Zona trapezului pe laterale. Cum să găsiți aria unui trapez isoscel

Trapezul cu multe fețe... Poate fi arbitrar, isoscel sau dreptunghiular. Și în fiecare caz trebuie să știți cum să găsiți aria unui trapez. Desigur, cel mai simplu mod este să vă amintiți formulele de bază. Dar uneori este mai ușor să folosiți unul care este derivat luând în considerare toate caracteristicile unei anumite figuri geometrice.

Câteva cuvinte despre trapez și elementele sale

Orice patrulater ale cărui două laturi sunt paralele poate fi numit trapez. În general, ele nu sunt egale și se numesc baze. Cel mai mare este cel de jos, iar celălalt este cel de sus.

Celelalte două părți se dovedesc a fi laterale. Într-un trapez arbitrar au lungimi diferite. Dacă sunt egale, atunci cifra devine isoscelă.

Dacă brusc unghiul dintre orice latură și bază se dovedește a fi egal cu 90 de grade, atunci trapezul este dreptunghiular.

Toate aceste caracteristici pot ajuta la rezolvarea problemei cum să găsiți zona unui trapez.

Dintre elementele figurii care pot fi indispensabile în rezolvarea problemelor, putem evidenția următoarele:

• înălțime, adică un segment perpendicular pe ambele baze;
• linia mediană, care are capetele în mijlocul laturilor laterale.

Ce formulă poate fi folosită pentru a calcula suprafața dacă se cunosc baza și înălțimea?

Această expresie este dată ca una de bază deoarece de cele mai multe ori se pot recunoaște aceste cantități chiar și atunci când nu sunt date explicit. Deci, pentru a înțelege cum să găsiți aria unui trapez, va trebui să adăugați ambele baze și să le împărțiți la două. Apoi înmulțiți valoarea rezultată cu valoarea înălțimii.

Dacă notăm bazele cu literele a 1 și a 2, înălțimea cu n, atunci formula pentru zonă va arăta astfel:

S = ((a 1 + a 2)/2)*n.

Formula care calculează aria dacă sunt date înălțimea și linia centrală

Dacă te uiți cu atenție la formula anterioară, este ușor de observat că conține clar valoarea liniei mediane. Și anume, suma bazelor împărțită la doi. Fie ca linia din mijloc să fie desemnată cu litera l, apoi formula pentru zonă devine:

S = l * n.

Abilitatea de a găsi o zonă folosind diagonale

Această metodă va ajuta dacă unghiul format de ei este cunoscut. Să presupunem că diagonalele sunt desemnate cu literele d 1 și d 2, iar unghiurile dintre ele sunt α și β. Apoi formula pentru a găsi aria unui trapez va fi scrisă după cum urmează:

S = ((d 1 * d 2)/2) * sin α.

Puteți înlocui cu ușurință α cu β în această expresie. Rezultatul nu se va schimba.

Cum să aflați zona dacă toate laturile figurii sunt cunoscute?

Există, de asemenea, situații în care se cunosc exact laturile acestei figuri. Această formulă este greoaie și greu de reținut. Dar este posibil. Fie ca laturile să aibă denumirea: a 1 și a 2, baza a 1 este mai mare decât a 2. Apoi formula zonei va lua următoarea formă:

S = ((a 1 + a 2) / 2) * √ (în 1 2 - [(a 1 - a 2) 2 + în 1 2 - în 2 2) / (2 * (a 1 - a 2)) ] 2 ).

Metode de calcul a ariei unui trapez isoscel

Prima se datorează faptului că în el poate fi înscris un cerc. Și, cunoscând raza sa (se notează cu litera r), precum și unghiul de la bază - γ, puteți folosi următoarea formulă:

S = (4 * r 2) / sin γ.

Ultima formulă generală, care se bazează pe cunoașterea tuturor laturilor figurii, va fi simplificată semnificativ datorită faptului că laturile au aceeași semnificație:

S = ((a 1 + a 2) / 2) * √ (în 2 - [(a 1 - a 2) 2 / (2 * (a 1 - a 2))] 2 ).

Metode de calcul a ariei unui trapez dreptunghiular

Este clar că oricare dintre cele de mai sus este potrivită pentru orice figură. Dar uneori este util să știți despre o caracteristică a unui astfel de trapez. Constă în faptul că diferența dintre pătratele lungimilor diagonalelor este egală cu diferența formată din pătratele bazelor.

Adesea formulele pentru un trapez sunt uitate, în timp ce expresiile pentru ariile unui dreptunghi și triunghi sunt amintite. Apoi puteți folosi o metodă simplă. Împărțiți trapezul în două forme, dacă este dreptunghiular, sau trei. Unul va fi cu siguranță un dreptunghi, iar al doilea, sau celelalte două, vor fi triunghiuri. După calcularea suprafețelor acestor cifre, nu rămâne decât să le însumăm.

Aceasta este o modalitate destul de simplă de a găsi aria unui trapez dreptunghiular.

Ce se întâmplă dacă sunt cunoscute coordonatele vârfurilor trapezului?

În acest caz, va trebui să utilizați o expresie care vă permite să determinați distanța dintre puncte. Se poate aplica de trei ori: pentru a afla ambele baze si o inaltime. Și apoi aplicați doar prima formulă, care este descrisă puțin mai sus.

Pentru a ilustra această metodă, poate fi dat următorul exemplu. Vârfurile date cu coordonatele A(5; 7), B(8; 7), C(10; 1), D(1; 1). Trebuie să aflați zona figurii.

Înainte de a găsi aria trapezului, trebuie să calculați lungimile bazelor din coordonate. Veți avea nevoie de următoarea formulă:

lungimea segmentului = √((diferența primelor coordonate ale punctelor) 2 + (diferența coordonatelor secunde ale punctelor) 2 ).

Baza superioară este desemnată AB, ceea ce înseamnă că lungimea sa va fi egală cu √(((8-5) 2 + (7-7) 2 ) = √9 = 3. Cea de jos este CD = √ ((10-1) 2 + (1-1 ) 2 ) = √81 = 9.

Acum trebuie să desenați înălțimea de sus la bază. Fie începutul său în punctul A. Sfârșitul segmentului va fi pe baza inferioară în punctul cu coordonatele (5; 1), să fie acesta punctul H. Lungimea segmentului AN va fi egală cu √((5 -5) 2 + (7-1) 2 ) = √36 = 6.

Tot ce rămâne este să înlocuiți valorile rezultate în formula pentru aria unui trapez:

S = ((3 + 9) / 2) * 6 = 36.

Problema a fost rezolvată fără unități de măsură, deoarece scara grilei de coordonate nu a fost specificată. Poate fi fie un milimetru, fie un metru.

Exemple de probleme

Nr. 1. Stare. Unghiul dintre diagonalele unui trapez arbitrar este egal cu 30 de grade. Diagonala mai mică are o valoare de 3 dm, iar a doua este de 2 ori mai mare. Este necesar să se calculeze aria trapezului.

Soluţie. Mai întâi trebuie să aflați lungimea celei de-a doua diagonale, deoarece fără aceasta nu va fi posibil să calculați răspunsul. Nu este greu de calculat, 3 * 2 = 6 (dm).

Acum trebuie să utilizați formula potrivită pentru zonă:

S = ((3 * 6) / 2) * sin 30º = 18/2 * ½ = 4,5 (dm 2). Problema este rezolvată.

Răspuns: Aria trapezului este de 4,5 dm2.

Nr. 2. Stare.În trapezul ABCD bazele sunt segmentele AD și BC. Punctul E este mijlocul laturii SD. Din aceasta se trasează o perpendiculară pe linia dreaptă AB, capătul acestui segment este desemnat cu litera H. Se știe că lungimile AB și EH sunt egale cu 5, respectiv 4 cm. Este necesar să se calculeze aria a trapezului.

Soluţie. Mai întâi trebuie să faci un desen. Deoarece valoarea perpendicularei este mai mică decât latura pe care este trasă, trapezul va fi ușor alungit în sus. Deci EH va fi în interiorul figurii.

Pentru a vedea clar progresul rezolvării problemei, va trebui să efectuați o construcție suplimentară. Și anume, trageți o linie dreaptă care va fi paralelă cu latura AB. Punctele de intersecție ale acestei drepte cu AD sunt P, iar cu continuarea lui BC sunt X. Figura rezultată VHRA este un paralelogram. În plus, aria sa este egală cu cea necesară. Acest lucru se datorează faptului că triunghiurile care au fost obținute în timpul construcției suplimentare sunt egale. Aceasta rezultă din egalitatea laturii și a două unghiuri adiacente acesteia, unul vertical, celălalt întins transversal.

Puteți găsi aria unui paralelogram folosind o formulă care conține produsul laturii și înălțimea coborâtă pe acesta.

Astfel, aria trapezului este de 5 * 4 = 20 cm 2.

Răspuns: S = 20 cm 2.

Nr. 3. Stare. Elemente trapez isoscel au următoarele valori: baza inferioară - 14 cm, superioară - 4 cm, unghi ascuțit - 45º. Trebuie să-i calculezi aria.

Soluţie. Lăsați baza mai mică să fie desemnată BC. Înălțimea trasă din punctul B se va numi VH. Deoarece unghiul este de 45º, triunghiul ABH va fi dreptunghiular și isoscel. Deci AN=VN. În plus, AN este foarte ușor de găsit. Este egal cu jumătate din diferența de baze. Adică (14 - 4) / 2 = 10 / 2 = 5 (cm).

Se cunosc bazele, se calculează înălțimile. Puteți folosi prima formulă, care a fost discutată aici pentru un trapez arbitrar.

S = ((14 + 4) / 2) * 5 = 18/2 * 5 = 9 * 5 = 45 (cm 2).

Răspuns: Suprafața necesară este de 45 cm2.

Nr. 4. Stare. Există un trapez ABCD arbitrar. Punctele O și E sunt luate pe laturile sale laterale, astfel încât OE să fie paralel cu baza AD. Aria trapezului AOED este de cinci ori mai mare decât cea a OVSE. Calculați valoarea OE dacă sunt cunoscute lungimile bazelor.

Soluţie. Va trebui să desenați două drepte paralele AB: prima prin punctul C, intersecția sa cu OE - punctul T; al doilea prin E și punctul de intersecție cu AD va fi M.

Fie necunoscutul OE=x. Înălțimea trapezului mai mic OVSE este n 1, AOED mai mare este n 2.

Deoarece ariile acestor două trapeze sunt legate de la 1 la 5, putem scrie următoarea egalitate:

(x + a 2) * n 1 = 1/5 (x + a 1) * n 2

n 1 / n 2 = (x + a 1) / (5 (x + a 2)).

Înălțimile și laturile triunghiurilor sunt proporționale prin construcție. Prin urmare, putem scrie încă o egalitate:

n 1 / n 2 = (x - a 2) / (a ​​​​1 - x).

În ultimele două intrări din partea stângă există valori egale, ceea ce înseamnă că putem scrie că (x + a 1) / (5(x + a 2)) este egal cu (x - a 2) / (a ​​​1 - x).

Aici sunt necesare o serie de transformări. Mai întâi înmulțiți în cruce. Parantezele vor apărea pentru a indica diferența de pătrate, după aplicarea acestei formule veți obține o scurtă ecuație.

În el trebuie să deschideți parantezele și să mutați toți termenii cu „x” necunoscut la stânga, apoi să extrageți rădăcina pătrată.

Răspuns: x = √ ((a 1 2 + 5 a 2 2) / 6).

Practica Examenului de stat unificat și a examenului de stat de anul trecut arată că problemele de geometrie provoacă dificultăți pentru mulți școlari. Le poți face față cu ușurință dacă memorezi toate formulele necesare și exersezi rezolvarea problemelor.

În acest articol veți vedea formule pentru găsirea zonei unui trapez, precum și exemple de probleme cu soluții. Le puteți întâlni pe aceleași în KIM-uri în timpul examenelor de certificare sau la olimpiade. Prin urmare, tratați-le cu atenție.

Ce trebuie să știi despre trapez?

Pentru început, să ne amintim asta trapez se numește patrulater în care două laturi opuse, numite și baze, sunt paralele, iar celelalte două nu.

Într-un trapez, înălțimea (perpendiculară pe bază) poate fi, de asemenea, coborâtă. Se trasează linia de mijloc - aceasta este o linie dreaptă paralelă cu bazele și egală cu jumătate din suma lor. La fel și diagonalele care se pot intersecta, formând unghiuri acute și obtuze. Sau, în unele cazuri, în unghi drept. În plus, dacă trapezul este isoscel, în el poate fi înscris un cerc. Și descrie un cerc în jurul lui.

Formule ale zonei trapezoidale

În primul rând, să ne uităm la formulele standard pentru găsirea ariei unui trapez. Vom lua în considerare modalități de a calcula aria trapezelor isoscele și curbilinii mai jos.

Deci, imaginați-vă că aveți un trapez cu bazele a și b, în ​​care înălțimea h este coborâtă la baza mai mare. Calcularea suprafeței unei figuri în acest caz este la fel de ușor ca decojirea perelor. Trebuie doar să împărțiți suma lungimilor bazelor cu două și să înmulțiți rezultatul cu înălțimea: S = 1/2(a + b)*h.

Să luăm un alt caz: să presupunem că într-un trapez, pe lângă înălțime, există o linie de mijloc m. Cunoaștem formula pentru aflarea lungimii dreptei din mijloc: m = 1/2(a + b). Prin urmare, putem simplifica pe bună dreptate formula pentru aria unui trapez la următoarea formă: S = m*h. Cu alte cuvinte, pentru a găsi aria unui trapez, trebuie să înmulțiți linia centrală cu înălțimea.

Să luăm în considerare o altă opțiune: trapezul conține diagonalele d 1 și d 2, care nu se intersectează în unghi drept α. Pentru a calcula aria unui astfel de trapez, trebuie să împărțiți produsul diagonalelor cu două și să înmulțiți rezultatul cu păcatul unghiului dintre ele: S= 1/2d 1 d 2 *sinα.

Acum luați în considerare formula pentru găsirea ariei unui trapez dacă nu se știe nimic despre acesta, cu excepția lungimii tuturor laturilor sale: a, b, c și d. Este voluminos și formula complexa, dar vă va fi util să vă amintiți, pentru orice eventualitate: S = 1/2(a + b) * √c 2 – ((1/2(b – a)) * ((b – a) 2 + c 2 – d 2)) 2.

Apropo, exemplele de mai sus sunt valabile și pentru cazul în care aveți nevoie de formula pentru aria unui trapez dreptunghiular. Acesta este un trapez, a cărui latură se învecinează cu bazele în unghi drept.

Trapez isoscel

Un trapez ale cărui laturi sunt egale se numește isoscel. Vom lua în considerare mai multe opțiuni pentru formula pentru aria unui trapez isoscel.

Prima opțiune: pentru cazul în care un cerc cu raza r este înscris în interiorul unui trapez isoscel, iar latura și baza mai mare formează un unghi ascuțit α. Un cerc poate fi înscris într-un trapez cu condiția ca suma lungimilor bazelor sale să fie egală cu suma lungimilor laturilor.

Aria unui trapez isoscel se calculează după cum urmează: înmulțiți pătratul razei cercului înscris cu patru și împărțiți totul cu sinα: S = 4r2/sinα. O altă formulă de zonă este un caz special pentru opțiunea când unghiul dintre baza mare și latură este 30 0: S = 8r2.

A doua opțiune: de data aceasta luăm un trapez isoscel, în care în plus sunt desenate diagonalele d 1 și d 2, precum și înălțimea h. Dacă diagonalele unui trapez sunt reciproc perpendiculare, înălțimea este jumătate din suma bazelor: h = 1/2(a + b). Știind acest lucru, este ușor să transformați formula pentru zona unui trapez care vă este deja familiar în această formă: S = h 2.

Formula pentru aria unui trapez curbat

Să începem prin a ne da seama ce este un trapez curbat. Imaginează-ți o axă de coordonate și un grafic al unei funcții continue și nenegative f care nu își schimbă semnul într-un anumit segment de pe axa x. Un trapez curbiliniu este format din graficul funcției y = f(x) - în partea de sus, axa x este în partea de jos (segment), iar pe laturi - linii drepte trasate între punctele a și b și graficul lui funcția.

Este imposibil să se calculeze aria unei astfel de figuri nestandard folosind metodele de mai sus. Aici trebuie să aplicați analiza matematică și să utilizați integrala. Și anume: formula Newton-Leibniz - S = ∫ b a f(x)dx = F(x)│ b a = F(b) – F(a). În această formulă, F este antiderivată a funcției noastre pe segmentul selectat. Și aria unui trapez curbiliniu corespunde creșterii antiderivatei pe un anumit segment.

Exemple de probleme

Pentru a face toate aceste formule mai ușor de înțeles în capul tău, iată câteva exemple de probleme pentru găsirea zonei unui trapez. Cel mai bine va fi dacă încercați mai întâi să rezolvați singur problemele și abia apoi să comparați răspunsul primit cu soluția gata făcută.

Sarcina #1: Dat un trapez. Baza sa mai mare este de 11 cm, cea mai mică este de 4 cm. Trapezul are diagonale, una de 12 cm lungime, a doua de 9 cm.

Rezolvare: Construiți un AMRS trapez. Desenați o dreaptă РХ prin vârful P astfel încât să fie paralelă cu diagonala MC și să intersecteze dreapta AC în punctul X. Veți obține un triunghi APХ.

Vom lua în considerare două figuri obținute în urma acestor manipulări: triunghiul APX și paralelogramul CMRX.

Datorită paralelogramului, aflăm că PX = MC = 12 cm și CX = MR = 4 cm. De unde putem calcula latura AX a triunghiului ARX: AX = AC + CX = 11 + 4 = 15 cm.

De asemenea, putem demonstra că triunghiul APX este dreptunghic (pentru a face acest lucru, aplică teorema lui Pitagora - AX 2 = AP 2 + PX 2). Și calculează-i aria: S APX = 1/2(AP * PX) = 1/2(9 * 12) = 54 cm 2.

În continuare, va trebui să demonstrați că triunghiurile AMP și PCX sunt egale ca suprafață. Baza va fi egalitatea părților MR și CX (deja demonstrată mai sus). Și, de asemenea, înălțimile pe care le coborâți pe aceste laturi - sunt egale cu înălțimea trapezului AMRS.

Toate acestea vă vor permite să spuneți că S AMPC = S APX = 54 cm 2.

Sarcina #2: Este dat trapezul KRMS. Pe laturile sale laterale sunt punctele O și E, în timp ce OE și KS sunt paralele. De asemenea, se știe că zonele trapezelor ORME și OKSE sunt în raport de 1:5. RM = a și KS = b. Trebuie să găsiți OE.

Rezolvare: Desenați o dreaptă paralelă cu RK prin punctul M și desemnați punctul său de intersecție cu OE ca T. A este punctul de intersecție al dreptei trasate prin punctul E paralel cu RK cu baza KS.

Să mai introducem o notație - OE = x. Și, de asemenea, înălțimea h 1 pentru triunghiul TME și înălțimea h 2 pentru triunghiul AEC (puteți demonstra independent asemănarea acestor triunghiuri).

Vom presupune că b > a. Aricele trapezelor ORME și OKSE sunt în raportul 1:5, ceea ce ne dă dreptul de a crea următoarea ecuație: (x + a) * h 1 = 1/5 (b + x) * h 2. Să transformăm și să obținem: h 1 / h 2 = 1/5 * ((b + x)/(x + a)).

Deoarece triunghiurile TME și AEC sunt similare, avem h 1 / h 2 = (x – a)/(b – x). Să combinăm ambele intrări și să obținem: (x – a)/(b – x) = 1/5 * ((b + x)/(x + a)) ↔ 5(x – a)(x + a) = ( b + x)(b – x) ↔ 5(x 2 – a 2) = (b 2 – x 2) ↔ 6x 2 = b 2 + 5a 2 ↔ x = √(5a 2 + b 2)/6.

Astfel, OE = x = √(5a 2 + b 2)/6.

Concluzie

Geometria nu este cea mai ușoară dintre științe, dar cu siguranță poți face față întrebărilor de la examen. Este suficient să arăți puțină perseverență în pregătire. Și, bineînțeles, amintiți-vă de toate formulele necesare.

Am încercat să colectăm toate formulele pentru calcularea ariei unui trapez într-un singur loc, astfel încât să le puteți folosi atunci când vă pregătiți pentru examene și revizuiți materialul.

Asigurați-vă că le spuneți colegilor și prietenilor despre acest articol. rețelele sociale. Să fie mai multe note bune la examenul de stat unificat și la examenele de stat!

blog.site, atunci când copiați materialul integral sau parțial, este necesar un link către sursa originală.

Trapez. Definiție, formule și proprietăți

Un trapez este un patrulater a cărui pereche de laturi opuse sunt paralele.

Nota. În acest caz, paralelogramul este un caz special al unui trapez.

Laturile opuse paralele se numesc bazele trapezului, iar celelalte două se numesc laturile laterale.

Trapezele sunt:

- versatil ;

- isoscel;

- dreptunghiular

A - isoscel (isoscel, isoscel) trapez
B - trapez dreptunghiular
C - trapez scalen

Un trapez scalen are toate laturile de lungimi diferite, iar bazele sunt paralele.

Laturile sunt egale, iar bazele sunt paralele.

Bazele sunt paralele, o parte este perpendiculară pe baze, iar a doua latură este înclinată pe baze.

Proprietățile unui trapez

• Linia mediană a trapezului paralele cu bazele și egale cu jumătatea sumei acestora
• Un segment care leagă punctele medii ale diagonalelor, este egal cu jumătate din diferența bazelor și se află pe linia mediană. Lungimea sa
• Liniile paralele care intersectează laturile oricărui unghi al unui trapez separă segmentele proporționale din laturile unghiului (vezi Teorema lui Thales)
• Punctul de intersecție al diagonalelor trapezoidale, punctul de intersecție al prelungirilor laturilor sale și mijlocul bazelor sale se află pe aceeași linie dreaptă (vezi și proprietățile unui patrulater)
• Triunghiuri culcate pe baze trapezele ale căror vârfuri sunt punctul de intersecție al diagonalelor sale sunt similare. Raportul ariilor unor astfel de triunghiuri este egal cu pătratul raportului bazelor trapezului
• Triunghiuri întinse pe laturi trapezele ale căror vârfuri sunt punctul de intersecție al diagonalelor sale sunt egale ca suprafață (egale ca suprafață)
• În trapez poti inscrie un cerc, dacă suma lungimilor bazelor unui trapez este egală cu suma lungimilor laturilor acestuia. Linia de mijloc în acest caz este egală cu suma laturilor împărțită la 2 (deoarece linia de mijloc a unui trapez este egală cu jumătate din suma bazelor)
• Un segment paralel cu bazeleși trecând prin punctul de intersecție al diagonalelor, este împărțit la acesta din urmă în jumătate și este egal cu dublul produsului bazelor împărțit la suma lor 2ab / (a ​​+ b) (Formula lui Burakov)

Unghiuri trapezoidale

Un trapez dreptunghiular are două unghiuri drepte, iar celelalte două sunt acute și obtuze. Alte tipuri de trapeze au două unghiuri ascuțite și două unghiuri obtuze.

Unghiurile obtuze ale unui trapez aparțin celor mai mici de-a lungul lungimii bazei și picant - mai mult bază.

Poate fi luat în considerare orice trapez ca un triunghi trunchiat, a cărei linie de secțiune este paralelă cu baza triunghiului.
Important. Vă rugăm să rețineți că în acest fel (prin construirea suplimentară a unui trapez până la un triunghi) pot fi rezolvate unele probleme despre trapeze și pot fi demonstrate unele teoreme.

Cum să găsiți laturile și diagonalele unui trapez

Găsirea laturilor și diagonalelor unui trapez se face folosind formulele de mai jos:

În aceste formule, notația folosită este ca în figură.

a - cea mai mică dintre bazele trapezului
b - cea mai mare dintre bazele trapezului
c,d - laturi
h 1 h 2 - diagonale

Suma pătratelor diagonalelor unui trapez este egală cu dublul produsului dintre bazele trapezului plus suma pătratelor laturilor laterale (Formula 2)

Instrucţiuni

Pentru a face ambele metode mai ușor de înțeles, putem da câteva exemple.

Exemplul 1: lungimea liniei mediane a trapezului este de 10 cm, aria sa este de 100 cm². Pentru a afla înălțimea acestui trapez, trebuie să faceți:

h = 100/10 = 10 cm

Răspuns: înălțimea acestui trapez este de 10 cm

Exemplul 2: aria trapezului este de 100 cm², lungimile bazelor sunt de 8 cm și 12 cm. Pentru a găsi înălțimea acestui trapez, trebuie să efectuați următoarea acțiune:

h = (2*100)/(8+12) = 200/20 = 10 cm

Răspuns: înălțimea acestui trapez este de 20 cm

Vă rugăm să rețineți

Există mai multe tipuri de trapeze:
Un trapez isoscel este un trapez în care laturile sunt egale între ele.
Un trapez dreptunghiular este un trapez în care unul dintre colțurile interne egal cu 90 de grade.
Este de remarcat faptul că într-un trapez dreptunghiular înălțimea coincide cu lungimea laturii când unghi drept.
Puteți descrie un cerc în jurul unui trapez sau îl puteți potrivi în interiorul unei figuri date. Puteți înscrie un cerc numai dacă suma bazelor sale este egală cu suma laturilor sale opuse. Un cerc poate fi descris doar în jurul unui trapez isoscel.

Sfaturi utile

Un paralelogram este un caz special al unui trapez, deoarece definiția unui trapez nu contrazice în niciun fel definiția unui paralelogram. Un paralelogram este un patrulater ale cărui laturi opuse sunt paralele între ele. Pentru un trapez, definiția se referă doar la o pereche de laturile sale. Prin urmare, orice paralelogram este și un trapez. Afirmația inversă nu este adevărată.

Surse:

• cum să găsiți aria unei formule trapezoid

Sfat 2: Cum să găsiți înălțimea unui trapez dacă aria este cunoscută

Un trapez este un patrulater în care două dintre cele patru laturi ale sale sunt paralele între ele. Laturile paralele sunt bazele celui dat, celelalte două sunt laturile laterale ale celui dat. trapeze. Găsi înălţime trapeze, dacă se cunoaște pătrat, va fi foarte ușor.

Instrucţiuni

Trebuie să-ți dai seama cum să calculezi pătrat original trapeze. Există mai multe formule pentru aceasta, în funcție de datele inițiale: S = ((a+b)*h)/2, unde a și b sunt baze trapeze, iar h este înălțimea sa (Înălțimea trapeze- perpendicular, coborât de la o bază trapeze la altul);
S = m*h, unde m este linie trapeze(Linia de mijloc este un segment cu baze trapezeși conectând punctele medii ale laturilor sale).

Pentru a fi mai clar, pot fi luate în considerare probleme similare: Exemplul 1: dat un trapez cu pătrat 68 cm², a cărui linie de mijloc este de 8 cm, trebuie să găsiți înălţime dat trapeze. Pentru a rezolva această problemă, trebuie să utilizați formula derivată anterior:
h = 68/8 = 8,5 cm Răspuns: înălțimea acestuia trapeze este de 8,5 cm. Exemplul 2: Fie y trapeze pătrat este egală cu 120 cm², lungimea bazelor acestuia trapeze 8 cm și respectiv 12 cm, trebuie să găsiți înălţime acest trapeze. Pentru a face acest lucru, trebuie să aplicați una dintre formulele derivate:
h = (2*120)/(8+12) = 240/20 = 12 cmRăspuns: înălțimea dată trapeze egal cu 12 cm

Video pe tema

Vă rugăm să rețineți

Orice trapez are o serie de proprietăți:

Linia mediană a unui trapez este egală cu jumătate din suma bazelor sale;

Segmentul care leagă diagonalele unui trapez este egal cu jumătate din diferența bazelor acestuia;

Dacă se trasează o linie dreaptă prin punctele medii ale bazelor, atunci aceasta va intersecta punctul de intersecție al diagonalelor trapezului;

Un cerc poate fi înscris într-un trapez dacă suma bazelor trapezului este egală cu suma laturilor acestuia.

Folosiți aceste proprietăți atunci când rezolvați probleme.

Sfat 3: Cum să găsiți aria unui trapez dacă bazele sunt cunoscute

Prin definiție geometrică, un trapez este un patrulater cu o singură pereche de laturi paralele. Aceste părți sunt ale ei motive. Distanța dintre motive numită înălțime trapeze. Găsi pătrat trapeze posibil folosind formule geometrice.

Instrucţiuni

Măsurați bazele și trapeze ABCD. De obicei, acestea sunt date în sarcini. Să fie în acest exemplu problema baza AD (a) trapeze va fi egal cu 10 cm, baza BC (b) - 6 cm, înălțime trapeze BK (h) - 8 cm Folosiți geometric pentru a găsi suprafața trapeze, dacă se cunosc lungimile bazelor și înălțimii sale - S= 1/2 (a+b)*h, unde: - a - mărimea bazei AD trapeze ABCD, - b - valoarea bazei BC, - h - valoarea înălțimii BK.

Trapez se numeste patrulater al carui doar doi laturile sunt paralele între ele.

Ele se numesc bazele figurii, cele rămase se numesc laturile. Paralelogramele sunt considerate cazuri speciale ale figurii. Există și un trapez curbat, care include graficul unei funcții. Formulele pentru aria unui trapez includ aproape toate elementele sale și cea mai buna solutie este selectat în funcție de valorile specificate.
Rolurile principale în trapez sunt atribuite înălțimii și liniei mediane. Linia de mijloc- Aceasta este o linie care leagă punctele medii ale laturilor. Înălţime Trapezul este desenat în unghi drept din colțul de sus până la bază.
Aria unui trapez prin înălțimea sa este egală cu produsul dintre jumătate din suma lungimilor bazelor înmulțit cu înălțimea:

Dacă linia medie este cunoscută în funcție de condiții, atunci această formulă este simplificată semnificativ, deoarece este egală cu jumătate din suma lungimilor bazelor:

Dacă, în funcție de condiții, sunt date lungimile tuturor laturilor, atunci putem lua în considerare un exemplu de calcul al ariei unui trapez folosind aceste date:

Să presupunem că ni se oferă un trapez cu bazele a = 3 cm, b = 7 cm și laturile c = 5 cm, d = 4 cm Să aflăm aria figurii:

Aria unui trapez isoscel

Un trapez isoscel sau, așa cum este numit și un trapez isoscel, este considerat un caz separat.
Un caz special este găsirea ariei unui trapez isoscel (echilateral). Formula este derivată în diverse moduri– prin diagonale, prin unghiuri adiacente bazei și razei cercului înscris.
Dacă lungimea diagonalelor este specificată în funcție de condiții și unghiul dintre ele este cunoscut, puteți utiliza următoarea formulă:

Amintiți-vă că diagonalele unui trapez isoscel sunt egale între ele!

Adică, cunoscând una dintre bazele lor, latura și unghiul, puteți calcula cu ușurință aria.

Aria unui trapez curbat

Un caz special este trapez curbat. Este situat pe axa de coordonate și este limitat de graficul unei funcții pozitive continue.

Baza sa este situată pe axa X și este limitată la două puncte:
Integrale ajută la calcularea ariei unui trapez curbat.
Formula se scrie astfel:

Să luăm în considerare un exemplu de calcul al ariei unui trapez curbat. Formula necesită anumite cunoștințe pentru a lucra anumite integrale. Mai întâi, să ne uităm la valoarea integralei definite:

Aici F(a) este valoarea funcției antiderivate f(x) la punctul a, F(b) este valoarea aceleiași funcții f(x) la punctul b.

Acum să rezolvăm problema. Figura prezintă un trapez curbat mărginit de funcție. Funcţie
Trebuie să găsim aria figurii selectate, care este un trapez curbiliniu delimitat deasupra de grafic, în dreapta de linia dreaptă x =(-8), în stânga de linia dreaptă x =(-10 ) și axa OX de mai jos.
Vom calcula aria acestei figuri folosind formula:

Condițiile problemei ne dau o funcție. Folosind-o vom găsi valorile antiderivatei la fiecare dintre punctele noastre:


Acum
Răspuns: Aria unui trapez curbat dat este 4.

Nu este nimic complicat în calcularea acestei valori. Singurul lucru care este important este grija extremă în calcule.