Teorema lui Thales - demonstrație în formă mare. teorema lui Thales

Dacă liniile paralele care intersectează laturile unui unghi taie segmente egale pe o parte, atunci ele tăie segmente egale pe cealaltă parte.

Dovada. Fie A 1, A 2, A 3 punctele de intersecție ale dreptelor paralele cu una dintre laturile unghiului și A 2 se află între A 1 și A 3 (Fig. 1).

Fie B 1 B 2, B 3 punctele corespunzătoare de intersecție ale acestor drepte cu cealaltă parte a unghiului. Să demonstrăm că dacă A 1 A 2 = A 2 A 3, atunci B 1 B 2 = B 2 B 3.

Să trasăm o dreaptă EF prin punctul B 2, paralelă cu dreapta A 1 A 3. Prin proprietatea unui paralelogram A 1 A 2 = FB 2, A 2 A 3 = B 2 E.

Și deoarece A 1 A 2 = A 2 A 3, atunci FB 2 = B 2 E.

Triunghiurile B 2 B 1 F și B 2 B 3 E sunt egale conform celui de-al doilea criteriu. Au B 2 F = B 2 E conform celor dovedite. Unghiurile de la vârful B 2 sunt egale ca verticale, iar unghiurile B 2 FB 1 și B 2 EB 3 sunt egale ca interioare încrucișate cu paralelele A 1 B 1 și A 3 B 3 și secantele EF. Din egalitatea triunghiurilor rezultă egalitatea laturilor: B 1 B 2 = B 2 B 3. Teorema a fost demonstrată.

Folosind teorema lui Thales, se stabilește următoarea teoremă.

Teorema 2. Linia de mijloc a triunghiului este paralelă cu a treia latură și egală cu jumătatea acesteia.

Linia mediană a unui triunghi este segmentul care leagă punctele medii ale celor două laturi ale sale. În figura 2, segmentul ED - linia mediană triunghiul ABC.

ED - linia mediană a triunghiului ABC

Exemplul 1.Împărțiți acest segment în patru părți egale.

Soluţie. Fie AB un segment dat (Fig. 3), care trebuie împărțit în 4 părți egale.

Împărțirea unui segment în patru părți egale

Pentru a face acest lucru, trageți o semi-linie arbitrară a prin punctul A și trasați pe ea secvențial patru segmente egale AC, CD, DE, EK.

Să conectăm punctele B și K cu un segment. Să trasăm drepte paralele cu linia BK prin punctele rămase C, D, E, astfel încât acestea să intersecteze segmentul AB.

Conform teoremei lui Thales, segmentul AB va fi împărțit în patru părți egale.

Exemplul 2. Diagonala unui dreptunghi este a. Care este perimetrul unui patrulater ale cărui vârfuri sunt punctele mijlocii ale laturilor dreptunghiului?

Soluţie. Fie ca Figura 4 să îndeplinească condițiile problemei.

Atunci EF este linia mediană a triunghiului ABC și, prin urmare, prin teorema 2. $$ EF = \frac(1)(2)AC = \frac(a)(2) $$

În mod similar $$ HG = \frac(1)(2)AC = \frac(a)(2) , EH = \frac(1)(2)BD = \frac(a)(2) , FG = \frac( 1)(2)BD = \frac(a)(2) $$ și deci perimetrul patrulaterului EFGH este 2a.

Exemplul 3. Laturile unui triunghi sunt de 2 cm, 3 cm și 4 cm, iar vârfurile sale sunt punctele mijlocii ale laturilor altui triunghi. Aflați perimetrul triunghiului mare.

Soluţie. Fie ca Figura 5 să îndeplinească condițiile problemei.

Segmentele AB, BC, AC sunt liniile de mijloc ale triunghiului DEF. Prin urmare, conform teoremei 2 $$ AB = \frac(1)(2)EF\ \ ,\ \ BC = \frac(1)(2)DE\ \ ,\ \ AC = \frac(1)(2) DF $$ sau $$ 2 = \frac(1)(2)EF\ \ ,\ \ 3 = \frac(1)(2)DE\ \ ,\ \ 4 = \frac(1)(2)DF $ $ de unde $$ EF = 4\ \ ,\ \ DE = 6\ \ ,\ \ DF = 8 $$ și, prin urmare, perimetrul triunghiului DEF este de 18 cm.

Exemplul 4.Într-un triunghi dreptunghic, prin mijlocul ipotenuzei sale există linii drepte paralele cu catetele sale. Aflați perimetrul dreptunghiului rezultat dacă catetele triunghiului au 10 cm și 8 cm.

Soluţie. În triunghiul ABC (Fig. 6)

∠ A este o linie dreaptă, AB = 10 cm, AC = 8 cm, KD și MD sunt liniile mediane ale triunghiului ABC, de unde $$ KD = \frac(1)(2)AC = \\ MD = \. frac(1) (2)AB = 5 cm $$ Perimetrul dreptunghiului K DMA este de 18 cm.

Teorema 6.6 (teorema lui Thales).Dacă liniile paralele care intersectează laturile unui unghi taie segmente egale pe o parte, atunci ele tăie segmente egale pe cealaltă parte.(Fig. 131).

Dovada. Fie A 1, A 2, A 3 punctele de intersecție ale dreptelor paralele cu una dintre laturile unghiului și A 2 se află între A 1 și A 3 (Fig. 131). Fie B 1, B 2, B 3 punctele de intersecție corespunzătoare ale acestor drepte cu cealaltă parte a unghiului. Să demonstrăm că dacă A 1 A 2 = A 2 Az, atunci B 1 B 2 = B 2 B 3.

Să desenăm o dreaptă EF prin punctul B 2, paralelă cu dreapta A 1 A 3. Prin proprietatea unui paralelogram, A 1 A 2 = FB 2, A 2 A 3 = B 2 E. Și deoarece A 1 A 2 = A 2 A 3, atunci FB 2 = B 2 E.

Triunghiurile B 2 B 1 F și B 2 B 3 E sunt egale conform celui de-al doilea criteriu. Au B 2 F=B 2 E conform celor dovedite. Unghiurile de la vârful B 2 sunt egale ca verticale, iar unghiurile B 2 FB 1 și B 2 EB 3 sunt egale ca interioare încrucișate cu paralelele A 1 B 1 și A 3 B 3 și secantele EF.

Din egalitatea triunghiurilor rezultă egalitatea laturilor: B 1 B 2 = B 2 B 3. Teorema a fost demonstrată.

Comentariu. În condițiile teoremei lui Thales, în loc de laturile unui unghi, puteți lua oricare două drepte, iar concluzia teoremei va fi aceeași:

Liniile paralele care intersectează două linii date și decupează segmente egale pe o linie, de asemenea, taie segmente egale pe cealaltă linie.

Uneori teorema lui Thales va fi aplicată în această formă.

Problema (48). Împărțiți segmentul AB dat în n părți egale.

Soluţie. Să desenăm din punctul A o semi-dreptă a care nu se află pe dreapta AB (Fig. 132). Să trasăm segmente egale pe semidreapta a: AA 1, A 1 A 2, A 2 A 3, .... A n - 1 A n. Să conectăm punctele A n și B. Desenați prin punctele A 1, A 2, .... A n -1 drepte paralele cu dreapta A n B. Ele intersectează segmentul AB în punctele B 1, B 2, B n- 1, care împart segmentul AB în n segmente egale (conform teoremei lui Thales).

A. V. Pogorelov, Geometrie pentru clasele 7-11, Manual pentru instituțiile de învățământ

Subiectul lecției

Obiectivele lecției

• Familiarizați-vă cu definiții noi și amintiți-vă de unele deja studiate.
• Formulați și demonstrați proprietățile unui pătrat, demonstrați proprietățile acestuia.
• Învață să aplici proprietățile formelor atunci când rezolvi probleme.
• Dezvoltare – pentru a dezvolta atenția elevilor, perseverența, perseverența, gândirea logică, vorbirea matematică.
• Educațional - prin lecție, cultivați o atitudine atentă unul față de celălalt, insuflați capacitatea de a asculta tovarășii, asistența reciprocă și independența.

Obiectivele lecției

• Testați abilitățile elevilor de rezolvare a problemelor.

Planul de lecție

1. Informații istorice.
2. Thales ca matematician și lucrările sale.
3. Este util să ne amintim.

Context istoric

• Teorema lui Thales este încă folosită în navigația maritimă ca o regulă că o coliziune între nave care se deplasează cu o viteză constantă este inevitabil dacă navele își mențin o direcție una spre alta.

• În afara literaturii de limbă rusă, teorema lui Thales este uneori numită o altă teoremă a planimetriei, și anume afirmația că unghiul înscris pe baza diametrului unui cerc este drept. Descoperirea acestei teoreme este într-adevăr atribuită lui Thales, după cum a demonstrat Proclus.

• Thales a învățat elementele de bază ale geometriei în Egipt.

Descoperiri și merite ale autorului său

Știați că Thales din Milet era unul dintre cei mai faimoși șapte la acea vreme, înțeleptul Greciei. A înființat școala ionică. Ideea pe care Thales a promovat-o în această școală era unitatea tuturor lucrurilor. Înțeleptul credea că există un singur început din care toate lucrurile au pornit.

Marele merit al lui Thales din Milet este crearea geometriei științifice. Această mare învățătură a fost capabilă să creeze din arta egipteană a măsurării o geometrie deductivă, a cărei bază este o bază comună.

Pe lângă cunoștințele sale enorme de geometrie, Thales era și bine versat în astronomie. El a fost primul care a prezis o eclipsă totală de Soare. Dar asta nu s-a întâmplat în lumea modernă, iar înapoi în 585, chiar î.Hr.

Thales din Milet a fost omul care a realizat că nordul poate fi determinat cu precizie de constelație Ursa Mică. Dar aceasta nu a fost ultima sa descoperire, deoarece a putut să determine cu exactitate lungimea anului, să o împartă în trei sute șaizeci și cinci de zile și să stabilească, de asemenea, timpul echinocțiului.

Thales a fost de fapt dezvoltat cuprinzător și om înțelept. Pe lângă faptul că era faimos ca un excelent matematician, fizician și astronom, el a fost și un adevărat meteorolog și a putut prezice destul de precis recolta de măsline.

Dar cel mai remarcabil lucru este că Thales nu și-a limitat niciodată cunoștințele doar la domeniul științific și teoretic, ci a încercat întotdeauna să consolideze dovezile teoriilor sale în practică. Și cel mai interesant lucru este că marele înțelept nu s-a concentrat pe niciun domeniu al cunoștințelor sale, interesul său a avut diverse direcții.

Numele Thales a devenit un nume cunoscut pentru înțelept și atunci. Importanța și semnificația lui pentru Grecia a fost la fel de mare ca și numele lui Lomonosov pentru Rusia. Desigur, înțelepciunea lui poate fi interpretată în moduri diferite. Dar putem spune cu siguranță că el s-a caracterizat prin ingeniozitate, ingeniozitate practică și, într-o oarecare măsură, detașare.

Thales din Milet a fost un excelent matematician, filozof, astronom, iubea să călătorească, a fost comerciant și antreprenor, a fost angajat în comerț și a fost, de asemenea, un bun inginer, diplomat, văzător și a participat activ la viața politică.

A reușit chiar să determine înălțimea piramidei folosind un toiag și o umbră. Și așa a fost. Într-o zi frumoasă, însorită, Thales și-a așezat toiagul pe granița unde se termină umbra piramidei. Apoi, a așteptat până când lungimea umbrei toiagului său a fost egală cu înălțimea acesteia și a măsurat lungimea umbrei piramidei. Deci, s-ar părea că Thales a determinat pur și simplu înălțimea piramidei și a demonstrat că lungimea unei umbre este legată de lungimea altei umbre, la fel cum înălțimea piramidei este legată de înălțimea toiagului. Acesta este ceea ce l-a lovit chiar pe faraonul Amasis.

Datorită lui Thales, toate cunoștințele cunoscute la acea vreme au fost transferate în domeniul de interes științific. El a reușit să transmită rezultatele la un nivel adecvat consumului științific, evidențiind un anumit set de concepte. Și poate cu ajutorul lui Thales a început dezvoltarea ulterioară a filosofiei antice.

Teorema lui Thales joacă un rol important în matematică. Era faimoasă nu numai în Egiptul anticși Babilon, dar și în alte țări și a stat la baza dezvoltării matematicii. Da si in viata de zi cu zi, atunci când construim clădiri, structuri, drumuri etc., nu se poate face fără teorema lui Thales.

Teorema lui Thales în cultură

Teorema lui Thales a devenit faimoasă nu numai în matematică, dar a fost introdusă și în cultură. Într-o zi, grupul muzical argentinian Les Luthiers (spaniol) a prezentat publicului un cântec, pe care l-a dedicat unei celebre teoreme. Membrii Les Luthiers, în videoclipul lor special pentru această melodie, au oferit dovezi pentru teorema directă pentru segmentele proporționale.

Întrebări

1. Ce drepte se numesc paralele?
2. Unde se aplică practic teorema lui Thales?
3. Ce spune teorema lui Thales?

Lista surselor utilizate

1. Enciclopedie pentru copii. T.11. Matematică/Redactor-șef M.D.Aksenova.-m.: Avanta+, 2001.
2. „Examenul de stat unificat 2006. Matematică. Materiale educaționale și de instruire pentru pregătirea elevilor / Rosobrnadzor, ISOP - M.: Intellect-Center, 2006"
3. L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev, E. G. Poznyak, I. I. Yudina „Geometrie, 7 – 9: manual pentru instituțiile de învățământ”

Despre paralele și secante.

În afara literaturii de limba rusă, teorema lui Thales este uneori numită o altă teoremă a planimetriei, și anume afirmația că unghiul înscris sub întinderea diametrului unui cerc este un unghi drept. Descoperirea acestei teoreme este într-adevăr atribuită lui Thales, după cum a demonstrat Proclus.

Formulări

Dacă mai multe segmente egale sunt așezate succesiv pe una dintre cele două linii și sunt trasate linii paralele prin capetele lor care intersectează a doua linie, atunci acestea vor tăia segmente egale de pe a doua linie.

O formulare mai generală, numită și teorema segmentului proporțional

Liniile paralele decupează segmentele proporționale la secante:

(\displaystyle (\frac (A_(1)A_(2)))(B_(1)B_(2)))=(\frac (A_(2)A_(3)))(B_(2)B_(3) ))=(\frac (A_(1)A_(3))(B_(1)B_(3))).)

• Note

• Teorema nu are restricții privind poziția relativă a secantelor (este adevărată atât pentru liniile care se intersectează, cât și pentru cele paralele). De asemenea, nu contează unde se află segmentele de pe secante.

Teorema lui Thales este un caz special al teoremei segmentelor proporționale, deoarece segmentele egale pot fi considerate segmente proporționale cu un coeficient de proporționalitate egal cu 1.

Dovada în cazul secantelor Să luăm în considerare opțiunea cu perechi neconectate de segmente: lăsați unghiul să fie intersectat de linii drepte A A 1 | |.

B B 1 |

| C C 1 |. Unghiuri ABCŞi BCD egală ca aşezare transversală internă cu linii paralele ABŞi CD si secante C C 1 |, și unghiurile ACBŞi CBD egală ca aşezare transversală internă cu linii paralele A.C.Şi BD si secante C C 1 |. Apoi, după al doilea criteriu pentru egalitatea triunghiurilor, triunghiuri ABCŞi DCB sunt egali. Rezultă că A.C. = BDŞi AB = CD. ■

Variații și generalizări

Teorema inversă

Dacă în teorema lui Thales segmentele egale încep de la vârf (această formulare este adesea folosită în literatura școlară), atunci teorema inversă va fi și ea adevărată. Pentru secantele care se intersectează se formulează după cum urmează:

În teorema inversă a lui Thales, este important ca segmentele egale să înceapă de la vârf

Astfel (vezi figura) din faptul că C B 1 C A 1 = B 1 B 2 A 1 A 2 = … (\displaystyle (\frac (CB_(1))(CA_(1)))=(\frac (B_(1)B_(2))(A_ (1)A_(2)))=\ldots ), rezultă că A 1 B 1 |.

|

A 2 B 2 |

|

… (\displaystyle A_(1)B_(1)||A_(2)B_(2)||\ldots )

l (\displaystyle l)

și drept

Această afirmație, la rândul său, este un caz limitativ al următoarei afirmații:
- transformarea proiectivă a unei conici. Apoi plicul setului de linii drepte

X f (X) (\displaystyle Xf(X))

va fi o conică (eventual degenerată). Acest mormânt este mic, dar gloria asupra lui este imensă. Thales-ul multi-inteligent este ascuns în el în fața ta. Inscripție pe mormântul lui Thales din Milet: Folosiți teorema asemănării triunghiului. Da, se dovedește că totul este destul de simplu. Thales din Milet a așteptat până când lungimea umbrei sale și înălțimea lui au coincis și apoi, folosind teorema privind asemănarea triunghiurilor, a găsit lungimea umbrei piramidei, care, în consecință, era egală cu umbra aruncată de piramidă.

Cine este acest tip? Inscripție pe mormântul lui Thales din Milet? Omul care a câștigat faima ca unul dintre cei „șapte înțelepți” ai antichității? Thales din Milet este un filozof grec antic care s-a remarcat cu succes în domeniul astronomiei, precum și al matematicii și fizicii. Anii vieții lui au fost stabiliți doar aproximativ: 625-645 î.Hr

Printre dovezile cunoștințelor lui Thales despre astronomie, poate fi dat următorul exemplu. 28 mai 585 î.Hr prezicerea lui Milet eclipsa de soare a contribuit la încheierea războiului dintre Lidia și Media care durase 6 ani. Acest fenomen i-a înspăimântat atât de tare pe mezi, încât au convenit asupra unor condiții nefavorabile pentru încheierea păcii cu lidienii.

Există o legendă destul de cunoscută care îl caracterizează pe Thales ca o persoană plină de resurse. Thales a auzit adesea comentarii nemăgulitoare despre sărăcia lui. Într-o zi a decis să demonstreze că filosofii pot trăi din belșug dacă doresc. Chiar și iarna, Thales, observând stelele, a stabilit că vara va fi recoltă bună măsline În același timp, a angajat prese de ulei în Milet și Chios. Acest lucru l-a costat destul de puțin, deoarece iarna practic nu există cerere pentru ele. Când măslinele au produs o recoltă bogată, Thales a început să-și închirieze presele de ulei. Colectat număr mare a face bani folosind această metodă a fost considerată o dovadă că filozofii pot face bani cu mintea lor, dar chemarea lor este mai înaltă decât astfel de probleme pământești. Această legendă, de altfel, a fost repetată chiar de Aristotel.

În ceea ce privește geometria, multe dintre „descoperirile” sale au fost împrumutate de la egipteni. Și totuși, acest transfer de cunoștințe către Grecia este considerat unul dintre principalele merite ale lui Thales din Milet.

Realizările Thales sunt considerate a fi formularea și dovada următoarelor teoreme:

• unghiurile verticale sunt egale;
• Triunghiuri egale sunt acelea a căror latură și, respectiv, două unghiuri adiacente sunt egale;
• unghiurile de la baza unui triunghi isoscel sunt egale;
• diametrul împarte cercul în jumătate;
• unghiul înscris subtins de diametru este un unghi drept.

O altă teoremă poartă numele lui Thales, care este utilă în rezolvarea problemelor geometrice. Există un generalizat şi vedere privată, teorema inversă, formulările pot diferi, de asemenea, ușor în funcție de sursă, dar semnificația lor rămâne aceeași. Să luăm în considerare această teoremă.

Dacă liniile paralele intersectează laturile unui unghi și taie segmente egale pe o parte, atunci ele tăie segmente egale pe cealaltă parte.

Să presupunem că punctele A 1, A 2, A 3 sunt punctele de intersecție ale dreptelor paralele cu o latură a unghiului și B 1, B 2, B 3 sunt punctele de intersecție ale liniilor paralele cu cealaltă parte a unghiului . Este necesar să se demonstreze că dacă A 1 A 2 = A 2 A 3, atunci B 1 B 2 = B 2 B 3.

Prin punctul B 2 trasăm o dreaptă paralelă cu dreapta A 1 A 2. Să notăm noua linie C 1 C 2. Se consideră paralelogramele A 1 C 1 B 2 A 2 și A 2 B 2 C 2 A 3 .

Proprietățile unui paralelogram ne permit să afirmăm că A1A2 = C 1 B 2 și A 2 A 3 = B 2 C 2. Și întrucât, conform condiției noastre, A 1 A 2 = A 2 A 3, atunci C 1 B 2 = B 2 C 2.

Și, în final, luați în considerare triunghiurile Δ C 1 B 2 B 1 și Δ C 2 B 2 B 3 .

C 1 B 2 = B 2 C 2 (demonstrat mai sus).

Aceasta înseamnă că Δ C 1 B 2 B 1 și Δ C 2 B 2 B 3 vor fi egale conform celui de-al doilea semn de egalitate al triunghiurilor (pe latură și unghiuri adiacente).