Rezumat. Prezentare

Este dată definiția unei secvențe numerice. Sunt luate în considerare exemple de secvențe infinit crescătoare, convergente și divergente. Se consideră o succesiune care conține toate numerele raționale.

Definiție .
Succesiunea numerică (xn) este o lege (regulă) conform căreia, pentru fiecare număr natural n = 1, 2, 3, . . . se atribuie un anumit număr x n.
Elementul x n este numit al n-lea termen sau un element al unei secvențe.

Secvența este notată ca al n-lea termen cuprins între acolade: . De asemenea, sunt posibile următoarele denumiri: . Ele indică în mod explicit că indicele n aparține mulțimii numerelor naturale și secvența în sine are
, , .

număr infinit membrii. Iată câteva exemple de secvențe: Cu alte cuvinte, o secvență de numere este o funcție al cărei domeniu de definiție este mulțimea numerelor naturale. Numărul de elemente ale secvenței este infinit. Printre elemente pot fi, de asemenea, membri care au

aceleasi valori

. De asemenea, o secvență poate fi considerată ca un set numerotat de numere format dintr-un număr infinit de membri.

Ne va interesa în principal întrebarea cum se comportă secvențele atunci când n tinde spre infinit: .

Acest material este prezentat în secțiunea Limita unei secvențe - teoreme și proprietăți de bază. Aici ne vom uita la câteva exemple de secvențe.
.
Exemple de secvențe Exemple de secvențe infinit crescătoare Luați în considerare succesiunea.

Membrul comun al acestei secvențe este .
.
Să scriem primii termeni:

Se poate observa că pe măsură ce numărul n crește, elementele cresc la nesfârșit spre

valori pozitive
.
. Putem spune că această succesiune tinde spre: pentru . = 0 : la . Deci, fiecare termen ulterior este mai aproape de zero decât cel anterior. Într-un fel, putem considera că există o valoare aproximativă pentru numărul a = 0 cu eroare. > 0 Este clar că pe măsură ce n crește, această eroare tinde spre zero, adică prin alegerea lui n, eroarea poate fi făcută cât se dorește. Mai mult, pentru orice eroare dată ε

puteți specifica un număr N astfel încât pentru toate elementele cu numere mai mari decât N:, abaterea numărului de la valoarea limită a să nu depășească eroarea ε:.
.
Apoi, luați în considerare succesiunea. = 0 Membrul ei comun.
.
Iată câțiva dintre primii săi membri: > 0 În această secvență, termenii cu numere pare sunt egali cu zero. Termenii cu n impar sunt egali. = 0 Prin urmare, pe măsură ce n crește, valorile lor se apropie de valoarea limită a = 0 .

Acest lucru rezultă și din faptul că

La fel ca în exemplul anterior, putem specifica o eroare ε arbitrar mică

, pentru care este posibil să se găsească un număr N astfel încât elementele cu numere mai mari decât N se vor abate de la valoarea limită a

.
cu o sumă care nu depășește eroarea specificată. Prin urmare, această secvență converge către valoarea a
,
: la . 1 = 0 Exemple de secvențe divergente
,
: la . 2 = 2 Luați în considerare o succesiune cu următorul termen comun:

Iată primii săi membri:

Se poate observa că termenii cu numere pare:
.
converg spre valoarea a
.
.

.
Membri impari:

. (0; 1) Secvența în sine, pe măsură ce n crește, nu converge către nicio valoare. Secvență cu termeni distribuiți în intervalul (0;1)

Acum să ne uităm la o secvență mai interesantă. Să luăm un segment pe linia numerică. Să o împărțim în jumătate. Obținem două segmente. Lasă Să împărțim din nou fiecare dintre segmente în jumătate. Obținem patru segmente. Lasă

Să împărțim din nou fiecare segment în jumătate. Să luăm = 0 Și așa mai departe.
.
= 0 .

Ca rezultat, obținem o succesiune ale cărei elemente sunt distribuite într-un interval deschis = 1 .
.
Indiferent de punctul pe care îl luăm din intervalul închis = 1 .

, putem găsi întotdeauna membri ai secvenței care vor fi în mod arbitrar aproape de acest punct sau vor coincide cu acesta. Apoi din secvența originală se poate selecta o subsecvență care va converge către un punct arbitrar din interval, atunci secvența originală în sine nu converge către niciun număr.

Secvență care conține toate numerele raționale

Acum să construim o secvență care conține toate numerele raționale. Mai mult, fiecare număr rațional va apărea într-o astfel de succesiune de un număr infinit de ori.

Numărul rațional r poate fi reprezentat astfel:
,
unde este un număr întreg; - naturală.
Trebuie să atribuim fiecărui număr natural n unei perechi de numere p și q, astfel încât orice pereche p și q să fie inclusă în succesiunea noastră.

Pentru a face acest lucru, desenați axele p și q pe plan. (0; 0) Desenăm linii de grilă prin valorile întregi ale lui p și q. < 1 Atunci fiecare nod al acestei grile c va corespunde unui număr rațional. Întregul set de numere raționale va fi reprezentat printr-un set de noduri. Trebuie să găsim o modalitate de a numerota toate nodurile, astfel încât să nu pierdem niciun nod. Acest lucru este ușor de făcut dacă numerotați nodurile după pătrate, ale căror centre sunt situate în punct

(vezi poza). În acest caz, părțile inferioare ale pătratelor cu q
.
nu avem nevoie de ea. Prin urmare, ele nu sunt prezentate în figură. Deci, pentru partea superioară a primului pătrat avem:În continuare numărăm

.
partea de sus

.
Membri impari:

următorul pătrat: Numerotăm partea de sus a următorului pătrat:În acest fel obținem o secvență care conține toate numerele raționale. Puteți observa că orice număr rațional apare în această secvență de un număr infinit de ori. Într-adevăr, împreună cu nodul , această secvență va include și noduri , unde -

număr natural

. Dar toate aceste noduri corespund aceluiași număr rațional.

Apoi, din șirul pe care am construit-o, putem selecta o subsecvență (având un număr infinit de elemente), ale cărei elemente sunt toate egale cu un număr rațional predeterminat. Deoarece șirul pe care l-am construit are subsecvențe care converg către numere diferite, șirul nu converge către niciun număr. Concluzie Aici am dat o definiție precisă a secvenței de numere. Am pus și problema convergenței sale, bazată pe idei intuitive.

Definitie exacta convergența este discutată la pagina Determinarea limitei unei secvențe. Proprietățile și teoremele înrudite sunt menționate pe pagină – 1, convergența este discutată la pagina Determinarea limitei unei secvențe. Proprietățile și teoremele înrudite sunt menționate pe pagină,  .

Luați în considerare o serie de numere naturale: 1, 2, 3, , convergența este discutată la pagina Determinarea limitei unei secvențe. Proprietățile și teoremele înrudite sunt menționate pe pagină n Dacă înlocuim fiecare număr natural convergența este discutată la pagina Determinarea limitei unei secvențe. Proprietățile și teoremele înrudite sunt menționate pe paginăîn această serie cu un anumit număr

Dacă înlocuim fiecare număr natural 1 , Dacă înlocuim fiecare număr natural 2 , Dacă înlocuim fiecare număr natural o Dacă înlocuim fiecare număr natural convergența este discutată la pagina Determinarea limitei unei secvențe. Proprietățile și teoremele înrudite sunt menționate pe pagină –1 , Dacă înlocuim fiecare număr natural convergența este discutată la pagina Determinarea limitei unei secvențe. Proprietățile și teoremele înrudite sunt menționate pe pagină , ,

, urmând o lege, obținem o nouă serie de numere: 3, , desemnat și chemat pe scurt Dacă înlocuim fiecare număr natural convergența este discutată la pagina Determinarea limitei unei secvențe. Proprietățile și teoremele înrudite sunt menționate pe pagină se numește membru comun al unei secvențe de numere. De obicei, succesiunea de numere este dată de o formulă Dacă înlocuim fiecare număr natural convergența este discutată la pagina Determinarea limitei unei secvențe. Proprietățile și teoremele înrudite sunt menționate pe pagină = f(convergența este discutată la pagina Determinarea limitei unei secvențe. Proprietățile și teoremele înrudite sunt menționate pe pagină) permițându-vă să găsiți orice membru al secvenței după numărul său convergența este discutată la pagina Determinarea limitei unei secvențe. Proprietățile și teoremele înrudite sunt menționate pe pagină; această formulă se numește termen general formulă. Rețineți că nu este întotdeauna posibilă definirea unei secvențe numerice folosind o formulă generală a termenului; uneori o secvenţă este specificată prin descrierea membrilor săi.

Prin definiție, o secvență conține întotdeauna un număr infinit de elemente: oricare două elemente diferite diferă cel puțin prin numărul lor, dintre care există infinit multe.

O secvență de numere este un caz special al unei funcții. O secvență este o funcție definită pe mulțimea numerelor naturale și care ia valori în mulțimea numerelor reale, adică o funcție de forma f : N  R.

Urmare
numit crescând(în scădere), dacă pentru vreunul convergența este discutată la pagina Determinarea limitei unei secvențe. Proprietățile și teoremele înrudite sunt menționate pe pagină  N
Astfel de secvențe sunt numite strict monoton.

Uneori este convenabil să folosiți nu toate numerele naturale ca numere, ci doar unele dintre ele (de exemplu, numere naturale care pornesc de la un număr natural). convergența este discutată la pagina Determinarea limitei unei secvențe. Proprietățile și teoremele înrudite sunt menționate pe pagină 0). Pentru numerotare este, de asemenea, posibil să folosiți nu numai numere naturale, ci și alte numere, de exemplu, convergența este discutată la pagina Determinarea limitei unei secvențe. Proprietățile și teoremele înrudite sunt menționate pe pagină= 0, 1, 2,  (aici zero se adaugă ca un alt număr la mulțimea numerelor naturale). În astfel de cazuri, atunci când specificați secvența, indicați ce valori iau numerele convergența este discutată la pagina Determinarea limitei unei secvențe. Proprietățile și teoremele înrudite sunt menționate pe pagină.

Dacă într-o anumită secvență pentru oricare convergența este discutată la pagina Determinarea limitei unei secvențe. Proprietățile și teoremele înrudite sunt menționate pe pagină  N
atunci secvența este numită nedescrescătoare(necrescătoare). Astfel de secvențe sunt numite monoton.

Exemplul 1 . Secvența de numere 1, 2, 3, 4, 5, ... este o serie de numere naturale și are un termen comun Dacă înlocuim fiecare număr natural convergența este discutată la pagina Determinarea limitei unei secvențe. Proprietățile și teoremele înrudite sunt menționate pe pagină = convergența este discutată la pagina Determinarea limitei unei secvențe. Proprietățile și teoremele înrudite sunt menționate pe pagină.

Exemplul 2 . Secvența de numere 2, 4, 6, 8, 10, ... este o serie de numere pare și are un termen comun Dacă înlocuim fiecare număr natural convergența este discutată la pagina Determinarea limitei unei secvențe. Proprietățile și teoremele înrudite sunt menționate pe pagină = 2convergența este discutată la pagina Determinarea limitei unei secvențe. Proprietățile și teoremele înrudite sunt menționate pe pagină.

Exemplul 3 . 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, … – o succesiune numerică de valori aproximative cu o precizie crescândă.

În ultimul exemplu este imposibil să se dea o formulă pentru termenul general al șirului.

Exemplul 4 . Scrieți primii 5 termeni ai unei secvențe de numere folosind termenul său comun
. Pentru a calcula Dacă înlocuim fiecare număr natural 1 este necesar în formula pentru termenul general Dacă înlocuim fiecare număr natural convergența este discutată la pagina Determinarea limitei unei secvențe. Proprietățile și teoremele înrudite sunt menționate pe paginăîn loc de convergența este discutată la pagina Determinarea limitei unei secvențe. Proprietățile și teoremele înrudite sunt menționate pe paginăînlocuiți 1 pentru a calcula Dacă înlocuim fiecare număr natural 2 − 2 etc. Atunci avem:

Testul 6 . Membrul comun al secvenței 1, 2, 6, 24, 120,  este:

Testul 7 .
este:

Testul 8 . Membru comun al secvenței
este:

Limită de secvență de numere

Luați în considerare o secvență de numere al cărei termen comun se apropie de un anumit număr O când numărul de serie crește convergența este discutată la pagina Determinarea limitei unei secvențe. Proprietățile și teoremele înrudite sunt menționate pe pagină. În acest caz, se spune că secvența de numere are o limită. Acest concept are o definiție mai strictă.

Număr O numită limita unei secvențe de numere
:

(1)

dacă pentru orice  > 0 există un astfel de număr convergența este discutată la pagina Determinarea limitei unei secvențe. Proprietățile și teoremele înrudite sunt menționate pe pagină 0 = convergența este discutată la pagina Determinarea limitei unei secvențe. Proprietățile și teoremele înrudite sunt menționate pe pagină 0 (), în funcție de , care
la convergența este discutată la pagina Determinarea limitei unei secvențe. Proprietățile și teoremele înrudite sunt menționate pe pagină > convergența este discutată la pagina Determinarea limitei unei secvențe. Proprietățile și teoremele înrudite sunt menționate pe pagină 0 .

Această definiție înseamnă că O există o limită a unei secvențe de numere dacă termenul ei comun se apropie fără limită O cu creşterea convergența este discutată la pagina Determinarea limitei unei secvențe. Proprietățile și teoremele înrudite sunt menționate pe pagină. Geometric, aceasta înseamnă că pentru orice  > 0 se poate găsi un astfel de număr convergența este discutată la pagina Determinarea limitei unei secvențe. Proprietățile și teoremele înrudite sunt menționate pe pagină 0 , care, începând de la convergența este discutată la pagina Determinarea limitei unei secvențe. Proprietățile și teoremele înrudite sunt menționate pe pagină > convergența este discutată la pagina Determinarea limitei unei secvențe. Proprietățile și teoremele înrudite sunt menționate pe pagină 0 , toți membrii secvenței sunt localizați în intervalul ( O – , O+ ). Se numește o secvență care are o limită convergent; altfel - divergente.

O succesiune de numere poate avea o singură limită (finită sau infinită) a unui anumit semn.

Exemplul 5 . Secvență armonică are numărul limită 0. Într-adevăr, pentru orice interval (–; +) ca număr N 0 poate fi orice număr întreg mai mare decât . Apoi pentru toată lumea convergența este discutată la pagina Determinarea limitei unei secvențe. Proprietățile și teoremele înrudite sunt menționate pe pagină > convergența este discutată la pagina Determinarea limitei unei secvențe. Proprietățile și teoremele înrudite sunt menționate pe pagină 0 > avem

Exemplul 6 . Sirul 2, 5, 2, 5,  este divergent. Într-adevăr, niciun interval de lungime mai mic decât, de exemplu, unul, nu poate conține toți membrii secvenței, începând de la un anumit număr.

Secvența este numită limitat, dacă un astfel de număr există M, Ce
pentru toată lumea convergența este discutată la pagina Determinarea limitei unei secvențe. Proprietățile și teoremele înrudite sunt menționate pe pagină. Fiecare succesiune convergentă este mărginită. Fiecare succesiune monotonă și mărginită are o limită. Fiecare succesiune convergentă are o limită unică.

Exemplul 7 . Urmare
este în creștere și limitată. Ea are o limită
=e.

Număr e numit numărul lui Eulerși aproximativ egal cu 2,718 28.

Testul 9 . Secvența 1, 4, 9, 16,  este:

1) convergent;

2) divergente;

3) limitat;

Testul 10 . Urmare
este:

1) convergent;

2) divergente;

3) limitat;

4) progresie aritmetică;

5) progresie geometrică.

Testul 11 . Urmare nu este:

1) convergent;

2) divergente;

3) limitat;

4) armonică.

Test 12 . Limita unei secvențe date de un termen comun
egal.

Vida y= f(x), x DESPRE N, Unde N– o mulțime de numere naturale (sau o funcție a unui argument natural), notate y=f(convergența este discutată la pagina Determinarea limitei unei secvențe. Proprietățile și teoremele înrudite sunt menționate pe pagină) sau y 1 ,y 2 ,…, y n,…. Valori y 1 ,y 2 ,y 3 ,… se numesc respectiv primul, al doilea, al treilea, ... membrii secvenţei.

De exemplu, pentru funcție y= convergența este discutată la pagina Determinarea limitei unei secvențe. Proprietățile și teoremele înrudite sunt menționate pe pagină 2 se poate scrie:

y 1 = 1 2 = 1;

y 2 = 2 2 = 4;

y 3 = 3 2 = 9;…y n = n 2 ;…

Metode de specificare a secvențelor. Se pot specifica secvențe în diverse moduri, printre care trei sunt deosebit de importante: analitice, descriptive și recurente.

1. O secvență este dată analitic dacă este dată formula ei convergența este discutată la pagina Determinarea limitei unei secvențe. Proprietățile și teoremele înrudite sunt menționate pe pagină al-lea membru:

y n=f(convergența este discutată la pagina Determinarea limitei unei secvențe. Proprietățile și teoremele înrudite sunt menționate pe pagină).

Exemplu. y n= 2n – 1 – succesiune de numere impare: 1, 3, 5, 7, 9, …

2. Descriptiv Modul de a specifica o secvență numerică este de a explica din ce elemente este construită secvența.

Exemplul 1. „Toți termenii secvenței sunt egali cu 1.” Aceasta înseamnă că vorbim despre o secvență staționară 1, 1, 1, …, 1, ….

Exemplul 2. „O secvență este formată din toate numere primeîn ordine crescătoare”. Astfel, succesiunea dată este 2, 3, 5, 7, 11, …. Cu această metodă de specificare a secvenței din acest exemplu, este dificil să răspundem cu ce, să zicem, este egal cu al 1000-lea element al secvenței.

3. Metoda recurentă de a specifica o secvență este de a specifica o regulă care vă permite să calculați convergența este discutată la pagina Determinarea limitei unei secvențe. Proprietățile și teoremele înrudite sunt menționate pe pagină-al-lea membru al unei secvențe dacă membrii ei anteriori sunt cunoscuți. Denumirea de metodă recurentă provine din cuvântul latin recurent- întoarce-te. Cel mai adesea, în astfel de cazuri, este indicată o formulă care permite exprimarea convergența este discutată la pagina Determinarea limitei unei secvențe. Proprietățile și teoremele înrudite sunt menționate pe pagină al-lea membru al secvenței prin cele anterioare și specificați 1–2 membri inițiali ai secvenței.

Exemplul 1. y 1 = 3; y n = y n–1 + 4 dacă n = 2, 3, 4,….

Aici y 1 = 3; y 2 = 3 + 4 = 7;y 3 = 7 + 4 = 11; ….

Puteți observa că secvența obținută în acest exemplu poate fi specificată și analitic: y n= 4n – 1.

Exemplul 2. y 1 = 1; y 2 = 1; y n = y n –2 + y n–1 dacă convergența este discutată la pagina Determinarea limitei unei secvențe. Proprietățile și teoremele înrudite sunt menționate pe pagină = 3, 4,….

Aici: y 1 = 1; y 2 = 1; y 3 = 1 + 1 = 2; y 4 = 1 + 2 = 3; y 5 = 2 + 3 = 5; y 6 = 3 + 5 = 8;

Secvența compusă în acest exemplu este studiată special în matematică, deoarece are un număr de proprietăți interesanteși aplicații. Se numește șirul Fibonacci, numit după matematicianul italian din secolul al XIII-lea. Este foarte ușor să definiți secvența Fibonacci în mod recurent, dar foarte dificil din punct de vedere analitic. convergența este discutată la pagina Determinarea limitei unei secvențe. Proprietățile și teoremele înrudite sunt menționate pe pagină Al-lea număr Fibonacci este exprimat prin numărul său de serie prin următoarea formulă.

La prima vedere, formula pentru convergența este discutată la pagina Determinarea limitei unei secvențe. Proprietățile și teoremele înrudite sunt menționate pe pagină al-lea număr Fibonacci pare neplauzibil, deoarece formula care specifică succesiunea numerelor naturale conține numai rădăcini pătrate, dar puteți verifica „manual” validitatea acestei formule pentru primele câteva convergența este discutată la pagina Determinarea limitei unei secvențe. Proprietățile și teoremele înrudite sunt menționate pe pagină.

Proprietățile secvențelor de numere.

secvență de numere - caz special funcție numerică, prin urmare o serie de proprietăți ale funcțiilor sunt luate în considerare și pentru secvențe.

Definiţie . Urmare ( y n} se numește crescător dacă fiecare dintre termenii săi (cu excepția primului) este mai mare decât cel anterior:

y 1 y 2 y 3 y n y n +1

Definiție.Secvență ( y n} se numește descrescător dacă fiecare dintre termenii săi (cu excepția primului) este mai mic decât cel anterior:

y 1 > y 2 > y 3 > … > y n> y n +1 > … .

Secvențele crescătoare și descrescătoare sunt combinate sub termenul comun - secvențe monotone.

Exemplul 1. y 1 = 1; y n= convergența este discutată la pagina Determinarea limitei unei secvențe. Proprietățile și teoremele înrudite sunt menționate pe pagină 2 – succesiune crescătoare.

Astfel, următoarea teoremă este adevărată (o proprietate caracteristică a unei progresii aritmetice). O secvență de numere este aritmetică dacă și numai dacă fiecare dintre membrii săi, cu excepția primului (și ultimului în cazul unei secvențe finite), este egal cu media aritmetică a membrilor anterior și următor.

Exemplu. La ce valoare x numerele 3 x + 2, 5x– 4 și 11 x+ 12 formează o progresie aritmetică finită?

După proprietatea caracteristică, expresiile date trebuie să satisfacă relația

5x – 4 = ((3x + 2) + (11x + 12))/2.

Rezolvarea acestei ecuații dă x= –5,5. La această valoare x expresii date 3 x + 2, 5x– 4 și 11 x+ 12 iau, respectiv, valorile –14,5, –31,5, –48,5. Aceasta este o progresie aritmetică, diferența sa este –17.

Progresie geometrică.

O succesiune numerica, ai carei termeni sunt diferiti de zero si fiecare dintre ai carei termeni, incepand cu al doilea, se obtine din termenul anterior prin inmultirea cu acelasi numar q, se numește progresie geometrică, iar numărul q- numitorul unei progresii geometrice.

Astfel, o progresie geometrică este o succesiune de numere ( b n), definită recursiv prin relații

b 1 = b, b n = b n –1 q (convergența este discutată la pagina Determinarea limitei unei secvențe. Proprietățile și teoremele înrudite sunt menționate pe pagină = 2, 3, 4…).

(bŞi q – numere date, b ≠ 0, q ≠ 0).

Exemplul 1. 2, 6, 18, 54, ... – progresie geometrică crescătoare b = 2, q = 3.

Exemplul 2. 2, –2, 2, –2, … – progresie geometrică b= 2,q= –1.

Exemplul 3. 8, 8, 8, 8, … – progresie geometrică b= 8, q= 1.

O progresie geometrică este o succesiune crescătoare dacă b 1 > 0, q> 1 și descrescătoare dacă b 1 > 0, 0 q

Una dintre proprietățile evidente ale unei progresii geometrice este că, dacă succesiunea este o progresie geometrică, atunci la fel este și șirul de pătrate, adică.

b 1 2 , b 2 2 , b 3 2 , …, b n 2,... este o progresie geometrică al cărei prim termen este egal cu b 1 2 , iar numitorul este q 2 .

Formula n- al treilea termen al progresiei geometrice are forma

b n= b 1 qn– 1 .

Puteți obține o formulă pentru suma termenilor unei progresii geometrice finite.

Să fie dată o progresie geometrică finită

b 1 ,b 2 ,b 3 , …, b n

lasa S n – suma membrilor săi, adică

S n= b 1 + b 2 + b 3 + … +b n.

Se accepta ca q Nr. 1. A determina S n se foloseşte o tehnică artificială: se realizează unele transformări geometrice ale expresiei S n q.

S n q = (b 1 + b 2 + b 3 + … + b n –1 + b n)q = b 2 + b 3 + b 4 + …+ b n+ b n q = S n+ b n q– b 1 .

Astfel, S n q= S n +b n q – b 1 și deci

Aceasta este formula cu umma n termeni de progresie geometrică pentru cazul când q≠ 1.

La q= 1 formula nu trebuie derivată separat este evident că în acest caz S n= Dacă înlocuim fiecare număr natural 1 convergența este discutată la pagina Determinarea limitei unei secvențe. Proprietățile și teoremele înrudite sunt menționate pe pagină.

Progresia se numește geometrică deoarece fiecare termen din ea, cu excepția primului, este egal cu media geometrică a termenilor anteriori și următori. Într-adevăr, din moment ce

bn=bn- 1 q;

bn = bn+ 1 /q,

prin urmare, b n 2=bn– 1 bn+ 1 și următoarea teoremă este adevărată (o proprietate caracteristică a unei progresii geometrice):

o secvență de numere este o progresie geometrică dacă și numai dacă pătratul fiecăruia dintre termenii săi, cu excepția primului (și ultimul în cazul unei secvențe finite), este egal cu produsul termenilor anterior și următor.

Limită de consistență.

Să fie o secvență ( c n} = {1/convergența este discutată la pagina Determinarea limitei unei secvențe. Proprietățile și teoremele înrudite sunt menționate pe pagină}. Această secvență se numește armonică, deoarece fiecare dintre termenii săi, începând cu al doilea, este media armonică dintre termenii anteriori și următorii. Media geometrică a numerelor Dacă înlocuim fiecare număr naturalŞi b există un număr

În caz contrar, succesiunea se numește divergentă.

Pe baza acestei definiții, se poate demonstra, de exemplu, existența unei limite A=0 pentru secvența armonică ( c n} = {1/convergența este discutată la pagina Determinarea limitei unei secvențe. Proprietățile și teoremele înrudite sunt menționate pe pagină). Fie ε un număr pozitiv arbitrar mic. Se ia în considerare diferența

Așa ceva există? N asta e pentru toata lumea n ≥ N inegalitatea 1 este valabilă /N ? Dacă o luăm ca N orice număr natural mai mare decât 1/ε , apoi pentru toată lumea n ≥ N inegalitatea 1 este valabilă /n ≤ 1/N ε , Q.E.D.

Demonstrarea prezenței unei limite pentru o anumită secvență poate fi uneori foarte dificilă. Secvențele care apar cel mai frecvent sunt bine studiate și sunt enumerate în cărțile de referință. Există teoreme importante care vă permit să concluzionați că o anumită secvență are o limită (și chiar să o calculați), pe baza unor secvențe deja studiate.

Teorema 1. Dacă o secvență are o limită, atunci este mărginită.

Teorema 2. Dacă o secvență este monotonă și mărginită, atunci are o limită.

Teorema 3. Dacă șirul ( un n} are o limită O, apoi secvențele ( ca n}, {un n+ c) și (| un n|} au limite cA, O +c, |O| în consecință (aici c– număr arbitrar).

Teorema 4. Dacă șirurile ( un n} Și ( b n) au limite egale cu OŞi B pa n + qbn) are o limită pA+ qB.

Teorema 5. Dacă șirurile ( un n) Și ( b n)au limite egale cu OŞi Bîn consecință, apoi secvența ( a n b n) are o limită AB.

Teorema 6. Dacă șirurile ( un n} Și ( b n) au limite egale cu OŞi Bîn consecință și, în plus, b n ≠ 0 și B≠ 0, apoi secvența ( un n/b n) are o limită A/B.

Anna Chugainova

Secvența de numere și limita ei reprezintă una dintre cele mai importante probleme ale matematicii de-a lungul istoriei acestei științe. Cunoștințe actualizate constant, noi teoreme și dovezi formulate - toate acestea ne permit să luăm în considerare acest concept din pozitii noi si sub diferite

O secvență de numere, conform uneia dintre cele mai comune definiții, este o funcție matematică, a cărei bază este un set de numere naturale aranjate după unul sau altul.

Există mai multe opțiuni pentru a crea secvențe de numere.

În primul rând, această funcție poate fi specificată în așa-numitul mod „explicit”, atunci când există o anumită formulă cu ajutorul căreia fiecare dintre membrii săi poate fi determinat prin simpla înlocuire a unui număr de serie într-o secvență dată.

A doua metodă se numește „recurente”. Esența sa este că sunt specificați primii termeni ai unei secvențe numerice, precum și o formulă recurentă specială, cu ajutorul căreia, cunoscând termenul anterior, îl puteți găsi pe următorul.

În sfârșit, cel mai general mod de a specifica secvențele este așa-numitul, în care fără prea multe dificultăți poți nu numai să identifici unul sau altul membru sub un anumit număr de serie, dar și, cunoscând mai mulți membri consecutivi, se ajunge la o formulă generală pentru un funcţie dată.

Secvența de numere poate fi în scădere sau în creștere. În primul caz, fiecare membru ulterior este mai mic decât cel anterior, iar în al doilea, dimpotrivă, este mai mare.

Având în vedere acest subiect, nu se poate să nu atingă problema limitelor secvențelor. Limita unei secvențe este un număr atunci când pentru orice valoare, inclusiv o infinitezimală, există un număr ordinal după care abaterea membrilor succesivi ai șirului de la punct datîn formă numerică devine mai mică decât valoarea specificată în timpul formării acestei funcţii.

Conceptul de limită a unei secvențe numerice este utilizat în mod activ atunci când se efectuează anumite calcule integrale și diferențiale.

Secvențele matematice au un întreg set de proprietăți destul de interesante.

În primul rând, orice succesiune de numere este un exemplu de funcție matematică, prin urmare, acele proprietăți care sunt caracteristice funcțiilor pot fi aplicate în siguranță la secvențe. Cel mai frapant exemplu de astfel de proprietăți este furnizarea de serii aritmetice crescătoare și descrescătoare, care sunt unite printr-o singură concept general- secvenţe monotone.

În al doilea rând, există un grup destul de mare de secvențe care nu pot fi clasificate nici ca fiind crescătoare sau descrescătoare - acestea sunt secvențe periodice. În matematică, ele sunt considerate de obicei acele funcții în care există așa-numita lungime a perioadei, adică de la un anumit moment (n) începe să se aplice următoarea egalitate y n = y n+T, unde T va fi chiar durata perioadei.

De exemplu, pentru funcție y= convergența este discutată la pagina Determinarea limitei unei secvențe. Proprietățile și teoremele înrudite sunt menționate pe pagină 2 se poate scrie:

y 1 = 1 2 = 1;

y 2 = 2 2 = 4;

y 3 = 3 2 = 9;…y n = n 2 ;…

Metode de specificare a secvențelor. Secvențele pot fi specificate în diverse moduri, dintre care trei sunt deosebit de importante: analitice, descriptive și recurente.

y n=f(convergența este discutată la pagina Determinarea limitei unei secvențe. Proprietățile și teoremele înrudite sunt menționate pe pagină).

Exemplu. y n= 2n – 1 – succesiune de numere impare: 1, 3, 5, 7, 9, …

2. Descriptiv Modul de a specifica o secvență numerică este de a explica din ce elemente este construită secvența.

Exemplul 1. „Toți termenii secvenței sunt egali cu 1.” Aceasta înseamnă că vorbim despre o secvență staționară 1, 1, 1, …, 1, ….

Exemplul 2: „Secvența constă din toate numerele prime în ordine crescătoare.” Astfel, succesiunea dată este 2, 3, 5, 7, 11, …. Cu această metodă de specificare a secvenței din acest exemplu, este dificil să răspundem cu ce, să zicem, este egal cu al 1000-lea element al secvenței.

Exemplul 1. y 1 = 3; y n = y n–1 + 4 dacă n = 2, 3, 4,….

Aici y 1 = 3; y 2 = 3 + 4 = 7;y 3 = 7 + 4 = 11; ….

Puteți observa că secvența obținută în acest exemplu poate fi specificată și analitic: y n= 4n – 1.

Aici: y 1 = 1; y 2 = 1; y 3 = 1 + 1 = 2; y 4 = 1 + 2 = 3; y 5 = 2 + 3 = 5; y 6 = 3 + 5 = 8;

Secvența din acest exemplu este studiată în special în matematică deoarece are o serie de proprietăți și aplicații interesante. Se numește șirul Fibonacci, numit după matematicianul italian din secolul al XIII-lea. Este foarte ușor să definiți secvența Fibonacci în mod recurent, dar foarte dificil din punct de vedere analitic. convergența este discutată la pagina Determinarea limitei unei secvențe. Proprietățile și teoremele înrudite sunt menționate pe pagină Al-lea număr Fibonacci este exprimat prin numărul său de serie prin următoarea formulă.

La prima vedere, formula pentru convergența este discutată la pagina Determinarea limitei unei secvențe. Proprietățile și teoremele înrudite sunt menționate pe pagină al-lea număr Fibonacci pare neplauzibil, deoarece formula care specifică succesiunea numerelor naturale conține doar rădăcini pătrate, dar puteți verifica „manual” validitatea acestei formule pentru primele câteva convergența este discutată la pagina Determinarea limitei unei secvențe. Proprietățile și teoremele înrudite sunt menționate pe pagină.

Proprietățile secvențelor de numere.

O secvență numerică este un caz special al unei funcții numerice, prin urmare o serie de proprietăți ale funcțiilor sunt de asemenea luate în considerare pentru secvențe.

Definiţie . Urmare ( y n} se numește crescător dacă fiecare dintre termenii săi (cu excepția primului) este mai mare decât cel anterior:

y 1 y 2 y 3 y n y n +1

Definiție.Secvență ( y n} se numește descrescător dacă fiecare dintre termenii săi (cu excepția primului) este mai mic decât cel anterior:

y 1 > y 2 > y 3 > … > y n> y n +1 > … .

Secvențele crescătoare și descrescătoare sunt combinate sub termenul comun - secvențe monotone.

Exemplu. La ce valoare x numerele 3 x + 2, 5x– 4 și 11 x+ 12 formează o progresie aritmetică finită?

După proprietatea caracteristică, expresiile date trebuie să satisfacă relația

5x – 4 = ((3x + 2) + (11x + 12))/2.

Progresie geometrică.

Astfel, o progresie geometrică este o succesiune de numere ( b n), definită recursiv prin relații

b 1 = b, b n = b n –1 q (convergența este discutată la pagina Determinarea limitei unei secvențe. Proprietățile și teoremele înrudite sunt menționate pe pagină = 2, 3, 4…).

(bŞi q – numere date, b ≠ 0, q ≠ 0).

Exemplul 1. 2, 6, 18, 54, ... – progresie geometrică crescătoare b = 2, q = 3.

Exemplul 2. 2, –2, 2, –2, … – progresie geometrică b= 2,q= –1.

Exemplul 3. 8, 8, 8, 8, … – progresie geometrică b= 8, q= 1.

O progresie geometrică este o succesiune crescătoare dacă b 1 > 0, q> 1 și descrescătoare dacă b 1 > 0, 0 q

Una dintre proprietățile evidente ale unei progresii geometrice este că, dacă succesiunea este o progresie geometrică, atunci la fel este și șirul de pătrate, adică.

b 1 2 , b 2 2 , b 3 2 , …, b n 2,... este o progresie geometrică al cărei prim termen este egal cu b 1 2 , iar numitorul este q 2 .

Formula n- al treilea termen al progresiei geometrice are forma

b n= b 1 qn– 1 .

Puteți obține o formulă pentru suma termenilor unei progresii geometrice finite.

Să fie dată o progresie geometrică finită

b 1 ,b 2 ,b 3 , …, b n

lasa S n – suma membrilor săi, adică

S n= b 1 + b 2 + b 3 + … +b n.

Se accepta ca q Nr. 1. A determina S n se foloseşte o tehnică artificială: se realizează unele transformări geometrice ale expresiei S n q.

S n q = (b 1 + b 2 + b 3 + … + b n –1 + b n)q = b 2 + b 3 + b 4 + …+ b n+ b n q = S n+ b n q– b 1 .

Astfel, S n q= S n +b n q – b 1 și deci

Aceasta este formula cu umma n termeni de progresie geometrică pentru cazul când q≠ 1.

Progresia se numește geometrică deoarece fiecare termen din ea, cu excepția primului, este egal cu media geometrică a termenilor anteriori și următori. Într-adevăr, din moment ce

bn=bn- 1 q;

bn = bn+ 1 /q,

prin urmare, b n 2=bn– 1 bn+ 1 și următoarea teoremă este adevărată (o proprietate caracteristică a unei progresii geometrice):

Limită de consistență.

În caz contrar, succesiunea se numește divergentă.

Teorema 1. Dacă o secvență are o limită, atunci este mărginită.

Teorema 2. Dacă o secvență este monotonă și mărginită, atunci are o limită.

Teorema 3. Dacă șirul ( un n} are o limită O, apoi secvențele ( ca n}, {un n+ c) și (| un n|} au limite cA, O +c, |O| în consecință (aici c– număr arbitrar).

Teorema 4. Dacă șirurile ( un n} Și ( b n) au limite egale cu OŞi B pa n + qbn) are o limită pA+ qB.

Teorema 5. Dacă șirurile ( un n) Și ( b n)au limite egale cu OŞi Bîn consecință, apoi secvența ( a n b n) are o limită AB.

Teorema 6. Dacă șirurile ( un n} Și ( b n) au limite egale cu OŞi Bîn consecință și, în plus, b n ≠ 0 și B≠ 0, apoi secvența ( un n/b n) are o limită A/B.

Anna Chugainova