Sisteme de ecuații liniare folosind metoda substituției. Sistem de ecuații

Pentru a rezolva sistemul ecuații liniare cu doi metoda variabileiînlocuirile procedează după cum urmează:

1) exprimă o variabilă prin alta într-una dintre ecuațiile sistemului (x prin y sau y prin x);

2) substituim expresia rezultată într-o altă ecuație a sistemului și obținem o ecuație liniară cu o variabilă;

3) rezolvați ecuația liniară rezultată cu o variabilă și găsiți valoarea acestei variabile;

4) înlocuim valoarea găsită a variabilei în expresia (1) pentru o altă variabilă și găsim valoarea acestei variabile.

Exemple. Rezolvați un sistem de ecuații liniare folosind metoda substituției.

Să ne exprimăm X prin y din prima ecuație. Se obține: x=7+y. Să înlocuim expresia (7+y). Xîn a doua ecuație a sistemului.

Obținem ecuația: 3 · (7+y)+2y=16. Aceasta este o ecuație cu o variabilă la. Să rezolvăm. Să deschidem parantezele: 21+3y+2y=16. Colectarea termenilor cu o variabilă laîn partea stângă și termeni liberi în partea dreaptă. Când transferăm un termen dintr-o parte a egalității în alta, schimbăm semnul termenului în opus.

Se obține: 3y+2y=16-21. Prezentăm termeni similari în fiecare parte a egalității. 5y=-5. Împărțim ambele părți ale egalității la coeficientul variabilei. y=-5:5; y=-1. Înlocuiți această valoare laîn expresia x=7+y și găsiți X. Se obține: x=7-1; x=6. O pereche de valori variabile x=6 și y=-1 este o soluție pentru acest sistem.

Notează: (6; -1). Răspuns: (6; -1). Este convenabil să scrieți aceste argumente așa cum se arată mai jos, adică. sisteme de ecuații - în stânga unul sub celălalt. În dreapta sunt calcule, explicații necesare, verificarea soluției etc.

1. Rezolvarea sistemului folosind metoda substituției.
2. Rezolvarea sistemului prin adunarea (scăderea) termen cu termen a ecuațiilor sistemului.

Pentru a rezolva sistemul de ecuaţii prin metoda substitutiei trebuie să urmați un algoritm simplu:
1. Express. Din orice ecuație exprimăm o variabilă.
2. Înlocuitor. Inlocuim valoarea rezultata intr-o alta ecuatie in locul variabilei exprimate.
3. Rezolvați ecuația rezultată cu o variabilă. Găsim o soluție la sistem.

Pentru a decide sistem prin metoda adunării (scăderii) termen cu termen trebuie să:
1. Selectați o variabilă pentru care vom face coeficienți identici.
2. Adunăm sau scădem ecuații, rezultând o ecuație cu o variabilă.
3. Rezolvați ecuația liniară rezultată. Găsim o soluție la sistem.

Soluția sistemului o reprezintă punctele de intersecție ale graficelor funcției.

Să luăm în considerare în detaliu soluția sistemelor folosind exemple.

Exemplul #1:

Să rezolvăm prin metoda substituției

2x+5y=1 (1 ecuație)
x-10y=3 (a doua ecuație)

1. Express
Se poate observa că în a doua ecuație există o variabilă x cu coeficientul 1, ceea ce înseamnă că este mai ușor să exprimați variabila x din a doua ecuație.
x=3+10y

2.După ce am exprimat-o, înlocuim 3+10y în prima ecuație în loc de variabila x.
2(3+10y)+5y=1

3. Rezolvați ecuația rezultată cu o variabilă.
2(3+10y)+5y=1 (deschideți parantezele)
6+20y+5y=1
25y=1-6
25y=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0,2

Soluția sistemului de ecuații sunt punctele de intersecție ale graficelor, de aceea trebuie să găsim x și y, deoarece punctul de intersecție este format din x și y Să găsim x, în primul punct în care l-am exprimat înlocuim y.
x=3+10y
x=3+10*(-0,2)=1

Se obișnuiește să scriem puncte în primul rând scriem variabila x, iar în al doilea rând variabila y.
Răspuns: (1; -0,2)

Exemplul #2:

Să rezolvăm folosind metoda adunării (scăderii) termen cu termen.

3x-2y=1 (1 ecuație)
2x-3y=-10 (a doua ecuație)

1. Alegem o variabilă, să presupunem că alegem x. În prima ecuație, variabila x are un coeficient de 3, în a doua - 2. Trebuie să facem coeficienții la fel, pentru aceasta avem dreptul să înmulțim ecuațiile sau să împărțim cu orice număr. Înmulțim prima ecuație cu 2, iar a doua cu 3 și obținem un coeficient total de 6.

3x-2y=1 |*2
6x-4y=2

2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30

2. Scădeți a doua din prima ecuație pentru a scăpa de variabila x Rezolvați ecuația liniară.
__6x-4y=2

5y=32 | :5
y=6,4

3. Găsiți x. Înlocuim y găsit în oricare dintre ecuații, să spunem în prima ecuație.
3x-2y=1
3x-2*6,4=1
3x-12,8=1
3x=1+12,8
3x=13,8 |:3
x=4,6

Punctul de intersecție va fi x=4,6; y=6,4
Răspuns: (4,6; 6,4)

Vrei să te pregătești pentru examene gratuit? Tutor online gratuit. Fără glumă.

Rezolvarea sistemelor de ecuații folosind metoda substituției

Să ne amintim ce este un sistem de ecuații.

Un sistem de două ecuații cu două variabile este două ecuații scrise una sub cealaltă, unite printr-o acoladă. Rezolvarea unui sistem înseamnă găsirea unei perechi de numere care vor rezolva atât prima cât și a doua ecuație în același timp.

În această lecție ne vom familiariza cu o astfel de metodă de rezolvare a sistemelor precum metoda substituției.

Să ne uităm la sistemul de ecuații:

Puteți rezolva acest sistem grafic. Pentru a face acest lucru, va trebui să construim grafice ale fiecărei ecuații într-un sistem de coordonate, transformându-le în forma:

Apoi găsiți coordonatele punctului de intersecție al graficelor, care vor fi soluția sistemului. Dar metoda grafică nu este întotdeauna convenabilă, deoarece diferă prin precizie scăzută sau chiar inaccesibilitate. Să încercăm să aruncăm o privire mai atentă asupra sistemului nostru. Acum arata asa:

Puteți observa că părțile din stânga ale ecuațiilor sunt egale, ceea ce înseamnă că și părțile din dreapta trebuie să fie egale. Atunci obținem ecuația:

Aceasta este o ecuație familiară cu o variabilă pe care o putem rezolva. Să mutăm termenii necunoscuți în partea stângă și pe cei cunoscuți în dreapta, fără a uita să schimbăm semnele + și - la transfer. Primim:

Acum să substituim valoarea găsită a lui x în orice ecuație a sistemului și să găsim valoarea lui y. În sistemul nostru, este mai convenabil să folosim a doua ecuație y = 3 - x după substituție obținem y = 2. Acum să analizăm munca făcută. În primul rând, în prima ecuație am exprimat variabila y în termenii variabilei x. Apoi, expresia rezultată - 2x + 4 a fost înlocuită în a doua ecuație în locul variabilei y. Apoi am rezolvat ecuația rezultată cu o variabilă x și am găsit valoarea acesteia. Și, în final, am folosit valoarea găsită a lui x pentru a găsi o altă variabilă y. Aici apare întrebarea: a fost necesar să se exprime variabila y din ambele ecuații simultan? Desigur că nu. Am putea exprima o variabilă în termenii alteia într-o singură ecuație a sistemului și să o folosim în locul variabilei corespunzătoare în a doua. Mai mult, puteți exprima orice variabilă din orice ecuație. Aici alegerea depinde numai de comoditatea contului. Matematicienii au numit această procedură un algoritm pentru rezolvarea sistemelor de două ecuații cu două variabile folosind metoda substituției.

1. Exprimați una dintre variabile în termenii alteia într-una din ecuațiile sistemului.

2. Înlocuiți expresia rezultată în loc de variabila corespunzătoare într-o altă ecuație a sistemului.

3.Rezolvați ecuația rezultată cu o variabilă.

4. Înlocuiți valoarea găsită a variabilei în expresia obținută la pasul unu și găsiți valoarea unei alte variabile.

5.Scrieți răspunsul sub forma unei perechi de numere care s-au găsit în pasul al treilea și al patrulea.

Să ne uităm la un alt exemplu. Rezolvați sistemul de ecuații:

Aici este mai convenabil să exprimăm variabila y din prima ecuație. Se obține y = 8 - 2x. Expresia rezultată trebuie înlocuită cu y în a doua ecuație. Primim:

Să scriem această ecuație separat și să o rezolvăm. Mai întâi, să deschidem parantezele. Obținem ecuația 3x - 16 + 4x = 5. Să colectăm termenii necunoscuți din partea stângă a ecuației și pe cei cunoscuți din dreapta și să prezentăm termeni similari. Obținem ecuația 7x = 21, deci x = 3.

Acum, folosind valoarea găsită a lui x, puteți găsi:

Răspuns: o pereche de numere (3; 2).

Astfel, în această lecție am învățat să rezolvăm sisteme de ecuații cu două necunoscute într-un mod analitic, precis, fără a recurge la metode grafice dubioase.

Lista literaturii folosite:

1. Mordkovich A.G., Algebră clasa a VII-a în 2 părți, Partea 1, Manual pentru instituțiile de învățământ general / A.G. Mordkovici. – Ed. a 10-a, revizuită – Moscova, „Mnemosyne”, 2007.
2. Mordkovich A.G., Algebră clasa a VII-a în 2 părți, Partea 2, Cartea de probleme pentru instituțiile de învățământ / [A.G. Mordkovich și alții]; editat de A.G. Mordkovich - ediția a 10-a, revizuită - Moscova, „Mnemosyne”, 2007.
3. EI. Tulchinskaya, Algebră clasa a VII-a. Sondaj Blitz: un manual pentru studenții instituțiilor de învățământ general, ediția a 4-a, revizuită și extinsă, Moscova, Mnemosyne, 2008.
4. Alexandrova L.A., Algebră clasa a VII-a. Tematic munca de testareîntr-o formă nouă pentru studenții instituțiilor de învățământ general, editat de A.G. Mordkovich, Moscova, „Mnemosyne”, 2011.
5. Alexandrova L.A. Algebra clasa a VII-a. Munca independentă pentru studenții instituțiilor de învățământ general, editat de A.G. Mordkovich - ediția a 6-a, stereotip, Moscova, „Mnemosyne”, 2010.

Un sistem de ecuații liniare cu două necunoscute este două sau mai multe ecuații liniare pentru care este necesar să se găsească toate soluțiile lor comune. Vom considera sisteme de două ecuații liniare în două necunoscute. Vederea generală a unui sistem de două ecuații liniare cu două necunoscute este prezentată în figura de mai jos:

( a1*x + b1*y = c1,
( a2*x + b2*y = c2

Aici x și y sunt variabile necunoscute, a1,a2,b1,b2,c1,c2 sunt câteva numere reale. O soluție a unui sistem de două ecuații liniare în două necunoscute este o pereche de numere (x,y) astfel încât, dacă înlocuim aceste numere în ecuațiile sistemului, atunci fiecare dintre ecuațiile sistemului se transformă într-o egalitate adevărată. Luați în considerare una dintre modalitățile de a rezolva un sistem de ecuații liniare, și anume metoda substituției.

Algoritm de rezolvare prin metoda substituției

Algoritm pentru rezolvarea unui sistem de ecuații liniare folosind metoda substituției:

1. Alegeți o ecuație (este mai bine să o alegeți pe cea în care numerele sunt mai mici) și exprimați o variabilă din ea în termenii unei alte, de exemplu, x în termeni de y. (puteți folosi și de la y la x).

2. Înlocuiți expresia rezultată în loc de variabila corespunzătoare într-o altă ecuație. Astfel, obținem o ecuație liniară cu o necunoscută.

3. Rezolvați ecuația liniară rezultată și obțineți o soluție.

4. Inlocuim solutia rezultata in expresia obtinuta in primul paragraf si obtinem a doua necunoscuta din solutie.

5. Verificați soluția rezultată.

Exemplu

Pentru a fi mai clar, haideți să rezolvăm un mic exemplu.

Exemplul 1. Rezolvați sistemul de ecuații:

(x+2*y =12
(2*x-3*y=-18

Soluţie:

1. Din prima ecuație a acestui sistem exprimăm variabila x. Avem x= (12 -2*y);

2. Înlocuiți această expresie în a doua ecuație, obținem 2*x-3*y=-18; 2*(12 -2*y) - 3*y = -18; 24 - 4y - 3*y = -18;

3. Rezolvați ecuația liniară rezultată: 24 - 4y - 3*y = -18; 24-7*y = -18; -7*y = -42; y=6;

4. Înlocuiți rezultatul obținut în expresia obținută la primul paragraf. x= (12 -2*y); x=12-2*6 = 0; x=0;

5. Verificăm soluția rezultată pentru a face acest lucru, înlocuim numerele găsite în sistemul original.

(x+2*y =12;
(2*x-3*y=-18;

{0+2*6 =12;
{2*0-3*6=-18;

{12 =12;
{-18=-18;

Am obținut egalitățile corecte, prin urmare, am găsit soluția corect.

Lecție pe tema: „Metoda substituției pentru rezolvarea sistemelor de ecuații liniare”

Materiale suplimentare
Dragi utilizatori, nu uitați să lăsați comentariile, recenziile, urările voastre. Toate materialele au fost verificate de un program antivirus.

Mijloace și simulatoare didactice în magazinul online Integral pentru clasa a VII-a
Manual electronic "A intr-un an. Curs expres de geometrie. Clasele 7-9"
1C: „Sarcini de construcție interactive pentru clasele 7-10”

Ce este un sistem de ecuații?

A rezolva un sistem de ecuații înseamnă a găsi astfel de numere x și y la care ambele ecuații se transformă într-o egalitate adevărată sau a stabili că nu există o soluție pentru un anumit sistem de ecuații.

Această pereche de numere poate fi stabilită grafic prin construirea unui grafic pentru fiecare ecuație a sistemului. Soluția sistemului va fi punctul de intersecție al acestor grafice.

Această metodă nu este foarte convenabilă, deoarece... necesită complot.

Metoda de înlocuire

Exemplu.
Găsiți două numere a căror diferență este 12 și a căror sumă este 36.

Soluţie.
Să notăm cu x și y numerele care trebuie găsite și să creăm un sistem de ecuații liniare.
$\begin(cases)x - y = 12\\x + y = 36\end(cases)$

Să reprezentăm prima ecuație ca y = x - 12 și să reprezentăm a doua ecuație ca y = 36 - x.

Atunci sistemul de ecuații poate fi scris ca $\begin(cases)y = x - 12\\y = 36 - x\end(cases)$
Să combinăm ambele ecuații.
x - 12 = 36 - x
2x = 48
x = 24
Apoi, y = 12.

Răspuns: x = 24, y = 12.

Am primit o pereche de numere, care este soluția sistemului de ecuații, fără a reprezenta un grafic.

Să-l notăm algoritm pentru rezolvarea unui sistem de ecuații cu două variabile folosind metoda substituției:
1. În prima ecuație a sistemului, exprimăm y prin x.
2. În a doua ecuație, în loc de y, înlocuim expresia pe care am obținut-o în primul pas.
3. Rezolvați a doua ecuație și găsiți x.
4. Inlocuim valoarea gasita a lui x in prima ecuatie a sistemului.
5. Scrieți răspunsul ca o pereche de numere (x, y).