Conexiune proporțională. Funcția liniară

>>Matematică: proporționalitatea directă și graficul acesteia

Proporționalitatea directă și graficul acesteia

Dintre funcţiile liniare y = kx + m se distinge mai ales cazul când m = 0; în acest caz ia forma y = kx şi se numeşte proporţionalitate directă. Acest nume se explică prin faptul că două mărimi y și x sunt numite direct proporționale dacă raportul lor este egal cu un anumit
un alt număr decât zero. Aici, acest număr k se numește coeficient de proporționalitate.

Multe situații din viața reală sunt modelate folosind proporționalitatea directă.

De exemplu, traseul s și timpul t la o viteză constantă de 20 km/h sunt legate de dependența s = 20t; aceasta este proporționalitate directă, cu k = 20.

Un alt exemplu:

costul y și numărul x de pâine la un preț de 5 ruble. pentru pâine sunt legate prin dependența y = 5x; aceasta este proporționalitatea directă, unde k = 5.

Dovada.Îl vom implementa în două etape.
1. y = kx - caz special funcţie liniară, iar graficul unei funcţii liniare este o linie dreaptă; să o notăm cu I.
2. Perechea x = 0, y = 0 satisface ecuația y - kx și, prin urmare, punctul (0; 0) aparține graficului ecuației y = kx, adică dreapta I.

În consecință, linia dreaptă I trece prin origine. Teorema a fost demonstrată.

Trebuie să poți trece nu doar de la modelul analitic y = kx la cel geometric (grafic de proporționalitate directă), ci și de la cel geometric modele la analitic. Luați în considerare, de exemplu, o linie dreaptă pe planul de coordonate xOy prezentat în Figura 50. Este un grafic de proporționalitate directă, trebuie doar să găsiți valoarea coeficientului k; Deoarece y, este suficient să luăm orice punct de pe dreaptă și să găsiți raportul dintre ordonata acestui punct și abscisa lui. Linia dreaptă trece prin punctul P(3; 6), iar pentru acest punct avem: Aceasta înseamnă k = 2, și deci dreapta dată servește ca grafic de proporționalitate directă y = 2x.

Ca urmare, coeficientul k în notația funcției liniare y = kx + m se mai numește și coeficient de pantă. Dacă k>0, atunci linia dreaptă y = kx + m formează un unghi ascuțit cu direcția pozitivă a axei x (Fig. 49, a), iar dacă k< О, - тупой угол (рис. 49, б).

Calendar-planificare tematică în matematică, videoîn matematică online, descărcare Matematică la școală

A. V. Pogorelov, Geometrie pentru clasele 7-11, Manual pentru instituțiile de învățământ

Trikhleb Daniil, elev în clasa a VII-a

cunoașterea proporționalității directe și a coeficientului de proporționalitate directă (introducerea conceptului de coeficient unghiular”);

construirea unui grafic de proporționalitate directă;

luarea în considerare a poziţiei relative a graficelor de proporţionalitate directă şi a funcţiilor liniare cu coeficienţi unghiulari identici.

Descărcați:

Previzualizare:

Pentru a utiliza previzualizările prezentării, creați-vă un cont ( cont) Google și conectați-vă: https://accounts.google.com

Subtitrările diapozitivelor:

Proporționalitatea directă și graficul acesteia

Care este argumentul și valoarea unei funcții? Care variabilă se numește independentă sau dependentă? Ce este o funcție? REVIEW Care este domeniul unei funcții?

Metode pentru specificarea unei funcții. Analitic (folosind o formulă) Grafic (folosind un grafic) Tabular (folosind un tabel)

Graficul unei funcții este mulțimea tuturor punctelor planului de coordonate, ale căror abscise sunt egale cu valorile argumentului, iar ordonatele sunt egale cu valorile corespunzătoare ale funcției. PROGRAMUL FUNCȚIILOR

1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9)

FINALIZAȚI SARCINA Construiți un grafic al funcției y = 2 x +1, unde 0 ≤ x ≤ 4. Faceți o masă. Folosind graficul, găsiți valoarea funcției la x=2,5. La ce valoare a argumentului valoarea funcției este egală cu 8?

Definiție Proporționalitatea directă este o funcție care poate fi specificată printr-o formulă de forma y = k x, unde x este o variabilă independentă, k este un număr diferit de zero. (k-coeficient de proporționalitate directă) Proporționalitate directă

8 Graficul proporționalității directe - o dreaptă care trece prin originea coordonatelor (punctul O(0,0)) Pentru a construi un grafic al funcției y= kx sunt suficiente două puncte, dintre care unul este O (0,0) Pentru k > 0, graficul este situat la sferturile de coordonate I și III. La k

Grafice ale funcţiilor de proporţionalitate directă y x k>0 k>0 k

Sarcină Determinați care dintre grafice arată funcția de proporționalitate directă.

Sarcină Determinați ce grafic al funcției este prezentat în figură. Alegeți o formulă dintre cele trei oferite.

Lucrări orale. Poate un grafic al unei funcții formula dată y= k x, unde k

Determinați care dintre punctele A(6,-2), B(-2,-10), C(1,-1), E(0,0) aparțin graficului proporționalității directe dat de formula y = 5x 1) A( 6;-2) -2 = 5  6 - 2 = 30 - incorect. Punctul A nu aparține graficului funcției y=5x. 2) B(-2;-10) -10 = 5  (-2) -10 = -10 - corect. Punctul B aparține graficului funcției y=5x. 3) C(1;-1) -1 = 5  1 -1 = 5 - incorect Punctul C nu aparține graficului funcției y=5x. 4) E (0;0) 0 = 5  0 0 = 0 - adevărat. Punctul E aparține graficului funcției y=5x

TEST 1 opțiunea 2 opțiunea nr. 1. Care dintre funcțiile date de formulă sunt direct proporționale? A. y = 5x B. y = x 2 /8 C. y = 7x(x-1) D . y = x+1 A. y = 3x 2 +5 B. y = 8/x C. y = 7(x + 9) D. y = 10x

nr. 2. Scrieți numerele de drepte y = kx, unde k > 0 1 opțiunea k

nr. 3. Determinați care dintre puncte aparțin graficului proporționalității directe, dat de formula Y = -1 /3 X A (6 -2), B (-2 -10) 1 opțiunea C (1, -1), E (0,0). ) Opțiunea 2

y =5x y =10x III A VI și IV E 1 2 3 1 2 3 Nr. Răspuns corect Răspuns corect Nu.

Finalizați sarcina: Arătați schematic cum se află graficul funcției date de formulă: y =1,7 x y =-3,1 x y=0,9 x y=-2,3 x

SARCINA Din următoarele grafice, selectați numai grafice cu proporționalitate directă.

1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9)

Funcții y = 2x + 3 2. y = 6/ x 3. y = 2x 4. y = - 1,5x 5. y = - 5/ x 6. y = 5x 7. y = 2x – 5 8. y = - 0.3x 9. y = 3/ x 10. y = - x /3 + 1 Selectați funcții de forma y = k x (proporționalitate directă) și scrieți-le

Funcții de proporționalitate directă Y = 2x Y = -1,5x Y = 5x Y = -0,3x y x

y Funcții liniare care nu sunt funcții de proporționalitate directă 1) y = 2x + 3 2) y = 2x – 5 x -6 -4 -2 0 2 4 6 6 3 -3 -6 y = 2x + 3 y = 2x - 5

Tema pentru acasă: paragraful 15 p. 65-67, Nr. 307; nr. 308.

Să o repetăm ​​din nou. Ce lucruri noi ai învățat? Ce ai invatat? Ce ți s-a părut deosebit de dificil?

Mi-a plăcut lecția și subiectul este înțeles: mi-a plăcut lecția, dar încă nu înțeleg totul: nu mi-a plăcut lecția și subiectul nu este clar.

Exemplu

4/5 = 0,8;

5,6 / 7 = 0,8 etc. Factorul de proporționalitate Se numește o relație constantă de mărimi proporționale

Proporționalitate directă

Proporționalitate directă- dependenta functionala, in care o anumita cantitate depinde de o alta marime in asa fel incat raportul acestora sa ramana constant. Cu alte cuvinte, aceste variabile se schimbă proporţional, în părți egale, adică dacă argumentul se schimbă de două ori în orice direcție, atunci și funcția se schimbă de două ori în aceeași direcție.

Matematic, proporționalitatea directă este scrisă ca o formulă:

f(x) = ox,o = const

Proporționalitate inversă

Proporționalitate inversă- aceasta este o dependență funcțională, în care o creștere a valorii independente (argumentului) determină o scădere proporțională a valorii dependente (funcției).

Matematic, proporționalitatea inversă se scrie sub formă de formulă:

Proprietățile funcției:

Surse

Fundația Wikimedia.

2010.

I. Mărimi direct proporţionale. Lasă valoarea y depinde de marime X depinde de marime. Dacă la creşterea de mai multe ori mai mare la depinde de marime crește cu aceeași cantitate, apoi astfel de valori Şi la

se numesc direct proportionale.

1 Exemple. . Cantitatea de bunuri achiziționate și prețul de achiziție (cu un preț fix pentru o unitate de mărfuri - 1 bucată sau 1 kg etc.)

2 De câte ori s-au cumpărat mai multe bunuri, cu atât au plătit mai mult. . Distanța parcursă și timpul petrecut pe ea (la viteză constantă).

3 De câte ori este calea mai lungă, de câte ori mai mult timp va dura pentru a o finaliza. . Volumul unui corp și masa acestuia. ()

Dacă un pepene verde este de 2 ori mai mare decât altul, atunci masa lui va fi de 2 ori mai mare

II. Proprietatea proporționalității directe a cantităților.

Dacă două cantități sunt direct proporționale, atunci raportul dintre două valori luate în mod arbitrar ale primei cantități este egal cu raportul dintre două valori corespunzătoare ale celei de-a doua cantități. Sarcina 1. Pentru dulceata de zmeura am luat 12 kg zmeura si 8 kg Sahara. De cât zahăr vei avea nevoie dacă l-ai lua? 9 kg

zmeura?

Soluţie. Raționăm așa: să fie necesar x kg Sahara. De cât zahăr vei avea nevoie dacă l-ai lua? zahăr pentru 12:9 zmeura Masa de zmeură și masa de zahăr sunt cantități direct proporționale: de câte ori sunt mai puține zmeură, de același număr de ori mai puțin zahăr este nevoie. Prin urmare, raportul dintre zmeura luată (în greutate) ( ) va fi egal cu raportul de zahăr luat ( 8:x

12: 9=8: ). Obținem proporția:

X; · 8: 12;

x=9 x=6. Răspuns: Sahara. De cât zahăr vei avea nevoie dacă l-ai lua? pe trebuie luate zmeura 6 kg

Sahara. Rezolvarea problemei

S-ar putea face astfel: Sahara. De cât zahăr vei avea nevoie dacă l-ai lua? pe Lasă-te 6 kg

x kg 12 (Săgețile din figură sunt îndreptate într-o singură direcție, iar în sus sau în jos nu contează. Semnificație: de câte ori numărul 9 mai mult număr 8 , de același număr de ori depinde de marime mai mult număr

x=6. Răspuns: Sahara. De cât zahăr vei avea nevoie dacă l-ai lua?, adică aici există o relație directă). trebuie luate zmeura 6 kg

Trebuie să iau niște zmeură Masina pentru 3 ore parcurs distanta 264 km. Cât îi va lua să călătorească? 440 km, dacă conduce cu aceeași viteză?

zmeura?

Lasă pt x ore mașina va acoperi distanța 440 km.

x=6. va trece mașina 440 km in 5 ore.

Sarcina 3. Apa curge din conductă în piscină. Pentru 2 ore ea umple 1/5 piscină În ce parte a piscinei este umplută cu apă 5 ore?

zmeura?

Răspundem la întrebarea sarcinii: pentru 5 ore va fi umplut 1/x parte a piscinei. (Întregul bazin este luat ca un întreg).

Astăzi ne vom uita la ce cantități sunt numite invers proporționale, cum arată un grafic de proporționalitate inversă și cum toate acestea vă pot fi utile nu numai la lecțiile de matematică, ci și în afara școlii.

Proporții atât de diferite

Proporționalitate numiți două cantități care sunt reciproc dependente una de cealaltă.

Dependența poate fi directă și inversă. În consecință, relațiile dintre cantități sunt descrise prin proporționalitate directă și inversă.

Proporționalitate directă- aceasta este o astfel de relație între două cantități în care o creștere sau scădere a uneia duce la o creștere sau scădere a celeilalte. Aceste. atitudinea lor nu se schimbă.

De exemplu, cu cât depui mai mult efort pentru a studia pentru examene, cu atât ai notele mai mari. Sau cu cât iei mai multe lucruri cu tine în drumeție, cu atât rucsacul tău va fi mai greu de purtat. Aceste. Efortul depus pentru pregătirea examenelor este direct proporțional cu notele obținute. Iar numărul de lucruri ambalate într-un rucsac este direct proporțional cu greutatea acestuia.

Proporționalitate inversă– aceasta este o dependență funcțională în care o scădere sau o creștere de mai multe ori a unei valori independente (se numește argument) determină o creștere sau scădere proporțională (adică de același număr de ori) a unei valori dependente (se numește un funcţie).

Să ilustrăm exemplu simplu. Vrei să cumperi mere de la piață. Merele de pe blat și suma de bani din portofel sunt invers proporționale. Aceste. Cu cât cumpărați mai multe mere, cu atât veți avea mai puțini bani.

Funcția și graficul acesteia

Funcția de proporționalitate inversă poate fi descrisă ca y = k/x. În care x≠ 0 și k≠ 0.

Această funcție are următoarele proprietăți:

1. Domeniul său de definiție este mulțimea tuturor numerelor reale, cu excepția x = 0. D(Lasă valoarea): (-∞; 0) U (0; +∞).
2. Gama este tot numere reale, cu excepția Lasă valoarea= 0. E(y): (-∞; 0) U (0; +∞) .
3. Nu are valori maxime sau minime.
4. Este impar și graficul său este simetric față de origine.
5. Neperiodică.
6. Graficul său nu intersectează axele de coordonate.
7. Nu are zerouri.
8. Dacă k> 0 (adică argumentul crește), funcția scade proporțional pe fiecare dintre intervalele sale. Dacă k< 0 (т.е. аргумент убывает), функция пропорционально возрастает на каждом из своих промежутков.
9. Pe măsură ce argumentul crește ( k> 0) valorile negative ale funcției sunt în intervalul (-∞; 0), iar valorile pozitive sunt în intervalul (0; +∞). Când argumentul scade ( k< 0) отрицательные значения расположены на промежутке (0; +∞), положительные – (-∞; 0).

Graficul unei funcții de proporționalitate inversă se numește hiperbolă. Se arată după cum urmează:

Probleme de proporționalitate inversă

Pentru a fi mai clar, să ne uităm la mai multe sarcini. Nu sunt prea complicate, iar rezolvarea lor vă va ajuta să vizualizați ce este proporționalitatea inversă și cum aceste cunoștințe vă pot fi utile în viața de zi cu zi.

Sarcina nr. 1. O mașină se deplasează cu o viteză de 60 km/h. I-a luat 6 ore să ajungă la destinație. Cât timp îi va lua să parcurgă aceeași distanță dacă se mișcă cu o viteză de două ori mai mare?

Putem începe prin a scrie o formulă care descrie relația dintre timp, distanță și viteză: t = S/V. De acord, ne amintește foarte mult de funcția de proporționalitate inversă. Și indică faptul că timpul petrecut o mașină pe drum și viteza cu care se deplasează sunt invers proporționale.

Pentru a verifica acest lucru, să găsim V 2, care conform condiției este de 2 ori mai mare: V 2 = 60 * 2 = 120 km/h. Apoi calculăm distanța folosind formula S = V * t = 60 * 6 = 360 km. Acum nu este greu să aflăm timpul t 2 care ne este necesar în funcție de condițiile problemei: t 2 = 360/120 = 3 ore.

După cum puteți vedea, timpul de călătorie și viteza sunt într-adevăr invers proporționale: la o viteză de 2 ori mai mare decât viteza inițială, mașina va petrece de 2 ori mai puțin timp pe drum.

Soluția la această problemă poate fi scrisă și ca proporție. Deci, să creăm mai întâi această diagramă:

↓ 60 km/h – 6 h

↓120 km/h – x h

Săgețile indică o relație invers proporțională. De asemenea, ei sugerează că atunci când se întocmește o proporție, partea dreaptă a înregistrării trebuie răsturnată: 60/120 = x/6. De unde obținem x = 60 * 6/120 = 3 ore.

Sarcina nr. 2. Atelierul angajează 6 muncitori care pot finaliza o anumită cantitate de muncă în 4 ore. Dacă numărul de lucrători se reduce la jumătate, cât timp va dura muncitorii rămași pentru a finaliza aceeași cantitate de muncă?

Să scriem condițiile problemei în formular diagrama vizuala:

↓ 6 muncitori – 4 ore

↓ 3 muncitori – x h

Să scriem asta ca proporție: 6/3 = x/4. Și obținem x = 6 * 4/3 = 8 ore Dacă sunt de 2 ori mai puțini lucrători, cei rămași vor petrece de 2 ori mai mult timp făcând toată munca.

Sarcina nr. 3. Există două țevi care duc în piscină. Printr-o țeavă, apa curge cu o viteză de 2 l/s și umple piscina în 45 de minute. Printr-o altă conductă, piscina se va umple în 75 de minute. Cu ce ​​viteză intră apa în piscină prin această conductă?

Pentru început, să reducem toate cantitățile care ne sunt date în funcție de condițiile problemei la aceleași unități de măsură. Pentru a face acest lucru, exprimăm viteza de umplere a piscinei în litri pe minut: 2 l/s = 2 * 60 = 120 l/min.

Deoarece condiția implică faptul că piscina se umple mai lent prin a doua conductă, aceasta înseamnă că debitul de apă este mai mic. Proporționalitatea este inversă. Să exprimăm viteza necunoscută prin x și să facem următoarea diagramă:

↓ 120 l/min – 45 min

↓ x l/min – 75 min

Și apoi alcătuim proporția: 120/x = 75/45, de unde x = 120 * 45/75 = 72 l/min.

În problemă, viteza de umplere a piscinei este exprimată în litri pe secundă, să reducem răspunsul primit la aceeași formă: 72/60 = 1,2 l/s.

Sarcina nr. 4. O mică tipografie privată tipărește cărți de vizită. Un angajat al unei tipografii lucrează cu o viteză de 42 de cărți de vizită pe oră și lucrează o zi întreagă - 8 ore. Dacă ar lucra mai repede și ar tipări 48 de cărți de vizită într-o oră, cu cât mai devreme ar putea merge acasă?

Urmăm calea dovedită și întocmim o diagramă în funcție de condițiile problemei, desemnând valoarea dorită ca x:

↓ 42 cărți de vizită/oră – 8 ore

↓ 48 cărți de vizită/h – x h

Avem o relație invers proporțională: de câte ori mai multe cărți de vizită tipărește un angajat al unei tipografii pe oră, de același număr de ori mai puțin timp va avea nevoie pentru a finaliza aceeași muncă. Știind acest lucru, să creăm o proporție:

42/48 = x/8, x = 42 * 8/48 = 7 ore.

Astfel, după ce a finalizat lucrarea în 7 ore, angajatul tipografiei putea pleca acasă cu o oră mai devreme.

Concluzie

Ni se pare că aceste probleme de proporționalitate inversă sunt cu adevărat simple. Sperăm că acum și tu te gândești la ei așa. Și principalul lucru este că cunoștințele despre dependența invers proporțională a cantităților vă pot fi cu adevărat utile de mai multe ori.

Nu numai la lecțiile și examenele de matematică. Dar chiar și atunci, când te pregătești să pleci într-o excursie, să mergi la cumpărături, să te hotărăști să câștigi niște bani în plus în vacanță etc.

Spune-ne în comentarii ce exemple de relații inverse și direct proporționale observi în jurul tău. Să fie un astfel de joc. Vei vedea cât de interesant este. Nu uitați să distribuiți acest articol pe rețelele sociale ca să se poată juca și prietenii și colegii tăi.

site-ul web, atunci când copiați materialul integral sau parțial, este necesar un link către sursă.