Rezolvarea problemelor tipice privind rezistența materialelor. Momentul încovoietor și forța tăietoare

Cu direct curba pură grinda, numai solicitările normale apar în secțiunile sale transversale. Când mărimea momentului încovoietor M în secțiunea tijei este mai mică decât o anumită valoare, diagrama care caracterizează distribuția tensiunilor normale de-a lungul axei y a secțiunii transversale perpendicular pe axa neutră (Fig. 11.17, a) are forma prezentată în fig. 11.17, b. Cele mai mari tensiuni sunt egale Pe măsură ce momentul încovoietor M crește, tensiunile normale cresc până când valorile lor cele mai mari (în fibrele cele mai îndepărtate de axa neutră) devin egale cu limita de curgere (Fig. 11.17, c); în acest caz, momentul încovoietor este egal cu valoarea periculoasă:

Când momentul încovoietor crește peste valoarea periculoasă, tensiunile egale cu limita de curgere apar nu numai în fibrele cele mai îndepărtate de axa neutră, ci și într-o anumită zonă a secțiunii transversale (Fig. 11.17, d); în această zonă materialul este în stare plastică. În partea de mijloc a secțiunii, efortul este mai mic decât limita de curgere, adică materialul din această parte este încă într-o stare elastică.

Odată cu o creștere suplimentară a momentului încovoietor, zona plastică se extinde spre axa neutră, iar dimensiunile zonei elastice scad.

La o anumită valoare limită a momentului încovoietor corespunzător epuizării complete capacitate portantă secțiunea transversală a tijei pentru îndoire, zona elastică dispare, iar zona de stare plastică ocupă întreaga suprafață a secțiunii transversale (Fig. 11.17, e). În acest caz, în secțiune se formează așa-numita balama de plastic (sau balama de curgere).

Spre deosebire de o balama ideală, care nu percepe nici un moment, într-o balama de plastic acționează un moment constant. este descărcat.

Pentru a determina valoarea momentului încovoietor limitator, selectăm în partea secțiunii transversale a grinzii situată deasupra axei neutre, o zonă elementară situată la distanță de axa neutră, iar în partea situată sub axa neutră, o zonă situată la distanță de axa neutră (Fig. 11.17, a ).

Forța normală elementară care acționează asupra platformei în stare limită este egală și momentul său relativ la axa neutră este egal și, în mod similar, momentul forței normale care acționează asupra platformei este egal. Mărimea momentului limită este egală cu momentul tuturor forțelor elementare în raport cu axa neutră:

unde sunt momentele statice ale părților superioare și inferioare ale secțiunii transversale, respectiv, raportate la axa neutră.

Mărimea se numește momentul plastic axial de rezistență și se notează

(10.17)

Prin urmare,

(11.17)

Forța longitudinală în secțiunea transversală în timpul îndoirii este zero și, prin urmare, aria zonei comprimate a secțiunii este egală cu aria zonei întinse. Astfel, axa neutră a secțiunii care coincide cu balamaua din plastic împarte această secțiune transversală în două părți egale. În consecință, cu o secțiune transversală asimetrică, axa neutră nu trece prin centrul de greutate al secțiunii în stare limită.

Folosind formula (11.17), determinăm valoarea momentului limită pentru o tijă cu secțiune transversală dreptunghiulară cu înălțimea h și lățimea b:

Valoarea periculoasă a momentului în care diagrama normală a tensiunilor are forma prezentată în Fig. 11.17, c, pentru o secțiune dreptunghiulară este determinată de formula

Atitudine

Pentru o secțiune circulară, raportul a pentru o grindă în I

Dacă grinda de încovoiere este determinată static, atunci după îndepărtarea sarcinii care a cauzat momentul în ea, momentul încovoietor în secțiunea sa transversală este egal cu zero. În ciuda acestui fapt, tensiunile normale în secțiunea transversală nu dispar. Diagrama tensiunilor normale în stadiul plastic (Fig. 11.17, e) este suprapusă diagramei tensiunilor în stadiul elastic (Fig. 11.17, f), similar cu diagrama prezentată în Fig. 11.17, b, deoarece în timpul descărcării (care poate fi considerată o sarcină cu un moment de semn opus), materialul se comportă ca elastic.

Momentul încovoietor M corespunzător diagramei de tensiuni prezentate în Fig. 11.17, e, în valoare absolută este egală deoarece numai în această condiție în secțiunea transversală a grinzii din acțiunea momentului și M momentul total este egal cu zero. Cea mai mare tensiune de pe diagramă (Fig. 11.17, e) se determină din expresie

Rezumând diagramele de tensiuni prezentate în Fig. 11.17, d, f, obținem diagrama prezentată în Fig. 11.17, w. Această diagramă caracterizează distribuția tensiunilor după îndepărtarea sarcinii care a cauzat momentul. Cu o astfel de diagramă, momentul încovoietor în secțiune (precum și forța longitudinală) este egal cu zero.

Teoria prezentată a îndoirii dincolo de limita elastică este utilizată nu numai în cazul îndoirii pure, ci și în cazul încovoiere transversală, când în secțiunea transversală a grinzii, pe lângă momentul încovoietor, există și o forță transversală.

Să determinăm acum valoarea limită a forței P pentru fasciculul determinat static prezentat în Fig. 12.17, a. Diagrama momentelor încovoietoare pentru această grindă este prezentată în Fig. 12.17, b. Cel mai mare moment de încovoiere are loc sub o sarcină unde este egal cu Starea limită corespunzătoare epuizării complete a capacității portante a grinzii se realizează atunci când în secțiunea sub sarcină apare o balama din plastic, în urma căreia fasciculul se transformă într-un mecanism (Fig. 12.17, c).

În acest caz, momentul încovoietor în secțiunea sub sarcină este egal cu

Din starea pe care o găsim [vezi. formula (11.17)]

Acum să calculăm sarcina finală pentru un fascicul static nedeterminat. Să considerăm ca exemplu un fascicul de două ori nedeterminat static de secțiune transversală constantă prezentat în Fig. 13.17, a. Capătul din stânga A al grinzii este prins rigid, iar capătul din dreapta B este asigurat împotriva rotației și deplasării verticale.

Dacă tensiunile din grindă nu depășesc limita de proporționalitate, atunci diagrama momentelor încovoietoare are forma prezentată în Fig. 13.17, b. Este construit pe baza rezultatelor calculelor fasciculului folosind metode convenționale, de exemplu, folosind ecuații cu trei momente. Cel mai mare moment încovoietor are loc în secțiunea de susținere din stânga a grinzii luate în considerare. La o valoare a sarcinii, momentul încovoietor în această secțiune atinge o valoare periculoasă, determinând să apară tensiuni egale cu limita de curgere în fibrele grinzii cele mai îndepărtate de axa neutră.

O creștere a sarcinii peste valoarea specificată duce la faptul că în secțiunea de sprijin din stânga A momentul încovoietor devine egal cu valoarea limită și în această secțiune apare o balama din plastic. Cu toate acestea, capacitatea portantă a grinzii nu este încă complet epuizată.

Odată cu o creștere suplimentară a sarcinii până la o anumită valoare, balamalele din plastic apar și în secțiunile B și C. Ca urmare a apariției a trei balamale, grinda, inițial de două ori nedeterminată static, devine geometric variabilă (se transformă într-un mecanism). Această stare a grinzii luate în considerare (când în ea apar trei balamale din plastic) este limitativă și corespunde epuizării totale a capacității sale portante; creșterea suplimentară a sarcinii P devine imposibilă.

Mărimea sarcinii finale poate fi stabilită fără a studia funcționarea grinzii în stadiul elastic și a determina secvența de formare a balamalelor din plastic.

Valorile momentelor încovoietoare în secțiuni. A, B și C (în care apar balamalele din plastic) în stare limită sunt egale, respectiv, și, prin urmare, diagrama momentelor încovoietoare la starea limită a grinzii are forma prezentată în Fig. 13.17, la. Această diagramă poate fi reprezentată ca fiind formată din două diagrame: prima dintre ele (Fig. 13.17, d) este un dreptunghi cu ordonate și este cauzată de momentele aplicate la capetele unei grinzi simple așezate pe două suporturi (Fig. 13.17, e ); a doua diagramă (Fig. 13.17, f) este un triunghi cu cea mai mare ordonată și este cauzată de o sarcină care acționează asupra unei grindă simplă (Fig. 13.17, g.

Se știe că forța P care acționează asupra unei grinzi simple determină un moment încovoietor în secțiunea sub sarcină unde a și sunt distanțele de la sarcină până la capetele grinzii. În cazul luat în considerare (fig.

Și deci momentul sub sarcină

Dar acest moment, așa cum se arată (Fig. 13.17, e), este egal cu

În mod similar, sarcinile maxime sunt stabilite pentru fiecare travee a unei grinzi cu mai multe trave nedeterminate static. Ca exemplu, luați în considerare un fascicul de patru ori static nedeterminat de secțiune transversală constantă prezentat în Fig. 14.17, a.

În starea limită, corespunzătoare epuizării complete a capacității portante a grinzii în fiecare dintre travele sale, diagrama momentelor încovoietoare are forma prezentată în Fig. 14.17, b. Această diagramă poate fi considerată ca fiind alcătuită din două diagrame, construite în ipoteza că fiecare travee este o grindă simplă așezată pe două suporturi: o diagramă (Fig. 14.17, c), cauzată de momentele care acționează în balamalele plastice de susținere și a doua (Fig. 14.17 , d), cauzată de sarcini extreme aplicate în travee.

Din fig. 14.17, instalăm:

În aceste expresii

Valoarea obținută a sarcinii maxime pentru fiecare travee a grinzii nu depinde de natura și magnitudinea sarcinilor din traveele rămase.

Din exemplul analizat reiese clar că calculul unei grinzi static nedeterminate în ceea ce privește capacitatea portantă se dovedește a fi mai simplu decât calculul în ceea ce privește treapta elastică.

Calculul unei grinzi continue pe baza capacității sale portante se realizează oarecum diferit în cazurile în care, pe lângă natura încărcăturii din fiecare travee, sunt specificate și relațiile dintre mărimile sarcinilor din diferite trave. În aceste cazuri, sarcina maximă este considerată a fi astfel încât capacitatea portantă a grinzii să fie epuizată nu în toate travele, ci într-una dintre traveele sale.

Sarcina maximă admisă este determinată prin împărțirea valorilor la factorul de siguranță standard.

Este mult mai dificil să se determine sarcinile maxime atunci când asupra fasciculului acționează forțe, îndreptate nu numai de sus în jos, ci și de jos în sus, precum și atunci când acționează momentele concentrate.

Îndoiți- un tip de deformare în care există o curbură a axelor barelor drepte sau o modificare a curburii axelor barelor curbe. Încovoierea este asociată cu apariția momentelor încovoietoare în secțiunile transversale ale grinzii. îndoire dreaptă apare atunci când momentul încovoietor dintr-o secțiune transversală dată a unei grinzi acționează într-un plan care trece prin una dintre principalele axe centrale de inerție ale acestei secțiuni. În cazul în care planul de acțiune al momentului încovoietor într-o secțiune transversală dată a unei grinzi nu trece prin niciuna dintre axele principale de inerție ale acestei secțiuni, se numește oblic.

Dacă, în timpul încovoierii directe sau oblice, în secțiunea transversală a grinzii acționează doar un moment de încovoiere, atunci în consecință există curat drept sau curba oblică pură. Dacă o forță transversală acționează și într-o secțiune transversală, atunci există drept transversal sau curba oblică transversală.

Adesea, termenul „dreaptă” nu este folosit în denumirea de îndoire transversală dreaptă și dreaptă și sunt numite îndoire pură și, respectiv, îndoire transversală.

Vezi de asemenea

Legături

Date de calcul pentru grinzi tipice cu secțiune transversală constantă

Fundația Wikimedia.

2010.

Vedeți ce înseamnă „Îndoire (mecanică)” în alte dicționare:

Acest termen are alte semnificații, vezi Rod. O tijă este un corp alungit, dintre care două dimensiuni (înălțime și lățime) sunt mici în comparație cu a treia dimensiune (lungime) Termenul „grindă” este uneori folosit în același sens, și ... ... Wikipediaîndoirea aximetrică a unei plăci circulare

- Starea deformată a unei plăci circulare axisimetrice, în care planul mijlociu se transformă într-o suprafață de rotație. [Culegere de termeni recomandați. Problema 82. Mecanica structurală. Academia de Științe a URSS. Comitetul științific și tehnic... ...îndoire cilindrică a plăcii - Starea deformată a plăcii, în care planul mijlociu se transformă într-o suprafață cilindrică. [Culegere de termeni recomandați. Problema 82. Mecanica structurală. Academia de Științe a URSS. Comitetul de terminologie științifică și tehnică. 1970]……

Ghidul tehnic al traducătorului

Acest termen are alte semnificații, vezi Lemn. O grindă (în mecanica materialelor și structurilor) este un model al unui corp în care una dintre dimensiuni este mult mai mare decât celelalte două. La efectuarea calculelor, cheresteaua este înlocuită cu axa longitudinală. În mecanica structurală... ... Wikipedia

îndoire oblică- Deformarea unei grinzi, în care planul forței nu coincide cu niciuna dintre axele centrale principale ale secțiunii sale transversale. - Starea deformată a plăcii, în care planul mijlociu se transformă într-o suprafață cilindrică. [Culegere de termeni recomandați. Problema 82. Mecanica structurală. Academia de Științe a URSS. Comitetul de terminologie științifică și tehnică. 1970]……

Subiecte: mecanica structurala, rezistenta materialelor EN incovoiere asimetrica...îndoire plată - Starea deformată a plăcii, în care planul mijlociu se transformă într-o suprafață cilindrică. [Culegere de termeni recomandați. Problema 82. Mecanica structurală. Academia de Științe a URSS. Comitetul de terminologie științifică și tehnică. 1970]……

- Deformarea grinzii, în care toate sarcinile sunt aplicate într-un singur plan, numit plan de forță. Subiecte: mecanică structurală, rezistența materialelor EN îndoire plată... - Starea deformată a plăcii, în care planul mijlociu se transformă într-o suprafață cilindrică. [Culegere de termeni recomandați. Problema 82. Mecanica structurală. Academia de Științe a URSS. Comitetul de terminologie științifică și tehnică. 1970]……

curba dreaptă- Deformarea unei grinzi, în care linia de intersecție a planului forței cu planul secțiunii transversale coincide cu una dintre principalele sale axe centrale. Subiecte: mecanica structurala, rezistenta... ...

COPII - COPII. Cuprins: I. Definirea conceptului. Modificări ale organismului în timpul R. Cauzele R........................................ .......... 109 II. Cursul clinic al R fiziologic. 132 Sh. Mecanica R. ................. 152 IV. Menținerea R......................... 169 V … Marea Enciclopedie Medicală Mecanic al Academiei Imperiale de Științe, membru al Societății Economice Libere Imperiale. Fiul unui comerciant din Nijni Novgorod, n. V

Nijni Novgorod

10 aprilie 1735, d. în același loc, la 30 iulie 1818, Kulibin a fost intenționat de tatăl său să facă comerț cu făină, dar el...

îndoire dreaptă Enciclopedie biografică mare

Cărți Mecanica tehnica (rezistenta materialelor). Manual pentru SPO, Akhmetzyanov M.Kh.. Cartea acoperă problemele de bază ale rezistenței, rigidității și stabilității unei lansete sub influențe statice și dinamice. Sunt considerate cele simple (tensiune-compresie, forfecare, îndoire plană și... - acesta este un tip de deformare în care în secțiunile transversale ale tijei apar doi factori de forță interni: momentul încovoietor și forța transversală. Curăță curbă

- Asta caz specialîncovoiere directă, în care are loc doar un moment încovoietor în secțiunile transversale ale tijei, iar forța transversală este zero. Un exemplu de îndoire pură - o secțiune. CD pe tija AB Moment de încovoiere este cantitatea Pa o pereche de forțe externe care provoacă îndoire. De la echilibrul părții tijei din stânga secțiunii transversale mn AB.

rezultă că forţele interne distribuite pe această secţiune sunt echivalente static cu momentul

În cel mai simplu caz, tija are un plan longitudinal de simetrie și este supusă acțiunii perechilor de forțe exterioare de îndoire situate în acest plan. Apoi îndoirea va avea loc în același plan.

Axa tijei nn 1 este o linie care trece prin centrele de greutate ale secțiunilor sale transversale.

Fie ca secțiunea transversală a tijei să fie un dreptunghi. Să desenăm două linii verticale pe marginile sale mmŞi pp. La îndoire, aceste linii rămân drepte și se rotesc astfel încât să rămână perpendiculare pe fibrele longitudinale ale tijei.

O altă teorie a îndoirii se bazează pe presupunerea că nu numai linii mmŞi pp, dar toată secțiunea transversală plană a tijei rămâne, după îndoire, plată și normală cu fibrele longitudinale ale tijei. Prin urmare, în timpul îndoirii, secțiunile transversale mmŞi pp se rotesc unul față de celălalt în jurul axelor, perpendicular pe planîndoire (plan de desen). În acest caz, fibrele longitudinale de pe partea convexă suferă tensiune, iar fibrele de pe partea concavă experimentează compresie.

Suprafata neutra- Aceasta este o suprafață care nu suferă deformare la îndoire. (Acum este situat perpendicular pe desen, axa deformată a tijei nn 1 aparține acestei suprafețe).

Axa neutră a secțiunii- aceasta este intersecția unei suprafețe neutre cu orice secțiune transversală (acum situată și perpendicular pe desen).

Lasă o fibră arbitrară să fie la distanță y de pe o suprafață neutră. ρ – raza de curbură a axei curbe. Punct O– centrul de curbură. Să tragem o linie n 1 s 1 paralel mm.ss 1– alungirea absolută a fibrei.

Elongaţie ε x fibre

De aici rezultă că deformarea fibrelor longitudinale proporțională cu distanța y de la suprafața neutră și invers proporțională cu raza de curbură ρ .

Alungirea longitudinală a fibrelor laturii convexe a tijei este însoțită de îngustarea laterală, iar scurtarea longitudinală a laturii concave este expansiunea laterală, ca și în cazul întinderii și compresiei simple. Din această cauză, aspectul tuturor secțiunilor transversale se modifică, laturile verticale ale dreptunghiului devin înclinate. Deformare laterală z:

μ – Raportul lui Poisson.

Datorită acestei distorsiuni, toate liniile drepte în secțiune transversală sunt paralele cu axa z, sunt îndoite astfel încât să rămână normale față de laturile laterale ale secțiunii. Raza de curbură a acestei curbe R va fi mai mult decât ρ în acelaşi sens ca ε x în valoare absolută este mai mare decât ε z și obținem

Aceste deformații ale fibrelor longitudinale corespund solicitărilor

Tensiunea din orice fibră este proporțională cu distanța acesteia față de axa neutră n 1 n 2. Poziția axei neutre și raza de curbură ρ – două necunoscute în ecuația pentru σ x – poate fi determinat din condiția ca forțele distribuite pe orice secțiune transversală formează o pereche de forțe care echilibrează momentul extern o pereche de forțe externe care provoacă îndoire. De la echilibrul părții tijei din stânga secțiunii transversale.

Toate cele de mai sus sunt valabile si daca tija nu are un plan longitudinal de simetrie in care actioneaza momentul incovoietor, atata timp cat momentul incovoietor actioneaza in planul axial, care contine unul dintre cele doua axele principale secţiune transversală. Aceste avioane sunt numite planurile principale de îndoire.

Când există un plan de simetrie și momentul încovoietor acționează în acest plan, deviația are loc tocmai în el. Momentele forțelor interne în raport cu axa z echilibrează momentul exterior o pereche de forțe externe care provoacă îndoire. De la echilibrul părții tijei din stânga secțiunii transversale. Momente de efort în jurul axei y sunt distruse reciproc.

La îndoirea directă pură în secțiunea transversală a tijei, apare un singur factor de forță - momentul încovoietor M x(Fig. 1). Deoarece Q y =dM x /dz=0, Că M x=const și îndoirea dreaptă pură pot fi realizate atunci când tija este încărcată cu perechi de forțe aplicate în secțiunile de capăt ale tijei. De la momentul încovoietor M x prin definiţie egală cu suma momentelor forţelor interne raportate la axă Oh este legat de tensiunile normale prin ecuația statică care reiese din această definiție

Să formulăm premisele teoriei curbei drepte pure a unei tije prismatice. Pentru a face acest lucru, să analizăm deformațiile unui model de tijă din material cu modul redus, pe suprafața laterală a căruia este aplicată o grilă de semne longitudinale și transversale (Fig. 2). Deoarece riscurile transversale atunci când tija este îndoită de perechi de forțe aplicate în secțiunile de capăt rămân drepte și perpendiculare pe riscurile longitudinale curbate, acest lucru ne permite să concluzionam că ipotezele secțiunii plane, care, după cum arată rezolvarea acestei probleme folosind metodele teoriei elasticității, încetează să mai fie o ipoteză, devenind un fapt exact legea secțiunilor plane. Măsurând modificarea distanțelor dintre riscurile longitudinale, ajungem la concluzia că ipoteza despre nepresiunea fibrelor longitudinale este valabilă.

Ortogonalitatea zgârieturilor longitudinale și transversale înainte și după deformare (ca reflectare a acțiunii legii secțiunilor plane) indică, de asemenea, absența forfecării și a tensiunilor tangențiale în secțiunile transversale și longitudinale ale tijei.

Fig.1. Relația dintre efortul intern și tensiune

Fig.2. Model pur îndoit

Astfel, îndoirea dreaptă pură a unei tije prismatice este redusă la tensiune uniaxială sau compresie a fibrelor longitudinale prin tensiuni (indice G o vom omite în cele ce urmează). În acest caz, o parte din fibre se află în zona de tensiune (în Fig. 2 acestea sunt fibrele inferioare), iar cealaltă parte este în zona de compresie (fibre superioare). Aceste zone sunt separate printr-un strat neutru (pp), nu își schimbă lungimea, tensiunea la care este zero. Luând în considerare premisele formulate mai sus și presupunând că materialul tijei este liniar elastic, adică legea lui Hooke în acest caz are forma: , Să derivăm formule pentru curbura stratului neutru (raza de curbură) și tensiunile normale. Să remarcăm mai întâi că constanța secțiunii transversale a tijei prismatice și momentul încovoietor (M x =const), asigură raza de curbură constantă a stratului neutru de-a lungul lungimii tijei (Fig. 3, O), strat neutru (pp) descrisă de un arc de cerc.

Să considerăm o tijă prismatică în condiții de îndoire pură directă (Fig. 3, a) cu o secțiune transversală simetrică față de axa verticală Oh. Această condiție nu va afecta rezultatul final (pentru ca îndoirea dreaptă să fie posibilă, axa trebuie să coincidă Oh s axa principală de inerție a secțiunii transversale, care este axa de simetrie). Axă Bou așezați-l pe un strat neutru, poziționați pe cine necunoscut dinainte.

O) diagrama de proiectare, b) încordare și stres

Fig.3. Fragment dintr-o curbă curată a fasciculului

Luați în considerare un element tăiat dintr-o tijă cu lungime dz, care este prezentat pe o scară cu proporții distorsionate de dragul clarității în Fig. 3, b. Întrucât deformațiile elementului, determinate de deplasarea relativă a punctelor sale, prezintă interes, una dintre secțiunile de capăt ale elementului poate fi considerată staționară. Datorită micii lor, presupunem că punctele secțiunii transversale, atunci când sunt rotite de acest unghi, se mișcă nu de-a lungul arcurilor, ci de-a lungul tangentelor corespunzătoare.

Să calculăm deformația relativă a fibrei longitudinale AB, distanțate de stratul neutru de y:

Din asemănarea triunghiurilor C00 1Şi 0 1 BB 1 rezultă că

Deformarea longitudinală s-a dovedit a fi funcţie liniară distanța față de stratul neutru, care este o consecință directă a legii secțiunilor plane

Această formulă nu este potrivită pentru utilizare practică, deoarece conține două necunoscute: curbura stratului neutru și poziția axei neutre Oh, de la care se măsoară coordonatele u. Pentru a determina aceste necunoscute, vom folosi ecuațiile de echilibru ale staticii. Prima exprimă cerința ca forța longitudinală să fie egală cu zero

Înlocuind expresia (2) în această ecuație

și ținând cont de asta, obținem asta

Integrala din partea stângă a acestei ecuații reprezintă momentul static al secțiunii transversale a tijei în jurul axei neutre Oh, care poate fi egal cu zero doar în raport cu axa centrală. Prin urmare axa neutră Oh trece prin centrul de greutate al secțiunii transversale.

A doua ecuație de echilibru static este una care leagă solicitările normale cu momentul încovoietor (care poate fi ușor exprimat în termeni de forțe externe și, prin urmare, este considerat o valoare dată). Înlocuind expresia pentru în ecuația de copula. tensiuni, obținem:

și având în vedere că Unde J x momentul central principal de inerție față de axă Oh, pentru curbura stratului neutru obținem formula

Fig.4. Distribuția normală a tensiunilor

care a fost obținut pentru prima dată de C. Coulomb în 1773. Pentru a coordona semnele momentului încovoietor M xși tensiuni normale, un semn minus este plasat în partea dreaptă a formulei (5), de când M x >0 tensiuni normale la y>0 se dovedesc a fi compresive. Cu toate acestea, în calculele practice, este mai convenabil, fără a respecta regula formală a semnelor, să determinați tensiunea prin valoare absolută și să atribuiți semnul în funcție de sensul său. Tensiunile normale în timpul îndoirii pure a unei tije prismatice sunt o funcție liniară a coordonatei lași ajunge cele mai mari valoriîn fibrele cele mai îndepărtate de axa neutră (Fig. 4), adică.

Aici este introdusă caracteristica geometrică , având o dimensiune de m 3 și numită momentul încovoietor de rezistență. Din moment ce pentru un dat M x Voltaj max? cu cât mai puțin, cu atât mai mult Wx, momentul de rezistență este caracteristică geometrică a rezistenței la încovoiere a secțiunii transversale. Să dăm exemple de calculare a momentelor de rezistență pentru cele mai simple forme de secțiuni transversale. Pentru o secțiune transversală dreptunghiulară (Fig. 5, O) avem J x =bh 3 /12,y max = h/2Şi W x = J x /y max = bh 2 /6.În mod similar, pentru un cerc (Fig. 5 ,a J x =d 4 /64, y max =d/2) primim W x =d 3/32, pentru o secțiune circulară inelară (Fig. 5, V), care are

Construirea unei diagrame Q.

Să construim o diagramă M metodă puncte caracteristice. Punem puncte pe fascicul - acestea sunt punctele de la începutul și sfârșitul fasciculului ( D,A ), moment concentrat ( B ), și, de asemenea, marchează mijlocul sarcinii uniform distribuite ca punct caracteristic ( K ) este un punct suplimentar pentru construirea unei curbe parabolice.

Determinăm momentele încovoietoare în puncte. Regula semnelor cm. - .

Momentul în ÎN o vom defini astfel. Mai întâi să definim:

Punct LA hai să luăm înăuntru mijloc zonă cu o sarcină uniform distribuită.

Construirea unei diagrame o pereche de forțe externe care provoacă îndoire. De la echilibrul părții tijei din stânga secțiunii transversale . Complot AB – curba parabolica(regula umbrelă), zonă ВD – linie dreaptă înclinată.

Pentru o grindă, determinați reacțiile de sprijin și construiți diagrame ale momentelor încovoietoare ( M) și forțele tăietoare ( Q).

Noi desemnăm suporturi scrisori O Şi ÎN și reacții directe de sprijin R A Şi R B .

Compilarea ecuații de echilibru.

Examinare

Notează valorile R A Şi R B pe schema de proiectare.

2. Construirea unei diagrame forțe tăietoare metodă secțiuni. Aranjam secțiunile pe zone caracteristice(între modificări). Conform firului dimensional - 4 secțiuni, 4 secțiuni.

sec. 1-1 mişcare stânga.

Sectiunea trece prin zona cu sarcină distribuită uniform, marcați dimensiunea z 1 în stânga secțiunii înainte de începerea secțiunii. Lungimea tronsonului este de 2 m. Regula semnelor Pentru Q - cm.

Construim in functie de valoarea gasita diagramăQ.

sec. 2-2 se deplasează la dreapta.

Secțiunea trece din nou prin zona cu o sarcină distribuită uniform, marcați dimensiunea z 2 la dreapta de la secțiune până la începutul secțiunii. Lungimea tronsonului este de 6 m.

Construirea unei diagrame Q.

sec. 3-3 se deplasează pe dreapta.

sec. 4-4 se deplasează pe dreapta.

Construim diagramăQ.

3. Construcție diagramele M metodă puncte caracteristice.

Punctul caracteristic- un punct care este oarecum vizibil pe fascicul. Acestea sunt punctele O, ÎN, CU, D , și, de asemenea, un punct LA , în care Q=0 Şi momentul încovoietor are un extremum. De asemenea, în mijloc consola vom pune un punct suplimentar E, deoarece în această zonă sub o încărcare uniform distribuită diagrama M descrise strâmb linie, și este construit cel puțin conform 3 puncte.

Deci, punctele sunt plasate, să începem să determinăm valorile din ele momente de încovoiere. Regula semnelor – vezi.

Site-uri NA, AD – curba parabolica(regula „umbrelă” pentru specialitățile mecanice sau „regula velei” pentru specialitățile de construcții), secțiuni DC, SV – linii drepte înclinate.

Moment la un moment dat D ar trebui determinată atat la stanga cat si la dreapta din punct D . Chiar momentul în aceste expresii nu sunt incluse. La punctul D primim două valori cu diferenţă prin suma m – salt prin dimensiunea sa.

Acum trebuie să stabilim momentul LA (Q=0). Cu toate acestea, mai întâi definim pozitia punctului LA , desemnând distanța de la acesta până la începutul secțiunii ca necunoscută X .

T. LA aparține doilea zonă caracteristică, ea ecuația forței tăietoare(vezi mai sus)

Dar forța tăietoare incl. LA egal cu 0 , A z 2 este egal cu necunoscut X .

Obținem ecuația:

Acum știind X, să stabilim momentul la punct LA pe partea dreaptă.

Construirea unei diagrame M . Constructia se poate realiza pt mecanic specialități, amânare valori pozitive Sus de la linia zero și folosind regula „umbrelă”.

Pentru un proiect dat al unei grinzi cantilever, este necesar să se construiască diagrame ale forței transversale Q și ale momentului încovoietor M și să se efectueze un calcul de proiect prin selectarea unei secțiuni circulare.

Material - lemn, rezistenta de proiectare a materialului R=10MPa, M=14kN m, q=8kN/m

Există două moduri de a construi diagrame într-o grindă în consolă cu o încascare rigidă - modul obișnuit, după ce au determinat anterior reacțiile de sprijin și fără a determina reacțiile de sprijin, dacă luați în considerare secțiunile, mergând de la capătul liber al grinzii și aruncând partea stângă cu încastrarea. Să construim diagrame comun mod.

1. Să definim susține reacțiile.

Sarcina distribuită uniform qînlocuiți cu forța condiționată Q= q·0,84=6,72 kN

Într-o înglobare rigidă există trei reacții de sprijin - verticală, orizontală și moment în cazul nostru, reacția orizontală este 0.

Vom găsi vertical reacție la sol R AŞi moment de sprijin M O din ecuațiile de echilibru.

În primele două secțiuni din dreapta nu există forță tăietoare. La începutul unei secțiuni cu o sarcină uniform distribuită (dreapta) Q=0, în fundal - magnitudinea reacției R A.
3. Pentru a construi, vom compune expresii pentru determinarea lor în secțiuni. Să construim o diagramă de momente pe fibre, de ex. jos.

(diagrama momentelor individuale a fost deja construită mai devreme)

Rezolvăm ecuația (1), reducem cu EI

Nedeterminarea statică dezvăluită, a fost găsită valoarea reacției „extra”. Puteți începe să construiți diagrame ale lui Q și M pentru un fascicul static nedeterminat... Schițăm diagrama dată a fasciculului și indicăm magnitudinea reacției Rb. În acest fascicul, reacțiile în înglobare nu pot fi determinate dacă vă deplasați din dreapta.

Constructii complot Q pentru un fascicul static nedeterminat

Să diagramăm Q.

Construcția diagramei M

Să definim M în punctul extremum - în punctul LA. Mai întâi, să-i determinăm poziția. Să notăm distanța până la ea ca necunoscută” X" Apoi

Construim o diagramă a lui M.

Determinarea tensiunilor tăietoare într-o secțiune în I. Să luăm în considerare secțiunea I-beam Sx = 96,9 cm3; Yx=2030 cm4; Q=200 kN

Pentru determinarea efortului de forfecare, se folosește formula,unde Q este forța tăietoare în secțiune, S x 0 este momentul static al părții de secțiune transversală situată pe o latură a stratului în care se determină tensiunile tangențiale, I x este momentul de inerție al întregului secțiune transversală, b este lățimea secțiunii în locul unde este determinată efortul de forfecare

Să calculăm maxim efort de forfecare:

Să calculăm momentul static pt raftul de sus:

Acum hai să calculăm efort de forfecare:

Construim diagrama tensiunii de forfecare:

Calcule de proiectare si verificare. Pentru o grindă cu diagrame construite ale forțelor interne, selectați o secțiune sub formă de două canale din starea de rezistență la solicitări normale. Verificați rezistența grinzii utilizând condiția de rezistență la forfecare și criteriul rezistenței energetice. Dat:

Să arătăm un fascicul cu construit diagramele Q și M

Conform diagramei momentelor încovoietoare, este periculos secțiunea C,în care M C = M max = 48,3 kNm.

Condiție normală de rezistență la stres căci această grindă are forma σ max =M C /W X ≤σ adm . Este necesar să selectați o secțiune de pe două canale.

Să determinăm valoarea calculată necesară momentul axial de rezistență al secțiunii:

Pentru o secțiune sub formă de două canale, acceptăm conform două canale nr 20a, momentul de inerție al fiecărui canal I x =1670cm 4, Atunci momentul axial de rezistență al întregii secțiuni:

Supratensiune (subtensiune)în punctele periculoase calculăm folosind formula: Apoi obținem subtensiune:

Acum să verificăm puterea fasciculului pe baza condiţii de rezistenţă pentru solicitări tangenţiale. Conform diagrama forței tăietoare periculos sunt secțiuni pe secțiunea BC și secțiunea D. După cum se poate observa din diagramă, Q max = 48,9 kN.

Condiție de rezistență pentru tensiuni tangenţiale are forma:

Pentru canalul nr. 20 a: momentul static al ariei S x 1 = 95,9 cm 3, momentul de inerție al secțiunii I x 1 = 1670 cm 4, grosimea peretelui d 1 = 5,2 mm, grosimea medie a flanșei t 1 = 9,7 mm , înălțimea canalului h 1 =20 cm, lățimea raftului b 1 =8 cm.

Pentru transversal secțiuni a două canale:

S x = 2S x 1 =2 95,9 = 191,8 cm 3,

I x =2I x 1 =2·1670=3340 cm 4,

b=2d 1 =2·0,52=1,04 cm.

Determinarea valorii efort maxim de forfecare:

τ max =48,9 10 3 191,8 10 −6 /3340 10 −8 1,04 10 −2 =27 MPa.

După cum puteți vedea, τ max<τ adm (27MPa<75МПа).

Prin urmare, condiția de rezistență este îndeplinită.

Verificăm rezistența fasciculului în funcție de criteriul energetic.

Din considerație diagramele Q și M rezultă că secțiunea C este periculoasă,în care acţionează M C =M max =48,3 kNm și Q C =Q max =48,9 kN.

Să ducem la îndeplinire analiza stării de tensiune în punctele secțiunii C

Să definim tensiuni normale și forfecare la mai multe niveluri (marcate pe diagrama secțiunii)

Nivelul 1-1: y 1-1 =h 1 /2=20/2=10cm.

Normală și tangentă Voltaj:

Principal Voltaj:

Nivelul 2−2: y 2-2 =h 1 /2−t 1 =20/2−0,97=9,03 cm.

Tensiuni principale:

Nivelul 3−3: y 3-3 =h 1 /2−t 1 =20/2−0,97=9,03cm.

Tensiuni normale și forfecare: