Conceptul de câmp. forțe conservatoare

câmp de forță

o parte a spațiului, în fiecare punct al căruia o forță de o anumită mărime și direcție acționează asupra unei particule plasate acolo, în funcție de coordonatele acestui punct și, uneori, în timp. În primul caz, câmpul de forță se numește staționar, iar în al doilea - nestaționar.

Câmp de forță

o parte de spațiu (limitată sau nelimitată), în fiecare punct al căruia o forță de o anumită mărime și direcție acționează asupra unei particule materiale plasate acolo, în funcție fie numai de coordonatele x, y, z ale acestui punct, fie de coordonatele x, y, z și timpul t . În primul caz, procesul staționar se numește staționar, iar în cel de-al doilea caz, este numit non-staționar. Dacă forța în toate punctele unei căi liniare are aceeași valoare, adică nu depinde nici de coordonate, nici de timp, atunci mișcarea liniară se numește omogenă. Un spațiu în care munca forțelor de câmp care acționează asupra unei particule de material care se mișcă în ea depinde numai de poziția inițială și finală a particulei și nu depinde de tipul traiectoriei acesteia se numește potențial. Acest lucru poate fi exprimat prin energia potențială a particulei P (x, y, z) prin egalitatea A = P (x1, y1, z).

≈ P (x2, y2, z

Unde x1, y1, z1 și x2, y2, z2 ≈ coordonatele pozițiilor inițiale și, respectiv, finale ale particulei. Atunci când o particulă se mișcă într-un spațiu potențial sub influența doar a forțelor de câmp, are loc legea conservării energiei mecanice, care face posibilă stabilirea relației dintre viteza particulei și poziția sa în câmp.

Exemple de câmpuri gravitaționale potențiale: un câmp gravitațional uniform, pentru care P = mgz, unde m ≈ masa particulelor, g ≈ accelerația gravitațională (axa z este îndreptată vertical în sus); Câmp gravitațional newtonian, pentru care P = ≈ fm/r, unde r ≈ distanța particulei de la centrul de atracție, f ≈ o constantă a coeficientului pentru un câmp dat.

Distins din punct de vedere tehnic:

• câmpuri de forță staționare, a cărei mărime și direcție pot depinde numai de un punct din spațiu (coordonatele x, y, z) și
• câmpuri de forță nestaționare, de asemenea în funcție de momentul de timp t.

• câmp de forță uniform, pentru care forța care acționează asupra particulei de testat este aceeași în toate punctele din spațiu și

• câmp de forță neomogen, care nu are această proprietate.

Cel mai simplu de studiat este un câmp de forță omogen staționar, dar reprezintă și cazul cel mai puțin general.

Câmp de forță

Câmpul de forță este un termen polisemantic folosit în următoarele semnificații:

• Câmp de forță- câmp vectorial de forţe în fizică;
• Câmp de forță- unii barieră invizibilă, a cărei funcție principală este de a proteja o zonă sau țintă de pătrunderi externe sau interne.

Câmp de forță (fantezie)

Câmp de forță sau scut de putere sau scut protector- un termen larg răspândit în literatura fantastică și științifico-fantastică, precum și în literatura fantastică, care denotă o barieră invizibilă, a cărei funcție principală este de a proteja o zonă sau obiectiv de pătrunderi externe sau interne. Această idee se poate baza pe conceptul de câmp vectorial. În fizică, acest termen are și mai multe semnificații specifice (vezi câmpul de forță).

Conceptul de „câmp” este întâlnit foarte des în fizică. Din punct de vedere formal, definiția unui câmp poate fi formulată astfel: dacă în fiecare punct al spațiului este dată valoarea unei anumite mărimi, scalară sau vectorială, atunci se spune că este dat un câmp scalar sau vectorial al acestei mărimi, respectiv .

Mai precis, se poate afirma că dacă o particulă în fiecare punct al spațiului este expusă influenței altor corpuri, atunci se află într-un câmp de forțe sau câmp de forță .

Câmpul de forță se numește central, dacă direcția forței în orice punct trece printr-un centru fix, iar mărimea forței depinde numai de distanța până la acest centru.

Câmpul de forță se numește omogen, dacă în toate punctele câmpului rezistenţă, acționând asupra particulei, identice ca mărime și direcție.

Staţionar numit câmp invariant în timp.

Dacă câmpul este staționar, atunci este posibil ca Post intensitatea câmpului asupra anumitor particule nu depinde de forma căii , de-a lungul căruia s-a deplasat particula și este complet determinată prin specificarea poziției inițiale și finale a particulei . Puterile câmpului având această proprietate se numesc conservator. (A nu se confunda cu orientarea politică a partidelor...)

Cea mai importantă proprietate a forțelor conservatoare este că lucrează asupra lor arbitrar calea închisă este zero. Într-adevăr, o cale închisă poate fi întotdeauna împărțită în mod arbitrar de două puncte în două secțiuni - secțiunea I și secțiunea II. Când vă deplasați de-a lungul primei secțiuni într-o direcție, se lucrează . Când conduceți pe aceeași secțiune în sens invers se lucrează – în formula de lucru (3.7) fiecare element de deplasare se înlocuiește cu semnul opus: . Prin urmare, integrala ca întreg schimbă semnul opus.

Apoi lucrați pe o cale închisă

Deoarece, prin definiția forțelor conservatoare, munca lor nu depinde de forma traiectoriei, atunci . Prin urmare

Este adevărat și invers: dacă munca pe o cale închisă este zero, atunci forțele câmpului sunt conservatoare . Ambele caracteristici pot fi utilizate pentru a determina forțele conservatoare.

Lucrul efectuat de gravitație lângă suprafața Pământului se găsește prin formula A=mg(h 1 -h 2)și evident că nu depinde de forma căii. Prin urmare, gravitația poate fi considerată conservatoare. Aceasta este o consecință a faptului că câmpul gravitațional din cadrul laboratorului poate fi considerat omogen cu o precizie foarte mare. Are aceeași proprietate orice câmp staționar uniform, ceea ce înseamnă forțele unui astfel de câmp sunt conservatoare. Ca exemplu, putem aminti câmpul electrostatic dintr-un condensator plat, care este, de asemenea, un câmp de forțe conservatoare.

Forțele centrale de câmp Asemenea conservator. Într-adevăr, munca lor asupra deplasării este calculată ca

Forțele conservatoare sunt forțe a căror activitate nu depinde de calea de tranziție a unui corp sau sistem de la poziția inițială la cea finală. O proprietate caracteristică a unor astfel de forțe este că munca pe o traiectorie închisă este zero:

Forțele conservatoare includ: gravitația, forța gravitațională, forța elastică și alte forțe.

Forțele neconservative sunt forțe a căror activitate depinde de calea de tranziție a unui corp sau sistem de la poziția inițială la cea finală. Lucrarea acestor forțe pe o traiectorie închisă este diferită de zero. Forțele neconservative includ: forța de frecare, forța de tracțiune și alte forțe.

Un câmp de forță este un spațiu fizic care satisface condiția în care punctele unui sistem mecanic situat în acest spațiu sunt acționate de forțe care depind de poziția acestor puncte sau de poziția punctelor și timpului. Câmp de forță. ale cărei forțe nu depind de timp se numește staționar. Un câmp de forță staționar se numește potențial dacă există o funcție care depinde în mod unic de coordonatele punctelor sistemului, prin care proiecțiile forței pe axele de coordonate în fiecare punct al câmpului sunt exprimate astfel: X i = ∂υ/∂x i ; Y i =∂υ/∂y i ; Z i = ∂υ/∂z i.

Fiecare punct al câmpului potențial corespunde, pe de o parte, unei anumite valori a vectorului forță care acționează asupra corpului, iar, pe de altă parte, unei anumite valori a energiei potențiale. Prin urmare, trebuie să existe o anumită relație între forță și energia potențială.

Pentru a stabili această legătură, să calculăm munca elementară efectuată de forțele câmpului în timpul unei mici deplasări a corpului care are loc de-a lungul unei direcții alese în mod arbitrar în spațiu, pe care o notăm cu litera . Această lucrare este egală cu

unde este proiecția forței pe direcție.

Din moment ce în în acest caz, munca se realizează datorită rezervei de energie potențială, este egală cu pierderea de energie potențială pe segmentul de axă:

Din ultimele două expresii obținem

Ultima expresie dă valoarea medie a intervalului. La

pentru a obține valoarea în punctul în care trebuie să mergeți la limită:

Deoarece se poate schimba nu numai atunci când se deplasează de-a lungul axei, ci și atunci când se deplasează pe alte direcții, limita din această formulă reprezintă așa-numita derivată parțială a cu privire la:

Această relație este valabilă pentru orice direcție în spațiu, în special pentru direcțiile axelor de coordonate carteziene x, y, z:

Această formulă determină proiecția vectorului forță pe axele de coordonate. Dacă aceste proiecții sunt cunoscute, vectorul forță în sine se dovedește a fi determinat:

în vectorul de matematică ,

unde a este o funcție scalară a lui x, y, z, numită gradientul acestui scalar și este notat cu simbolul. Prin urmare, forța este egală cu gradientul de energie potențială luat cu semnul opus

Pe lângă interacțiunile de contact care apar între corpurile aflate în contact, se observă și interacțiunile dintre corpurile îndepărtate unul de celălalt. De exemplu, interacțiunea dintre Soare și Pământ, Pământ și Lună, Pământ și un corp ridicat deasupra suprafeței sale, interacțiunea dintre corpurile electrificate. Astfel de interacțiuni se realizează prin câmpuri fizice, care sunt o formă specială de materie. Fiecare corp creează o stare specială în spațiul care îl înconjoară, numită puternic domeniu. Acest câmp se manifestă prin acțiunea forțelor asupra altor corpuri. De exemplu, Pământul creează un câmp gravitațional. În ea, fiecare corp de masă m în fiecare punct din apropierea suprafeței Pământului este acționat de o forță - mg.

Forțele a căror activitate nu depinde de calea pe care s-a deplasat particula, ci este determinată doar de poziția inițială și finală a particulei, se numesc conservator.

Să arătăm că munca forțelor conservatoare pe orice cale închisă este egală cu zero.

Luați în considerare o cale închisă arbitrară. Să-l împărțim cu punctele 1 și 2 alese aleatoriu în două secțiuni: I și II. Lucrul pe o cale închisă este egal cu:

Fig. 18.1. Munca forțelor conservatoare pe o cale închisă

Schimbarea direcției de mișcare de-a lungul secțiunii II spre opus este însoțită de înlocuirea tuturor deplasărilor elementare dr cu (-dr), ceea ce face ca semnul să fie inversat. Apoi:

Acum, înlocuind (18.2.) în (18.1.), aflăm că A = 0, i.e. Am dovedit afirmația de mai sus. O altă definiție a forțelor conservatoare poate fi formulată după cum urmează: forțele conservative sunt forțe al căror lucru pe orice cale închisă este zero.

Toate forțele care nu sunt conservatoare sunt numite neconservator. Forțele neconservative includ forțele de frecare și rezistență.

Dacă forțele care acționează asupra unei particule în toate punctele câmpului sunt identice ca mărime și direcție, atunci câmpul se numește omogen.

Se numește un câmp care nu se modifică în timp staţionar. În cazul unui câmp staționar uniform: F=const.

Afirmație: forțele care acționează asupra unei particule într-un câmp staționar uniform sunt conservative.

Să demonstrăm această afirmație. Deoarece câmpul este omogen și staționar, atunci F=const. Să luăm două puncte arbitrare 1 și 2 din acest câmp (Fig. 18.2.) și să calculăm munca efectuată asupra particulei atunci când aceasta se deplasează de la punctul 1 la punctul 2.

18.2. Lucrul forțelor într-un câmp staționar uniform pe drumul de la punctul 1 la punctul 2

Lucrul efectuat de forțele care acționează asupra unei particule într-un câmp staționar uniform este egal cu:

unde r F este proiecția vectorului deplasare r 12 pe direcția forței, r F este determinată numai de pozițiile punctelor 1 și 2 și nu depinde de forma traiectoriei. Apoi, munca forței în acest câmp nu depinde de forma traseului, ci este determinată doar de pozițiile punctelor inițiale și finale ale mișcării, adică. forțele unui câmp staționar uniform sunt conservatoare.

Lângă suprafața Pământului câmpul gravitațional este uniform câmp staționar iar munca efectuată de forța mg este:

unde (h 1 -h 2) este proiecția deplasării r 12 pe direcția forței, forța mg este îndreptată vertical în jos, gravitația este conservativă.

Forțele care depind doar de distanța dintre particulele care interacționează și sunt direcționate de-a lungul unei linii drepte care trece prin aceste particule sunt numite centrale. Exemple de forțe centrale sunt: ​​Coulomb, gravitaționale, elastice.

Câmpul fizic- o formă specială de materie care leagă particule de materie și transmite (cu o viteză finită) impactul unor corpuri asupra altora. Fiecare tip de interacțiune din natură are propriul său domeniu. Câmp de forță este o regiune a spațiului în care un corp material plasat acolo este acționat de o forță care depinde (în cazul general) de coordonate și timp. Câmpul de forță se numește staţionar, dacă forţele care acţionează în ea nu depind de timp. Un câmp de forță, în orice punct al căruia forța care acționează asupra unui punct material dat are aceeași valoare (în mărime și direcție), este omogen.

Un câmp de forță poate fi caracterizat liniile electrice.În acest caz, tangentele la liniile câmpului determină direcția forței în acest câmp, iar densitatea liniilor câmpului este proporțională cu mărimea forței.

Orez. 1.23.

Central se numește o forță a cărei linie de acțiune în toate pozițiile trece printr-un anumit punct numit centru de forță (punct DESPREîn fig. 1.23).

Câmpul în care acționează forța centrală este câmpul de forță centrală. Mărimea forței F(r), care actioneaza asupra aceluiasi obiect material (punct material, corp, sarcina electrica etc.) în puncte diferite un astfel de câmp depinde doar de distanța r până la centrul de forțe, adică.

(- vector unitar în direcția vectorului G). Toată puterea

Orez. 1.24. Reprezentare schematică pe un plan xOy câmp uniform

liniile unui astfel de câmp trec printr-un punct (pol) O; momentul forței centrale în acest caz relativ la pol este identic egal cu zero M 0 (F) = з 0. Cele centrale includ câmpuri gravitaționale și, respectiv, forțe Coulomb.

Figura 1.24 prezintă un exemplu de câmp de forță uniform (proiecția sa plată): în fiecare punct al unui astfel de câmp, forța care acționează asupra aceluiași corp este aceeași ca mărime și direcție, adică.

Orez. 1.25. Reprezentare schematică pe xOycâmp neomogen

Figura 1.25 prezintă un exemplu de câmp neuniform în care F (X,

y,z) *? const şi

și nu sunt egale cu zero 1. Densitatea liniilor de câmp în diferite zone ale unui astfel de câmp nu este aceeași - în zona din dreapta câmpul este mai puternic.

Toate forțele din mecanică pot fi împărțite în două grupe: forțe conservative (care acționează în câmpuri potențiale) și neconservative (sau disipative). Forțele sunt numite conservator (sau potential) dacă munca acestor forțe nu depinde nici de forma traiectoriei corpului pe care acţionează, nici de lungimea traseului în zona de acţiune a acestora, ci este determinată numai de poziţiile iniţiale şi finale a punctelor de mișcare în spațiu. Câmpul forțelor conservatoare se numește potenţial(sau conservator) domeniu.

Să arătăm că munca efectuată de forțele conservatoare de-a lungul unei bucle închise este zero. Pentru a face acest lucru, împărțim în mod arbitrar traiectoria închisă în două secțiuni a2Şi b2(Fig. 1.25). Din moment ce forțele sunt conservatoare, atunci L 1a2 = A t. Pe cealaltă parte A 1b2 = -A w. Apoi A ish = A 1a2 + A w = = A a2 - A b2 = 0, ceea ce trebuia dovedit. Este adevărat și invers

Orez. 1.26.

afirmație: dacă munca forțelor de-a lungul unui contur închis arbitrar φ este egal cu zero, atunci forțele sunt conservative și câmpul este potențial. Această condiție este scrisă ca o integrală de contur

Orez. 1.27.

ceea ce înseamnă: într-un câmp potențial, circulația vectorului F de-a lungul oricărui contur închis L este egală cu zero.

Lucrarea forțelor neconservative în cazul general depinde atât de forma traiectoriei, cât și de lungimea traseului. Exemple de forțe neconservative sunt forțele de frecare și rezistență.

Să arătăm că toate forțele centrale aparțin categoriei forțelor conservatoare. Într-adevăr (Fig. 1.27), dacă forţa F central, atunci poate fi

1 Prezentat în Fig. 1.23 câmpul de forță central este de asemenea un câmp neomogen.

pus sub forma În acest caz, munca elementară a forţei F

la o deplasare elementară d/ va exista sau

dA = F(r)dlcos а = F(r) dr (din moment ce rdl = rdl cos a, a d/ cos a = dr). Atunci lucrează

unde /(r) este funcția antiderivată.

Din expresia rezultată reiese clar că lucrarea Sus forță centrală F depinde doar de tipul funcției F(r) si distante G (și r 2 punctele 1 și 2 din centrul de forță O și nu depinde de lungimea traseului de la 1 la 2, ceea ce reflectă natura conservativă a forțelor centrale.

Dovada de mai sus este generală pentru orice forțe și câmpuri centrale, prin urmare, acoperă forțele menționate mai sus - gravitaționale și Coulomb.