Arii triunghiurilor similare sunt legate ca coeficient de similitudine. Raportul ariilor triunghiurilor similare

1.3. Raportul ariilor triunghiurilor similare. Teorema. Raportul ariilor a două triunghiuri similare este egal cu pătratul coeficientului de similitudine. Dovada. Fie triunghiurile ABC și A1B1C1 similare și coeficientul de asemănare egal cu k. Să notăm ariile acestor triunghiuri cu literele S și S1. Din moment ce A= A1, atunci.

Dimensiunea arhivei cu prezentarea este de 1756 KB.

alte prezentări

„Dreptunghiuri” - Diagonală. Picturi. Laturile unui dreptunghi. Perimetrul unui dreptunghi. Uman. Aria unui dreptunghi. Dreptunghi în viață. Definiţie. Latura unui dreptunghi. Diagonale. Povestea unui dreptunghi. Dreptunghi. Laturi opuse. „Produs punctual în coordonate” - Vector. teorema lui Napoleon. Consecinţă. Proprietăți ale produsului scalar al vectorilor. Schimb carduri. Să rezolvăm problema. Geometrie. Punctează produsul în coordonate și proprietățile sale. Test de matematică. Material nou

. Soluție triunghiulară. Încălzire matematică. Numele autorului teoremei. Demonstrarea teoremei lui Pitagora.

„Găsirea ariei unui paralelogram” - Aria unui paralelogram. Exerciții orale. Înălţime. Determinarea înălțimii unui paralelogram. Înălțimile paralelogramului. Aflați aria paralelogramului. Aria unui triunghi. Suprafața unui pătrat. Proprietățile zonelor. Găsiți aria triunghiului. Aflați perimetrul pătratului. Baza. Găsiți aria dreptunghiului. Găsiți aria pătratului. Semne de egalitate ale triunghiurilor dreptunghiulare. „Vectorii clasa a VIII-a” - Numiți vectori egali și opuși. Vectori în lecțiile de fizică. Mărimea absolută a vectorului. Mărimea absolută a vectorului. Un dreptunghi cu toate laturile egale. Concept de vector. Determinați coordonatele vectorului. Găsiți și numiți vectori egali în această figură. Vectori egali. Munca independentă în perechi. Coordonatele vectoriale. Motto-ul lecției. Scalar mărimi fizice

„Diferite tipuri de simetrie” - Cerință. Simetrie de alunecare. Triunghi isoscel cu simetrie în oglindă. Teoria grupurilor. Simetria în biologie. Simetria rotațională. Simetrie biradială. Ce este simetria. Supersimetrie. Simetria în geometrie. Simetria în fizică. Vârful clopotului. Apariția simetriei bilaterale. Simetrie bilaterală. teorema lui Noether. Lipsa de simetrie. Simetria fizicii. Simetria centrală.

„Pătrat în viață” - Pătratele ne găsesc peste tot. India. Patrat magic Albrecht Durer. Poveste. Pătrate. Pătrat magic Lo Shu. Pătrat negru. Ghicitoare „Pătrat”. Fapte interesante despre pătrat. Figura geometrică pătrat. Piața Malevici. Patrat magic. Dreptunghi. Pătrat. Concept de bază. Fapte interesante. China.

profesor: .

Tip de lecție: lectie despre introducerea de material nou.

Obiectivul lecției: Demonstrați proprietatea ariilor triunghiurilor similare și arătați semnificația sa practică în rezolvarea problemelor.

Obiectivele lecției:

predare – să dovedească proprietatea ariilor triunghiurilor asemănătoare și să-și arate semnificația practică în rezolvarea problemelor; dezvoltarea - să dezvolte capacitatea de a analiza și selecta argumente la rezolvarea unei probleme, metoda de rezolvare care este necunoscută; educațional - a cultiva interesul pentru subiect prin conținutul procesului de învățământ și crearea unei situații de succes, a cultiva capacitatea de a lucra în grup.

Elevul are următoarele cunoștințe:

1. Definirea triunghiurilor similare;

2. Aplicarea definiţiei triunghiurilor similare în rezolvarea problemelor;

3. Teorema raportului dintre ariile triunghiurilor cu unghiuri egale;

Unitatea de conținut al activității pe care elevii trebuie să o învețe:

Progresul lecției.

1. Moment organizatoric.

2. Actualizarea cunoștințelor.

3. Lucrul cu o situație problematică.

4. Rezumarea lecției și înregistrarea temelor, reflecție.

Metode de predare: verbale, vizuale, de căutare a problemelor.

Forme de antrenament: lucru frontal, lucru în mini-grupuri, individual și munca independenta.

Tehnologii: orientat pe sarcini, tehnologia informației, abordare bazată pe competențe.

Echipament:

computer, proiector pentru prezentari demonstrative, tabla interactiva, camera pentru documente; prezentare pe calculator în Microsoft PowerPoint; rezumat justificativ;

Progresul lecției

1. Moment organizatoric.

Salut baieti! Aşezaţi-vă. Astăzi avem o lecție neobișnuită. Avem oaspeți la lecția noastră. Vă rugăm să întoarceți-vă și să-i întâmpinați cu un semn din cap. Multumesc baieti. Aşezaţi-vă.

Astăzi în lecție vom lucra nu în caiete, ci în note de referință, pe care le veți completa pentru continuarea întregii lecții. Semnează-l. Nota la lecție va consta din două componente: pentru notele justificative și pentru munca activă la lecție.

2. Actualizarea cunoștințelor elevilor. Pregătirea pentru activitatea educațională și cognitivă activă în etapa principală a lecției.

Continuăm să studiem subiectul „asemănarea triunghiurilor”. Așa că să ne amintim ce am studiat în ultima lecție.

Încălzire teoretică. Test.În notele de referință, prima sarcină este de natură de testare. Răspundeți la întrebări alegând una dintre opțiunile de răspuns propuse și introduceți răspunsul dvs. acolo unde este necesar.

1) Profesor:Cum se numește raportul dintre două segmente?

Răspuns: Raportul dintre două segmente a două segmente este raportul dintre lungimile lor.

2) Profesor:În ce caz sunt segmenteleAB ŞiCDproporțional cu segmenteleO1 B1 ŞiC1 D1

Răspuns: segmenteAB ŞiCDproporțional cu segmenteleO1 B1 ŞiC1 D1 , Dacă

Opțiunile tale. Amenda. Nu uitați să corectați pe oricine a greșit.

3) Profesor: Definiți triunghiuri similare? Consultați nota dvs. de referință. Aveți trei opțiuni pentru a răspunde la această întrebare. Alege-l pe cel potrivit. Încercuiește-l.

Deci, te rog, ce opțiune ai ales_______

Răspuns: Două triunghiuri se numesc similare dacă unghiurile lor sunt egale, iar laturile unui triunghi sunt proporționale cu laturile celuilalt triunghi.

Bine făcut! Corectează pe oricine a greșit.

4) Profesor: Care este raportul dintre ariile a două triunghiuri care au unghiuri egale?

Răspuns: Dacă unghiul unui triunghi este egal cu unghiul altui triunghi, atunci ariile acestor triunghiuri sunt legate ca produsul laturilor care includ unghiuri egale.

Rezolvarea problemelor folosind desene gata făcute. În continuare, încălzirea noastră va avea loc în timp ce rezolvăm probleme folosind desene gata făcute. De asemenea, puteți vedea aceste sarcini în notele de referință.

https://pandia.ru/text/80/368/images/image005_101.gif" width="480" height="360">

Răspuns: laturile triunghiului Bermudelor sunt 2000 km, 1840 km, 2220 km. Lungimea graniței este de 6060 km.

Reflecţie.

Raspuns posibil: Triunghiuri similare au laturi similare care sunt proporționale.

2. Situația de succes.

Ne-am dat seama de dimensiunile Triunghiului Bermudelor. Ei bine, acum să aflăm măsurătorile patului de flori. Întoarcem notele justificative. A doua sarcină. Rezolvăm această problemă lucrând în perechi. Verificăm într-un mod similar, dar doar rezultatul va fi prezentat de primul cuplu care va finaliza sarcina.

Răspuns: laturile unui pat de flori triunghiular au 10m și 11m 20 cm.

Deci, hai să verificăm. Toți sunt de acord? Cine a decis altfel?

Reflecţie.

Ce metodă de acțiune ați folosit pentru a rezolva această problemă? Notează-l în nota de referință.

Raspuns posibil:

· triunghiuri similare au unghiuri corespunzătoare egale;

· Arii triunghiurilor cu unghiuri egale sunt produsul laturilor care conțin unghiuri egale.

3. Situație de eșec.

5. Studierea materialelor noi.

La rezolvarea celei de-a treia probleme, elevii se confruntă cu o problemă. Ei sunt incapabili să rezolve problema deoarece, în opinia lor, condițiile problemei nu sunt suficient de complete sau primesc un răspuns nefondat.

Elevii nu mai întâlniseră acest tip de problemă, așa că a existat un eșec în rezolvarea problemei.

Reflecţie.

Ce metoda ai incercat sa rezolvi?

De ce nu ai putut rezolva ultima ecuație?

Elevi: Nu putem găsi aria unui triunghi dacă se cunosc doar aria unui triunghi similar și coeficientul de similitudine.

Astfel, scopul lecției noastre Aflați aria unui triunghi dacă sunt cunoscute doar aria unui triunghi similar și coeficientul de similitudine.

Să reformulăm problema în limbaj geometric. Să o rezolvăm și apoi să revenim la această problemă.

Concluzie: Raportul ariilor triunghiurilor similare este egal cu pătratul coeficientului de similitudine.

Ei bine, acum să revenim la problema nr. 3 și să o rezolvăm pe baza unui fapt dovedit.

7. Rezumatul lecției

Ce lucruri noi ai învățat să faci astăzi?

Rezolvați probleme în care se cunosc coeficientul de similitudine și aria unuia dintre triunghiurile similare.

Ce proprietate geometrică ne-a ajutat în acest sens?

Raportul ariilor triunghiurilor similare este egal cu pătratul coeficientului de similitudine.

Teme pentru acasă.

p. 58 p. 139 nr. 000, 548

Sarcina creativă.

Aflați care este raportul dintre perimetrele a două triunghiuri similare (nr. 000)

Obiectivul lecției: dați o definiție a triunghiurilor similare, demonstrați o teoremă despre relația triunghiurilor similare.

Obiectivele lecției:

• Educațional: Elevii trebuie să cunoască definiția triunghiurilor similare, teorema despre relația dintre triunghiuri similare, să le poată aplica la rezolvarea problemelor și să implementeze conexiuni interdisciplinare cu algebra și fizica.
• Educațional: să cultive munca grea, atenția, diligența și să cultive o cultură a comportamentului elevilor.
• Educațional: dezvoltarea atenției elevilor, dezvoltarea capacității de a raționa, gândi logic, trage concluzii, dezvoltarea vorbirii și gândirii matematice competente ale elevilor, dezvoltarea abilităților de autoanaliză și independență.
• Salvarea sănătății: respectarea standardelor sanitare și igienice, schimbarea tipurilor de activități din lecție.

Echipament: calculator, proiector, material didactic: independentă şi teste la algebră și geometrie pentru clasa a VIII-a A.P. Ershova etc.

Tip de lecție:învăţarea de materiale noi.

Progresul lecției

I. Moment organizatoric(salutare, verificarea pregătirii pentru lecție).

II. Mesaj cu subiectul lecției.

Profesor:ÎN viata de zi cu zi Există obiecte de aceeași formă, dar de dimensiuni diferite.

Exemplu: mingi de fotbal si tenis.

În geometrie, figurile de aceeași formă sunt numite similare: oricare două cercuri, oricare două pătrate.

Să introducem conceptul de triunghiuri similare.

Definiţie: Două triunghiuri se numesc similare dacă unghiurile lor sunt egale, iar laturile unui triunghi sunt proporționale cu laturile similare ale celuilalt.

Număr k, egal cu raportul laturilor similare ale triunghiurilor similare se numește coeficient de asemănare. ΔABC ~ A 1 B 1 C 1

1. Oral: Triunghiurile sunt asemănătoare? De ce? (desen pregătit pe ecran).

a) Triunghiul ABC și triunghiul A 1 B 1 C 1, dacă AB = 7, BC = 5, AC = 4, ∠A = 46˚, ∠C = 84˚, ∠A 1 = 46˚, ∠B 1 = 50 ˚, A 1 B 1 = 10,5, B 1 C 1 = 7,5, A 1 C 1 = 6.

b) Într-un triunghi isoscel, unghiul vârfului este de 24˚, iar într-un alt triunghi isoscel, unghiul de bază este de 78˚.

Băieți! Să ne amintim teorema raportului dintre ariile triunghiurilor cu unghiuri egale.

Teorema: Dacă unghiul unui triunghi este egal cu unghiul altui triunghi, atunci ariile acestor triunghiuri sunt legate ca produsul laturilor care includ unghiuri egale.

2. Lucrări scrise conform desenelor pregătite.

Desen pe ecran:

a) dat: BN: NC = 1:2,

BM = 7 cm, AM = 3 cm,

S MBN = 7 cm2.

Găsiți: S ABC

(Răspuns: 30 cm 2.)

b) Având în vedere: AE = 2 cm,

S AEK = 8 cm 2.

Găsiți: S ABC

(Răspuns: 56 cm 2.)

3. Să demonstrăm teorema raportului dintre ariile triunghiurilor similare ( Elevul demonstrează teorema pe tablă, toată clasa ajută).

Teorema: Raportul a două triunghiuri similare este egal cu pătratul coeficientului de asemănare.

4. Actualizarea cunoștințelor.

Rezolvarea problemelor:

1. Arii a două triunghiuri similare sunt 75 cm 2 și 300 cm 2. Una dintre laturile celui de-al doilea triunghi are 9 cm. Găsiți latura primului triunghi similar cu acesta. ( Răspuns: 4,5 cm)

2. Laturile similare ale triunghiurilor similare sunt de 6 cm și 4 cm, iar suma ariilor lor este de 78 cm 2. Găsiți ariile acestor triunghiuri. ( Răspuns: 54 cm 2 și 24 cm 2.)

Dacă ai timp munca independenta de natură educativă.

Opțiunea 1

Triunghiuri similare au laturile similare egale cu 7 cm și 35 cm.

Aria primului triunghi este de 27 cm2.

Găsiți aria celui de-al doilea triunghi. ( Răspuns: 675 cm 2.)

Opțiunea 2

Suprafețele triunghiurilor similare sunt de 17 cm2 și 68 cm2. Latura primului triunghi este de 8 cm. Găsiți latura similară a celui de-al doilea triunghi. ( Răspuns: 4 cm)

5. Tema pentru acasă: manual de geometrie 7-9 L.S. Atanasyan și colab., paragrafele 57, 58, nr. 545, 547.

6. Rezumând lecția.

Lecția 34. Teorema privind raportul ariilor triunghiurilor similare. TEOREMA. Raportul ariilor a două triunghiuri similare este egal cu pătratul coeficientului de similitudine. unde k este coeficientul de similitudine. Raportul dintre perimetrele a două triunghiuri similare este egal cu coeficientul de asemănare. V. A. S. R. M. K. Rezolvarea problemelor: Nr. 545, 549. Teme: p. 56-58, Nr. 544, 548.

Dimensiunea arhivei cu prezentarea este de 1756 KB.

rezumatul altor prezentări

„Definiția simetriei axiale” - Simetria în natură. Cheie. Axele de simetrie. Desenați un punct. Construirea unui punct. Construcția unui triunghi. Construirea unui segment. Popoarele. Simetria în poezie. Figuri care nu au simetrie axială. Figuri cu două axe de simetrie. Dreptunghi. Simetrie. Drept. Trasează punctele. Simetrie axială. Segment. Axa de simetrie. Desenați două linii drepte. Puncte situate pe aceeași perpendiculară. Proporționalitate.

„Găsirea ariei unui paralelogram” - Găsiți aria paralelogramului. Aria unui paralelogram. Înălţime. Găsiți aria pătratului. Suprafața unui pătrat. Înălțimile paralelogramului. Găsiți aria triunghiului. Semne de egalitate ale triunghiurilor dreptunghiulare. Găsiți aria dreptunghiului. Determinarea înălțimii unui paralelogram. Baza. Aria unui triunghi. Aflați perimetrul pătratului. Proprietățile zonelor. Exerciții orale. „Sarcini privind găsirea zonei” - Lecție - explicație de material nou, realizată sub forma unei prezentări „Power point”. Scopul principal. „Aria unui paralelogram”. „Zona unui trapez”. VERIFICAREA MATERIALULUI ÎNVĂȚAT. Rezolvați problema. Caiet de lucru

Nr.42, repetați toate formulele studiate. Deduceți formule pentru ariile unui dreptunghi, paralelogram, trapez și triunghi. Extindeți și aprofundați înțelegerea măsurării suprafeței. Să formuleze conceptul de zonă în rândul elevilor.

„Dreptunghiuri” - Omul. Laturi opuse. Latura unui dreptunghi. Povestea unui dreptunghi. Laturile unui dreptunghi. Dreptunghi în viață. Perimetrul unui dreptunghi. Dreptunghi. Diagonale. Picturi. Diagonală. Definiţie. Aria unui dreptunghi.

„„Zona unui dreptunghi” clasa a VIII-a” - Aria pătratului umbrit. Laturile fiecărui dreptunghi. ABCD și DСМK sunt pătrate. Un paralelogram este construit pe latura AB. Unitățile de măsură ale suprafeței. Găsiți aria pătratului. Aria unui dreptunghi. ABCD este un paralelogram. Proprietățile zonelor. Aflați aria patrulaterului. Arii de pătrate construite pe laturile unui dreptunghi. Podeaua camerei are forma unui dreptunghi. Aria unui pătrat este egală cu pătratul laturii sale.

Segmente proporționale

Pentru a introduce conceptul de similitudine, trebuie mai întâi să ne amintim conceptul de segmente proporționale. Să ne amintim și definiția raportului dintre două segmente.

Definiția 1

Raportul dintre două segmente este raportul dintre lungimile lor.

Conceptul de proporționalitate a segmentelor se aplică și la Mai mult segmente. Să fie, de exemplu, $AB=2$, $CD=4$, $A_1B_1=1$, $C_1D_1=2$, $A_2B_2=4$, $C_2D_2=8$, apoi

Adică, segmentele $AB$, $A_1B_1$, $\A_2B_2$ sunt proporționale cu segmentele $CD$, $C_1D_1$, $C_2D_2$.

Triunghiuri similare

Să ne amintim mai întâi ce reprezintă în general conceptul de similitudine.

Definiția 3

Figurile sunt numite similare dacă au aceeași formă, dar dimensiuni diferite.

Să înțelegem acum conceptul de triunghiuri similare. Luați în considerare figura 1.

Figura 1. Două triunghiuri

Fie că aceste triunghiuri au $\angle A=\angle A_1,\ \angle B=\angle B_1,\ \angle C=\angle C_1$. Să introducem următoarea definiție:

Definiția 4

Laturile a două triunghiuri se numesc similare dacă se află opuse unghiurilor egale ale acestor triunghiuri.

În figura 1, laturile $AB$ și $A_1B_1$, $BC$ și $B_1C_1$, $AC$ și $A_1C_1$ sunt similare. Să introducem acum definiția triunghiurilor similare.

Definiția 5

Două triunghiuri se numesc similare dacă unghiurile tuturor unghiurilor unui triunghi sunt, respectiv, egale cu unghiurile celuilalt și ale triunghiului, iar toate laturile similare ale acestor triunghiuri sunt proporționale, adică

\[\angle A=\angle A_1,\ \angle B=\angle B_1,\ \angle C=\angle C_1,\] \[\frac(AB)(A_1B_1)=\frac(BC)((B_1C) _1)=\frac(AC)(A_1C_1)\]

Figura 1 prezintă triunghiuri similare.

Denumire: $ABC\sim A_1B_1C_1$

Pentru conceptul de similaritate, există și conceptul de coeficient de asemănare.

Definiția 6

Numărul $k$ egal cu raportul laturilor similare ale unor figuri similare se numește coeficient de asemănare al acestor cifre.

Arii triunghiurilor similare

Să considerăm acum teorema privind raportul ariilor triunghiurilor similare.

Teorema 1

Raportul ariilor a două triunghiuri similare este egal cu pătratul coeficientului de similitudine, adică

\[\frac(S_(ABC))(S_(A_1B_1C_1))=k^2\]

Dovada.

Să considerăm două triunghiuri similare și să le notăm zonele ca $S$ și, respectiv, $S_1$ (Fig. 2).

Figura 2.

Pentru a demonstra această teoremă, amintiți-vă următoarea teoremă:

Teorema 2

Dacă unghiul unui triunghi este egal cu unghiul celui de-al doilea triunghi, atunci ariile lor sunt legate ca produsul laturilor adiacente acestui unghi.

Deoarece triunghiurile $ABC$ și $A_1B_1C_1$ sunt similare, atunci, prin definiție, $\angle A=\angle A_1$. Apoi, prin teorema 2, obținem că

Deoarece $\frac(AB)(A_1B_1)=\frac(AC)(A_1C_1)=k$, obținem

Teorema a fost demonstrată.

Probleme legate de conceptul de similaritate triunghiulară

Exemplul 1

Având în vedere triunghiuri similare $ABC$ și $A_1B_1C_1.$ Laturile primului triunghi sunt $AB=2,\ BC=5,\ AC=6$. Coeficientul de similitudine al acestor triunghiuri este $k=2$. Aflați laturile celui de-al doilea triunghi.

Soluţie.

Această problemă are două soluții posibile.

Fie $k=\frac(A_1B_1)(AB)=\frac((B_1C)_1)(BC)=\frac(A_1C_1)(AC)$.

Apoi $A_1B_1=kAB,\ (B_1C)_1=kBC,\ A_1C_1=kAC$.

Prin urmare, $A_1B_1=4,\ (B_1C)_1=10,\ A_1C_1=12$

Fie $k=\frac(AB)(A_1B_1)=\frac(BC)((B_1C)_1)=\frac(AC)(A_1C_1)$

Apoi $A_1B_1=\frac(AB)(k),\ (B_1C)_1=\frac(BC)(k),\ A_1C_1=\frac(AC)(k)$.

Prin urmare, $A_1B_1=1,\ (B_1C)_1=2,5,\ \ A_1C_1=3$.

Exemplul 2

Având în vedere triunghiuri similare $ABC$ și $A_1B_1C_1.$ Latura primului triunghi este $AB=2$, latura corespunzătoare a celui de-al doilea triunghi este $A_1B_1=6$. Înălțimea primului triunghi este $CH=4$. Găsiți aria celui de-al doilea triunghi.

Soluţie.

Deoarece triunghiurile $ABC$ și $A_1B_1C_1$ sunt similare, atunci $k=\frac(AB)(A_1B_1)=\frac(1)(3)$.

Să găsim aria primului triunghi.

Prin teorema 1, avem:

\[\frac(S_(ABC))(S_(A_1B_1C_1))=k^2\] \[\frac(4)(S_(A_1B_1C_1))=\frac(1)(9)\] \