă. Această problemă a fost cea care a dat impuls începerii lucrărilor privind studierea și stăpânirea metodei liniilor paralele la rezolvarea problemelor de găsire a raportului lungimilor segmentelor.

Ideea metodei în sine se bazează pe utilizarea teoremei Thales generalizate. Teorema lui Thales se studiază în clasa a VIII-a, generalizarea ei și tema „Similitudinea figurilor” în clasa a IX-a și abia în clasa a X-a, într-un plan introductiv, se studiază două importante teoreme ale lui Cheva și Menelaus, cu ajutorul cărora. o serie de probleme privind găsirea raportului dintre lungimile segmentelor sunt rezolvate relativ ușor. Prin urmare, la nivelul educației de bază putem decide destul cerc îngust sarcini pentru acest material educațional. Deși la certificarea finală pentru un curs școlar de bază și la Examenul Unificat de Stat la matematică, problemele pe această temă (Teorema lui Thales. Similitudinea triunghiurilor, coeficientul de asemănare. Semnele asemănării triunghiurilor) sunt oferite în partea a doua a lucrării de examen. și se referă la un nivel ridicat de complexitate.

În procesul de lucru la abstract, a devenit posibil să ne aprofundăm cunoștințele pe această temă. Demonstrarea teoremei pe segmentele proporționale dintr-un triunghi (teorema nu este inclusă în programa școlară) se bazează pe metoda dreptelor paralele. La rândul său, această teoremă a făcut posibilă propunerea unui alt mod de demonstrare a teoremelor lui Ceva și Menelaus. Și, ca rezultat, am putut învăța cum să rezolvăm o gamă mai largă de probleme care implică compararea lungimilor segmentelor. Aceasta este relevanța muncii noastre.

Teorema generalizată a lui Thales.

Formulare:

Liniile paralele care intersectează două linii date decupează segmentele proporționale de pe aceste linii.
Dat:

Drept O tăiat prin linii paralele ( O 1 ÎN 1 , O 2 ÎN 2 , O 3 ÎN 3 ,…, O n B n) în segmente O 1 O 2 , O 2 O 3 , …, O n -1 O n, și linia dreaptă b- în segmente ÎN 1 ÎN 2 , ÎN 2 ÎN 3 , …, ÎN n -1 ÎN n .

Dovada:

Să demonstrăm, de exemplu, că

Să luăm în considerare două cazuri:

1 carcasă (Fig. b)

Direct oŞi b paralel. Apoi patrulatere

O 1 O 2 ÎN 2 ÎN 1 Şi O 2 O 3 ÎN 3 ÎN 2 - paralelograme. De aceea

O 1 O 2 =ÎN 1 ÎN 2 Şi O 2 O 3 =ÎN 2 ÎN 3 , din care rezultă că

Cazul 2 (Fig. c)

Dreptele a și b nu sunt paralele. Prin punct O 1 hai sa facem un direct Cu, paralel cu linia b. Ea va trece liniile O 2 ÎN 2 Şi O 3 ÎN 3 în unele puncte CU 2 Şi CU 3 . Triunghiuri O 1 O 2 CU 2 Şi O 1 O 3 CU 3 similar la două unghiuri (unghi O 1 – general, unghiuri O 1 O 2 CU 2 Şi O 1 O 3 CU 3 egală ca corespunzătoare atunci când liniile paralele O 2 ÎN 2 Şi O 3 ÎN 3 secantă O 2 O 3 ), De aceea

1+

Sau prin proprietatea proporțiilor

Pe de altă parte, conform celor dovedite în primul caz, avem O 1 CU 2 =ÎN 1 ÎN 2 , CU 2 CU 3 =ÎN 2 ÎN 3 . Înlocuirea proporțională (1) O 1 CU 2 pe ÎN 1 ÎN 2 Şi CU 2 CU 3 pe ÎN 2 ÎN 3 , ajungem la egalitate

Q.E.D.
Teoremă asupra segmentelor proporționale dintr-un triunghi.

Pe laturi ACŞi Soare triunghi ABC puncte marcate LAŞi M Aşa AK:KS=m: n, B.M.: M.C.= p: q. Segmente A.MŞi VK se intersectează într-un punct DESPRE(Fig. 124b).

Dovada:
Prin punct M hai sa facem un direct M.D.(Fig. 124a), paralel VK. Ea traversează lateral AC la punct D, și conform unei generalizări a teoremei lui Thales

Lasă AK=mx. Apoi, în conformitate cu starea problemei KS=nx, și de când KD: DC= p: q, apoi folosim din nou o generalizare a teoremei lui Thales:

În mod similar, este dovedit că .

teorema lui Ceva.
Teorema poartă numele matematicianului italian Giovanni Ceva, care a demonstrat-o în 1678.

Formulare:

Dacă punctele C sunt luate pe laturile AB, BC și, respectiv, CA ale triunghiului ABC 1 , A 1 și B 1 , apoi segmentele AA 1 , BB 1 si SS 1 se intersectează într-un punct dacă și numai dacă

Dat:

Triunghi ABC iar pe laturile ei AB, SoareŞi AC puncte marcate CU 1 ,O 1 Şi ÎN 1 .

2.segmente A A 1 , BB 1 Şi SS 1 se intersectează la un punct.

Împărțind ambele părți cu partea dreaptă, ajungem la egalitate (3).

2. Să demonstrăm afirmația inversă. Lasă punctele CU 1 ,O 1 Şi ÎN 1 luate pe laturi AB, SoareŞi SA astfel încât egalitatea (3) este satisfăcută. Să demonstrăm că segmentele AA 1 , BB 1 Şi SS 1 se intersectează la un punct. Să notăm prin literă DESPRE punctul de intersecție al segmentelor A A 1 Şi BB 1 și hai să facem un direct CO. Ea traversează lateral AB la un moment dat, pe care îl notăm CU 2 . Din moment ce segmentele AA 1 , BB 1 Şi SS 1 se intersectează la un moment dat, apoi prin ceea ce s-a dovedit în primul punct

Deci, egalitățile (3) și (4) sunt valabile.

Comparându-le, ajungem la egalitatea = , ceea ce arată că punctele C 1 Şi C 2 împărtășește părți AB C 1 Şi C 2 coincid și, deci, segmentele AA 1 , BB 1 Şi SS 1 se intersectează într-un punct O.

Q.E.D.
teorema lui Menelaus.

Formulare:

Dacă pe laturile AB și BC și continuarea laturii AC (sau pe continuarea laturilor AB, BC și AC) se iau punctele C, respectiv 1 , A 1 , IN 1 , atunci aceste puncte se află pe aceeași dreaptă dacă și numai dacă

Dat:

Triunghi ABC iar pe laturile ei AB, SoareŞi AC puncte marcate CU 1 ,O 1 Şi ÎN 1 .

2. puncte O 1 ,CU 1 Şi ÎN 1 stați pe aceeași linie dreaptă
Dovada:
1. Lasă punctele O 1 ,CU 1 Şi ÎN 1 stați pe aceeași linie dreaptă. Să demonstrăm că egalitatea (5) este satisfăcută. Să ducem la îndeplinire AD,FIŞi CF paralel cu linia ÎN 1 O 1 (punct D se află pe o linie dreaptă Soare). Conform teoremei generalizate Thales avem:

Înmulțind părțile stânga și dreaptă ale acestor egalități, obținem

aceste. egalitatea (5) este satisfăcută.
2. Să demonstrăm afirmația inversă. Lasă punctul ÎN 1 luate pe partea de continuare AC, și punctele CU 1 Şi O 1 – pe laterale ABŞi Soare, și în așa fel încât egalitatea (5) să fie satisfăcută. Să demonstrăm că punctele O 1 ,CU 1 Şi ÎN 1 stați pe aceeași linie dreaptă. Fie ca dreapta A 1 C 1 să intersecteze continuarea laturii AC în punctul B 2, apoi, prin ceea ce sa dovedit în primul punct

Comparând (5) și (6), ajungem la egalitatea = , ceea ce arată că punctele ÎN 1 Şi ÎN 2 împărtășește părți AC in aceeasi privinta. Prin urmare, punctele ÎN 1 Şi ÎN 2 coincid și, prin urmare, punctele O 1 ,CU 1 Şi ÎN 1 stați pe aceeași linie dreaptă. Afirmația inversă se dovedește în mod similar în cazul în care toate cele trei puncte O 1 ,CU 1 Şi ÎN 1 se întinde pe continuările laturilor corespunzătoare.

Q.E.D.

Rezolvarea problemelor.

Soluţie: Trebuie să găsiți raportul AB 1:B 1 C, AC este segmentul dorit pe care se află punctul B 1.

Metoda paralelă este următoarea:

1. 
   tăiați segmentul necesar cu linii paralele. Un BB 1 există deja și vom trasa al doilea MN prin punctul M, paralel cu BB 1.
2. 
   Transferați un raport cunoscut de la o parte a unghiului pe cealaltă parte a acestuia, de ex. luați în considerare unghiurile laturilor, care sunt tăiate de aceste linii drepte.

Să trecem la relația care ne interesează AB 1:B 1 C= AB 1:(B 1 N+ NC)= 2n:(3p+2p)=(2*3p):(5p)=6:5.

Răspuns: AB 1:B 1 C = 6:5.

Comentariu: Această problemă ar putea fi rezolvată folosind teorema lui Menelaus. Aplicând-o triunghiului AMC. Apoi dreapta BB 1 intersectează două laturi ale triunghiului în punctele B 1 și P, iar continuarea celei de-a treia în punctul B. Aceasta înseamnă că egalitatea se aplică: , prin urmare
Problema nr. 2 În triunghiul ABC AN este mediana. Pe latura AC se ia un punct M astfel încât AM: MC = 1: 3. Segmentele AN și BM se intersectează în punctul O, iar raza CO intersectează AB în punctul K. În ce raport punctul K împarte segmentul AB .

Soluţie: Trebuie să găsim raportul dintre AK și HF.

1) Să desenăm o dreaptă NN 1 paralelă cu dreapta SK și o dreaptă NN 2 paralelă cu dreapta VM.

2) Laturile unghiului ABC sunt intersectate de drepte SC și NN 1 și, conform teoremei generalizate Thales, concluzionăm BN 1:N 1 K=1:1 sau BN 1 = N 1 K= y.

3) Laturile unghiului ВСМ sunt intersectate de drepte BM și NN 2 și conform teoremei generalizate Thales concluzionăm CN 2:N 2 M=1:1 sau CN 2 = N 2 M=3:2=1,5.

4) Laturile unghiului NAC sunt intersectate de drepte BM și NN 2 și, conform teoremei generalizate Thales, concluzionăm AO: ON=1:1,5 sau AO=m ON=1,5m.

5) Laturile unghiului BAN sunt intersectate de drepte SK și NN 1 și, conform teoremei generalizate Thales, concluzionăm AK: KN 1 = 1: 1,5 sau AK = n KN 1 =1,5 n.

6) KN 1 =y=1,5n.

Răspuns: AK:KV=1:3.

Comentariu: Această problemă ar putea fi rezolvată folosind teorema lui Ceva, aplicând-o triunghiului ABC. Prin condiție, punctele N, M, K se află pe laturile triunghiului ABC și segmentele AN, CK și BM se intersectează într-un punct, ceea ce înseamnă că egalitatea este adevărată: , să înlocuim rapoartele cunoscute, avem , AK:KV=1:3.

Problema nr. 3 Pe latura BC a triunghiului ABC, punctul D este luat astfel încât ВD: DC = 2:5, iar pe latura AC punctul E este astfel încât . În ce raport sunt împărțite segmentele BE și AD la punctul K al intersecției lor?
Soluţie: Trebuie să găsim 1) AK:KD=? 2) VK:KE=?

1) Desenați o dreaptă DD 1 paralelă cu dreapta BE.

2) Laturile unghiului ALL sunt intersectate de drepte BE și DD 1 și folosind teorema generalizată Thales concluzionăm CD 1:D 1 E=5:2 sau CD 1 = 5z, D 1 E=2z.

3) Conform condiției AE:EC = 1:2, i.e. AE=x, EC=2x, dar EC= CD 1 + D 1 E, ceea ce înseamnă 2у=5z+2 z=7 z, z=

4) Laturile unghiului DСA sunt intersectate de drepte BE și DD 1 și, conform teoremei generalizate Thales, concluzionăm

5) Pentru a determina raportul VC:KE, trasăm dreapta EE 1 și, raționând în mod similar, obținem

Rezolvare: Fie O punctul intersecția bisectoarei AD și mediana CE. Trebuie să găsim raportul AO:OD.

1) Desenați o dreaptă DD 1 paralelă cu dreapta CE.

2) Laturile unghiului ABC sunt intersectate de drepte CE și DD 1 și, folosind teorema generalizată Thales, concluzionăm ВD 1:D 1 E=2:1 sau ВD 1 = 2p, D 1 E=p.

3) Conform condiției AE:EB=1:1, i.e. AE=y, EB=y, dar EB= BD 1 + D 1 E, ceea ce înseamnă y=2p+ p=3 p, p =
4) Laturile unghiului BAD sunt intersectate de drepte OE și DD 1 și, folosind teorema generalizată a lui Thales, concluzionăm .

Răspuns: AO:OD=3:1.

Problema nr. 6 Pe mediana AM a triunghiului ABC, se ia punctul K și AK: KM = 1: 3. Aflați raportul în care o dreaptă care trece prin punctul K paralel cu latura AC împarte latura BC.

Rezolvare: Fie M 1 punct intersecția unei drepte care trece prin punctul K paralel cu latura AC și latura BC. Trebuie să găsim raportul VM 1:M 1 C.

1) Laturile unghiului AMC sunt intersectate de drepte KM 1 și AC și, conform teoremei generalizate Thales, concluzionăm MM 1: M 1 C = 3: 1 sau MM 1 = 3z, M 1 C = z

2) Prin condiția VM:MS = 1:1, adică VM=y, MS=y, dar MS= MM 1 + M 1 C, ceea ce înseamnă y=3z+ z=4 z,

3) .

Răspuns: VM 1:M 1 C =7:1.

Comentariu: Această problemă poate fi rezolvată folosind teorema lui Menelaus. Aplicând-o triunghiului ABC. Apoi, dreapta KN intersectează două laturi ale triunghiului în punctele K și K 1, iar continuarea celei de-a treia în punctul N. Aceasta înseamnă că egalitatea se aplică: deci VK 1:K1C=2:1.

Problema nr. 8

Site-uri web:

http://www.problems.ru

http://interneturok.ru/

Examenul de stat unificat 2011 Problemă de matematică C4 R.K Gordin M.: MCNMO, 2011, - 148 s

Concluzie:

Rezolvarea problemelor și teoremelor pentru găsirea raportului dintre lungimile segmentelor se bazează pe teorema generalizată a lui Thales. Am formulat o metodă care permite, fără a aplica teorema lui Thales, să folosim drepte paralele, să transferăm proporții cunoscute dintr-o parte a unghiului în cealaltă parte și, astfel, să găsim locația punctelor de care avem nevoie și să comparăm lungimile. Lucrarea la abstract ne-a ajutat să învățăm să rezolvăm probleme geometrice de un nivel ridicat de complexitate. Ne-am dat seama de veridicitatea cuvintelor celebrului poet rus Igor Severyanin: „Tot ce este nesemnificativ este necesar pentru a fi semnificativ...” și suntem încrezători că la Examenul Unificat de Stat vom putea găsi o soluție la problemele propuse folosind metoda dreptelor paralele.

1 Teoremă asupra segmentelor proporționale dintr-un triunghi - teorema descrisă mai sus.

Dacă laturile unui unghi sunt intersectate de drepte paralele care împart una dintre laturi în mai multe segmente, atunci a doua latură, linii drepte, va fi, de asemenea, împărțită în segmente echivalente cu cealaltă latură.

Teorema lui Thales demonstrează următoarele: C 1, C 2, C 3 sunt locurile în care drepte paralele se intersectează pe orice parte a unghiului. C 2 se află în mijloc față de C 1 și C 3 .. Punctele D 1, D 2, D 3 sunt locurile în care se intersectează liniile, care corespund dreptelor de pe cealaltă parte a unghiului. Demonstrăm că atunci când C 1 C 2 = C 2 C h, atunci D 1 D 2 = D 2 D 3.
Desenăm în locul D 2 un segment drept KR, paralel cu secțiunea C 1 C 3. În proprietățile unui paralelogram, C 1 C 2 = KD 2, C 2 C 3 = D 2 P. Dacă C 1 C 2 = C 2 C 3, atunci KD 2 = D 2 P.

Figurile triunghiulare rezultate D 2 D 1 K și D 2 D 3 P sunt egale. Și D 2 K=D 2 P prin demonstrație. Unghiurile cu punctul superior D 2 sunt egale ca verticale, iar unghiurile D 2 KD 1 și D 2 PD 3 sunt egale ca interioare încrucișate cu paralele C 1 D 1 și C 3 D 3 și KP de divizare.
Deoarece D 1 D 2 =D 2 D 3 teorema este dovedită prin egalitatea laturilor triunghiului

Nota: Dacă luăm nu laturile unghiului, ci două segmente drepte, demonstrația va fi aceeași.
Orice segmente drepte paralele între ele, care intersectează cele două linii pe care le luăm în considerare și împart una dintre ele în secțiuni egale, procedează la fel cu a doua.

Să ne uităm la câteva exemple

Primul exemplu

Condiția sarcinii este de a împărți CD-ul în linie dreaptă n segmente identice.
Din punctul C trasăm o semilinie c, care nu se află pe linia CD. Să marchem părți de aceeași dimensiune. SS 1, C 1 C 2, C 2 C 3 .....C p-1 C p. Conectați C p cu D. Desenați drepte din punctele C 1, C 2,...., C p-1 care va fi paralelă cu C p D. Dreptele vor intersecta CD în locurile D 1 D 2 D p-1 şi împarte dreapta CD în n segmente egale.

Al doilea exemplu

Punctul CK este marcat pe latura AB a triunghiului ABC. Segmentul SC intersectează mediana AM a triunghiului în punctul P, în timp ce AK = AP. Este necesar să găsiți raportul dintre VC și RM.
Desenăm un segment drept prin punctul M, paralel cu SC, care intersectează AB în punctul D

De Teorema lui ThalesВD=КD
Folosind teorema segmentului proporțional, aflăm că
РМ = КD = ВК/2, prin urmare, ВК: РМ = 2:1
Răspuns: VK: RM = 2:1

Al treilea exemplu

În triunghiul ABC, latura BC = 8 cm Linia DE intersectează laturile AB și BC paralele cu AC. Și taie segmentul EC = 4 cm pe latura BC. Demonstrați că AD = DB.

Deoarece BC = 8 cm și EC = 4 cm, atunci
BE = BC-EC, deci BE = 8-4 = 4(cm)
De Teorema lui Thales, deoarece AC este paralel cu DE și EC = BE, prin urmare, AD = DB. Q.E.D.

În revista pentru femei - online, vei găsi o mulțime de informații interesante pentru tine. Există și o secțiune dedicată poeziei scrise de Serghei Yesenin. Intră, nu vei regreta!

Despre paralele și secante.

În afara literaturii de limba rusă, teorema lui Thales este uneori numită o altă teoremă a planimetriei, și anume afirmația că unghiul înscris sub întinderea diametrului unui cerc este un unghi drept. Descoperirea acestei teoreme este într-adevăr atribuită lui Thales, după cum a demonstrat Proclus.

Formulări

Dacă mai multe segmente egale sunt așezate succesiv pe una dintre cele două linii și sunt trasate linii paralele prin capetele lor care intersectează a doua linie, atunci acestea vor tăia segmente egale de pe a doua linie.

O formulare mai generală, numită și teorema segmentului proporțional

Liniile paralele decupează segmentele proporționale la secante:

(\displaystyle (\frac (A_(1)A_(2)))(B_(1)B_(2)))=(\frac (A_(2)A_(3)))(B_(2)B_(3) ))=(\frac (A_(1)A_(3))(B_(1)B_(3))).)

• Note

• Teorema lui Thales este un caz special al teoremei segmentelor proporționale, deoarece segmentele egale pot fi considerate segmente proporționale cu un coeficient de proporționalitate egal cu 1.

Dovada în cazul secantelor

Să luăm în considerare opțiunea cu perechi neconectate de segmente: lăsați unghiul să fie intersectat de linii drepte A A 1 || B B 1 |.

|

C C 1 | | D D 1 (\displaystyle AA_(1)||BB_(1)||CC_(1)||DD_(1)) si in acelasi timpŞi A B = C D (\displaystyle AB=CD) Dovada în cazul dreptelor paralele ABŞi Să facem o directă B.C. |. Unghiuri ABCŞi BCD Dovada în cazul dreptelor paralele egală ca aşezare transversală internă cu linii paraleleŞi CD B.C. | si secante si in acelasi timpŞi , și unghiurile ACB egală ca aşezare transversală internă cu linii paralele = CDŞi AB = Să facem o directă. ■

CBD

A.C.

BD

. Apoi, după al doilea criteriu pentru egalitatea triunghiurilor, triunghiuri

DCB sunt egali. Rezultă că Variații și generalizări Teorema inversă.

Dacă în teorema lui Thales segmentele egale încep de la vârf (această formulare este adesea folosită în literatura școlară), atunci teorema inversă va fi și ea adevărată. Pentru secantele care se intersectează se formulează după cum urmează:

În teorema inversă a lui Thales, este important ca segmentele egale să înceapă de la vârf

Astfel (vezi figura) din faptul că

C B 1 C A 1 = B 1 B 2 A 1 A 2 = … (\displaystyle (\frac (CB_(1))(CA_(1)))=(\frac (B_(1)B_(2))(A_ (1)A_(2)))=\ldots )

Dacă secantele sunt paralele, atunci este necesar să se ceară ca segmentele de pe ambele secante să fie egale între ele, în caz contrar, această afirmație devine falsă (un contraexemplu este un trapez intersectat de o dreaptă care trece prin punctele medii ale bazelor).

Această teoremă este folosită în navigație: o coliziune între nave care se deplasează cu o viteză constantă este inevitabil dacă se menține direcția de la o navă la alta.

- corespondența proiectivă între punctele unei linii

l (\displaystyle l)

• si drept
• Formulați și demonstrați proprietățile unui pătrat, demonstrați proprietățile acestuia.
• Învață să aplici proprietățile formelor atunci când rezolvi probleme.
• Dezvoltare – pentru a dezvolta atenția elevilor, perseverența, perseverența, gândirea logică, vorbirea matematică.
• Educațional - prin lecție, cultivați o atitudine atentă unul față de celălalt, insuflați capacitatea de a asculta tovarășii, asistența reciprocă și independența.

Obiectivele lecției

• Testați abilitățile elevilor de rezolvare a problemelor.

Planul de lecție

1. Informații istorice.
2. Thales ca matematician și lucrările sale.
3. Este util să ne amintim.

Context istoric

• Teorema lui Thales este încă folosită în navigația maritimă ca o regulă că o coliziune între nave care se deplasează cu o viteză constantă este inevitabil dacă navele își mențin o direcție una spre alta.

• În afara literaturii de limbă rusă, teorema lui Thales este uneori numită o altă teoremă a planimetriei, și anume afirmația că unghiul înscris pe baza diametrului unui cerc este drept. Descoperirea acestei teoreme este într-adevăr atribuită lui Thales, după cum a demonstrat Proclus.

• Thales a învățat elementele de bază ale geometriei în Egipt.

Descoperiri și merite ale autorului său

Știați că Thales din Milet era unul dintre cei mai faimoși șapte la acea vreme, înțeleptul Greciei. A înființat școala ionică. Ideea pe care Thales a promovat-o în această școală era unitatea tuturor lucrurilor. Înțeleptul credea că există un singur început din care toate lucrurile au pornit.

Marele merit al lui Thales din Milet este crearea geometriei științifice. Această mare învățătură a fost capabilă, din arta egipteană a măsurării, să creeze o geometrie deductivă, a cărei bază este bazele comune.

Pe lângă cunoștințele sale enorme de geometrie, Thales era și bine versat în astronomie. El a fost primul care a prezis o eclipsă totală de Soare. Dar asta nu s-a întâmplat în lumea modernă, iar înapoi în 585, chiar î.Hr.

Thales din Milet a fost omul care a realizat că nordul poate fi determinat cu precizie de constelație Ursa Mică. Dar aceasta nu a fost ultima sa descoperire, deoarece a putut să determine cu exactitate lungimea anului, să o împartă în trei sute șaizeci și cinci de zile și să stabilească, de asemenea, timpul echinocțiului.

Thales a fost de fapt dezvoltat cuprinzător și om înțelept. Pe lângă faptul că era faimos ca un excelent matematician, fizician și astronom, el a fost și un adevărat meteorolog și a putut prezice destul de precis recolta de măsline.

Dar cel mai remarcabil lucru este că Thales nu și-a limitat niciodată cunoștințele doar la domeniul științific și teoretic, ci a încercat întotdeauna să consolideze dovezile teoriilor sale în practică. Și cel mai interesant lucru este că marele înțelept nu s-a concentrat pe niciun domeniu al cunoștințelor sale, interesul său a avut diverse direcții.

Numele Thales a devenit un nume cunoscut pentru înțelept și atunci. Importanța și semnificația lui pentru Grecia a fost la fel de mare ca și numele lui Lomonosov pentru Rusia. Desigur, înțelepciunea lui poate fi interpretată în moduri diferite. Dar putem spune cu siguranță că el s-a caracterizat prin ingeniozitate, ingeniozitate practică și, într-o oarecare măsură, detașare.

Thales din Milet a fost un excelent matematician, filozof, astronom, iubea să călătorească, a fost comerciant și antreprenor, a fost angajat în comerț și a fost, de asemenea, un bun inginer, diplomat, văzător și a participat activ la viața politică.

A reușit chiar să determine înălțimea piramidei folosind un toiag și o umbră. Și așa a fost. Într-o zi frumoasă, însorită, Thales și-a așezat toiagul pe granița unde se termina umbra piramidei. Apoi, a așteptat până când lungimea umbrei toiagului său a fost egală cu înălțimea acesteia și a măsurat lungimea umbrei piramidei. Deci, s-ar părea că Thales a determinat pur și simplu înălțimea piramidei și a demonstrat că lungimea unei umbre este legată de lungimea altei umbre, la fel cum înălțimea piramidei este legată de înălțimea toiagului. Acesta este ceea ce l-a lovit chiar pe faraonul Amasis.

Datorită lui Thales, toate cunoștințele cunoscute la acea vreme au fost transferate în domeniul de interes științific. El a reușit să transmită rezultatele la un nivel adecvat consumului științific, evidențiind un anumit set de concepte. Și poate cu ajutorul lui Thales a început dezvoltarea ulterioară a filosofiei antice.

Teorema lui Thales joacă un rol important în matematică. Era faimoasă nu numai în Egiptul anticși Babilon, dar și în alte țări și a stat la baza dezvoltării matematicii. Da si in viata de zi cu zi, în timpul construcției de clădiri, structuri, drumuri etc., nu se poate face fără teorema lui Thales.

Teorema lui Thales în cultură

Teorema lui Thales a devenit faimoasă nu numai în matematică, dar a fost introdusă și în cultură. Într-o zi, grupul muzical argentinian Les Luthiers (spaniol) a prezentat publicului un cântec, pe care l-a dedicat unei celebre teoreme. Membrii Les Luthiers, în videoclipul lor special pentru această melodie, au oferit dovezi pentru teorema directă pentru segmentele proporționale.

Întrebări

1. Ce drepte se numesc paralele?
2. Unde se aplică practic teorema lui Thales?
3. Ce spune teorema lui Thales?

Lista surselor utilizate

1. Enciclopedie pentru copii. T.11. Matematică/Redactor-șef M.D.Aksenova.-m.: Avanta+, 2001.
2. „Examenul de stat unificat 2006. Matematică. Materiale educaționale și de instruire pentru pregătirea elevilor / Rosobrnadzor, ISOP - M.: Intellect-Center, 2006"
3. L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev, E. G. Poznyak, I. I. Yudina „Geometrie, 7 – 9: manual pentru instituțiile de învățământ”