Un paralelogram are două laturi adiacente. Paralelogram
Definiţie
Un paralelogram este un patrulater ale cărui laturi opuse sunt paralele în perechi.
Teorema (primul semn al paralelogramului)
Dacă două laturi ale unui patrulater sunt egale și paralele, atunci patrulaterul este un paralelogram.
Dovada
Fie laturile \(AB\) și \(CD\) să fie paralele în patrulaterul \(ABCD\) și \(AB = CD\) .
Să desenăm o diagonală \(AC\) care împarte acest patrulater în două triunghiuri egale: \(ABC\) și \(CDA\) . Aceste triunghiuri sunt egale în două laturi și unghiul dintre ele (\(AC\) este latura comună, \(AB = CD\) prin condiție, \(\angle 1 = \angle 2\) ca unghiuri transversale la intersecție de drepte paralele \ (AB\) și \(CD\) secante \(AC\) ), deci \(\angle 3 = \angle 4\) . Dar unghiurile \(3\) și \(4\) se află transversal la intersecția dreptelor \(AD\) și \(BC\) cu secantei \(AC\), prin urmare, \(AD\paralel BC \) . Astfel, în patrulaterul \(ABCD\) laturile opuse sunt paralele la perechi și, prin urmare, patrulaterul \(ABCD\) este un paralelogram.
Teorema (al doilea semn al paralelogramului)
Dacă într-un patrulater laturile opuse sunt egale în perechi, atunci acest patrulater este un paralelogram.
Dovada
Să desenăm o diagonală \(AC\) a acestui patrulater \(ABCD\) împărțindu-l în triunghiuri \(ABC\) și \(CDA\) .
Aceste triunghiuri sunt egale pe trei laturi (\(AC\) – comun, \(AB = CD\) și \(BC = DA\) după condiție), prin urmare \(\angle 1 = \angle 2\) – situat transversal la \(AB\) și \(CD\) și secante \(AC\) . Rezultă că \(AB\parallel CD\) . Deoarece \(AB = CD\) și \(AB\parallel CD\) , atunci conform primului criteriu al unui paralelogram, patrulaterul \(ABCD\) este un paralelogram.
Teorema (al treilea semn al paralelogramului)
Dacă diagonalele unui patrulater se intersectează și sunt bisectate de punctul de intersecție, atunci patrulaterul este un paralelogram.
Dovada
Considerăm un patrulater \(ABCD\) în care diagonalele \(AC\) și \(BD\) se intersectează în punctul \(O\) și sunt bisectate de acest punct.
Triunghiurile \(AOB\) și \(COD\) sunt egale conform primului semn de egalitate al triunghiurilor (\(AO = OC\), \(BO = OD\) după condiție, \(\angle AOB = \angle COD\) ca unghiuri verticale), deci \(AB = CD\) și \(\angle 1 = \angle 2\) . Din egalitatea unghiurilor \(1\) și \(2\) (încrucișat la \(AB\) și \(CD\) și secantei \(AC\) ) rezultă că \(AB\paralel CD \) .
Deci, în patrulaterul \(ABCD\) laturile \(AB\) și \(CD\) sunt egale și paralele, ceea ce înseamnă că, conform primului criteriu al unui paralelogram, patrulaterul \(ABCD\) este un paralelogram. .
Proprietățile unui paralelogram:
1. Într-un paralelogram, laturile opuse sunt egale și unghiurile opuse sunt egale.
2. Diagonalele unui paralelogram se împart la jumătate la punctul de intersecție.
Proprietățile bisectoarei unui paralelogram:
1. Bisectoarea unui paralelogram decupează un triunghi isoscel din acesta.
2. Bisectoarele unghiurilor adiacente ale unui paralelogram se intersectează în unghi drept.
3. Segmentele bisectoare ale unghiurilor opuse sunt egale și paralele.
Dovada
1) Fie \(ABCD\) un paralelogram, \(AE\) bisectoarea unghiului \(BAD\) .
Unghiurile \(1\) și \(2\) sunt egale, situate în cruce cu drepte paralele \(AD\) și \(BC\) și secantei \(AE\). Unghiurile \(1\) și \(3\) sunt egale, deoarece \(AE\) este o bisectoare. În cele din urmă \(\angle 3 = \angle 1 = \angle 2\), ceea ce înseamnă că triunghiul \(ABE\) este isoscel.
2) Fie \(ABCD\) un paralelogram, \(AN\) și \(BM\) fie bisectoarele unghiurilor \(BAD\) și respectiv \(ABC\).
Deoarece suma unghiurilor unilaterale pentru drepte paralele și transversală este egală cu \(180^(\circ)\), atunci \(\unghi DAB + \unghi ABC = 180^(\circ)\).
Deoarece \(AN\) și \(BM\) sunt bisectoare, atunci \(\angle BAN + \angle ABM = 0,5(\angle DAB + \angle ABC) = 0,5\cdot 180^\circ = 90^(\circ)\), unde \(\unghi AOB = 180^\circ - (\unghi BAN + \unghi ABM) = 90^\circ\).
3. Fie \(AN\) și \(CM\) bisectoarele unghiurilor paralelogramului \(ABCD\) .
Deoarece unghiurile opuse dintr-un paralelogram sunt egale, atunci \(\angle 2 = 0,5\cdot\angle BAD = 0,5\cdot\angle BCD = \angle 1\). În plus, unghiurile \(1\) și \(3\) sunt egale, situate în cruce cu drepte paralele \(AD\) și \(BC\) și secantei \(CM\), apoi \(\unghiul 2 = \angle 3\) , ceea ce implică faptul că \(AN\parallel CM\) . Mai mult, \(AM\parallel CN\) , atunci \(ANCM\) este un paralelogram, deci \(AN = CM\) .
Soluția sarcinii Capitolul V Nr. 393 este:
a) Mai întâi, construim una dintre laturile AB date, iar în punctul A desenăm o rază la un unghi dat față de latura AB. Folosind o busolă, trasăm un segment AC egal cu a doua latură dată a paralelogramului. Deoarece într-un paralelogram laturile opuse sunt paralele, atunci
Tragând prin punctul C linii drepte paralele cu laturile construite în punctul lor de intersecție D, obținem al patrulea vârf al paralelogramului ACDB dorit.
b) Desenați două linii drepte la un unghi dat între
diagonalele. Folosind o busolă, din punctul de intersecție
Oh, desenează două cercuri cu raze egale cu jumătate-
grea lungimii unei diagonale date. Din proprietatea 2°, paragraful 43
manual rezultă că punctele lor de intersecție cu drepte
vor fi vârfurile paralelogramului dorit. 
c) Având în vedere trei segmente M 1 N 1, M 2 N 2, M 3 N 3 (Fig. a). Este necesar să se construiască un paralelogram ABCD, ale cărui laturi adiacente, să spunem AB și AD, sunt egale cu segmentele M 1 N 1 și, respectiv, M 2 N 2, iar diagonala BD este egală cu segmentul M 3 N 3.
Să presupunem că paralelogramul necesar ABCD este construit (fig. b). Vedem că laturile triunghiului ABD sunt egale cu segmentele date M 1 N 1, M 2 N 2 și M 3 N 3. Această circumstanță sugerează următoarea modalitate de a rezolva problema: mai întâi trebuie să construiți un triunghi ABD pe trei laturi, apoi să îl completați până la un paralelogram ABCD.
Construim triunghiul ABD astfel încât laturile sale AB, AD și BD să fie egale cu segmentele M 1 N 1, M 2 N 2 și, respectiv, M 3 N 3. Apoi vom construi o dreaptă care trece prin punctul B paralel cu AD și o a doua dreaptă care trece prin punctul D paralel cu AB. Să notăm punctul de intersecție al acestor drepte cu litera C (fig. c). Patrulaterul ABCD este paralelogramul dorit. 
Este clar că dacă din aceste trei segmente M 1 N 1, M 2 N 2 și M 3 N 3 se poate construi un triunghi ABD, ale cărui laturi sunt egale cu aceste segmente, atunci este posibil să se construiască și un paralelogram ABCD. Dar triunghiul ABD nu poate fi întotdeauna construit. Dacă oricare dintre cele trei segmente date este mai mare sau egal cu suma celorlalte două, atunci triunghiul ABD și, prin urmare, paralelogramul ABCD, nu poate fi construit.
Definiţie
Figura 157 prezintă un paralelogram ABCD: AB || CD, AD || Soare. Paralelogramul este un patrulater convex (vezi problema 378).
Orez. 157
Să ne uităm la câteva proprietăți ale unui paralelogram.
Luați în considerare paralelogramul ABCD (Fig. 158). Diagonala AC îl împarte în două triunghiuri: ABC și ADC. Aceste triunghiuri sunt egale ca latură și două unghiuri adiacente (AC este o latură comună, ∠1 = ∠2 și ∠3 = ∠4 ca unghiuri transversale atunci când secanta AC intersectează liniile paralele AB și CD, AD și BC, respectiv). De aceea
AB = CD, AD = BC și ∠B = ∠D.
∠A = ∠1 + ∠3 = ∠2 + ∠4 = ∠C.
Orez. 159
Fie O punctul de intersecție al diagonalelor AC și BD ale paralelogramului ABCD (Fig. 159). Triunghiurile AOB și COD sunt egale ca latură și două unghiuri adiacente (AB = CD ca laturi opuse ale unui paralelogram, ∠1 = ∠2 și ∠3 = ∠4 ca unghiuri transversale când liniile paralele AB și CD se intersectează cu secantele AC și BD, respectiv). Prin urmare, AO = OS și OB = OD, ceea ce trebuia demonstrat.
Orez. 160
Figura 160 ilustrează toate proprietățile discutate.
Semne ale unui paralelogram
Fie laturile AB și CD din patrulaterul ABCD să fie paralele și AB = CD (vezi Fig. 158).
Să desenăm o diagonală AC care împarte acest patrulater în două triunghiuri: ABC și CD A. Aceste triunghiuri sunt egale pe două laturi și unghiul dintre ele (AC este latura comună, AB = CD după condiție, ∠1 = ∠2 ca unghiuri transversale). la intersecția dreptelor paralele AB și CD secantei AC), deci ∠3 = ∠4. Dar unghiurile 3 și 4 se află transversal la intersecția dreptelor AD și BC cu secantele AC, deci AD || Soare.
Astfel, în patrulaterul ABCD, laturile opuse sunt paralele pe perechi, ceea ce înseamnă că patrulaterul ABCD este un paralelogram.
Să desenăm diagonala AC a acestui patrulater ABCD, împărțindu-l în triunghiuri ABC și CD A (vezi Fig. 158). Aceste triunghiuri sunt egale pe trei laturi (AC este latura comună, AB = CD și BC = DA prin convenție), prin urmare ∠1 = ∠2. Rezultă că AB || CD. Deoarece AB = CD și AB || CD, atunci după criteriul 1 0 patrulaterul ABCD este un paralelogram.
Se consideră patrulaterul ABCD, în care diagonalele AC și BD se intersectează în punctul O și sunt tăiate în două de acest punct (vezi Fig. 159). Triunghiurile AOB și COD sunt egale conform primului semn de egalitate al triunghiurilor (AO = OS, BO = OD prin condiție, ∠AOB = ∠COD ca unghiuri verticale), deci AB = CD și ∠1 = ∠2. Din egalitatea unghiurilor 1 și 2 rezultă1 că AB || CD.
Deci, în patrulaterul ABCD, laturile AB și CD sunt egale și paralele, ceea ce înseamnă că, conform criteriului 1 0, patrulaterul ABCD este un paralelogram.
Trapez
Trapez Un patrulater se numește patrulater în care două laturi sunt paralele, iar celelalte două laturi nu sunt paralele. Laturile paralele ale unui trapez se numesc sale motive, iar celelalte două părți sunt laturi(Fig. 161).
Orez. 161
Trapezul se numește isoscel, dacă laturile sale sunt egale (Fig. 162, a).
Un trapez, unul dintre colțurile căruia este drept, se numește dreptunghiular (Fig. 162, b).
Orez. 162
Sarcini
371. Demonstrați că patrulaterul convex ABCD este paralelogram dacă:
a) ∠BAC = ∠ACD și ∠BCA = ∠D AC;
b) AB || CD, ∠A = ∠C.
372. Perimetrul unui paralelogram este de 48 cm.
Aflați laturile paralelogramului dacă:
a) o parte este cu 3 cm mai mare decât cealaltă;
b) diferența dintre cele două laturi este de 7 cm;
c) o parte este de două ori mai mare decât cealaltă.
373. Perimetrul paralelogramului ABCD este de 50 cm, ∠C = 30°, iar perpendiculara BH pe dreapta CD este de 6,5 cm. Aflați laturile paralelogramului.
374. Bisectoarea unghiului A a paralelogramului ABCD intersectează latura BC în punctul K. Aflați perimetrul acestui paralelogram dacă BC = 15 cm, KS = 9 cm.
375. Aflați perimetrul unui paralelogram dacă bisectoarea unuia dintre unghiurile sale împarte latura paralelogramului în segmente de 7 cm și 14 cm.
376. Aflați unghiurile paralelogramului: ABCD dacă:
a) ∠A = 84°;
b) ∠A - ∠B = 55°;
c) ∠A+∠C = 142°b
e) ∠CAD = 16°, ∠ACD = 37°.
377. În paralelogramul MNPQ, o perpendiculară NH este trasată pe dreapta MQ, iar punctul H se află pe latura MQ. Aflați laturile și unghiurile paralelogramului dacă se știe că MN = 3 cm, HQ = 5 cm, ∠MNH = 30°.
378. Demonstrați că un paralelogram este un patrulater convex.
Soluţie
Să luăm în considerare paralelogramul ABCD (vezi Fig. 157) și să demonstrăm că se află pe o parte a fiecărei drepte care trece prin cele două vârfuri învecinate. Să luăm, de exemplu, linia dreaptă AB. Segmentul CD nu are puncte comune cu dreapta AB, deoarece AB || CD. Aceasta înseamnă că acest segment se află pe o parte a dreptei AB. Dar apoi segmentele BC și AD se află pe aceeași parte a dreptei AB. Astfel, paralelogramul ABCD se află pe o parte a dreptei AB.
379. Din vârfurile B și D ale paralelogramului ABCD, în care AB ≠ BC și unghiul A este acut, perpendicularele BC și DM sunt trasate pe dreapta AC. Demonstrați că patrulaterul BMDK este un paralelogram.
380. Pe laturile AB, BC, CD și DA ale patrulaterului ABCD sunt marcate punctele M, N, P și Q, respectiv, astfel încât AM = CP, BN = DQ, BM = DP, NC = QA. Demonstrați că ABCD și MNPQ sunt paralelograme.
381. Figura 163 prezintă două roți identice ale unei locomotive diesel. Razele lui O 1 A și O 2 B sunt egale. Tija AB, a cărei lungime este egală cu distanța O 1 O 2 dintre centrele roților, transmite mișcarea de la o roată la alta. Demonstrați că segmentele AB și O 1 O 2 sunt fie paralele, fie se află pe aceeași dreaptă.
Orez. 163
382. Diagonalele paralelogramului ABCD se intersectează în punctul O. Demonstrați că patrulaterul A 1 B 1 C 1 D 1, ale cărui vârfuri sunt punctele medii ale segmentelor OA, OB, OC și OD, este un paralelogram.
383. Pe diagonala BD a paralelogramului ABCD sunt marcate două puncte P și Q astfel încât PB = QD. Demonstrați că patrulaterul APCQ este un paralelogram.
384. Prin mijlocul M al laturii AB a triunghiului ABC se trasează o dreaptă paralelă cu latura BC. Această dreaptă intersectează latura AC în punctul N. Demonstrați că AN = NC.
Soluţie
Prin punctul C trasăm o dreaptă paralelă cu dreapta AB și notăm cu litera D punctul de intersecție a acestei drepte cu dreapta MN (Fig. 164). Deoarece AM = MB prin condiție și MB = CD ca părți opuse ale paralelogramului BCDM, atunci AM = DC. Triunghiurile AMN și CDN sunt egale conform celui de-al doilea criteriu pentru egalitatea triunghiurilor (AM = CD, ∠1=∠2 și ∠3 = ∠4 ca unghiuri transversale atunci când dreptele paralele AB și CD se intersectează cu secantele AC și MD), prin urmare AN = NC.
Orez. 164
385. Demonstrează Teorema lui Thales 1 : dacă mai multe segmente egale sunt așezate succesiv pe una dintre cele două linii și sunt trasate linii paralele prin capetele lor care intersectează a doua linie, atunci acestea vor tăia segmente egale pe a doua linie.
Soluţie
Să fie așezate segmente egale A 1 A 2, A 2 A 3, A 3 A 4, ... pe linia l 1 și prin capetele lor se trasează drepte paralele care intersectează linia l 2 în punctele B 1, B 2, B. 3, B 4, ... (Fig. 165). Se cere să se demonstreze că segmentele B 1 B 2, B 2 B 3, B 3 B 4, ... sunt egale între ele. Să demonstrăm, de exemplu, că B 1 B 2 = B 2 B 3.
Să considerăm mai întâi cazul când dreptele l 1 şi l 2 sunt paralele (fig. 165, a). Atunci A 1 A 2 = B 1 B 2 și A 2 A 3 = B 2 B 3 ca laturi opuse ale paralelogramelor A 1 B 1 B 2 A 2 și A 2 B 2 B 3 A 3. Deoarece A 1 A 2 = A 2 A 3, atunci B 1 B 2 = B 2 B 3. Dacă dreptele l 1 și l 2 nu sunt paralele, atunci prin punctul B 1 tragem o dreaptă l paralelă cu dreapta l 1 (Fig. 165, b). Va intersecta dreptele A 2 B 2 si A 3 B 3 in unele puncte C si D. Deoarece A 1 A 2 = A 2 A 3, atunci prin ceea ce s-a dovedit, B 1 C = CB. De aici obținem: B 1 B 2 = B 1 B 3 (problema 384). În mod similar, puteți demonstra că B 2 B 3 = B 3 B 4 etc.
Orez. 165
386. Demonstrați că segmentul care leagă punctele medii ale laturilor laterale ale trapezului este paralel cu bazele trapezului.
387. Aflați unghiurile B și B ale trapezului ABCD cu bazele AD și BC, dacă ∠A = 36°, ∠C =117°.
388. Demonstrați că într-un trapez isoscel: a) unghiurile de la fiecare bază sunt egale; b) diagonalele sunt egale.
389. Demonstraţi că trapezul este isoscel dacă: a) unghiurile de la bază sunt egale; b) diagonalele trapezului sunt egale.
390. Unul dintre unghiurile unui trapez isoscel este de 68°. Aflați unghiurile rămase ale trapezului.
391. Demonstrează că din plăci identice în formă de trapez isoscel se poate realiza un parchet care să acopere complet orice parte a planului.
392. Bazele unui trapez dreptunghiular sunt egale cu a și b, unul dintre unghiuri este egal cu α. Aflați: a) latura laterală mai mare a trapezului, dacă a = 4cm, b = 7cm, α = 60°; b) latura mai mică a trapezului, dacă a = 10 cm, b = 15 cm, α = 45°.
393. Construiți un paralelogram: a) folosind două laturi adiacente și unghiul dintre ele; b) de-a lungul a două diagonale și unghiul dintre ele; c) de-a lungul a două laturi adiacente și capetele diagonalei care le leagă.
Soluţie
c) Având în vedere trei segmente M 1 N 1, M 2 N 2, M 3 N 3 (Fig. 166, a). Este necesar să se construiască un paralelogram ABCD, ale cărui laturi adiacente, să spunem AB și AD, sunt egale cu segmentele M 1 N 1 și, respectiv, M 2 N 2, iar diagonala BD este egală cu segmentul M 3 N 3. Să rezolvăm problema conform schemei descrise la p. 94.
Analiză
Să presupunem că paralelogramul necesar ABCD este construit (Fig. 166, b). Vedem că laturile triunghiului ABD sunt egale cu segmentele date M 1 N 1, M 2 N 2 și M 3 N 3. Această circumstanță sugerează următoarea modalitate de a rezolva problema: mai întâi trebuie să construiți un triunghi ABD pe trei laturi, apoi să îl completați până la un paralelogram ABCD.
Constructii
Construim triunghiul ABD astfel încât laturile sale AB, AD și BD să fie egale cu segmentele M 2 N 2 și, respectiv, M 3 N 3 (știm să facem asta de la cursul de clasa a VII-a). Apoi vom construi o dreaptă care trece prin punctul B paralel cu AD și o a doua dreaptă care trece prin punctul D paralel cu AB (știm să facem acest lucru și de la cursul de clasa a VII-a). Punctul de intersecție al acestor drepte îl notăm cu litera C (Fig. 166, c). Patrulaterul ABCD este paralelogramul dorit.
Orez. 166
Dovada
Prin construirea AB || CD și Sun || AD, deci ABCD este un paralelogram. Laturile adiacente ale paralelogramului ABCD sunt egale în construcție cu segmentele și M 2 N 2 , iar diagonala BD este egală cu segmentul M 3 N 3 , adică paralelogramul ABCD este cel dorit.
Studiu
Este clar că dacă din aceste trei segmente M 1 N 1, M 2 N 2 și M 3 N 3 se poate construi un triunghi ABD, ale cărui laturi sunt egale cu aceste segmente, atunci este posibil să se construiască și un paralelogram ABCD. Dar triunghiul ABD nu poate fi întotdeauna construit. Dacă oricare dintre cele trei segmente date este mai mare sau egal cu suma celorlalte două, atunci triunghiul ABD și, prin urmare, paralelogramul ABCD, nu poate fi construit. Încercați să demonstrați singuri că, dacă o problemă are o soluție, atunci această soluție este unică (vezi paragraful 39).
394. Având în vedere trei puncte A, B și C, care nu se află pe aceeași dreaptă. Construiți un paralelogram astfel încât cele trei vârfuri ale sale să coincidă cu punctele date. Câte astfel de paralelograme pot fi construite?
395. Având în vedere un unghi ascuțit hk și două segmente P 1 Q 1 și P 2 Q 2 . Construiți un paralelogram ABCD astfel încât distanța dintre liniile paralele AB și DC să fie egală cu P 1 Q 1 , AB = P 2 Q 2 și ∠A = ∠ hk.
396. Împărțiți segmentul AB dat în n părți egale.
Soluţie
Să desenăm o rază AX care nu se află pe dreapta AB, iar pe ea din punctul A vom trasa secvenţial n segmente egale AA 1, A 1 A 2, ..., A n-1 A n (Fig. 167). ), adică segmente egale, în câte părți egale trebuie împărțit acest segment AB (în figura 167 p = 5). Să trasăm o dreaptă A n B (punctul A n este capătul ultimului segment) și să construim drepte care trec prin punctele A 1, A 2, ..., A n-1 și paralele cu dreapta ApB. Aceste drepte intersectează segmentul AB în punctele B 1 B 2, ..., B n-1 care, conform teoremei lui Thales (problema 385), împart segmentul AB în n părți egale.
Orez. 167
397. Construiește trapez isoscel ABCD:
a) de-a lungul bazei AD, colțului A și laturii AB;
b) de-a lungul bazei BC, laturii AB și diagonalei BD.
398. Construiți un trapez dreptunghiular ABCD folosind bazele și latura AD perpendiculară pe baze.
Răspunsuri la probleme
372. a) 10,5 cm, 13,5 cm; b) 8,5 cm, 15,5 cm; c) 8 cm, 16 cm.
373. 13 cm, 12 cm, 13 cm, 12 cm.
375. 56 cm sau 70 cm.
376. a) ∠B = ∠B = 96°, ∠C = 84°; b) ∠A = ∠C = 117°30"; ∠B = ∠D= 62°30"; c) ∠A = ∠C = 71°, ∠B = ∠D =109°; d) ∠A = ∠C = 120°, ∠B = ∠D = 60°; e) ∠A = ∠C= 53°, ∠B = ∠D = 127°.
377. MN = PQ = 6 cm, NP = QM = 8cm, ∠M = ∠P = 60°, ∠N = ∠Q = 120°.
379. Instruire. Mai întâi demonstrează că BK = DM.
380. Instruire. Utilizați semnul 2 0, paragraful 44.
382. Instruire. Utilizați semnul 3 0, paragraful 44.
383. Instruire. Utilizați semnul 2 0, paragraful 44.
386. Instruire. Desenați o linie dreaptă prin mijlocul laturii, paralelă cu bazele și folosiți problema 385.
387. ∠B= 144°, ∠D = 63°. 388. Instruire. a) Desenați o linie dreaptă paralelă cu latura prin unul dintre capetele bazei mai mici.
389. Instrucţiuni, a) Folosiţi instrucţiunile pentru problema 388, a; b) trageți o linie dreaptă paralelă cu diagonala prin unul dintre capetele bazei mai mici.
390. 68°, 112°, 112°. Nota. Utilizați problema 388, a.
391. Instruire. Așezați plăcile una lângă cealaltă, astfel încât părțile laterale să se potrivească, baza mai mică a unei plăci se află în linie dreaptă cu baza mai mare a celeilalte plăci.
392. a) 6 cm; b) 5 cm.
395. Instruire. Utilizați problema 284.
1 Thales din Milet - om de știință grec antic (c. 625-547 î.Hr.).
Încărcare...
