Raza cercului circumscris unui trapez isoscel este formula. Proprietăți interesante ale trapezului

1. Segmentul care leagă punctele medii ale diagonalelor unui trapez este egal cu jumătate din diferența bazelor
2. Triunghiurile formate din bazele unui trapez și segmentele diagonalelor până la punctul lor de intersecție sunt similare
3. Triunghiuri formate din segmente ale diagonalelor unui trapez, ale căror laturi se află pe laturile laterale ale trapezului - egale ca mărime (au aceeași zonă)
4. Dacă extindeți laturile trapezului spre baza mai mică, atunci acestea se vor intersecta într-un punct cu linia dreaptă care leagă punctele medii ale bazelor
5. Un segment care leagă bazele unui trapez și care trece prin punctul de intersecție al diagonalelor trapezului este împărțit la acest punct într-o proporție egală cu raportul dintre lungimile bazelor trapezului.
6. Un segment paralel cu bazele trapezului și trasat prin punctul de intersecție al diagonalelor este împărțit la jumătate cu acest punct, iar lungimea sa este egală cu 2ab/(a + b), unde a și b sunt bazele trapez

Proprietățile unui segment care leagă punctele medii ale diagonalelor unui trapez

Să conectăm punctele medii ale diagonalelor trapezului ABCD, în urma căruia vom avea un segment LM.
Un segment care leagă punctele medii ale diagonalelor unui trapez se întinde pe linia mediană trapeze.

Acest segment paralel cu bazele trapezului.

Lungimea segmentului care leagă punctele medii ale diagonalelor unui trapez este egală cu jumătate din diferența bazelor sale.

LM = (AD - BC)/2
sau
LM = (a-b)/2

Proprietățile triunghiurilor formate din diagonalele unui trapez

Triunghiuri care sunt formate din bazele unui trapez și punctul de intersecție al diagonalelor trapezului - sunt asemănătoare.
Triunghiurile BOC și AOD sunt similare. Deoarece unghiurile BOC și AOD sunt verticale, ele sunt egale.
Unghiurile OCB și OAD sunt unghiuri interne situate transversal cu drepte paralele AD și BC (bazele trapezului sunt paralele între ele) și o dreaptă secantă AC, prin urmare sunt egale.
Unghiurile OBC și ODA sunt egale din același motiv (în cruce internă).

Deoarece toate cele trei unghiuri ale unui triunghi sunt egale cu unghiurile corespunzătoare ale altui triunghi, atunci aceste triunghiuri sunt similare.

Ce rezultă din asta?

Pentru a rezolva probleme de geometrie, asemănarea triunghiurilor este utilizată după cum urmează. Dacă știm lungimile a două elemente corespondente triunghiuri asemănătoare, atunci găsim coeficientul de asemănare (împărțim unul la altul). De unde lungimile tuturor celorlalte elemente sunt legate între ele prin exact aceeași valoare.

Proprietățile triunghiurilor situate pe partea laterală și diagonalele unui trapez

Luați în considerare două triunghiuri situate pe laturile laterale ale trapezului AB și CD. Acestea sunt triunghiuri AOB și COD. În ciuda faptului că dimensiunile laturilor individuale ale acestor triunghiuri pot fi complet diferite, dar ariile triunghiurilor formate din laturile laterale si punctul de intersectie al diagonalelor trapezului sunt egale, adică triunghiurile sunt egale ca mărime.

Dacă extindem laturile trapezului spre baza mai mică, atunci punctul de intersecție al laturilor va fi coincid cu o linie dreaptă care trece prin mijlocul bazelor.

Astfel, orice trapez poate fi extins într-un triunghi. În acest caz:

• Triunghiurile formate din bazele unui trapez cu un vârf comun în punctul de intersecție al laturilor extinse sunt similare
• Linia dreaptă care leagă punctele medii ale bazelor trapezului este, în același timp, mediana triunghiului construit

Proprietățile unui segment care leagă bazele unui trapez

Dacă desenați un segment ale cărui capete se află pe bazele unui trapez, care se află în punctul de intersecție al diagonalelor trapezului (KN), atunci raportul segmentelor sale constitutive de la partea bazei la punctul de intersecție a diagonalelor (KO/ON) va fi egal cu raportul bazelor trapezului(BC/AD).

KO/ON = BC/AD

Această proprietate rezultă din asemănarea triunghiurilor corespunzătoare (vezi mai sus).

Proprietățile unui segment paralel cu bazele unui trapez

Dacă trasăm un segment paralel cu bazele trapezului și care trece prin punctul de intersecție al diagonalelor trapezului, atunci acesta va avea următoarele proprietăți:

• Distanța specificată (KM) bisectată de punctul de intersecție al diagonalelor trapezului
• Lungimea secțiunii care trece prin punctul de intersecție al diagonalelor trapezului și paralel cu bazele este egal cu KM = 2ab/(a + b)

Formule pentru găsirea diagonalelor unui trapez

a, b- baze trapezoidale

c, d- laturile trapezului

d1 d2- diagonalele unui trapez

α β - unghiuri cu baza mai mare a trapezului

Formule pentru găsirea diagonalelor unui trapez prin baze, laturi și unghiuri de la bază

Primul grup de formule (1-3) reflectă una dintre principalele proprietăți ale diagonalelor trapezoidale:

1. Suma pătratelor diagonalelor unui trapez este egală cu suma pătratelor laturilor plus de două ori produsul bazelor sale. Această proprietate a diagonalelor trapezoidale poate fi demonstrată ca o teoremă separată

2 . Această formulă se obține prin transformarea formulei anterioare. Pătratul celei de-a doua diagonale este aruncat prin semnul egal, după care rădăcina pătrată este extrasă din partea stângă și dreaptă a expresiei.

3 . Această formulă de găsire a lungimii diagonalei unui trapez este similară cu cea anterioară, cu diferența că o altă diagonală rămâne în partea stângă a expresiei

Următorul grup de formule (4-5) au sens similar și exprimă o relație similară.

Grupul de formule (6-7) vă permite să găsiți diagonala unui trapez dacă se cunosc baza mai mare a trapezului, o latură și unghiul de la bază.

Formule pentru găsirea diagonalelor unui trapez prin înălțime

Sarcină.
Diagonalele trapezului ABCD (AD | | BC) se intersectează în punctul O. Aflați lungimea bazei BC a trapezului dacă baza AD = 24 cm, lungimea AO = 9 cm, lungimea OS = 6 cm.

Soluţie.
Soluția acestei probleme este ideologic absolut identică cu problemele anterioare.

Triunghiurile AOD și BOC sunt similare în trei unghiuri - AOD și BOC sunt verticale, iar unghiurile rămase sunt egale pe perechi, deoarece sunt formate prin intersecția unei linii și a două linii paralele.

Întrucât triunghiurile sunt similare, toate dimensiunile lor geometrice sunt legate între ele, la fel ca dimensiunile geometrice ale segmentelor AO și OC cunoscute nouă în funcție de condițiile problemei. Adică

AO/OC = AD/BC
9 / 6 = 24 / î.Hr
BC = 24 * 6 / 9 = 16

Răspuns: 16 cm

Sarcina .
În trapezul ABCD se știe că AD=24, BC=8, AC=13, BD=5√17. Găsiți aria trapezului.

Soluție.
Pentru a găsi înălțimea unui trapez de la vârfurile bazei mai mici B și C, coborâm două înălțimi la baza mai mare. Deoarece trapezul este inegal, notăm lungimea AM = a, lungimea KD = b ( a nu se confunda cu notația din formulă găsirea ariei unui trapez). Deoarece bazele trapezului sunt paralele și am scăzut două înălțimi perpendiculare pe baza mai mare, atunci MBCK este un dreptunghi.

Mijloace
AD = AM+BC+KD
a + 8 + b = 24
a = 16 - b

Triunghiurile DBM și ACK sunt dreptunghiulare, deci unghiurile lor drepte sunt formate de altitudinile trapezului. Să notăm înălțimea trapezului cu h. Apoi, după teorema lui Pitagora

H2 + (24 - a) 2 = (5√17) 2
Şi
h 2 + (24 - b) 2 = 13 2

Să luăm în calcul că a = 16 - b, apoi în prima ecuație
h 2 + (24 - 16 + b) 2 = 425
h 2 = 425 - (8 + b) 2

Să substituim valoarea pătratului înălțimii în a doua ecuație obținută folosind teorema lui Pitagora. Primim:
425 - (8 + b) 2 + (24 - b) 2 = 169
-(64 + 16b + b) 2 + (24 - b) 2 = -256
-64 - 16b - b 2 + 576 - 48b + b 2 = -256
-64b = -768
b = 12

Deci KD = 12
Unde
h 2 = 425 - (8 + b) 2 = 425 - (8 + 12) 2 = 25
h = 5

Găsiți aria trapezului prin înălțimea sa și jumătate din suma bazelor
, unde a b - baza trapezului, h - înălțimea trapezului
S = (24 + 8) * 5 / 2 = 80 cm 2

Răspuns: aria trapezului este de 80 cm2.

Un trapez este o figură geometrică cu patru unghiuri. Când construiți un trapez, este important să țineți cont de faptul că două laturi opuse sunt paralele, iar celelalte două, dimpotrivă, nu sunt paralele una față de cealaltă. Acest cuvânt a venit în timpurile moderne din Grecia anticăși suna ca „trapez”, ceea ce însemna „masă”, „masă de sufragerie”.

Acest articol vorbește despre proprietățile unui trapez circumscris unui cerc. Ne vom uita, de asemenea, la tipurile și elementele acestei figuri.

Elemente, tipuri și caracteristici ale figurii geometrice trapez

Laturile paralele din această figură se numesc baze, iar cele care nu sunt paralele se numesc laturi. Cu condiția ca laturile să aibă aceeași lungime, trapezul este considerat isoscel. Un trapez ale cărui laturi sunt perpendiculare pe bază la un unghi de 90° se numește dreptunghiular.

Această figură aparent simplă are un număr considerabil de proprietăți inerente, subliniind caracteristicile sale:

1. Dacă desenați o linie de mijloc de-a lungul laturilor, aceasta va fi paralelă cu bazele. Acest segment va fi egal cu 1/2 din diferența bazelor.
2. Când construiți o bisectoare din orice colț al unui trapez, se formează un triunghi echilateral.
3. Din proprietățile unui trapez descris în jurul unui cerc, se știe că suma laturilor paralele trebuie să fie egală cu suma bazelor.
4. La construirea segmentelor diagonale, unde una dintre laturi este baza unui trapez, triunghiurile rezultate vor fi similare.
5. La construirea segmentelor diagonale, unde una dintre laturi este laterală, triunghiurile rezultate vor avea zonă egală.
6. Dacă continuăm liniile laterale și construim un segment din centrul bazei, atunci unghi format va fi egal cu 90°. Segmentul care leagă bazele va fi egal cu 1/2 din diferența lor.

Proprietățile unui trapez circumscris unui cerc

Este posibil să încadrați un cerc într-un trapez doar cu o singură condiție. Această condiție este ca suma laturilor să fie egală cu suma bazelor. De exemplu, la construirea unui trapez AFDM, se aplică AF + DM = FD + AM. Numai în acest caz un cerc poate fi închis într-un trapez.

Deci, mai multe despre proprietățile unui trapez descris în jurul unui cerc:

1. Dacă un cerc este închis într-un trapez, atunci pentru a găsi lungimea dreptei sale care intersectează figura în jumătate, este necesar să găsim 1/2 din suma lungimilor laturilor.
2. Când se construiește un trapez circumscris unui cerc, ipotenuza formată este identică cu raza cercului, iar înălțimea trapezului este, de asemenea, diametrul cercului.
3. O altă proprietate trapez isoscel circumscris unui cerc este faptul că latura sa este imediat vizibilă din centrul cercului la un unghi de 90°.

Mai multe despre proprietățile unui trapez închis într-un cerc

Doar un trapez isoscel poate fi înscris într-un cerc. Aceasta înseamnă că este necesar să se îndeplinească condițiile în care trapezul AFDM construit va îndeplini următoarele cerințe: AF + DM = FD + MA.

Teorema lui Ptolemeu afirmă că într-un trapez închis într-un cerc, produsul diagonalelor este identic și egal cu suma laturilor opuse înmulțite. Aceasta înseamnă că atunci când se construiește un cerc circumscris trapezului AFDM, se aplică următoarele: AD × FM = AF × DM + FD × AM.

Destul de des la examenele școlare apar probleme care necesită rezolvarea problemelor cu un trapez. Cantitate mare Teoremele trebuie memorate, dar dacă nu le puteți învăța imediat, nu contează. Cel mai bine este să recurgeți periodic la indicii din manuale, astfel încât aceste cunoștințe să se potrivească singure în capul vostru, fără prea multe dificultăți.

În acest articol vom încerca să reflectăm proprietățile unui trapez cât mai complet posibil. În special, vom vorbi despre caracteristicile și proprietățile generale ale unui trapez, precum și despre proprietățile unui trapez înscris și ale unui cerc înscris într-un trapez. Vom atinge, de asemenea, proprietățile unui trapez isoscel și dreptunghiular.

Un exemplu de rezolvare a unei probleme folosind proprietățile discutate vă va ajuta să o rezolvați în cap și să vă amintiți mai bine materialul.

Trapez și toate-toate-toate

Pentru început, să ne amintim pe scurt ce este un trapez și ce alte concepte sunt asociate cu acesta.

Deci, un trapez este o figură patrulateră, ale cărei două laturi sunt paralele una cu cealaltă (acestea sunt bazele). Și cele două nu sunt paralele - acestea sunt părțile laterale.

Într-un trapez, înălțimea poate fi coborâtă - perpendicular pe baze. Linia centrală și diagonalele sunt desenate. De asemenea, este posibil să desenați o bisectoare din orice unghi al trapezului.

Vom vorbi acum despre diferitele proprietăți asociate cu toate aceste elemente și combinațiile lor.

Proprietățile diagonalelor trapezoidale

Pentru a fi mai clar, în timp ce citiți, schițați trapezul ACME pe o bucată de hârtie și desenați diagonalele în ea.

1. Dacă găsiți punctele medii ale fiecăreia dintre diagonale (să numim aceste puncte X și T) și le conectați, obțineți un segment. Una dintre proprietățile diagonalelor unui trapez este că segmentul HT se află pe linia mediană. Și lungimea sa poate fi obținută prin împărțirea diferenței bazelor la două: ХТ = (a – b)/2.
2. În fața noastră este același ACME trapez. Diagonalele se intersectează în punctul O. Să ne uităm la triunghiurile AOE și MOK, formate din segmente ale diagonalelor împreună cu bazele trapezului. Aceste triunghiuri sunt asemănătoare. Coeficientul de asemănare k al triunghiurilor se exprimă prin raportul bazelor trapezului: k = AE/KM.
   Raportul ariilor triunghiurilor AOE și MOK este descris de coeficientul k 2 .
3. Același trapez, aceleași diagonale care se intersectează în punctul O. Numai de această dată vom lua în considerare triunghiurile pe care le-au format segmentele diagonalelor împreună cu laturile trapezului. Zonele triunghiurilor AKO și EMO au dimensiuni egale - ariile lor sunt aceleași.
4. O altă proprietate a unui trapez implică construcția diagonalelor. Deci, dacă continuați laturile AK și ME în direcția bazei mai mici, atunci mai devreme sau mai târziu se vor intersecta la un anumit punct. Apoi, trageți o linie dreaptă prin mijlocul bazelor trapezului. Intersectează bazele în punctele X și T.
   Dacă extindem acum linia XT, atunci aceasta va lega împreună punctul de intersecție al diagonalelor trapezului O, punctul în care se intersectează prelungirile laturilor și mijlocul bazelor X și T.
5. Prin punctul de intersecție al diagonalelor vom trasa un segment care va conecta bazele trapezului (T se află pe baza mai mică KM, X pe AE mai mare). Punctul de intersecție al diagonalelor împarte acest segment în următorul raport: TO/OX = KM/AE.
6. Acum, prin punctul de intersecție al diagonalelor, vom trasa un segment paralel cu bazele trapezului (a și b). Punctul de intersecție îl va împărți în două părți egale. Puteți găsi lungimea segmentului folosind formula 2ab/(a + b).

Proprietățile liniei mediane a unui trapez

Desenați linia de mijloc în trapez paralel cu bazele sale.

1. Lungimea liniei mediane a unui trapez poate fi calculată adunând lungimile bazelor și împărțindu-le la jumătate: m = (a + b)/2.
2. Dacă desenați orice segment (înălțime, de exemplu) prin ambele baze ale trapezului, linia de mijloc îl va împărți în două părți egale.

Proprietatea bisectoarei trapezului

Selectați orice unghi al trapezului și trageți o bisectoare. Să luăm, de exemplu, unghiul KAE al ACME nostru trapez. După ce ați finalizat singur construcția, puteți verifica cu ușurință dacă bisectoarea taie de la bază (sau continuarea ei pe o linie dreaptă în afara figurii în sine) un segment de aceeași lungime ca și latura.

Proprietățile unghiurilor trapezoidale

1. Oricare dintre cele două perechi de unghiuri adiacente laturii pe care o alegeți, suma unghiurilor din pereche este întotdeauna 180 0: α + β = 180 0 și γ + δ = 180 0.
2. Să conectăm punctele medii ale bazelor trapezului cu un segment TX. Acum să ne uităm la unghiurile de la bazele trapezului. Dacă suma unghiurilor pentru oricare dintre ele este 90 0, lungimea segmentului TX poate fi calculată cu ușurință pe baza diferenței dintre lungimile bazelor, împărțită la jumătate: TX = (AE – KM)/2.
3. Dacă sunt trasate linii paralele prin laturile unui unghi trapez, acestea vor împărți laturile unghiului în segmente proporționale.

Proprietățile unui trapez isoscel (echilateral).

1. Într-un trapez isoscel, unghiurile de la orice bază sunt egale.
2. Acum construiți din nou un trapez pentru a vă face mai ușor să vă imaginați despre ce vorbim. Priviți cu atenție baza AE - vârful bazei opuse M este proiectat într-un anumit punct pe linia care conține AE. Distanța de la vârful A până la punctul de proiecție al vârfului M și linia de mijloc a trapezului isoscel sunt egale.
3. Câteva cuvinte despre proprietatea diagonalelor unui trapez isoscel - lungimile lor sunt egale. Și, de asemenea, unghiurile de înclinare ale acestor diagonale față de baza trapezului sunt aceleași.
4. Numai în jurul unui trapez isoscel poate fi descris un cerc, deoarece suma unghiurilor opuse ale unui patrulater este 180 0 - o condiție prealabilă pentru aceasta.
5. Proprietatea unui trapez isoscel rezultă din paragraful anterior - dacă un cerc poate fi descris lângă trapez, acesta este isoscel.
6. Din caracteristicile unui trapez isoscel rezultă proprietatea înălțimii unui trapez: dacă diagonalele sale se intersectează în unghi drept, atunci lungimea înălțimii este egală cu jumătate din suma bazelor: h = (a + b)/2.
7. Din nou, trageți segmentul TX prin punctele medii ale bazelor trapezului - într-un trapez isoscel este perpendicular pe baze. Și, în același timp, TX este axa de simetrie a unui trapez isoscel.
8. De data aceasta, coborâți înălțimea de la vârful opus al trapezului pe baza mai mare (să-i spunem a). Veți obține două segmente. Lungimea uneia poate fi găsită dacă lungimile bazelor sunt adăugate și împărțite la jumătate: (a + b)/2. O obținem pe a doua când scădem pe cea mai mică din baza mai mare și împărțim diferența rezultată la două: (a – b)/2.

Proprietățile unui trapez înscris într-un cerc

Deoarece vorbim deja despre un trapez înscris într-un cerc, să ne oprim asupra acestei probleme mai detaliat. În special, unde centrul cercului este în raport cu trapezul. Și aici este recomandat să vă faceți timp pentru a ridica un creion și a desena ceea ce va fi discutat mai jos. Astfel vei înțelege mai repede și vei aminti mai bine.

1. Locația centrului cercului este determinată de unghiul de înclinare a diagonalei trapezului față de latura sa. De exemplu, o diagonală se poate extinde din partea superioară a unui trapez la un unghi drept în lateral. În acest caz, baza mai mare intersectează centrul cercului circumscris exact în mijloc (R = ½AE).
2. Diagonala și latura se pot întâlni și la un unghi ascuțit - atunci centrul cercului se află în interiorul trapezului.
3. Centrul cercului circumscris poate fi în afara trapezului, dincolo de baza sa mai mare, dacă există un unghi obtuz între diagonala trapezului și latură.
4. Unghiul format de diagonala și baza mare a trapezului ACME (unghiul înscris) este jumătate din unghiul central care îi corespunde: MAE = ½MOE.
5. Pe scurt, despre două moduri de a găsi raza unui cerc circumscris. Metoda unu: uită-te cu atenție la desenul tău - ce vezi? Puteți observa cu ușurință că diagonala împarte trapezul în două triunghiuri. Raza poate fi găsită prin raportul dintre latura triunghiului și sinusul unghiului opus, înmulțit cu doi. De exemplu, R = AE/2*sinAME. Într-un mod similar, formula poate fi scrisă pentru oricare dintre laturile ambelor triunghiuri.
6. Metoda a doua: găsiți raza cercului circumscris prin aria triunghiului format din diagonala, latura și baza trapezului: R = AM*ME*AE/4*S AME.

Proprietățile unui trapez circumscris unui cerc

Puteți potrivi un cerc într-un trapez dacă este îndeplinită o condiție. Citiți mai multe despre el mai jos. Și împreună această combinație de cifre are o serie de proprietăți interesante.

1. Dacă un cerc este înscris într-un trapez, lungimea liniei sale mediane poate fi găsită cu ușurință adunând lungimile laturilor și împărțind suma rezultată la jumătate: m = (c + d)/2.
2. Pentru trapezul ACME, descris despre un cerc, suma lungimilor bazelor este egală cu suma lungimilor laturilor: AK + ME = KM + AE.
3. Din această proprietate a bazelor unui trapez, rezultă afirmația inversă: un cerc poate fi înscris într-un trapez a cărui sumă a bazelor este egală cu suma laturilor sale.
4. Punctul tangent al unui cerc cu raza r înscris într-un trapez împarte latura în două segmente, să le numim a și b. Raza unui cerc poate fi calculată folosind formula: r = √ab.
5. Și încă o proprietate. Pentru a evita confuzia, desenează și tu acest exemplu. Avem vechiul trapez ACME, descris în jurul unui cerc. Conține diagonale care se intersectează în punctul O. Triunghiurile AOK și EOM formate din segmentele diagonalelor și laturile laterale sunt dreptunghiulare.
   Înălțimile acestor triunghiuri, coborâte la ipotenuze (adică laturile laterale ale trapezului), coincid cu razele cercului înscris. Și înălțimea trapezului coincide cu diametrul cercului înscris.

Proprietățile unui trapez dreptunghiular

Un trapez se numește dreptunghiular dacă unul dintre unghiurile sale este drept. Și proprietățile sale provin din această circumstanță.

1. Un trapez dreptunghiular are una dintre laturile sale perpendiculară pe bază.
2. Înălțimea și partea laterală a trapezului adiacent unghi drept, sunt egale. Acest lucru vă permite să calculați aria unui trapez dreptunghiular (formula generală S = (a + b) * h/2) nu numai prin înălțime, ci și prin latura adiacentă unghiului drept.
3. Pentru un trapez dreptunghiular, proprietățile generale ale diagonalelor unui trapez deja descrise mai sus sunt relevante.

Dovada unor proprietăți ale trapezului

Egalitatea unghiurilor la baza unui trapez isoscel:

• Probabil ați ghicit deja că aici vom avea nevoie din nou de trapezul AKME - desenați un trapez isoscel. Desenați o linie dreaptă MT de la vârful M, paralelă cu latura lui AK (MT || AK).

Patrulaterul rezultat AKMT este un paralelogram (AK || MT, KM || AT). Deoarece ME = KA = MT, ∆ MTE este isoscel și MET = MTE.

AK || MT, deci MTE = KAE, MET = MTE = KAE.

Unde este AKM = 180 0 - MET = 180 0 - KAE = KME.

Q.E.D.

Acum, pe baza proprietății unui trapez isoscel (egalitatea diagonalelor), demonstrăm că ACME trapez este isoscel:

• Pentru început, să desenăm o linie dreaptă MX – MX || KE. Obținem un paralelogram KMHE (bază – MX || KE și KM || EX).

∆AMX este isoscel, deoarece AM = KE = MX și MAX = MEA.

MH || KE, KEA = MXE, deci MAE = MXE.

Se dovedește că triunghiurile AKE și EMA sunt egale între ele, deoarece AM = KE și AE sunt latura comună a celor două triunghiuri. Și, de asemenea, MAE = MXE. Putem concluziona că AK = ME și de aici rezultă că trapezul AKME este isoscel.

Sarcina de revizuire

Bazele trapezului ACME sunt de 9 cm și 21 cm, latura laterală KA, egală cu 8 cm, formează un unghi de 150 0 cu baza mai mică. Trebuie să găsiți zona trapezului.

Rezolvare: De la vârful K coborâm înălțimea la baza mai mare a trapezului. Și să începem să ne uităm la unghiurile trapezului.

Unghiurile AEM și KAN sunt unilaterale. Aceasta înseamnă că în total dau 180 0. Prin urmare, KAN = 30 0 (pe baza proprietății unghiurilor trapezoidale).

Să luăm acum în considerare ∆ANC dreptunghiular (cred că acest punct este evident pentru cititori fără dovezi suplimentare). Din aceasta vom găsi înălțimea trapezului KH - într-un triunghi este catelul care se află opus unghiului de 30 0. Prin urmare, KH = ½AB = 4 cm.

Găsim aria trapezului folosind formula: S ACME = (KM + AE) * KN/2 = (9 + 21) * 4/2 = 60 cm 2.

Postfaţă

Dacă ați studiat cu atenție și atent acest articol, nu ați fost prea leneș să desenați trapeze pentru toate proprietățile date cu un creion în mâini și să le analizați în practică, ar fi trebuit să stăpâniți bine materialul.

Desigur, aici există o mulțime de informații, variate și uneori chiar confuze: nu este atât de greu să confundați proprietățile trapezului descris cu proprietățile celui înscris. Dar tu însuți ai văzut că diferența este uriașă.

Acum aveți un rezumat detaliat al tuturor proprietăți generale trapeze. Precum și proprietățile și caracteristicile specifice ale trapezelor isoscele și dreptunghiulare. Este foarte convenabil de utilizat pentru a se pregăti pentru teste și examene. Încearcă-l singur și distribuie link-ul prietenilor tăi!

site-ul web, atunci când copiați materialul integral sau parțial, este necesar un link către sursă.

Lucrul la proiect" Proprietăți interesante trapeze » Completat de: elevii clasei a X-a Kudzaeva Ellina Bazzaeva Diana MKOU Scoala Gimnaziala s. N.Batako Şef: Gagieva A.O. 20 noiembrie 2015

Scopul lucrării: Pentru a lua în considerare proprietățile unui trapez, care nu sunt studiate într-un curs de geometrie școlar, dar la rezolvarea problemelor geometrice ale examenului de stat unificat din partea extinsă C 4, poate fi necesar să cunoașteți și să fiți capabil să aplica exact aceste proprietati.

Proprietățile unui trapez: Dacă un trapez este împărțit cu o dreaptă paralelă cu bazele sale egale cu a și b, în ​​două trapeze egale. Atunci segmentul acestei linii, cuprins între laturile laterale, este egal cu un B to

Proprietatea unui segment care trece prin punctul de intersecție al diagonalelor unui trapez. Segmentul paralel cu bazele care trece prin punctul de intersecție al diagonalelor este egal cu: a în c

Proprietățile unui trapez: Un segment de dreaptă paralel cu bazele unui trapez, închis în interiorul trapezului, este împărțit în trei părți de diagonalele sale. Apoi, segmentele adiacente laturilor sunt egale între ele. MP=OK R M O K

Proprietățile unui trapez isoscel: Dacă un cerc poate fi înscris într-un trapez, atunci raza cercului este media proporțională cu segmentele în care punctul tangent împarte latura. O S V A D. E O

Proprietățile unui trapez isoscel: Dacă centrul cercului circumscris se află la baza trapezului, atunci diagonala sa este perpendiculară pe latura O A B C D

Proprietățile unui trapez isoscel: Un cerc poate fi înscris într-un trapez isoscel dacă latura laterală este egală cu linia sa mediană. S V A D h

1) Dacă enunțul problemei spune că un cerc este înscris într-un trapez dreptunghiular, puteți folosi următoarele proprietăți: 1. Suma bazelor trapezului este egală cu suma laturilor. 2. Distanțele de la vârful trapezului la punctele tangente ale cercului înscris sunt egale. 3. Înălțimea unui trapez dreptunghiular este egală cu latura sa mai mică și egală cu diametrul cercului înscris. 4. Centrul cercului înscris este punctul de intersecție al bisectoarelor unghiurilor trapezului. 5. Dacă punctul tangent împarte latura în segmente m și n, atunci raza cercului înscris este egală cu

Proprietățile unui trapez dreptunghiular în care este înscris un cerc: 1) Un patrulater format din centrul cercului înscris, punctele de contact și vârful trapezului - un pătrat a cărui latură este egală cu raza. (AMOE și BKOM sunt pătrate cu latura r). 2) Dacă un cerc este înscris într-un trapez dreptunghiular, atunci aria trapezului este egală cu produsul bazelor sale: S=AD*BC

Dovada: Aria unui trapez este egală cu produsul dintre jumătate din suma bazelor sale și înălțimea sa: Notăm CF=m, FD=n. Deoarece distanțele de la vârfuri la punctele de tangență sunt egale, înălțimea trapezului este egală cu două raze ale cercului înscris și

I. Bisectoarele unghiurilor de pe latura laterală a trapezului se intersectează la un unghi de 90º. 1)∠ABC+∠BAD=180º (ca internă unilaterală cu AD∥BC și secanta AB). 2) ∠ABK+∠KAB=(∠ABC+∠BAD):2=90º (deoarece bisectoarele bisectează unghiurile). 3) Deoarece suma unghiurilor unui triunghi este 180º, în triunghiul ABK avem: ∠ABK+∠KAB+∠AKB=180º, deci ∠AKB=180-90=90º. Concluzie: Bisectoarele unghiului de pe partea laterală a unui trapez se intersectează în unghi drept. Această afirmație este folosită atunci când se rezolvă probleme pe un trapez în care este înscris un cerc.

I I. Punctul de intersecție al bisectoarelor trapezului adiacent laturii laterale se află pe linia mediană a trapezului. Fie bisectoarea unghiului ABC să intersecteze latura AD în punctul S. Atunci triunghiul ABS este isoscel cu baza BS. Aceasta înseamnă că bisectoarea sa AK este, de asemenea, o mediană, adică punctul K este punctul de mijloc al BS. Dacă M și N sunt punctele medii ale laturilor laterale ale trapezului, atunci MN este linia mediană a trapezului și MN∥AD. Deoarece M și K sunt punctele medii ale AB și BS, atunci MK este linia mediană a triunghiului ABS și MK∥AS. Deoarece doar o singură dreaptă paralelă cu cea dată poate fi trasată prin punctul M, punctul K se află pe linia mediană a trapezului.

III. Punctul de intersecție al bisectoarelor unghiurilor ascuțite la baza unui trapez aparține unei alte baze. În acest caz, triunghiurile ABK și DCK sunt isoscele cu bazele AK și, respectiv, DK. Astfel, BC=BK+KC=AB+CD. Concluzie: Dacă bisectoarele unghiurilor ascuțite ale unui trapez se intersectează într-un punct aparținând bazei mai mici, atunci baza mai mică este egală cu suma laturilor laterale ale trapezului. Un trapez isoscel în acest caz are o bază mai mică de două ori mai mare decât latura sa.

I V. Punctul de intersecție a bisectoarelor unghiurilor obtuze de la baza trapezului aparține unei alte baze. În acest caz, triunghiurile ABF și DCF sunt isoscele cu bazele BF și, respectiv, CF. Prin urmare AD=AF+FD=AB+CD. Concluzie: Dacă bisectoarele unghiurilor obtuze ale unui trapez se intersectează într-un punct aparținând bazei mai mari, atunci baza mai mare este egală cu suma laturilor laterale ale trapezului. În acest caz, trapezul isoscel are o bază mai mare, care este de două ori mai mare decât latura sa.

Dacă un trapez isoscel cu laturile a, b, c, d poate fi înscris și cercuri pot fi descrise în jurul lui, atunci aria trapezului este egală cu

Bună seara! Oh, aceste cercuri circumscrise, sau înscrise, figuri geometrice. E atât de greu să te încurci. ce și când.

Să încercăm să ne dăm seama mai întâi cu formularea. Ni se dă un cerc circumscris aproximativ . Cu alte cuvinte, acest trapez este înscris într-un cerc.

Să ne amintim că putem descrie doar un cerc în jurul . Un trapez isoscel, la rândul său, este un trapez ale cărui laturi sunt egale.

Să încercăm să rezolvăm problema. Știm că bazele trapezului isoscel ADCB sunt 6 (DC) și 4 (AB). Și raza cercului circumscris este 4. Trebuie să găsiți înălțimea trapezului FK.

FK este înălțimea trapezului. Trebuie să-l găsim, dar înainte de asta, amintiți-vă că punctul O este centrul cercului. Și OS, OD, OA, OB sunt raze cunoscute.

În OFC cunoaștem ipotenuza, care este raza cercului, iar cateta FC = jumătate din baza DC = 3 cm (deoarece DF = FC).

Acum să găsim OF:

Și în triunghiul dreptunghic OKB, cunoaștem și ipotenuza, deoarece aceasta este raza cercului. Și KB este egal cu jumătate AB; KB = 2 cm Și, folosind teorema lui Pitagora, calculăm segmentul OK: