Rezolvarea ecuațiilor pătratice dacă discriminantul este 0. Ecuații patratice

O ecuație pătratică este o ecuație care arată ca ax 2 + dx + c = 0. Are sens a,cŞi Cu orice numere și O nu este egal cu zero.

Toate ecuațiile pătratice sunt împărțite în mai multe tipuri, și anume:

Ecuații cu o singură rădăcină.
-Ecuații cu două rădăcini diferite.
-Ecuații în care nu există rădăcini deloc.

Aceasta distinge ecuațiile liniare în care rădăcina este întotdeauna aceeași, de cele pătrate. Pentru a înțelege câte rădăcini sunt în expresie, aveți nevoie Discriminant ecuație pătratică .

Să presupunem că ecuația noastră ax 2 + dx + c =0. Mijloace discriminant al unei ecuații pătratice -

D = b 2 - 4 ac

Și acest lucru trebuie amintit pentru totdeauna. Folosind această ecuație determinăm numărul de rădăcini din ecuația pătratică. Și o facem astfel:

Când D este mai mic decât zero, nu există rădăcini în ecuație.
- Când D este zero, există o singură rădăcină.
- Când D este mai mare decât zero, ecuația are două rădăcini.
Amintiți-vă că discriminantul arată câte rădăcini sunt în ecuație fără a schimba semnele.

Să luăm în considerare pentru claritate:

Trebuie să aflăm câte rădăcini sunt în această ecuație pătratică.

1) x 2 - 8x + 12 = 0
2)5x 2 + 3x + 7 = 0
3) x 2 -6x + 9 = 0

Introducem valorile în prima ecuație și găsim discriminantul.
a = 1, b = -8, c = 12
D = (-8) 2 - 4 * 1 * 12 = 64 - 48 = 16
Discriminantul are un semn plus, ceea ce înseamnă că există două rădăcini în această egalitate.

Facem același lucru cu a doua ecuație
a = 1, b = 3, c = 7
D = 3 2 - 4 * 5 * 7 = 9 - 140 = - 131
Valoarea este negativă, ceea ce înseamnă că nu există rădăcini în această egalitate.

Să extindem următoarea ecuație prin analogie.
a = 1, b = -6, c = 9
D = (-6) 2 - 4 * 1 * 9 = 36 - 36 = 0
ca o consecință, avem o singură rădăcină în ecuație.

Este important ca în fiecare ecuație să scriem coeficienții. Desigur, acesta nu este un proces foarte lung, dar ne-a ajutat să nu ne confuzăm și a prevenit apariția erorilor. Dacă rezolvi foarte des ecuații similare, vei putea efectua calculele mental și vei ști dinainte câte rădăcini are ecuația.

Să ne uităm la un alt exemplu:

1) x 2 - 2x - 3 = 0
2) 15 - 2x - x 2 = 0
3) x 2 + 12x + 36 = 0

Să-l așezăm pe primul
a = 1, b = -2, c = -3
D =(-2) 2 - 4 * 1 * (-3) = 16, care este mai mare decât zero, ceea ce înseamnă două rădăcini, să le derivăm
x 1 = 2+?16/2 * 1 = 3, x 2 = 2-?16/2 * 1 = -1.

Îl întindem pe al doilea
a = -1, b = -2, c = 15
D = (-2) 2 - 4 * 4 * (-1) * 15 = 64, care este mai mare decât zero și are, de asemenea, două rădăcini. Să le scoatem:
x 1 = 2+?64/2 * (-1) = -5, x 2 = 2-?64/2 *(-1) = 3.

Îl așezăm pe al treilea
a = 1, b = 12, c = 36
D = 12 2 - 4 * 1 * 36 =0, care este egal cu zero și are o rădăcină
x = -12 + ?0/2 * 1 = -6.
Rezolvarea acestor ecuații nu este dificilă.

Dacă ni se oferă o ecuație pătratică incompletă. Ca

1x 2 + 9x = 0
2x 2 - 16 = 0

Aceste ecuații diferă de cele de mai sus, deoarece nu este completă, nu are o a treia valoare. Dar, în ciuda acestui fapt, este mai simplă decât o ecuație pătratică completă și nu este nevoie să căutați un discriminant în ea.

Ce să faci când ai nevoie urgentă teza sau un eseu, dar nu ai timp să-l scrii? Toate acestea și multe altele pot fi comandate pe site-ul Deepom.by (http://deeplom.by/) și obțineți cel mai mare scor.

Continuăm să studiem subiectul „ rezolvarea ecuatiilor" Ne-am familiarizat deja cu ecuațiile liniare și trecem la cunoștință ecuații pătratice.

În primul rând, ne vom uita la ce este o ecuație pătratică, cum este scrisă în formă generală și vom da definiții înrudite. După aceasta, vom folosi exemple pentru a examina în detaliu modul în care sunt rezolvate ecuațiile pătratice incomplete. În continuare, să trecem la rezolvarea ecuațiilor complete, să obținem formula rădăcinii, să ne familiarizăm cu discriminantul unei ecuații pătratice și să luăm în considerare soluții exemple tipice. În cele din urmă, să urmărim conexiunile dintre rădăcini și coeficienți.

Navigare în pagină.

Ce este o ecuație pătratică? Tipurile lor

Mai întâi trebuie să înțelegeți clar ce este o ecuație pătratică. Prin urmare, este logic să începem o conversație despre ecuațiile pătratice cu definiția unei ecuații pătratice, precum și definițiile aferente. După aceasta, puteți lua în considerare principalele tipuri de ecuații pătratice: reduse și nereduse, precum și ecuații complete și incomplete.

Definiție și exemple de ecuații pătratice

Definiţie.

Ecuație cuadratică este o ecuație a formei a x 2 +b x+c=0, unde x este o variabilă, a, b și c sunt unele numere, iar a este diferit de zero.

Să spunem imediat că ecuațiile pătratice sunt adesea numite ecuații de gradul doi. Acest lucru se datorează faptului că ecuația pătratică este ecuație algebrică gradul doi.

Definiția menționată ne permite să dăm exemple de ecuații pătratice. Deci 2 x 2 +6 x+1=0, 0,2 x 2 +2,5 x+0,03=0 etc. Acestea sunt ecuații pătratice.

Definiţie.

Numerele a, b și c sunt numite coeficienții ecuației pătratice a·x 2 +b·x+c=0, iar coeficientul a se numește primul, sau cel mai mare, sau coeficientul lui x 2, b este al doilea coeficient sau coeficientul lui x și c este termenul liber .

De exemplu, să luăm o ecuație pătratică de forma 5 x 2 −2 x −3=0, aici coeficientul principal este 5, al doilea coeficient este egal cu −2, iar termenul liber este egal cu −3. Vă rugăm să rețineți că atunci când coeficienții b și/sau c sunt negativi, ca în exemplul dat, forma scurtă a ecuației pătratice este 5 x 2 −2 x−3=0 , mai degrabă decât 5 x 2 +(−2 ) ·x+(−3)=0 .

Este demn de remarcat faptul că atunci când coeficienții a și/sau b sunt egali cu 1 sau −1, de obicei nu sunt prezenți în mod explicit în ecuația pătratică, ceea ce se datorează particularităților scrierii astfel de . De exemplu, în ecuația pătratică y 2 −y+3=0 coeficientul principal este unu, iar coeficientul lui y este egal cu −1.

Ecuații patratice reduse și nereduse

În funcție de valoarea coeficientului conducător, se disting ecuațiile pătratice reduse și nereduse. Să dăm definițiile corespunzătoare.

Definiţie.

Se numește o ecuație pătratică în care coeficientul principal este 1 ecuație pătratică dată. În caz contrar, ecuația pătratică este neatins.

Conform această definiție, ecuații pătratice x 2 −3·x+1=0, x 2 −x−2/3=0 etc. – dat, în fiecare dintre ele primul coeficient este egal cu unu. A 5 x 2 −x−1=0 etc. - ecuații pătratice nereduse, coeficienții lor conducători sunt diferiți de 1.

Din orice ecuație pătratică neredusă, împărțind ambele părți la coeficientul principal, se poate trece la cea redusă. Această acțiune este o transformare echivalentă, adică ecuația pătratică redusă obținută în acest fel are aceleași rădăcini ca și ecuația pătratică neredusă inițială sau, asemenea acesteia, nu are rădăcini.

Să ne uităm la un exemplu despre cum se realizează tranziția de la o ecuație pătratică neredusă la una redusă.

Exemplu.

Din ecuația 3 x 2 +12 x−7=0, mergeți la ecuația pătratică redusă corespunzătoare.

Soluţie.

Trebuie doar să împărțim ambele părți ale ecuației inițiale la coeficientul principal 3, acesta este diferit de zero, astfel încât să putem efectua această acțiune. Avem (3 x 2 +12 x−7):3=0:3, care este același, (3 x 2):3+(12 x):3−7:3=0 și apoi (3: 3) x 2 +(12:3) x−7:3=0, de unde . Așa am obținut ecuația pătratică redusă, care este echivalentă cu cea inițială.

Răspuns:

Ecuații pătratice complete și incomplete

Definiția unei ecuații pătratice conține condiția a≠0. Această condiție este necesară pentru ca ecuația a x 2 + b x + c = 0 să fie pătratică, deoarece atunci când a = 0 devine de fapt o ecuație liniară de forma b x + c = 0.

În ceea ce privește coeficienții b și c, aceștia pot fi egali cu zero, atât individual, cât și împreună. În aceste cazuri, ecuația pătratică se numește incompletă.

Definiţie.

Ecuația pătratică a x 2 +b x+c=0 se numește incomplet, dacă cel puțin unul dintre coeficienții b, c este egal cu zero.

La rândul său

Definiţie.

Ecuație pătratică completă este o ecuație în care toți coeficienții sunt diferiți de zero.

Asemenea nume nu au fost date întâmplător. Acest lucru va deveni clar din discuțiile următoare.

Dacă coeficientul b este zero, atunci ecuația pătratică ia forma a·x 2 +0·x+c=0 și este echivalentă cu ecuația a·x 2 +c=0. Dacă c=0, adică ecuația pătratică are forma a·x 2 +b·x+0=0, atunci poate fi rescrisă ca a·x 2 +b·x=0. Și cu b=0 și c=0 obținem ecuația pătratică a·x 2 =0. Ecuațiile rezultate diferă de ecuația pătratică completă prin aceea că părțile lor din stânga nu conțin nici un termen cu variabila x, nici un termen liber sau ambele. De aici și numele lor - ecuații patratice incomplete.

Deci ecuațiile x 2 +x+1=0 și −2 x 2 −5 x+0,2=0 sunt exemple de ecuații patratice complete, iar x 2 =0, −2 x 2 =0, 5 x 2 +3=0 , −x 2 −5 x=0 sunt ecuații pătratice incomplete.

Rezolvarea ecuațiilor pătratice incomplete

Din informațiile din paragraful anterior rezultă că există trei tipuri de ecuații pătratice incomplete:

• a·x 2 =0, îi corespund coeficienții b=0 și c=0;
• a x 2 +c=0 când b=0;
• şi a·x 2 +b·x=0 când c=0.

Să examinăm în ordine modul în care sunt rezolvate ecuațiile pătratice incomplete ale fiecăruia dintre aceste tipuri.

a x 2 =0

Să începem cu rezolvarea ecuațiilor pătratice incomplete în care coeficienții b și c sunt egali cu zero, adică cu ecuații de forma a x 2 =0. Ecuația a x 2 =0 este echivalentă cu ecuația x 2 =0, care se obține din diviziune originală de ambele părți printr-un număr diferit de zero a. Evident, rădăcina ecuației x 2 =0 este zero, deoarece 0 2 =0. Această ecuație nu are alte rădăcini, ceea ce se explică prin faptul că pentru orice număr p diferit de zero este valabilă inegalitatea p 2 >0, ceea ce înseamnă că pentru p≠0 egalitatea p 2 =0 nu este niciodată atinsă.

Deci, ecuația pătratică incompletă a·x 2 =0 are o singură rădăcină x=0.

Ca exemplu, dăm soluția ecuației pătratice incomplete −4 x 2 =0. Este echivalentă cu ecuația x 2 =0, singura sa rădăcină este x=0, prin urmare, ecuația originală are o singură rădăcină zero.

O soluție scurtă în acest caz poate fi scrisă după cum urmează:
−4 x 2 =0 ,
x 2 =0,
x=0.

a x 2 +c=0

Acum să vedem cum se rezolvă ecuațiile pătratice incomplete în care coeficientul b este zero și c≠0, adică ecuații de forma a x 2 +c=0. Știm că mutarea unui termen dintr-o parte a ecuației în cealaltă cu semnul opus, precum și împărțirea ambelor părți ale ecuației la un număr diferit de zero, dă o ecuație echivalentă. Prin urmare, putem efectua următoarele transformări echivalente ale ecuației pătratice incomplete a x 2 +c=0:

• mutați c în partea dreaptă, ceea ce dă ecuația a x 2 =−c,
• și împărțim ambele părți cu a, obținem .

Ecuația rezultată ne permite să tragem concluzii despre rădăcinile sale. În funcție de valorile lui a și c, valoarea expresiei poate fi negativă (de exemplu, dacă a=1 și c=2, atunci) sau pozitivă (de exemplu, dacă a=−2 și c=6, atunci ), nu este zero , deoarece prin condiția c≠0. Să ne uităm la cazuri separat.

Dacă , atunci ecuația nu are rădăcini. Această afirmație rezultă din faptul că pătratul oricărui număr este un număr nenegativ. De aici rezultă că atunci când , atunci pentru orice număr p egalitatea nu poate fi adevărată.

Dacă , atunci situația cu rădăcinile ecuației este diferită. În acest caz, dacă ne amintim despre , atunci rădăcina ecuației devine imediat evidentă, deoarece . Este ușor de ghicit că numărul este și rădăcina ecuației, într-adevăr, . Această ecuație nu are alte rădăcini, care pot fi arătate, de exemplu, prin contradicție. Să facem asta.

Să notăm rădăcinile ecuației tocmai anunțate ca x 1 și −x 1 . Să presupunem că ecuația are încă o rădăcină x 2, diferită de rădăcinile indicate x 1 și −x 1. Se știe că înlocuirea rădăcinilor sale într-o ecuație în loc de x transformă ecuația într-o egalitate numerică corectă. Pentru x 1 și −x 1 avem , iar pentru x 2 avem . Proprietățile egalităților numerice ne permit să efectuăm scăderea termen cu termen a egalităților numerice corecte, astfel încât scăderea părților corespunzătoare ale egalităților dă x 1 2 −x 2 2 =0. Proprietățile operațiilor cu numere ne permit să rescriem egalitatea rezultată ca (x 1 −x 2)·(x 1 +x 2)=0. Știm că produsul a două numere este egal cu zero dacă și numai dacă cel puțin unul dintre ele este egal cu zero. Prin urmare, din egalitatea rezultată rezultă că x 1 −x 2 =0 și/sau x 1 +x 2 =0, care este același, x 2 =x 1 și/sau x 2 =−x 1. Deci am ajuns la o contradicție, deoarece la început am spus că rădăcina ecuației x 2 este diferită de x 1 și −x 1. Aceasta demonstrează că ecuația nu are alte rădăcini decât și .

Să rezumam informațiile din acest paragraf. Ecuația pătratică incompletă a x 2 +c=0 este echivalentă cu ecuația care

• nu are rădăcini dacă,
• are două rădăcini și , dacă .

Să luăm în considerare exemple de rezolvare a ecuațiilor pătratice incomplete de forma a·x 2 +c=0.

Să începem cu ecuația pătratică 9 x 2 +7=0. După mutarea termenului liber în partea dreaptă a ecuației, acesta va lua forma 9 x 2 =−7. Împărțind ambele părți ale ecuației rezultate la 9, ajungem la . Deoarece partea dreaptă are un număr negativ, această ecuație nu are rădăcini, prin urmare, ecuația pătratică incompletă inițială 9 x 2 +7 = 0 nu are rădăcini.

Să rezolvăm o altă ecuație pătratică incompletă −x 2 +9=0. Mutăm cele nouă în partea dreaptă: −x 2 =−9. Acum împărțim ambele părți la −1, obținem x 2 =9. În partea dreaptă există un număr pozitiv, din care concluzionăm că sau . Apoi notăm răspunsul final: ecuația pătratică incompletă −x 2 +9=0 are două rădăcini x=3 sau x=−3.

a x 2 +b x=0

Rămâne să ne ocupăm de soluția ultimului tip de ecuații pătratice incomplete pentru c=0. Ecuațiile pătratice incomplete de forma a x 2 + b x = 0 vă permit să rezolvați metoda factorizării. Evident, putem, situat în partea stângă a ecuației, pentru care este suficient să scoatem factorul comun x din paranteze. Acest lucru ne permite să trecem de la ecuația pătratică incompletă inițială la o ecuație echivalentă de forma x·(a·x+b)=0. Și această ecuație este echivalentă cu o mulțime de două ecuații x=0 și a·x+b=0, cea din urmă fiind liniară și având rădăcina x=−b/a.

Deci, ecuația pătratică incompletă a·x 2 +b·x=0 are două rădăcini x=0 și x=−b/a.

Pentru a consolida materialul, vom analiza soluția la un exemplu concret.

Exemplu.

Rezolvați ecuația.

Soluţie.

Scotând x din paranteze rezultă ecuația . Este echivalentă cu două ecuații x=0 și . Rezolvând ceea ce avem ecuație liniară: , iar împărțind numărul mixt la o fracție obișnuită, găsim . Prin urmare, rădăcinile ecuației originale sunt x=0 și .

După dobândirea practicii necesare, soluțiile la astfel de ecuații pot fi scrise pe scurt:

Răspuns:

x=0, .

Discriminant, formulă pentru rădăcinile unei ecuații pătratice

Pentru a rezolva ecuații pătratice, există o formulă rădăcină. Să-l notăm formula pentru rădăcinile unei ecuații pătratice: , Unde D=b 2 −4 a c- așa-zis discriminant al unei ecuații pătratice. Intrarea înseamnă în esență că .

Este util să știm cum a fost obținută formula rădăcinii și cum este utilizată în găsirea rădăcinilor ecuațiilor pătratice. Să ne dăm seama.

Derivarea formulei pentru rădăcinile unei ecuații pătratice

Trebuie să rezolvăm ecuația pătratică a·x 2 +b·x+c=0. Să efectuăm câteva transformări echivalente:

• Putem împărți ambele părți ale acestei ecuații la un număr diferit de zero a, rezultând următoarea ecuație pătratică.
• Acum selectați un pătrat complet pe partea stângă: . După aceasta, ecuația va lua forma .
• În această etapă, este posibil să transferăm ultimii doi termeni în partea dreaptă cu semnul opus, avem .
• Și să transformăm și expresia din partea dreaptă: .

Ca rezultat, ajungem la o ecuație care este echivalentă cu ecuația pătratică inițială a·x 2 +b·x+c=0.

Am rezolvat deja ecuații similare ca formă în paragrafele precedente, când am examinat. Acest lucru ne permite să tragem următoarele concluzii cu privire la rădăcinile ecuației:

• dacă , atunci ecuația nu are soluții reale;
• dacă , atunci ecuația are forma , prin urmare, , din care este vizibilă singura sa rădăcină;
• dacă , atunci sau , care este același cu sau , adică ecuația are două rădăcini.

Astfel, prezența sau absența rădăcinilor ecuației și, prin urmare, a ecuației pătratice originale, depinde de semnul expresiei din partea dreaptă. La rândul său, semnul acestei expresii este determinat de semnul numărătorului, întrucât numitorul 4·a 2 este întotdeauna pozitiv, adică de semnul expresiei b 2 −4·a·c. Această expresie b 2 −4 a c a fost numită discriminant al unei ecuații pătraticeși desemnat prin scrisoare D. De aici, esența discriminantului este clară - pe baza valorii și semnului său, ei ajung la concluzia dacă ecuația pătratică are rădăcini reale și, dacă da, care este numărul lor - unul sau doi.

Să revenim la ecuație și să o rescriem folosind notația discriminantă: . Și tragem concluzii:

• daca D<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
• dacă D=0, atunci această ecuație are o singură rădăcină;
• în sfârșit, dacă D>0, atunci ecuația are două rădăcini sau, care pot fi rescrise sub forma sau, iar după extinderea și aducerea fracțiilor la un numitor comun obținem.

Deci am derivat formulele pentru rădăcinile ecuației pătratice, ele arată ca , unde discriminantul D este calculat prin formula D=b 2 −4·a·c.

Cu ajutorul lor, cu un discriminant pozitiv, puteți calcula ambele rădăcini reale ale unei ecuații pătratice. Când discriminantul este zero, ambele formule dau aceeași valoare a rădăcinii, corespunzătoare unei soluții unice a ecuației pătratice. Și cu un discriminant negativ, atunci când încercăm să folosim formula pentru rădăcinile unei ecuații pătratice, ne confruntăm cu extracția rădăcină pătrată dintr-un număr negativ, care ne duce dincolo de și programa școlară. Cu un discriminant negativ, ecuația pătratică nu are rădăcini reale, ci are o pereche conjugat complex rădăcini, care pot fi găsite folosind aceleași formule de rădăcină pe care le-am obținut.

Algoritm pentru rezolvarea ecuațiilor pătratice cu ajutorul formulelor rădăcinilor

În practică, atunci când rezolvați ecuații pătratice, puteți utiliza imediat formula rădăcinii pentru a calcula valorile acestora. Dar acest lucru este mai mult legat de găsirea rădăcinilor complexe.

Cu toate acestea, într-un curs de algebră școlară vorbim de obicei nu despre complex, ci despre rădăcinile reale ale unei ecuații pătratice. În acest caz, este recomandabil, înainte de a folosi formulele pentru rădăcinile unei ecuații pătratice, să găsiți mai întâi discriminantul, să vă asigurați că acesta este nenegativ (în caz contrar, putem concluziona că ecuația nu are rădăcini reale), și abia apoi calculați valorile rădăcinilor.

Raționamentul de mai sus ne permite să scriem algoritm pentru rezolvarea unei ecuații pătratice. Pentru a rezolva ecuația pătratică a x 2 +b x+c=0, trebuie să:

• folosind formula discriminantă D=b 2 −4·a·c, calculați valoarea acesteia;
• concluzionați că o ecuație pătratică nu are rădăcini reale dacă discriminantul este negativ;
• calculați singura rădăcină a ecuației folosind formula dacă D=0;
• găsiți două rădăcini reale ale unei ecuații pătratice folosind formula rădăcinii dacă discriminantul este pozitiv.

Aici observăm doar că, dacă discriminantul este egal cu zero, puteți folosi și formula aceasta va da aceeași valoare ca .

Puteți trece la exemple de utilizare a algoritmului pentru rezolvarea ecuațiilor pătratice.

Exemple de rezolvare a ecuațiilor pătratice

Să considerăm soluții la trei ecuații pătratice cu discriminant pozitiv, negativ și zero. După ce s-a ocupat de soluția lor, prin analogie va fi posibil să se rezolve orice altă ecuație pătratică. Să începem.

Exemplu.

Aflați rădăcinile ecuației x 2 +2·x−6=0.

Soluţie.

În acest caz, avem următorii coeficienți ai ecuației pătratice: a=1, b=2 și c=−6. Conform algoritmului, mai întâi trebuie să calculați discriminantul pentru a face acest lucru, înlocuim a, b și c indicate în formula discriminantă; D=b 2 −4·a·c=2 2 −4·1·(−6)=4+24=28. Deoarece 28>0, adică discriminantul este mai mare decât zero, ecuația pătratică are două rădăcini reale. Să le găsim folosind formula rădăcină, obținem , aici puteți simplifica expresiile rezultate făcând deplasarea multiplicatorului dincolo de semnul rădăcinii urmată de reducerea fracției:

Răspuns:

Să trecem la următorul exemplu tipic.

Exemplu.

Rezolvați ecuația pătratică −4 x 2 +28 x−49=0 .

Soluţie.

Începem prin a găsi discriminantul: D=28 2 −4·(−4)·(−49)=784−784=0. Prin urmare, această ecuație pătratică are o singură rădăcină, pe care o găsim ca , adică

Răspuns:

x=3,5.

Rămâne de luat în considerare rezolvarea ecuațiilor pătratice cu un discriminant negativ.

Exemplu.

Rezolvați ecuația 5·y 2 +6·y+2=0.

Soluţie.

Iată coeficienții ecuației pătratice: a=5, b=6 și c=2. Substituim aceste valori în formula discriminantă, avem D=b 2 −4·a·c=6 2 −4·5·2=36−40=−4. Discriminantul este negativ, prin urmare, această ecuație pătratică nu are rădăcini reale.

Dacă trebuie să indicați rădăcini complexe, atunci aplicăm formula binecunoscută pentru rădăcinile unei ecuații pătratice și efectuăm operatii cu numere complexe:

Răspuns:

nu există rădăcini reale, rădăcini complexe sunt: ​​.

Să remarcăm încă o dată că, dacă discriminantul unei ecuații pătratice este negativ, atunci la școală de obicei notează imediat un răspuns în care indică că nu există rădăcini reale și nu se găsesc rădăcini complexe.

Formula rădăcină pentru chiar al doilea coeficienți

Formula pentru rădăcinile unei ecuații pătratice, unde D=b 2 −4·a·c vă permite să obțineți o formulă de formă mai compactă, permițându-vă să rezolvați ecuații pătratice cu un coeficient par pentru x (sau pur și simplu cu o coeficient de forma 2·n, de exemplu, sau 14· ln5=2·7·ln5). Hai să o scoatem afară.

Să presupunem că trebuie să rezolvăm o ecuație pătratică de forma a x 2 +2 n x+c=0. Să-i găsim rădăcinile folosind formula pe care o cunoaștem. Pentru a face acest lucru, calculăm discriminantul D=(2 n) 2 −4 a c=4 n 2 −4 a c=4 (n 2 −a c), și apoi folosim formula rădăcină:

Să notăm expresia n 2 −a · c ca D 1 (uneori se notează D”). Atunci formula pentru rădăcinile ecuației pătratice luate în considerare cu al doilea coeficient 2 n ia forma , unde D 1 =n 2 −a·c.

Este ușor de observat că D=4·D 1, sau D 1 =D/4. Cu alte cuvinte, D 1 este a patra parte a discriminantului. Este clar că semnul lui D 1 este același cu semnul lui D . Adică, semnul D 1 este, de asemenea, un indicator al prezenței sau absenței rădăcinilor unei ecuații pătratice.

Deci, pentru a rezolva o ecuație pătratică cu un al doilea coeficient 2·n, aveți nevoie

• Calculați D 1 =n 2 −a·c ;
• Dacă D 1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
• Dacă D 1 =0, atunci calculați singura rădăcină a ecuației folosind formula;
• Dacă D 1 >0, atunci găsiți două rădăcini reale folosind formula.

Să luăm în considerare rezolvarea exemplului folosind formula rădăcină obținută în acest paragraf.

Exemplu.

Rezolvați ecuația pătratică 5 x 2 −6 x −32=0 .

Soluţie.

Al doilea coeficient al acestei ecuații poate fi reprezentat ca 2·(−3) . Adică, puteți rescrie ecuația pătratică inițială sub forma 5 x 2 +2 (−3) x−32=0, aici a=5, n=−3 și c=−32 și calculați a patra parte a discriminant: D 1 =n 2 −a·c=(−3) 2 −5·(−32)=9+160=169. Deoarece valoarea sa este pozitivă, ecuația are două rădăcini reale. Să le găsim folosind formula rădăcină adecvată:

Rețineți că a fost posibil să se folosească formula obișnuită pentru rădăcinile unei ecuații pătratice, dar în acest caz ar trebui efectuată mai multă muncă de calcul.

Răspuns:

Simplificarea formei ecuațiilor pătratice

Uneori, înainte de a începe să calculați rădăcinile unei ecuații pătratice folosind formule, nu strică să puneți întrebarea: „Este posibil să simplificați forma acestei ecuații?” De acord că din punct de vedere al calculelor va fi mai ușor de rezolvat ecuația pătratică 11 x 2 −4 x−6=0 decât 1100 x 2 −400 x−600=0.

De obicei, simplificarea formei unei ecuații pătratice se realizează prin înmulțirea sau împărțirea ambelor părți cu un anumit număr. De exemplu, în paragraful anterior a fost posibilă simplificarea ecuației 1100 x 2 −400 x −600=0 împărțind ambele părți la 100.

O transformare similară este efectuată cu ecuații pătratice, ai căror coeficienți nu sunt . În acest caz, ambele părți ale ecuației sunt de obicei împărțite la valorile absolute ale coeficienților săi. De exemplu, să luăm ecuația pătratică 12 x 2 −42 x+48=0. valorile absolute ale coeficienților săi: GCD(12, 42, 48)= GCD(GCD(12, 42), 48)= GCD(6, 48)=6. Împărțind ambele părți ale ecuației pătratice originale la 6, ajungem la ecuația pătratică echivalentă 2 x 2 −7 x+8=0.

Și înmulțirea ambelor părți ale unei ecuații pătratice se face de obicei pentru a scăpa de coeficienții fracționali. În acest caz, înmulțirea se realizează prin numitorii coeficienților săi. De exemplu, dacă ambele părți ale ecuației pătratice sunt înmulțite cu LCM(6, 3, 1)=6, atunci aceasta va lua forma mai simplă x 2 +4·x−18=0.

În concluzia acestui punct, observăm că ei scapă aproape întotdeauna de minus la cel mai mare coeficient al unei ecuații pătratice prin schimbarea semnelor tuturor termenilor, ceea ce corespunde înmulțirii (sau împărțirii) ambelor părți cu −1. De exemplu, de obicei se trece de la ecuația pătratică −2 x 2 −3 x+7=0 la soluția 2 x 2 +3 x−7=0 .

Relația dintre rădăcini și coeficienți ai unei ecuații pătratice

Formula pentru rădăcinile unei ecuații pătratice exprimă rădăcinile ecuației prin coeficienții săi. Pe baza formulei rădăcinii, puteți obține alte relații între rădăcini și coeficienți.

Cele mai cunoscute și aplicabile formule din teorema lui Vieta sunt de forma și . În special, pentru ecuația pătratică dată, suma rădăcinilor este egală cu al doilea coeficient cu semnul opus, iar produsul rădăcinilor este egal cu termenul liber. De exemplu, prin forma ecuației pătratice 3 x 2 −7 x + 22 = 0 putem spune imediat că suma rădăcinilor sale este egală cu 7/3, iar produsul rădăcinilor este egal cu 22/3.

Folosind formulele deja scrise, puteți obține o serie de alte conexiuni între rădăcinile și coeficienții ecuației pătratice. De exemplu, puteți exprima suma pătratelor rădăcinilor unei ecuații pătratice prin coeficienții ei: .

Referințe.

• Algebră: manual pentru clasa a VIII-a. educatie generala instituții / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; editat de S. A. Teliakovsky. - Ed. a XVI-a. - M.: Educație, 2008. - 271 p. : bolnav. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich A.G. Algebră. clasa a 8-a. În 2 ore. Partea 1. Manual pentru studenții instituțiilor de învățământ general / A. G. Mordkovich. - Ed. a XI-a, șters. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 p.: ill. ISBN 978-5-346-01155-2.

NUMERE COMPLEXE XI

§ 253. Extragerea rădăcinilor pătrate din numere negative.
Rezolvarea ecuațiilor pătratice cu discriminanți negativi

După cum știm

i 2 = - 1.

În același timp

(- i ) 2 = (- 1 i ) 2 = (- 1) 2 i 2 = -1.

Astfel, există cel puțin două valori ale rădăcinii pătrate a lui - 1, și anume i Și - i . Dar poate că există și alte numere complexe ale căror pătrate sunt egale cu - 1?

Pentru a clarifica această întrebare, să presupunem că pătratul unui număr complex a + bi este egal cu - 1. Atunci

(a + bi ) 2 = - 1,

O 2 + 2abi - b 2 = - 1

Două numere complexe sunt egale dacă și numai dacă părțile lor reale și coeficienții părților lor imaginare sunt egale. De aceea

Conform celei de-a doua ecuații a sistemului (1), cel puțin unul dintre numere O Şi b trebuie să fie zero. Dacă b = 0, apoi din prima ecuație obținem O 2 = - 1. Număr O reale și, prin urmare O 2 > 0. Număr nenegativ O 2 nu poate fi egal cu un număr negativ - 1. Prin urmare, egalitatea b = 0 este imposibil în acest caz. Rămâne de recunoscut că O = 0, dar apoi din prima ecuație a sistemului obținem: - b 2 = - 1, b = ± 1.

Prin urmare, singurele numere complexe ale căror pătrate sunt -1 sunt i Și - i , În mod convențional, aceasta este scrisă sub forma:

√-1 = ± i .

Folosind un raționament similar, elevii pot fi convinși că există exact două numere ale căror pătrate sunt egale cu un număr negativ - O . Astfel de numere sunt √ o i și -√ o i . În mod convențional, este scris astfel:

√- A = ± √ o i .

Sub √ o aici ne referim la o aritmetică, adică pozitivă, rădăcină. De exemplu, √4 = 2, √9 =.3; De aceea

√-4 = + 2i , √-9 = ± 3 i

Dacă mai devreme, când luăm în considerare ecuațiile pătratice cu discriminanți negativi, spuneam că astfel de ecuații nu au rădăcini, acum nu mai putem spune asta. Ecuațiile cuadratice cu discriminanți negativi au rădăcini complexe. Aceste rădăcini se obțin după formulele cunoscute nouă. Să fie dată, de exemplu, ecuația x 2 + 2X + 5 = 0; Apoi

X 1.2 = - 1 ± √1 -5 = - 1 ± √-4 = - 1 ± 2 i .

Deci, această ecuație are două rădăcini: X 1 = - 1 +2i , X 2 = - 1 - 2i . Aceste rădăcini se conjugă reciproc. Este interesant de observat că suma lor este - 2, iar produsul lor este 5, așa că teorema lui Vieta este valabilă.

Exerciții

2022. (Setul nr.) Rezolvați ecuațiile:

O) x 2 = - 16; b) x 2 = - 2; c) 3 x 2 = - 5.

2023. Aflați toate numerele complexe ale căror pătrate sunt egale:

O) i ; b) 1 / 2 - √ 3 / 2 i ;

2024. Rezolvați ecuații pătratice:

O) x 2 - 2x + 2 = 0; b) 4 x 2 + 4x + 5 = 0; V) x 2 - 14x + 74 = 0.

Rezolvarea sistemelor de ecuații (Nr. 2025, 2026):

2027. Demonstrați că rădăcinile unei ecuații pătratice cu coeficienți reali și un discriminant negativ se conjugă reciproc.

2028. Demonstrați că teorema lui Vieta este adevărată pentru orice ecuație pătratică, și nu doar pentru ecuațiile cu un discriminant nenegativ.

2029. Compuneți o ecuație pătratică cu coeficienți reali, ale căror rădăcini sunt:

o) X 1 = 5 - i , X 2 = 5 + i ; b) X 1 = 3i , X 2 = - 3i .

2030. Compuneți o ecuație pătratică cu coeficienți reali, una dintre rădăcinile căreia este egală cu (3 - i ) (2i - 4).

2031. Compuneți o ecuație pătratică cu coeficienți reali, una dintre rădăcinile căreia este egală cu 32 - i
1- 3i .

Dintre întregul curriculum de algebră școlară, una dintre cele mai extinse subiecte este tema ecuațiilor pătratice. În acest caz, o ecuație pătratică este înțeleasă ca o ecuație de forma ax 2 + bx + c = 0, unde a ≠ 0 (se citește: a înmulțit cu x pătrat plus be x plus ce este egal cu zero, unde a nu este egal cu zero). În acest caz, locul principal este ocupat de formulele pentru găsirea discriminantului unei ecuații pătratice de tipul specificat, care este înțeleasă ca o expresie care permite determinarea prezenței sau absenței rădăcinilor unei ecuații pătratice, precum și a acestora. număr (dacă există).

Formula (ecuația) discriminantului unei ecuații pătratice

Formula general acceptată pentru discriminantul unei ecuații pătratice este următoarea: D = b 2 – 4ac. Prin calcularea discriminantului folosind formula specificată, puteți nu numai să determinați prezența și numărul de rădăcini ale unei ecuații pătratice, ci și să alegeți o metodă pentru găsirea acestor rădăcini, dintre care există mai multe în funcție de tipul de ecuație pătratică.

Ce înseamnă dacă discriminantul este zero \ Formula pentru rădăcinile unei ecuații pătratice dacă discriminantul este zero

Discriminantul, după cum reiese din formulă, este notat cu litera latină D. În cazul în care discriminantul este egal cu zero, trebuie concluzionat că o ecuație pătratică de forma ax 2 + bx + c = 0, unde a ≠ 0, are o singură rădăcină, care se calculează prin formulă simplificată. Această formulă se aplică numai atunci când discriminantul este zero și arată astfel: x = –b/2a, unde x este rădăcina ecuației pătratice, b și a sunt variabilele corespunzătoare ale ecuației pătratice. Pentru a găsi rădăcina unei ecuații pătratice, trebuie să împărțiți valoarea negativă a variabilei b la de două ori valoarea variabilei a. Expresia rezultată va fi soluția unei ecuații pătratice.

Rezolvarea unei ecuații pătratice folosind un discriminant

Dacă, atunci când se calculează discriminantul folosind formula de mai sus, se dovedește valoare pozitivă(D este mai mare decât zero), atunci ecuația pătratică are două rădăcini, care se calculează folosind următoarele formule: x 1 = (–b + vD)/2a, x 2 = (–b – vD)/2a. Cel mai adesea, discriminantul nu este calculat separat, dar expresia radicală sub forma formulei discriminante este pur și simplu substituită în valoarea D din care este extrasă rădăcina. Dacă variabila b are o valoare pară, atunci pentru a calcula rădăcinile unei ecuații pătratice de forma ax 2 + bx + c = 0, unde a ≠ 0, puteți utiliza și următoarele formule: x 1 = (–k + v(k2 – ac))/a , x 2 = (–k + v(k2 – ac))/a, unde k = b/2.

În unele cazuri, pentru a rezolva practic ecuații pătratice, puteți folosi Teorema lui Vieta, care afirmă că pentru suma rădăcinilor unei ecuații pătratice de forma x 2 + px + q = 0 valoarea x 1 + x 2 = –p va fi adevărată, iar pentru produsul rădăcinilor ecuației specificate – expresia x 1 x x 2 = q.

Poate discriminantul să fie mai mic decât zero?

La calcularea valorii discriminantei, puteți întâlni o situație care nu se încadrează în niciunul dintre cazurile descrise - când discriminantul are o valoare negativă (adică mai mică de zero). În acest caz, se acceptă în general că o ecuație pătratică de forma ax 2 + bx + c = 0, unde a ≠ 0, nu are rădăcini reale, prin urmare, soluția ei se va limita la calcularea discriminantului, iar formulele de mai sus pentru rădăcinile ecuației pătratice în în acest caz, nu vor fi aplicate. În același timp, în răspunsul la ecuația pătratică este scris că „ecuația nu are rădăcini reale”.

Video explicativ: