Teorema generală a lui Pitagora. Probleme folosind teorema lui Pitagora

Instrucţiuni

Dacă trebuie să calculați folosind teorema lui Pitagora, folosiți următorul algoritm: - Determinați într-un triunghi care laturi sunt catetele și care sunt ipotenuza. Cele două laturi care formează un unghi de nouăzeci de grade sunt catetele, treimea rămasă este ipotenuza. (cm) - Ridicați fiecare catenă a acestui triunghi la a doua putere, adică înmulțiți singur. Exemplul 1. Să presupunem că trebuie să calculăm ipotenuza dacă un catet dintr-un triunghi are 12 cm și celălalt are 5 cm. În primul rând, pătratele catetelor sunt egale: 12 * 12 = 144 cm și 5 * 5 = 25 cm. Apoi, determinați suma picioarelor pătratelor. Număr specific este ipotenuză, trebuie să scapi de a doua putere a numărului pentru a găsi lungime această parte a triunghiului. Pentru a face acest lucru, extrageți din rădăcina pătrată valoarea sumei pătratelor picioarelor. Exemplul 1. 144+25=169. Rădăcina pătrată a lui 169 este 13. Prin urmare, lungimea acestuia ipotenuză egal cu 13 cm.

Un alt mod de a calcula lungimea ipotenuză se află în terminologia sinusului și unghiurilor într-un triunghi. Prin definiție: sinusul unghiului alfa - catetul opus ipotenuzei. Adică, privind figura, sin a = CB / AB. Prin urmare, ipotenuza AB = CB / sin a Exemplul 2. Fie unghiul de 30 de grade, iar latura opusă trebuie să aflăm ipotenuza. Rezolvare: AB = 4 cm / sin 30 = 4 cm / 0,5 = 8 cm Răspuns: lungime ipotenuză egal cu 8 cm.

Un mod similar de a găsi ipotenuză din definiția cosinusului unui unghi. Cosinusul unui unghi este raportul laturii adiacente acestuia și ipotenuză. Adică cos a = AC/AB, deci AB = AC/cos a. Exemplul 3. În triunghiul ABC, AB este ipotenuza, unghiul BAC este de 60 de grade, catetul AC este de 2 cm.
Rezolvare: AB = AC/cos 60 = 2/0,5 = 4 cm Răspuns: Ipotenuza are 4 cm lungime.

Sfaturi utile

Când găsiți valoarea sinusului sau cosinusului unui unghi, utilizați fie tabelul sinusurilor și cosinusurilor, fie tabelul Bradis.

Sfat 2: Cum să găsiți lungimea ipotenuzei într-un triunghi dreptunghic

Ipotenuza este cea mai lungă latură dintr-un triunghi dreptunghic, așa că nu este de mirare că limba greacă acest cuvânt este tradus ca „strâns”. Această latură se află întotdeauna opusă unghiului de 90°, iar laturile care formează acest unghi se numesc picioare. Cunoscând lungimile acestor laturi și mărimea unghiurilor ascuțite în diferite combinații Aceste valori pot fi folosite pentru a calcula lungimea ipotenuzei.

Instrucţiuni

Dacă sunt cunoscute lungimile ambelor triunghiuri (A și B), atunci folosiți lungimile ipotenuzei (C), poate cel mai faimos postulat matematic - teorema lui Pitagora. Afirmă că pătratul lungimii ipotenuzei este suma pătratelor lungimii catetelor, din care rezultă că ar trebui să calculezi rădăcina sumei pătratelor lungimii celor două laturi: C = √ ( A² + B²). De exemplu, dacă lungimea unui picior este de 15 și -10 centimetri, atunci lungimea ipotenuzei va fi de aproximativ 18,0277564 centimetri, deoarece √(15²+10²)=√(225+100)= √325≈18,0277564.

Dacă se cunoaște lungimea doar a unuia dintre catetele (A) dintr-un triunghi dreptunghic, precum și valoarea unghiului opus acestuia (α), atunci lungimea ipotenuzei (C) poate fi utilizată folosind unul dintre trigonometricele. funcții – sinusul. Pentru a face acest lucru, împărțiți lungimea laturii cunoscute la sinusul unghiului cunoscut: C=A/sin(α). De exemplu, dacă lungimea unuia dintre catete este de 15 centimetri, iar unghiul la vârful opus al triunghiului este de 30°, atunci lungimea ipotenuzei va fi egală cu 30 centimetri, deoarece 15/sin(30°) =15/0,5=30.

Dacă într-un triunghi dreptunghic se cunosc dimensiunea unuia dintre unghiurile ascuțite (α) și lungimea catetei adiacente (B), atunci pentru a calcula lungimea ipotenuzei (C) puteți folosi o altă funcție trigonometrică - cosinus. Ar trebui să împărțiți lungimea catetei cunoscute la cosinusul unghiului cunoscut: C=B/ cos(α). De exemplu, dacă lungimea acestui catete este de 15 centimetri, iar unghiul ascuțit adiacent acestuia este de 30°, atunci lungimea ipotenuzei va fi de aproximativ 17,3205081 centimetri, deoarece 15/cos(30°)=15/(0,5* √3)=30/√3≈17,3205081.

Lungimea este de obicei folosită pentru a desemna distanța dintre două puncte de pe un segment de linie. Poate fi o linie dreaptă, întreruptă sau închisă. Puteți calcula lungimea destul de simplu dacă cunoașteți alți indicatori ai segmentului.

Instrucţiuni

Dacă trebuie să găsiți lungimea laturii unui pătrat, atunci aceasta nu va fi , dacă îi cunoașteți aria S. Datorită faptului că toate laturile pătratului au

Nivel intermediar

Triunghi dreptunghic. Ghidul complet ilustrat (2019)

TRIANGUL DREPTUNGULAR. NIVEL DE ENTRARE.

În probleme, unghiul drept nu este deloc necesar - stânga jos, așa că trebuie să învățați să recunoașteți un triunghi dreptunghic sub această formă,

si in aceasta

si in aceasta

Ce este bun la un triunghi dreptunghic? Ei bine... în primul rând, sunt speciale nume frumoase pentru laturile lui.

Atentie la desen!

Amintiți-vă și nu confundați: sunt două catete și există o singură ipotenuză(una și singura, unică și cea mai lungă)!

Ei bine, am discutat despre nume, acum cel mai important lucru: Teorema lui Pitagora.

Teorema lui Pitagora.

Această teoremă este cheia pentru rezolvarea multor probleme care implică un triunghi dreptunghic. A fost dovedit de Pitagora în vremuri cu totul imemoriale, iar de atunci a adus multe beneficii celor care îl cunosc. Și cel mai bun lucru este că este simplu.

Aşa, Teorema lui Pitagora:

Îți amintești gluma: „Pantalonii pitagoreici sunt egali din toate părțile!”?

Să desenăm aceiași pantaloni pitagoreici și să ne uităm la ei.

Nu seamănă cu un fel de pantaloni scurți? Ei bine, în ce părți și unde sunt egale? De ce și de unde a venit gluma? Și această glumă este legată tocmai de teorema lui Pitagora, sau mai exact de modul în care Pitagora însuși și-a formulat teorema. Și a formulat astfel:

"Sumă arii de pătrate, construit pe picioare, este egal cu suprafata patrata, construit pe ipotenuză."

Chiar sună puțin diferit? Și astfel, când Pitagora a desenat enunțul teoremei sale, aceasta este exact imaginea care a ieșit.

În această imagine, suma suprafețelor pătratelor mici este egală cu aria pătratului mare. Și pentru ca copiii să-și amintească mai bine că suma pătratelor picioarelor este egală cu pătratul ipotenuzei, cineva plin de duh a venit cu această glumă despre pantalonii pitagoreici.

De ce formulăm acum teorema lui Pitagora?

A suferit Pitagora și a vorbit despre pătrate?

Vezi tu, în antichitate nu exista... algebră! Nu erau semne și așa mai departe. Nu existau inscripții. Vă puteți imagina cât de groaznic a fost pentru bieții studenți antici să-și amintească totul în cuvinte?! Și ne putem bucura că avem o formulare simplă a teoremei lui Pitagora. Să o repetăm ​​pentru a ne aminti mai bine:

Ar trebui să fie ușor acum:

Ei bine, a fost discutată cea mai importantă teoremă despre triunghiuri dreptunghiulare. Dacă sunteți interesat de modul în care este dovedit, citiți următoarele niveluri de teorie și acum să trecem mai departe... la pădure întunecată... trigonometrie! La cuvintele teribile sinus, cosinus, tangent și cotangent.

Sinus, cosinus, tangentă, cotangentă într-un triunghi dreptunghic.

De fapt, totul nu este deloc atât de înfricoșător. Desigur, definiția „reala” a sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei ar trebui să fie analizată în articol. Dar chiar nu vreau, nu? Ne putem bucura: pentru a rezolva probleme despre un triunghi dreptunghic, puteți completa pur și simplu următoarele lucruri simple:

De ce totul este aproape de colț? Unde este coltul? Pentru a înțelege acest lucru, trebuie să știți cum sunt scrise afirmațiile 1 - 4 în cuvinte. Priviți, înțelegeți și amintiți-vă!

1.
De fapt suna cam asa:

Dar unghiul? Există un picior care este opus colțului, adică un picior opus (pentru un unghi)? Bineînțeles că există! Acesta este un picior!

Dar unghiul? Privește cu atenție. Care picior este adiacent colțului? Desigur, piciorul. Aceasta înseamnă că pentru unghi piciorul este adiacent și

Acum, fii atent! Uite ce avem:

Vezi ce tare este:

Acum să trecem la tangentă și cotangentă.

Cum pot scrie asta în cuvinte acum? Care este piciorul în raport cu unghiul? Vizavi, desigur - „se află” vizavi de colț. Dar piciorul? Adiacent colțului. Deci ce avem?

Vedeți cum numărătorul și numitorul au schimbat locurile?

Și acum colțurile din nou și au făcut un schimb:

Relua

Să scriem pe scurt tot ce am învățat.

Teorema lui Pitagora:

Principala teoremă despre triunghiuri dreptunghiulare este teorema lui Pitagora.

Teorema lui Pitagora

Apropo, vă amintiți bine ce sunt catetele și ipotenuza? Dacă nu este foarte bun, atunci uită-te la imagine - reîmprospătează-ți cunoștințele

Este foarte posibil să fi folosit deja teorema lui Pitagora de multe ori, dar te-ai întrebat vreodată de ce o astfel de teoremă este adevărată? Cum pot dovedi asta? Să facem ca grecii antici. Să desenăm un pătrat cu o latură.

Vezi cât de inteligent i-am împărțit laturile în lungimi și!

Acum să conectăm punctele marcate

Aici, totuși, am notat altceva, dar tu însuți te uiți la desen și te gândești de ce este așa.

Care este aria pătratului mai mare? Corect,. Dar o zonă mai mică? Cu siguranță, . Suprafața totală a celor patru colțuri rămâne. Imaginează-ți că i-am luat câte doi și i-am sprijinit unul de celălalt cu ipotenuzele lor. Ce s-a întâmplat? Două dreptunghiuri. Aceasta înseamnă că aria „tăierilor” este egală.

Să punem totul împreună acum.

Să transformăm:

Așa că l-am vizitat pe Pitagora - i-am demonstrat teorema într-un mod antic.

Triunghi dreptunghic și trigonometrie

Pentru un triunghi dreptunghic sunt valabile următoarele relații:

Sinusul unui unghi ascuțit este egal cu raportul dintre latura opusă ipotenuzei

Cosinusul unui unghi ascuțit este egal cu raportul picior alăturat la ipotenuză.

Tangenta unui unghi ascuțit este egală cu raportul dintre latura opusă și latura adiacentă.

Cotangenta unui unghi ascuțit este egală cu raportul dintre latura adiacentă și latura opusă.

Și încă o dată toate acestea sub formă de tabletă:

Este foarte convenabil!

Semne de egalitate ale triunghiurilor dreptunghiulare

I. Pe două laturi

II. Prin catenă și ipotenuză

III. Prin ipotenuză și unghi ascuțit

IV. De-a lungul piciorului și unghi ascuțit

o)

b)

Atenţie! Este foarte important aici ca picioarele să fie „potrivite”. De exemplu, dacă merge așa:

ATUNCI TRIANGULILE NU SUNT EGALE, în ciuda faptului că au un unghi ascuțit identic.

Este necesar ca în ambele triunghiuri piciorul era adiacent, sau în ambele era opus.

Ați observat cum diferă semnele de egalitate ale triunghiurilor dreptunghiulare de semnele obișnuite de egalitate ale triunghiurilor? Priviți subiectul „și acordați atenție faptului că pentru egalitatea triunghiurilor „obișnuite”, trei dintre elementele lor trebuie să fie egale: două laturi și unghiul dintre ele, două unghiuri și latura dintre ele sau trei laturi. Dar pentru egalitatea triunghiurilor dreptunghiulare sunt suficiente doar două elemente corespunzătoare. Grozav, nu?

Situația este aproximativ aceeași cu semnele de similitudine ale triunghiurilor dreptunghiulare.

Semne de asemănare ale triunghiurilor dreptunghiulare

I. De-a lungul unui unghi ascuțit

II. Pe două laturi

III. Prin catenă și ipotenuză

Mediana într-un triunghi dreptunghic

De ce este așa?

În loc de un triunghi dreptunghic, luați în considerare un întreg dreptunghi.

Să desenăm o diagonală și să luăm în considerare un punct - punctul de intersecție al diagonalelor. Ce se știe despre diagonalele unui dreptunghi?

Și ce rezultă din asta?

Deci s-a dovedit că

1. - mediana:

Amintiți-vă acest fapt! Ajută mult!

Ceea ce este și mai surprinzător este că și contrariul este adevărat.

La ce bun se poate obține din faptul că mediana trasată la ipotenuză este egală cu jumătate din ipotenuză? Să ne uităm la poză

Privește cu atenție. Avem: , adică distanțele de la punct la toate cele trei vârfuri ale triunghiului s-au dovedit a fi egale. Dar există un singur punct în triunghi, distanțele de la care toate cele trei vârfuri ale triunghiului sunt egale și acesta este CENTRU CERCULUI. Deci ce sa întâmplat?

Deci, să începem cu acest „în afară de...”.

Să ne uităm la și.

Dar triunghiuri asemănătoare toate unghiurile sunt egale!

Același lucru se poate spune despre și

Acum să o desenăm împreună:

Ce beneficii pot fi obținute din această similitudine „trilă”?

Ei bine, de exemplu - două formule pentru înălțimea unui triunghi dreptunghic.

Să notăm relațiile părților corespunzătoare:

Pentru a găsi înălțimea, rezolvăm proporția și obținem prima formulă „Înălțimea într-un triunghi dreptunghic”:

Deci, să aplicăm asemănarea: .

Ce se va întâmpla acum?

Din nou rezolvăm proporția și obținem a doua formulă:

Trebuie să vă amintiți foarte bine de aceste două formule și să o utilizați pe cea mai convenabilă. Să le scriem din nou

Teorema lui Pitagora:

Într-un triunghi dreptunghic, pătratul ipotenuzei este egal cu suma pătratelor catetelor: .

Semne de egalitate a triunghiurilor dreptunghiulare:

• pe doua laturi:
• prin catete și ipotenuză: or
• de-a lungul piciorului și unghiului acut adiacent: sau
• de-a lungul piciorului și unghiului acut opus: or
• prin ipotenuză şi unghi ascuţit: or.

Semne de asemănare ale triunghiurilor dreptunghiulare:

• un colț ascuțit: sau
• din proporționalitatea a două picioare:
• din proporţionalitatea catetei şi ipotenuzei: or.

Sinus, cosinus, tangentă, cotangentă într-un triunghi dreptunghic

• Sinusul unui unghi ascuțit al unui triunghi dreptunghic este raportul dintre latura opusă ipotenuzei:
• Cosinusul unui unghi ascuțit al unui triunghi dreptunghic este raportul dintre catetul adiacent și ipotenuză:
• Tangenta unui unghi ascuțit al unui triunghi dreptunghic este raportul dintre latura opusă și latura adiacentă:
• Cotangenta unui unghi ascuțit al unui triunghi dreptunghic este raportul dintre latura adiacentă și latura opusă: .

Înălțimea unui triunghi dreptunghic: sau.

Într-un triunghi dreptunghic, mediana trasă de la vârf unghi drept, este egal cu jumătate din ipotenuză: .

Aria unui triunghi dreptunghic:

• prin picioare:

Istoria teoremei lui Pitagora datează de câteva mii de ani. O afirmație care afirmă că era cunoscută cu mult înainte de nașterea matematicianului grec. Cu toate acestea, teorema lui Pitagora, istoria creării și demonstrația ei sunt asociate pentru majoritatea cu acest om de știință. Potrivit unor surse, motivul pentru aceasta a fost prima demonstrație a teoremei, care a fost dată de Pitagora. Cu toate acestea, unii cercetători neagă acest fapt.

Muzică și logică

Înainte de a spune cum s-a dezvoltat istoria teoremei lui Pitagora, să ne uităm pe scurt la biografia matematicianului. A trăit în secolul al VI-lea î.Hr. Data nașterii lui Pitagora este considerată a fi 570 î.Hr. e., locul este insula Samos. Se știu puține lucruri sigure despre viața omului de știință. Datele biografice din sursele grecești antice sunt împletite cu ficțiunea evidentă. Pe paginile tratatelor, el apare ca un mare înțelept cu o excelentă stăpânire a cuvintelor și abilitatea de a convinge. Apropo, acesta este motivul pentru care matematicianul grec a fost supranumit Pitagora, adică „vorbire persuasivă”. Potrivit unei alte versiuni, nașterea viitorului înțelept a fost prezisă de Pythia. Tatăl l-a numit pe băiat Pitagora în cinstea ei.

Înțeleptul a învățat de la marile minți ale vremii. Printre profesorii tânărului Pitagora se numără Hermodamantus și Pherecydes din Syros. Primul i-a insuflat dragostea pentru muzica, al doilea l-a invatat filozofia. Ambele științe vor rămâne în centrul atenției omului de știință de-a lungul vieții sale.

30 de ani de pregătire

Potrivit unei versiuni, fiind un tânăr curios, Pitagora și-a părăsit patria. A plecat să caute cunoștințe în Egipt, unde a stat, potrivit diverselor surse, de la 11 la 22 de ani, apoi a fost prins și trimis în Babilon. Pitagora a putut beneficia de pe urma poziției sale. Timp de 12 ani a studiat matematica, geometria și magia în statul antic. Pitagora s-a întors la Samos abia la vârsta de 56 de ani. Tiranul Policrate domnea aici pe vremea aceea. Pitagora nu putea accepta așa ceva sistem politicși în curând a mers în sudul Italiei, unde se afla colonia greacă Croton.

Astăzi este imposibil de spus cu siguranță dacă Pitagora a fost în Egipt și Babilon. Poate că a părăsit Samos mai târziu și a plecat direct la Croton.

pitagoreici

Istoria teoremei lui Pitagora este legată de dezvoltarea școlii create de filozoful grec. Această frăție religioasă și etică a predicat un mod special de viață, a studiat aritmetica, geometria și astronomia și a studiat latura filozofică și mistică a numerelor.

Lui i-au fost atribuite toate descoperirile studenților matematicianului grec. Cu toate acestea, istoria apariției teoremei lui Pitagora este asociată de către biografii antici doar cu filozoful însuși. Se presupune că el a transmis grecilor cunoștințele dobândite în Babilon și Egipt. Există și o versiune că a descoperit de fapt teorema privind relația dintre catete și ipotenuză, fără să știe despre realizările altor popoare.

Teorema lui Pitagora: istoria descoperirilor

Unele surse grecești antice descriu bucuria lui Pitagora când a reușit să demonstreze teorema. În cinstea acestui eveniment, el a ordonat un sacrificiu către zei sub formă de sute de tauri și a ținut un ospăț. Unii oameni de știință, totuși, subliniază imposibilitatea unui astfel de act din cauza particularităților opiniilor pitagoreenilor.

Se crede că în tratatul „Elemente”, creat de Euclid, autorul oferă o dovadă a teoremei, al cărei autor a fost marele matematician grec. Cu toate acestea, nu toată lumea a susținut acest punct de vedere. Astfel, chiar și vechiul filosof neoplatonist Proclu a subliniat că autorul dovezii date în Elemente a fost însuși Euclid.

Oricum ar fi, prima persoană care a formulat teorema nu a fost Pitagora.

Egiptul antic și Babilonul

Teorema lui Pitagora, a cărei istorie este discutată în articol, conform matematicianului german Cantor, era cunoscută încă din anul 2300 î.Hr. e. în Egipt. Vechii locuitori ai Văii Nilului în timpul domniei faraonului Amenemhat I cunoșteau egalitatea 3 2 + 4 ² = 5 ². Se presupune că, cu ajutorul triunghiurilor cu laturile 3, 4 și 5, „tragetorii de frânghii” egipteni au construit unghiuri drepte.

Ei cunoșteau și teorema lui Pitagora din Babilon. Pe tăblițe de lut datând din anul 2000 î.Hr. și datând din vremea domniei, a fost descoperit un calcul aproximativ al ipotenuzei unui triunghi dreptunghic.

India și China

Istoria teoremei lui Pitagora este, de asemenea, legată de civilizațiile antice din India și China. Tratatul „Zhou-bi suan jin” conține indicii că (laturile sale sunt legate ca 3:4:5) a fost cunoscut în China încă din secolul al XII-lea. î.Hr e., iar prin secolul al VI-lea. î.Hr e. Matematicienii acestei stări cunoșteau forma generală a teoremei.

Construcția unui unghi drept folosind triunghiul egiptean a fost conturată și în tratatul indian „Sulva Sutra”, datând din secolele VII-V. î.Hr e.

Astfel, istoria teoremei lui Pitagora la momentul nașterii matematicianului și filosofului grec avea deja câteva sute de ani.

Dovada

În timpul existenței sale, teorema a devenit una dintre cele fundamentale în geometrie. Istoria demonstrației teoremei lui Pitagora a început probabil cu luarea în considerare a unui pătrat echilateral Pătratele sunt construite pe ipotenuza și catetele sale. Cel care a „crescut” pe ipotenuză va fi format din patru triunghiuri egale cu primul. Pătratele de pe laturi sunt formate din două astfel de triunghiuri. Simplu imagine grafică demonstrează clar validitatea enunţului formulat sub forma celebrei teoreme.

O altă demonstrație simplă combină geometria cu algebra. Se desenează patru triunghiuri dreptunghiulare identice cu laturile a, b, c astfel încât să formeze două pătrate: cel exterior cu latura (a + b) și cel interior cu latura c. În acest caz, aria pătratului mai mic va fi egală cu c 2. Aria pătratului mare se calculează din suma ariilor pătratului mic și a tuturor triunghiurilor (aria unui triunghi dreptunghic, reamintim, este calculată prin formula (a * b) / 2), care este, c 2 + 4 * ((a * b) / 2), care este egal cu c 2 + 2av. Aria unui pătrat mare poate fi calculată într-un alt mod - ca produs a două laturi, adică (a + b) 2, care este egal cu a 2 + 2ab + b 2. Se dovedește:

a 2 + 2ab + b 2 = c 2 + 2ab,

a 2 + b 2 = c 2.

Există multe versiuni ale demonstrației acestei teoreme. Euclid, oameni de știință indieni și Leonardo da Vinci au lucrat la ele. Adesea, înțelepții antici au citat desene, exemple ale cărora sunt situate mai sus și nu le-au însoțit cu alte explicații decât nota „Uite!” Simplitatea dovezii geometrice, cu condiția ca unele cunoștințe să fie disponibile, nu a necesitat comentarii.

Istoria teoremei lui Pitagora, prezentată pe scurt în articol, dezmintă mitul despre originea ei. Cu toate acestea, este greu de imaginat că numele marelui matematician și filozof grec va înceta vreodată să-i fie asociat.

Potențialul de creativitate este de obicei atribuit științelor umaniste, lăsând știința naturii la analiză, o abordare practică și limbajul sec al formulelor și numerelor. Matematica nu poate fi clasificată ca materie umaniste. Dar fără creativitate nu vei ajunge departe în „regina tuturor științelor” - oamenii știu asta de mult timp. De pe vremea lui Pitagora, de exemplu.

Manualele școlare, din păcate, de obicei nu explică faptul că în matematică este important nu numai să înghesuim teoreme, axiome și formule. Este important să înțelegeți și să simțiți principiile sale fundamentale. Și, în același timp, încearcă să-ți eliberezi mintea de clișee și adevăruri elementare - numai în astfel de condiții se nasc toate marile descoperiri.

Astfel de descoperiri includ ceea ce cunoaștem astăzi ca teorema lui Pitagora. Cu ajutorul ei, vom încerca să arătăm că matematica nu numai că poate, dar ar trebui să fie incitantă. Și că această aventură este potrivită nu numai pentru tocilarii cu ochelari groși, ci pentru toți cei care sunt puternici la minte și puternici la spirit.

Din istoria problemei

Strict vorbind, deși teorema este numită „teorema lui Pitagora”, Pitagora însuși nu a descoperit-o. Triunghiul dreptunghic și proprietățile sale speciale au fost studiate cu mult înaintea lui. Există două puncte de vedere polare asupra acestei probleme. Potrivit unei versiuni, Pitagora a fost primul care a găsit o demonstrație completă a teoremei. Potrivit altuia, dovada nu aparține paternului lui Pitagora.

Astăzi nu mai poți verifica cine are dreptate și cine greșește. Ceea ce se știe este că dovada lui Pitagora, dacă a existat vreodată, nu a supraviețuit. Cu toate acestea, există sugestii că faimoasa dovadă din Elementele lui Euclid ar putea aparține lui Pitagora, iar Euclid a înregistrat-o doar.

De asemenea, se știe astăzi că problemele despre un triunghi dreptunghic se găsesc în sursele egiptene din vremea faraonului Amenemhat I, pe tăblițele de lut babiloniene din timpul domniei regelui Hammurabi, în vechiul tratat indian „Sulva Sutra” și în vechea lucrare chineză „ Zhou-bi suan jin”.

După cum puteți vedea, teorema lui Pitagora a ocupat mințile matematicienilor din cele mai vechi timpuri. Acest lucru este confirmat de aproximativ 367 de dovezi diferite care există astăzi. În acest sens, nicio altă teoremă nu poate concura cu ea. Printre autorii celebri de dovezi îi putem aminti pe Leonardo da Vinci și pe cel de-al XX-lea președinte american James Garfield. Toate acestea vorbesc despre importanța extremă a acestei teoreme pentru matematică: majoritatea teoremelor de geometrie sunt derivate din ea sau sunt într-un fel legate de ea.

Demonstrații ale teoremei lui Pitagora

Manualele școlare oferă în mare parte dovezi algebrice. Dar esența teoremei este în geometrie, așa că să luăm în considerare mai întâi acele dovezi ale celebrei teoreme care se bazează pe această știință.

Dovada 1

Pentru cea mai simplă demonstrație a teoremei lui Pitagora pentru un triunghi dreptunghic, trebuie să setați conditii ideale: să fie triunghiul nu numai dreptunghiular, ci și isoscel. Există motive să credem că tocmai acest tip de triunghi l-au considerat inițial matematicienii antici.

Declaraţie „un pătrat construit pe ipotenuza unui triunghi dreptunghic este egal cu suma pătratelor construite pe catetele sale” poate fi ilustrat cu următorul desen:

Priviți triunghiul dreptunghic isoscel ABC: pe ipotenuza AC, puteți construi un pătrat format din patru triunghiuri egale cu ABC inițial. Și pe laturile AB și BC este construit un pătrat, fiecare dintre ele conține două triunghiuri similare.

Apropo, acest desen a stat la baza numeroaselor glume și desene animate dedicate teoremei lui Pitagora. Cel mai faimos este probabil „Pantalonii pitagoreici sunt egali în toate direcțiile”:

Dovada 2

Această metodă combină algebra și geometria și poate fi considerată o variantă a vechii dovezi indiene a matematicianului Bhaskari.

Construiți un triunghi dreptunghic cu laturile a, b și c(Fig. 1). Apoi construiți două pătrate cu laturile egale cu suma lungimilor celor două picioare - (a+b). În fiecare dintre pătrate, faceți construcții ca în figurile 2 și 3.

În primul pătrat, construiți patru triunghiuri asemănătoare cu cele din Figura 1. Rezultă două pătrate: unul cu latura a, al doilea cu latura b.

În al doilea pătrat, patru triunghiuri similare construite formează un pătrat cu latura egală cu ipotenuza c.

Suma ariilor pătratelor construite din Fig. 2 este egală cu aria pătratului pe care l-am construit cu latura c în Fig. 3. Acest lucru poate fi verificat cu ușurință prin calcularea ariei pătratelor din Fig. 2 conform formulei. Și aria pătratului înscris în figura 3. scăzând ariile a patru triunghiuri dreptunghice egale înscrise în pătrat din aria unui pătrat mare cu o latură (a+b).

Notând toate acestea, avem: a 2 +b 2 =(a+b) 2 – 2ab. Deschideți parantezele, efectuați toate calculele algebrice necesare și obțineți asta a 2 +b 2 = a 2 +b 2. În acest caz, zona înscrisă în Fig. 3. pătratul poate fi calculat și folosind formula tradițională S=c 2. Aceste. a 2 +b 2 =c 2– ai demonstrat teorema lui Pitagora.

Dovada 3

Dovada indiană antică în sine a fost descrisă în secolul al XII-lea în tratatul „Coroana Cunoașterii” („Siddhanta Shiromani”) și ca argument principal autorul folosește un apel adresat talentelor matematice și abilităților de observare ale studenților și adepților: „ Uite!"

Dar vom analiza această dovadă mai detaliat:

În interiorul pătratului, construiți patru triunghiuri dreptunghiulare așa cum este indicat în desen. Să notăm latura pătratului mare, cunoscută și sub denumirea de ipotenuză, Cu. Să numim catetele triunghiului OŞi b. Conform desenului, latura pătratului interior este (a-b).

Utilizați formula pentru aria unui pătrat S=c 2 pentru a calcula aria pătratului exterior. Și, în același timp, calculați aceeași valoare adunând aria pătratului interior și ariile tuturor celor patru triunghiuri dreptunghiulare: (a-b) 2 2+4*1\2*a*b.

Puteți folosi ambele opțiuni pentru a calcula suprafața unui pătrat pentru a vă asigura că dau același rezultat. Și asta îți dă dreptul să scrii asta c 2 =(a-b) 2 +4*1\2*a*b. Ca rezultat al soluției, veți primi formula teoremei lui Pitagora c 2 =a 2 +b 2. Teorema a fost demonstrată.

Dovada 4

Această curioasă dovadă chineză antică a fost numită „Scaunul miresei” - din cauza figurii asemănătoare unui scaun care rezultă din toate construcțiile:

Folosește desenul pe care l-am văzut deja în Fig. 3 în a doua demonstrație. Și pătratul interior cu latura c este construit în același mod ca în vechea demonstrație indiană dată mai sus.

Dacă tăiați mental două triunghiuri dreptunghiulare verzi din desenul din fig. 1, mutați-le în laturile opuse ale pătratului cu latura c și atașați ipotenuzele la ipotenuzele triunghiurilor liliac, veți obține o figură numită „scaunul miresei”. (Fig. 2). Pentru claritate, puteți face același lucru cu pătratele și triunghiurile din hârtie. Te vei asigura că „scaunul miresei” este format din două pătrate: mici cu o latură bși mare cu o latură o.

Aceste construcții au permis matematicienilor chinezi antici și nouă, urmându-le, să ajungem la concluzia că c 2 =a 2 +b 2.

Dovada 5

Aceasta este o altă modalitate de a găsi o soluție la teorema lui Pitagora folosind geometria. Se numește Metoda Garfield.

Construiți un triunghi dreptunghic ABC. Trebuie să dovedim asta BC 2 = AC 2 + AB 2.

Pentru a face acest lucru, continuați piciorul ACși construiți un segment CD, care este egal cu piciorul AB. Coborâți perpendiculara AD segment ED. Segmente EDŞi AC sunt egali. Conectați punctele EŞi ÎN, și de asemenea EŞi CUși obțineți un desen ca în imaginea de mai jos:

Pentru a demonstra turnul, recurgem din nou la metoda pe care am încercat-o deja: găsim aria figurii rezultate în două moduri și echivalăm expresiile una cu cealaltă.

Găsiți aria unui poligon ABED se poate realiza prin însumarea ariilor celor trei triunghiuri care o formează. Și unul dintre ei, ERU, nu este doar dreptunghiular, ci și isoscel. Să nu uităm nici asta AB=CD, AC=EDŞi BC=SE– acest lucru ne va permite să simplificăm înregistrarea și să nu o supraîncărcăm. Aşa, S ABED =2*1/2(AB*AC)+1/2ВС 2.

În același timp, este evident că ABED- Acesta este un trapez. Prin urmare, calculăm aria sa folosind formula: S ABED =(DE+AB)*1/2AD. Pentru calculele noastre, este mai convenabil și mai clar să reprezentăm segmentul AD ca sumă de segmente ACŞi CD.

Să notăm ambele moduri de a calcula aria unei figuri, punând un semn egal între ele: AB*AC+1/2BC 2 =(DE+AB)*1/2(AC+CD). Folosim egalitatea segmentelor, deja cunoscută nouă și descrisă mai sus, pentru a simplifica partea dreaptă a notației: AB*AC+1/2BC 2 =1/2(AB+AC) 2. Acum să deschidem parantezele și să transformăm egalitatea: AB*AC+1/2BC 2 =1/2AC 2 +2*1/2(AB*AC)+1/2AB 2. După ce am finalizat toate transformările, obținem exact ceea ce ne trebuie: BC 2 = AC 2 + AB 2. Am demonstrat teorema.

Desigur, această listă de dovezi este departe de a fi completă. Teorema lui Pitagora poate fi demonstrată și folosind vectori, numere complexe, ecuații diferențiale, stereometria etc. Și chiar și fizicienii: dacă, de exemplu, lichidul este turnat în volume pătrate și triunghiulare similare cu cele prezentate în desene. Turnând lichid, puteți demonstra egalitatea suprafețelor și ca rezultat teorema în sine.

Câteva cuvinte despre tripleții pitagoreici

Această problemă este puțin sau deloc studiată în programa școlară. Între timp, el este foarte interesant și are mare valoareîn geometrie. Triplele pitagorice sunt folosite pentru a rezolva multe probleme matematice. Înțelegerea acestora vă poate fi utilă în educația ulterioară.

Deci, ce sunt tripleții pitagoreici? Așa îi spun ei numere naturale, adunate în trei, suma pătratelor a două dintre ele este egală cu al treilea număr din pătrat.

Triplele pitagorice pot fi:

• primitive (toate cele trei numere sunt relativ prime);
• nu primitiv (dacă fiecare număr al unui triplu este înmulțit cu același număr, obțineți un nou triplu, care nu este primitiv).

Chiar înainte de epoca noastră, egiptenii antici erau fascinați de mania pentru numerele de tripleți pitagoreici: în probleme considerau un triunghi dreptunghic cu laturile de 3, 4 și 5 unități. Apropo, orice triunghi ale cărui laturi sunt egale cu numerele din triplul lui Pitagora este implicit dreptunghiular.

Exemple de tripleți pitagoreici: (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20 ), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (10, 30, 34) , (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (27, 36, 45), ( 14, 48, 50), (30, 40, 50), etc.

Aplicarea practică a teoremei

Teorema lui Pitagora este folosită nu numai în matematică, ci și în arhitectură și construcții, astronomie și chiar literatură.

În primul rând, despre construcție: teorema lui Pitagora este utilizată pe scară largă în probleme de diferite niveluri de complexitate. De exemplu, uitați-vă la o fereastră romanică:

Să notăm lățimea ferestrei ca b, atunci raza semicercului major poate fi notată ca Rși exprimați prin b: R=b/2. Raza semicercurilor mai mici poate fi exprimată și prin b: r=b/4. În această problemă ne interesează raza cercului interior al ferestrei (să-i spunem p).

Teorema lui Pitagora este doar utilă de calculat r. Pentru a face acest lucru, folosim un triunghi dreptunghic, care este indicat de o linie punctată în figură. Ipotenuza unui triunghi este formată din două raze: b/4+p. Un picior reprezintă raza b/4, alta b/2-p. Folosind teorema lui Pitagora, scriem: (b/4+p) 2 =(b/4) 2 +(b/2-p) 2. Apoi, deschidem parantezele și obținem b 2 /16+ bp/2+p 2 =b 2 /16+b 2 /4-bp+p 2. Să transformăm această expresie în bp/2=b2/4-bp. Și apoi împărțim toți termenii la b, va prezentam altele asemanatoare pentru a obtine 3/2*p=b/4. Și până la urmă găsim asta p=b/6- care este ceea ce aveam nevoie.

Folosind teorema, puteți calcula lungimea căpriorii pt acoperiș în fronton. Stabiliți cât de înalt este necesar un turn de telefon mobil pentru ca semnalul să ajungă la un anumit nivel aşezare. Și chiar instalați în mod constant brad de Crăciun pe piata orasului. După cum puteți vedea, această teoremă trăiește nu numai pe paginile manualelor, ci este adesea utilă și în viata reala.

În literatură, teorema lui Pitagora a inspirat scriitori încă din antichitate și continuă să o facă și în timpul nostru. De exemplu, scriitorul german din secolul al XIX-lea Adelbert von Chamisso a fost inspirat să scrie un sonet:

Lumina adevărului nu se va risipi curând,
Dar, după ce a strălucit, este puțin probabil să se risipească
Și, ca acum mii de ani,
Nu va provoca îndoieli sau controverse.

Cel mai înțelept când îți atinge privirea
Lumină a adevărului, mulțumesc zeilor;
Și o sută de tauri, sacrificați, mint -
Un cadou de întoarcere de la norocosul Pitagora.

De atunci taurii au urlă disperați:
A alarmat pentru totdeauna tribul taurului
Evenimentul menționat aici.

Li se pare: timpul este pe cale să vină,
Și vor fi sacrificați din nou
O teoremă grozavă.

(traducere de Viktor Toporov)

Și în secolul al XX-lea, scriitorul sovietic Evgeniy Veltistov, în cartea sa „Aventurile electronice”, a dedicat un întreg capitol dovezilor teoremei lui Pitagora. Și încă o jumătate de capitol la povestea despre lumea bidimensională care ar putea exista dacă teorema lui Pitagora ar deveni o lege fundamentală și chiar o religie pentru o singură lume. A trăi acolo ar fi mult mai ușor, dar și mult mai plictisitor: de exemplu, nimeni acolo nu înțelege sensul cuvintelor „rotund” și „pufos”.

Și în cartea „The Adventures of Electronics”, autorul, prin gura profesorului de matematică Taratar, spune: „Principalul lucru în matematică este mișcarea gândirii, ideile noi”. Tocmai acest zbor creator de gândire dă naștere teoremei lui Pitagora - nu degeaba are atât de multe dovezi variate. Te ajută să depășești granițele familiarului și să privești lucrurile familiare într-un mod nou.

Concluzie

Acest articol este conceput pentru a vă ajuta să priviți dincolo programa școlarăîn matematică și învață nu numai acele dovezi ale teoremei lui Pitagora care sunt date în manualele „Geometrie 7-9” (L.S. Atanasyan, V.N. Rudenko) și „Geometrie 7-11” (A.V. Pogorelov), ci și alte moduri interesante de a demonstra celebra teoremă. Și vedeți, de asemenea, exemple despre cum poate fi aplicată teorema lui Pitagora în viața de zi cu zi.

În primul rând, aceste informații vă vor permite să vă calificați pentru scoruri mai mari la lecțiile de matematică - informațiile despre subiect din surse suplimentare sunt întotdeauna foarte apreciate.

În al doilea rând, am vrut să vă ajutăm să simțiți cât de interesantă este matematica. Confirmați cu exemple specifice că există întotdeauna loc pentru creativitate. Sperăm că teorema lui Pitagora și acest articol vă vor inspira să explorați în mod independent și să faceți descoperiri interesante în matematică și alte științe.

Spune-ne în comentarii dacă ai găsit interesante dovezile prezentate în articol. Ți s-au părut utile aceste informații în studiile tale? Scrie-ne ce părere ai despre teorema lui Pitagora și despre acest articol - vom fi bucuroși să discutăm despre toate acestea cu tine.

site-ul web, atunci când copiați materialul integral sau parțial, este necesar un link către sursă.

Geometria nu este o știință simplă. Poate fi util atât pentru programa școlară, cât și în viața reală. Cunoașterea multor formule și teoreme va simplifica calculele geometrice. Una dintre cele mai simple figuri din geometrie este un triunghi. Una dintre varietățile de triunghiuri, echilaterale, are propriile sale caracteristici.

Caracteristicile unui triunghi echilateral

Prin definiție, un triunghi este un poliedru care are trei unghiuri și trei laturi. Aceasta este o figură bidimensională plată, în care sunt studiate proprietățile liceu. Pe baza tipului de unghi, există triunghiuri acute, obtuze și dreptunghiulare. Un triunghi dreptunghic este o figură geometrică în care unul dintre unghiuri este de 90º. Un astfel de triunghi are două catete (creează un unghi drept) și o ipotenuză (este opus unghiului drept). În funcție de ce cantități sunt cunoscute, sunt trei moduri simple Calculați ipotenuza unui triunghi dreptunghic.

Prima modalitate este de a găsi ipotenuza unui triunghi dreptunghic. Teorema lui Pitagora

Teorema lui Pitagora este cea mai veche modalitate de a calcula oricare dintre laturile unui triunghi dreptunghic. Sună așa: „Într-un triunghi dreptunghic, pătratul ipotenuzei este egal cu suma pătratelor catetelor.” Astfel, pentru a calcula ipotenuza, ar trebui să derivăm rădăcină pătrată din suma a două catete la pătrat. Pentru claritate, sunt date formule și o diagramă.

A doua cale. Calculul ipotenuzei folosind 2 marimi cunoscute: cateta si unghiul adiacent

Una dintre proprietățile unui triunghi dreptunghic afirmă că raportul dintre lungimea catetei și lungimea ipotenuzei este echivalent cu cosinusul unghiului dintre acest catet și ipotenuză. Să numim unghiului cunoscut nouă α. Acum, datorită definiției bine-cunoscute, puteți formula cu ușurință o formulă pentru calcularea ipotenuzei: Hipotenuză = leg/cos(α)

A treia cale. Calculul ipotenuzei folosind 2 marimi cunoscute: cateta si unghiul opus

Dacă se cunoaște unghiul opus, este posibil să se utilizeze din nou proprietățile unui triunghi dreptunghic. Raportul dintre lungimea catetei și ipotenuza este echivalent cu sinusul unghiului opus. Să numim din nou unghiul cunoscut α. Acum, pentru calcule, vom folosi o formulă ușor diferită:
Hipotenuză = catenă/sin (α)

Exemple pentru a vă ajuta să înțelegeți formulele

Pentru o înțelegere mai profundă a fiecăreia dintre formule, ar trebui să luați în considerare exemple ilustrative. Deci, să presupunem că vi se oferă un triunghi dreptunghic, unde există următoarele date:

• Picior – 8 cm.
• Unghiul adiacent cosα1 este 0,8.
• Unghiul opus sinα2 este 0,8.

Conform teoremei lui Pitagora: Hipotenuza = rădăcina pătrată a lui (36+64) = 10 cm.
După dimensiunea piciorului și unghiul adiacent: 8/0,8 = 10 cm.
Dupa marimea piciorului si unghiul opus: 8/0,8 = 10 cm.

Odată ce ați înțeles formula, puteți calcula cu ușurință ipotenuza cu orice date.

Video: Teorema lui Pitagora