Aria unui trapez cu unghi drept. Aria unui trapez: cum se calculează, formulă

Ce este un trapez isoscel? Aceasta este o figură geometrică ale cărei laturi opuse, neparalele, sunt egale. Există mai multe formule diferite pentru a găsi aria unui trapez cu conditii diferite, care sunt date în sarcini. Adică aria poate fi găsită dacă sunt date înălțimea, laturile, unghiurile, diagonalele etc. De asemenea, este imposibil să nu menționăm că pentru trapezele isoscele există câteva „excepții”, datorită cărora căutarea zonei și formula în sine sunt simplificate semnificativ. Mai jos sunt prezentate soluții detaliate pentru fiecare caz cu exemple.

Proprietăți necesare pentru găsirea ariei unui trapez isoscel

Am aflat deja că o figură geometrică care are laturi opuse, nu paralele, dar egale este un trapez și una isoscelă. Există cazuri speciale când un trapez este considerat isoscel.

Acestea sunt condițiile pentru egalitatea unghiurilor. Deci, un punct obligatoriu: unghiurile de la bază (faceți poza de mai jos) trebuie să fie egale. În cazul nostru, unghiul BAD = unghiul CDA și unghiul ABC = unghiul BCD
Doilea regula importanta– într-un astfel de trapez diagonalele trebuie să fie egale. Prin urmare, AC = BD.
Al treilea aspect: unghiurile opuse ale trapezului trebuie să adună până la 180 de grade. Aceasta înseamnă că unghiul ABC + unghiul CDA = 180 de grade. Același lucru este valabil și pentru unghiurile BCD și BAD.
În al patrulea rând, dacă un trapez permite ca un cerc să fie descris în jurul lui, atunci este isoscel.

Cum să găsiți aria unui trapez isoscel - formule și descrierile acestora

S = (a+b)h/2 este formula cea mai comună pentru găsirea zonei, unde O – baza inferioară, b este baza superioară, iar h este înălțimea.

Dacă înălțimea este necunoscută, atunci o puteți căuta folosind o formulă similară: h = c*sin(x), unde c este fie AB, fie CD. sin(x) este sinusul unghiului la orice bază, adică unghiul DAB = unghiul CDA = x. În cele din urmă, formula ia următoarea formă: S = (a+b)*c*sin(x)/2.
Înălțimea poate fi găsită și folosind această formulă:

Formula finală arată astfel:

Zona unui trapez isoscel poate fi găsită și prin intermediul linia mediană si inaltime. Formula este: S = mh.

Să luăm în considerare condiția când un cerc este înscris într-un trapez.

În cazul prezentat în imagine,

QN = D = H – diametrul cercului și în același timp înălțimea trapezului;

LO, ON, OQ = R – razele cercului;

DC = a – baza superioară;

AB = b – baza inferioară;

DAB, ABC, BCD, CDA – alfa, beta – unghiurile bazelor trapezului.

Un caz similar permite găsirea zonei folosind următoarele formule:

Acum să încercăm să găsim aria prin diagonale și unghiurile dintre ele.

În figură notăm AC, DB – diagonale – d. Unghiuri COB, DOB – alfa; DOC, AOB – beta. Formula pentru aria unui trapez isoscel folosind diagonalele și unghiul dintre ele, ( S ) este:

Instrucţiuni

Pentru a face ambele metode mai ușor de înțeles, putem da câteva exemple.

Exemplul 1: lungimea liniei mediane a trapezului este de 10 cm, aria sa este de 100 cm². Pentru a afla înălțimea acestui trapez, trebuie să faceți:

h = 100/10 = 10 cm

Răspuns: înălțimea acestui trapez este de 10 cm

Exemplul 2: aria trapezului este de 100 cm², lungimile bazelor sunt de 8 cm și 12 cm. Pentru a găsi înălțimea acestui trapez, trebuie să efectuați următoarea acțiune:

h = (2*100)/(8+12) = 200/20 = 10 cm

Răspuns: înălțimea acestui trapez este de 20 cm

Vă rugăm să rețineți

Există mai multe tipuri de trapeze:
Un trapez isoscel este un trapez în care laturile sunt egale între ele.
Un trapez dreptunghiular este un trapez în care unul dintre colțurile interne egal cu 90 de grade.
Este de remarcat faptul că într-un trapez dreptunghiular, înălțimea coincide cu lungimea laturii în unghi drept.
Puteți descrie un cerc în jurul unui trapez sau îl puteți potrivi în interiorul unei figuri date. Puteți înscrie un cerc numai dacă suma bazelor sale este egală cu suma laturilor sale opuse. Un cerc poate fi descris doar în jurul unui trapez isoscel.

Sfaturi utile

Un paralelogram este un caz special al unui trapez, deoarece definiția unui trapez nu contrazice în niciun fel definiția unui paralelogram. Un paralelogram este un patrulater ale cărui laturi opuse sunt paralele între ele. Pentru un trapez, definiția se referă doar la o pereche de laturile sale. Prin urmare, orice paralelogram este și un trapez. Afirmația inversă nu este adevărată.

Surse:

cum să găsiți aria unei formule trapezoid

Sfat 2: Cum să găsiți înălțimea unui trapez dacă aria este cunoscută

Un trapez este un patrulater în care două dintre cele patru laturi ale sale sunt paralele între ele. Laturile paralele sunt bazele celui dat, celelalte două sunt laturile laterale ale celui dat. trapeze. Găsi înălţime trapeze, dacă se cunoaște pătrat, va fi foarte ușor.

Instrucţiuni

Trebuie să-ți dai seama cum să calculezi pătrat original trapeze. Există mai multe formule pentru aceasta, în funcție de datele inițiale: S = ((a+b)*h)/2, unde a și b sunt baze trapeze, iar h este înălțimea sa (Înălțimea trapeze- perpendicular, coborât de la o bază trapeze la altul);
S = m*h, unde m este linie trapeze(Linia de mijloc este un segment cu baze trapezeși conectând punctele medii ale laturilor sale).

Pentru a fi mai clar, pot fi luate în considerare probleme similare: Exemplul 1: dat un trapez cu pătrat 68 cm², a cărui linie de mijloc este de 8 cm, trebuie să găsiți înălţime dat trapeze. Pentru a rezolva această problemă, trebuie să utilizați formula derivată anterior:
h = 68/8 = 8,5 cm Răspuns: înălțimea acestuia trapeze este de 8,5 cm. Exemplul 2: Fie y trapeze pătrat este egală cu 120 cm², lungimea bazelor acestuia trapeze 8 cm și respectiv 12 cm, trebuie să găsiți înălţime acest trapeze. Pentru a face acest lucru, trebuie să aplicați una dintre formulele derivate:
h = (2*120)/(8+12) = 240/20 = 12 cmRăspuns: înălțimea dată trapeze egal cu 12 cm

Video pe tema

Vă rugăm să rețineți

Orice trapez are o serie de proprietăți:

Linia mediană a unui trapez este egală cu jumătate din suma bazelor sale;

Segmentul care leagă diagonalele unui trapez este egal cu jumătate din diferența bazelor acestuia;

Dacă se trasează o linie dreaptă prin punctele medii ale bazelor, atunci aceasta va intersecta punctul de intersecție al diagonalelor trapezului;

Un cerc poate fi înscris într-un trapez dacă suma bazelor trapezului este egală cu suma laturilor acestuia.

Folosiți aceste proprietăți atunci când rezolvați probleme.

Sfat 3: Cum să găsiți aria unui trapez dacă bazele sunt cunoscute

Prin definiție geometrică, un trapez este un patrulater cu o singură pereche de laturi paralele. Aceste părți sunt ale ei motive. Distanța dintre motive numită înălțime trapeze. Găsi pătrat trapeze posibil folosind formule geometrice.

Instrucţiuni

Măsurați bazele și trapeze ABCD. De obicei, acestea sunt date în sarcini. Să fie în acest exemplu problema baza AD (a) trapeze va fi egal cu 10 cm, baza BC (b) - 6 cm, înălțime trapeze BK (h) - 8 cm Folosiți geometric pentru a găsi suprafața trapeze, dacă se cunosc lungimile bazelor și înălțimii sale - S= 1/2 (a+b)*h, unde: - a - mărimea bazei AD trapeze ABCD, - b - valoarea bazei BC, - h - valoarea înălțimii BK.

Înainte de a găsi aria unui trapez, este necesar să se determine elementele cunoscute ale trapezului. Un trapez este un obiect geometric, și anume un patrulater care are două laturi paralele (două baze). Celelalte două laturi sunt laterale. Dacă aceste două laturi ale patrulaterului sunt și paralele, atunci nu va mai fi un trapez, ci un paralelogram. Dacă cel puțin un unghi al unui trapez este de 90 de grade, atunci un astfel de trapez se numește dreptunghiular. Ne vom uita la cum să găsim aria unui trapez dreptunghiular mai târziu. Există și un trapez isoscel, al cărui nume vorbește de la sine: laturile unui astfel de trapez sunt egale. Distanța dintre bazele unui trapez se numește înălțime, iar înălțimea este foarte des folosită pentru a găsi suprafața. Linia mediană a unui trapez este un segment care leagă punctele medii ale laturilor.

Formule de bază pentru găsirea ariei unui trapez

S= h*(a+b)/2
Unde h este înălțimea trapezului, a, b sunt bazele. Cea mai des folosită formulă pentru găsirea ariei unui trapez este jumătate din suma bazelor înmulțită cu înălțimea.
S = m*h
Unde m este linia mediană a trapezului, h este înălțimea. Aria unui trapez este, de asemenea, egală cu produsul dintre linia mediană a trapezului și înălțimea acestuia.
S=1/2*d1*d2*sin(d1^d2)
Unde d1, d2 sunt diagonalele trapezului, sin(d1^d2) este sinusul unghiului dintre diagonalele trapezului.

Există, de asemenea, diverse formule derivate din cele de bază, precum și o formulă pentru calcularea ariei unui trapez atunci când toate laturile sale sunt cunoscute. Cu toate acestea, această formulă este destul de greoaie și este rar folosită, deoarece, cunoscând toate laturile trapezului, puteți determina pur și simplu înălțimea sau linia mediană a acestuia. De asemenea, în trapez isoscel poti inscrie un cerc. În acest caz, aria trapezului va fi calculată folosind formula: 8*raza cercului la pătrat.

Cum să găsiți aria unui trapez dreptunghiular

După cum am menționat mai devreme, un trapez se numește dreptunghiular dacă are cel puțin un unghi drept. Găsirea zonei unui astfel de trapez este foarte simplă. Practic, pentru a găsi aria unui trapez dreptunghiular, se folosesc aceleași formule ca și pentru un trapez obișnuit. Cu toate acestea, merită să ne amintim că una dintre laturile unui astfel de trapez va fi înălțimea. De asemenea, adesea rezolvarea problemelor de găsire a ariei unui trapez dreptunghiular se reduce la găsirea ariei dreptunghiului și triunghiului format de înălțimea omisă. Astfel de sarcini sunt destul de simple.

Practica Examenului de stat unificat și a examenului de stat de anul trecut arată că problemele de geometrie provoacă dificultăți pentru mulți școlari. Le poți face față cu ușurință dacă memorezi toate formulele necesare și exersezi rezolvarea problemelor.

În acest articol veți vedea formule pentru găsirea zonei unui trapez, precum și exemple de probleme cu soluții. Le puteți întâlni pe aceleași în KIM-uri în timpul examenelor de certificare sau la olimpiade. Prin urmare, tratați-le cu atenție.

Ce trebuie să știi despre trapez?

Pentru început, să ne amintim asta trapez se numește patrulater în care două laturi opuse, numite și baze, sunt paralele, iar celelalte două nu.

Într-un trapez, înălțimea (perpendiculară pe bază) poate fi, de asemenea, coborâtă. Se trasează linia de mijloc - aceasta este o linie dreaptă paralelă cu bazele și egală cu jumătate din suma lor. La fel și diagonalele care se pot intersecta, formând unghiuri acute și obtuze. Sau, în unele cazuri, în unghi drept. În plus, dacă trapezul este isoscel, în el poate fi înscris un cerc. Și descrie un cerc în jurul lui.

Formule ale zonei trapezoidale

În primul rând, să ne uităm la formulele standard pentru găsirea ariei unui trapez. Vom lua în considerare modalități de a calcula aria trapezelor isoscele și curbilinii mai jos.

Deci, imaginați-vă că aveți un trapez cu bazele a și b, în care înălțimea h este coborâtă la baza mai mare. Calcularea suprafeței unei figuri în acest caz este la fel de ușor ca decojirea perelor. Trebuie doar să împărțiți suma lungimilor bazelor cu două și să înmulțiți rezultatul cu înălțimea: S = 1/2(a + b)*h.

Să luăm un alt caz: să presupunem că într-un trapez, pe lângă înălțime, există o linie de mijloc m. Cunoaștem formula pentru aflarea lungimii dreptei din mijloc: m = 1/2(a + b). Prin urmare, putem simplifica pe bună dreptate formula pentru aria unui trapez la următoarea formă: S = m* h. Cu alte cuvinte, pentru a găsi aria unui trapez, trebuie să înmulțiți linia centrală cu înălțimea.

Să luăm în considerare o altă opțiune: trapezul conține diagonalele d 1 și d 2, care nu se intersectează în unghi drept α. Pentru a calcula aria unui astfel de trapez, trebuie să împărțiți produsul diagonalelor cu două și să înmulțiți rezultatul cu păcatul unghiului dintre ele: S= 1/2d 1 d 2 *sinα.

Acum luați în considerare formula pentru găsirea ariei unui trapez dacă nu se știe nimic despre acesta, cu excepția lungimii tuturor laturilor sale: a, b, c și d. Este voluminos și formula complexa, dar vă va fi util să vă amintiți, pentru orice eventualitate: S = 1/2(a + b) * √c 2 – ((1/2(b – a)) * ((b – a) 2 + c 2 – d 2)) 2.

Apropo, exemplele de mai sus sunt valabile și pentru cazul în care aveți nevoie de formula pentru aria unui trapez dreptunghiular. Acesta este un trapez, a cărui latură se învecinează cu bazele în unghi drept.

Trapez isoscel

Un trapez ale cărui laturi sunt egale se numește isoscel. Vom lua în considerare mai multe opțiuni pentru formula pentru aria unui trapez isoscel.

Prima opțiune: pentru cazul în care un cerc cu raza r este înscris în interiorul unui trapez isoscel, iar latura și baza mai mare formează un unghi ascuțit α. Un cerc poate fi înscris într-un trapez cu condiția ca suma lungimilor bazelor sale să fie egală cu suma lungimilor laturilor.

Aria unui trapez isoscel se calculează după cum urmează: înmulțiți pătratul razei cercului înscris cu patru și împărțiți totul cu sinα: S = 4r2/sinα. O altă formulă de zonă este un caz special pentru opțiunea când unghiul dintre baza mare și latură este 30 0: S = 8r2.

A doua opțiune: de data aceasta luăm un trapez isoscel, în care în plus sunt desenate diagonalele d 1 și d 2, precum și înălțimea h. Dacă diagonalele unui trapez sunt reciproc perpendiculare, înălțimea este jumătate din suma bazelor: h = 1/2(a + b). Știind acest lucru, este ușor să transformați formula pentru zona unui trapez care vă este deja familiar în această formă: S = h 2.

Formula pentru aria unui trapez curbat

Să începem prin a ne da seama ce este un trapez curbat. Imaginează-ți o axă de coordonate și un grafic al unei funcții continue și nenegative f care nu își schimbă semnul într-un anumit segment de pe axa x. Un trapez curbiliniu este format din graficul funcției y = f(x) - în partea de sus, axa x este în partea de jos (segment), iar pe laturi - linii drepte trasate între punctele a și b și graficul lui funcția.

Este imposibil să se calculeze aria unei astfel de figuri nestandard folosind metodele de mai sus. Aici trebuie să aplicați analiza matematică și să utilizați integrala. Și anume: formula Newton-Leibniz - S = ∫ b a f(x)dx = F(x)│ b a = F(b) – F(a). În această formulă, F este antiderivată a funcției noastre pe segmentul selectat. Și aria unui trapez curbiliniu corespunde creșterii antiderivatei pe un anumit segment.

Exemple de probleme

Pentru a face toate aceste formule mai ușor de înțeles în capul tău, iată câteva exemple de probleme pentru găsirea zonei unui trapez. Cel mai bine va fi dacă încercați mai întâi să rezolvați singur problemele și abia apoi să comparați răspunsul primit cu soluția gata făcută.

Sarcina #1: Dat un trapez. Baza sa mai mare este de 11 cm, cea mai mică este de 4 cm. Trapezul are diagonale, una de 12 cm lungime, a doua de 9 cm.

Rezolvare: Construiți un AMRS trapez. Desenați o dreaptă РХ prin vârful P astfel încât să fie paralelă cu diagonala MC și să intersecteze dreapta AC în punctul X. Veți obține un triunghi APХ.

Vom lua în considerare două figuri obținute în urma acestor manipulări: triunghiul APX și paralelogramul CMRX.

Datorită paralelogramului, aflăm că PX = MC = 12 cm și CX = MR = 4 cm. De unde putem calcula latura AX a triunghiului ARX: AX = AC + CX = 11 + 4 = 15 cm.

De asemenea, putem demonstra că triunghiul APX este dreptunghic (pentru a face acest lucru, aplică teorema lui Pitagora - AX 2 = AP 2 + PX 2). Și calculează-i aria: S APX = 1/2(AP * PX) = 1/2(9 * 12) = 54 cm 2.

În continuare, va trebui să demonstrați că triunghiurile AMP și PCX sunt egale ca suprafață. Baza va fi egalitatea părților MR și CX (deja demonstrată mai sus). Și, de asemenea, înălțimile pe care le coborâți pe aceste laturi - sunt egale cu înălțimea trapezului AMRS.

Toate acestea vă vor permite să spuneți că S AMPC = S APX = 54 cm 2.

Sarcina #2: Este dat trapezul KRMS. Pe laturile sale laterale sunt punctele O și E, în timp ce OE și KS sunt paralele. De asemenea, se știe că zonele trapezelor ORME și OKSE sunt în raport de 1:5. RM = a și KS = b. Trebuie să găsiți OE.

Rezolvare: Desenați o dreaptă paralelă cu RK prin punctul M și desemnați punctul său de intersecție cu OE ca T. A este punctul de intersecție al dreptei trasate prin punctul E paralel cu RK cu baza KS.

Să mai introducem o notație - OE = x. Și, de asemenea, înălțimea h 1 pentru triunghiul TME și înălțimea h 2 pentru triunghiul AEC (puteți demonstra independent asemănarea acestor triunghiuri).

Vom presupune că b > a. Aricele trapezelor ORME și OKSE sunt în raportul 1:5, ceea ce ne dă dreptul de a crea următoarea ecuație: (x + a) * h 1 = 1/5 (b + x) * h 2. Să transformăm și să obținem: h 1 / h 2 = 1/5 * ((b + x)/(x + a)).

Deoarece triunghiurile TME și AEC sunt similare, avem h 1 / h 2 = (x – a)/(b – x). Să combinăm ambele intrări și să obținem: (x – a)/(b – x) = 1/5 * ((b + x)/(x + a)) ↔ 5(x – a)(x + a) = ( b + x)(b – x) ↔ 5(x 2 – a 2) = (b 2 – x 2) ↔ 6x 2 = b 2 + 5a 2 ↔ x = √(5a 2 + b 2)/6.

Astfel, OE = x = √(5a 2 + b 2)/6.

Concluzie

Geometria nu este cea mai ușoară dintre științe, dar cu siguranță poți face față întrebărilor de la examen. Este suficient să arăți puțină perseverență în pregătire. Și, bineînțeles, amintiți-vă de toate formulele necesare.

Am încercat să colectăm toate formulele pentru calcularea ariei unui trapez într-un singur loc, astfel încât să le puteți folosi atunci când vă pregătiți pentru examene și revizuiți materialul.

Asigurați-vă că le spuneți colegilor și prietenilor despre acest articol. rețelele sociale. Să fie mai multe note bune la examenul de stat unificat și la examenele de stat!

blog.site, atunci când copiați materialul integral sau parțial, este necesar un link către sursa originală.

Ce trebuie să știi despre trapez?

Pentru început, să ne amintim asta trapez se numește patrulater în care două laturi opuse, numite și baze, sunt paralele, iar celelalte două nu.

Formule ale zonei trapezoidale

În primul rând, să ne uităm la formulele standard pentru găsirea ariei unui trapez. Vom lua în considerare modalități de a calcula aria trapezelor isoscele și curbilinii mai jos.

Acum luați în considerare formula pentru găsirea ariei unui trapez dacă nu se știe nimic despre acesta, cu excepția lungimii tuturor laturilor sale: a, b, c și d. Aceasta este o formulă greoaie și complexă, dar vă va fi util să o amintiți pentru orice eventualitate: S = 1/2(a + b) * √c 2 – ((1/2(b – a)) * ((b – a) 2 + c 2 – d 2)) 2.

Trapez isoscel

Un trapez ale cărui laturi sunt egale se numește isoscel. Vom lua în considerare mai multe opțiuni pentru formula pentru aria unui trapez isoscel.

Formula pentru aria unui trapez curbat

Exemple de probleme

Sarcina #1: Dat un trapez. Baza sa mai mare este de 11 cm, cea mai mică este de 4 cm. Trapezul are diagonale, una de 12 cm lungime, a doua de 9 cm.

Vom lua în considerare două figuri obținute în urma acestor manipulări: triunghiul APX și paralelogramul CMRX.

Datorită paralelogramului, aflăm că PX = MC = 12 cm și CX = MR = 4 cm. De unde putem calcula latura AX a triunghiului ARX: AX = AC + CX = 11 + 4 = 15 cm.

Toate acestea vă vor permite să spuneți că S AMPC = S APX = 54 cm 2.

Astfel, OE = x = √(5a 2 + b 2)/6.

Concluzie

Asigurați-vă că le spuneți colegilor și prietenilor de pe rețelele sociale despre acest articol. Să fie mai multe note bune la examenul de stat unificat și la examenele de stat!

site-ul web, atunci când copiați materialul integral sau parțial, este necesar un link către sursă.