Găsiți aria secțiunii transversale a cilindrului. Exemple de cum se calculează aria unui cilindru

Stereometria este o ramură a geometriei care studiază formele din spațiu. Principalele figuri din spațiu sunt un punct, o dreaptă și un plan. În stereometrie apare noul fel aranjarea reciprocă a liniilor: linii care se intersectează. Acesta este unul dintre puținele diferențe semnificative stereometria din planimetrie, deoarece în multe cazuri problemele de stereometrie sunt rezolvate prin luarea în considerare a diferitelor planuri în care sunt îndeplinite legile planimetrice.

În natura din jurul nostru, există multe obiecte care sunt modele fizice ale acestei figuri. De exemplu, multe piese de mașină sunt sub forma unui cilindru sau a unei combinații a acestora, iar coloanele maiestuoase ale templelor și catedralelor, realizate sub formă de cilindri, le subliniază armonia și frumusețea.

greacă − kyulindros. termen antic. În viața de zi cu zi - un sul de papirus, o rolă, un patinoar (verb - răsucire, rostogolire).

În Euclid, un cilindru se obține prin rotirea unui dreptunghi. Pentru Cavalieri - prin mișcarea generatricei (cu un ghid arbitrar - „cilindru”).

Scopul acestui eseu este de a considera un corp geometric - un cilindru.

Pentru a atinge acest obiectiv, trebuie luate în considerare următoarele sarcini:

− dați definiții pentru un cilindru;

- luați în considerare elementele cilindrului;

− să studieze proprietăţile cilindrului;

- luați în considerare tipurile de secțiune a cilindrului;

- deduceți formula pentru aria unui cilindru;

− se deduce formula pentru volumul unui cilindru;

− rezolvarea problemelor cu ajutorul unui cilindru.

1.1. Definiția cilindrului

Luați în considerare o linie (curbă, linie întreruptă sau linie mixtă) situată într-un plan α și o dreaptă S care intersectează acest plan. Prin toate punctele dreptei date l trasăm drepte paralele cu dreapta S; suprafața α formată de aceste drepte se numește suprafață cilindrică. Linia l se numește ghidajul acestei suprafețe, liniile s 1 , s 2 , s 3 ,... sunt generatoarele ei.

Dacă ghidajul este o linie întreruptă, atunci o astfel de suprafață cilindrică constă dintr-o serie de benzi plate închise între perechi de linii paralele și se numește suprafață prismatică. Generatricele care trec prin vârfurile poliliniei de ghidare se numesc marginile suprafeței prismatice, benzile plate dintre ele se numesc fețele acesteia.

Dacă tăiem orice suprafață cilindrică cu un plan arbitrar care nu este paralel cu generatoarele sale, atunci obținem o linie care poate fi luată și ca ghid pentru această suprafață. Dintre ghidaje se remarca unul, care se obtine din sectiunea suprafetei printr-un plan perpendicular pe generatoarele suprafetei. O astfel de secțiune se numește o secțiune normală, iar ghidul corespunzător este numit un ghid normal.

Dacă ghidajul este o linie închisă (convexă) (linie întreruptă sau curbă), atunci suprafața corespunzătoare se numește suprafață prismatică sau cilindrică închisă (convexă). Dintre suprafețele cilindrice, cea mai simplă are cercul său de ghidare normal. Să disecăm o suprafață prismatică convexă închisă după două plane paralele între ele, dar nu paralele cu generatoarele.

În secțiuni obținem poligoane convexe. Acum partea suprafeței prismatice închisă între planurile α și α”, și cele două plăci poligonale formate în aceste planuri, limitează corpul, numit corp prismatic - prismă.

Un corp cilindric - un cilindru este definit în mod similar cu o prismă:
Un cilindru este un corp delimitat lateral de o suprafață cilindrică închisă (convexă) și de la capete de două baze plate paralele. Ambele baze ale cilindrului sunt egale și toți generatorii cilindrului sunt, de asemenea, egali unul cu celălalt, adică. segmente care formează o suprafaţă cilindrică între planurile bazelor.

Un cilindru (mai precis, un cilindru circular) este un corp geometric, care este format din două cercuri care nu se află în același plan și sunt combinate prin transfer paralel și toate segmentele care conectează punctele corespunzătoare ale acestor cercuri (Fig. 1) .

Cercurile se numesc bazele cilindrului, iar segmentele care leagă punctele corespunzătoare ale cercurilor cercurilor se numesc generatoare ale cilindrului.

Deoarece translația paralelă este mișcare, bazele cilindrului sunt egale.

Deoarece în timpul translației paralele planul trece într-un plan paralel (sau în sine), atunci bazele cilindrului se află în planuri paralele.

Deoarece, în timpul translației paralele, punctele sunt deplasate de-a lungul liniilor paralele (sau care coincid) la aceeași distanță, atunci generatoarele cilindrului sunt paralele și egale.

Suprafața unui cilindru este formată din baze și o suprafață laterală. Suprafața laterală este compusă din generatoare.

Un cilindru se numește drept dacă generatoarele lui sunt perpendiculare pe planurile bazelor.

Un cilindru drept poate fi vizualizat ca un corp geometric care descrie un dreptunghi pe măsură ce se rotește în jurul laturii ca o axă (Fig. 2).

Orez. 2 − Cilindru drept

În cele ce urmează, vom lua în considerare doar un cilindru drept, numindu-l pur și simplu cilindru pentru concizie.

Raza unui cilindru este raza bazei acestuia. Înălțimea unui cilindru este distanța dintre planurile bazelor sale. Axa unui cilindru este o linie dreaptă care trece prin centrele bazelor. Este paralel cu generatoarele.

Un cilindru se numește echilateral dacă înălțimea lui este egală cu diametrul bazei.

Dacă bazele cilindrului sunt plate (și, prin urmare, planurile care le conțin sunt paralele), atunci se spune că cilindrul stă pe un plan. Dacă bazele unui cilindru aflat pe un plan sunt perpendiculare pe generatoare, atunci cilindrul se numește drept.

În special, dacă baza unui cilindru aflat pe un plan este un cerc, atunci se vorbește despre un cilindru circular (rotund); dacă este o elipsă, atunci eliptică.

1. 3. Secțiuni ale cilindrului

Secțiunea cilindrului după un plan paralel cu axa acestuia este un dreptunghi (fig. 3, a). Două dintre laturile sale sunt generatrice ale cilindrului, iar celelalte două sunt coarde paralele ale bazelor.

A) b)

V) G)

Orez. 3 - Secțiuni ale cilindrului

În special, dreptunghiul este secțiunea axială. Aceasta este o secțiune a cilindrului printr-un plan care trece prin axa acestuia (Fig. 3, b).

Secțiunea cilindrului după un plan paralel cu baza este un cerc (Fig. 3, c).

Secțiunea transversală a cilindrului cu un plan care nu este paralel cu baza și axa acestuia este un oval (Fig. 3d).

Teorema 1. Un plan paralel cu planul bazei cilindrului își intersectează suprafața laterală de-a lungul unui cerc egal cu circumferința bazei.

Dovada. Fie β un plan paralel cu planul bazei cilindrului. Translația paralelă în direcția axei cilindrului, care combină planul β cu planul bazei cilindrului, combină secțiunea suprafeței laterale de către planul β cu circumferința bazei. Teorema a fost demonstrată.

Zona suprafeței laterale a cilindrului.

Aria suprafeței laterale a cilindrului este considerată limita la care tinde aria suprafeței laterale a unei prisme regulate înscrise în cilindru atunci când numărul de laturi ale bazei acestei prisme crește la nesfârșit.

Teorema 2. Aria suprafeței laterale a cilindrului este egală cu produsul dintre circumferința bazei sale și înălțimea (latura S.c = 2πRH, unde R este raza bazei cilindrului, H este înălțimea cilindrului).

A) b)
Orez. 4 - Aria suprafeței laterale a cilindrului

Dovada.

Fie P n și respectiv H perimetrul bazei și înălțimea unei prisme n-gonale regulate înscrise într-un cilindru (Fig. 4, a). Atunci aria suprafeței laterale a acestei prisme este latura S.c − P n H. Să presupunem că numărul de laturi ale poligonului înscris în bază crește la nesfârșit (Fig. 4, b). Atunci perimetrul P n tinde spre circumferința C = 2πR, unde R este raza bazei cilindrului, iar înălțimea H nu se modifică. Astfel, aria suprafeței laterale a prismei tinde spre limita 2πRH, adică aria suprafeței laterale a cilindrului este egală cu latura S.c = 2πRH. Teorema a fost demonstrată.

Pătrat suprafata intreaga cilindru.

Suprafața totală a unui cilindru este suma suprafețelor laterale și a celor două baze. Aria fiecărei baze a cilindrului este egală cu πR 2, prin urmare, aria întregii suprafețe a cilindrului S plin este calculată prin formula S side.c \u003d 2πRH + 2πR 2.

Orez. 5 - Suprafața completă a cilindrului

Dacă suprafața laterală a cilindrului este tăiată de-a lungul generatricei FT (Fig. 5, a) și desfășurată astfel încât toate generatricele să fie în același plan, atunci ca rezultat obținem un dreptunghi FTT1F1, care se numește dezvoltarea suprafața laterală a cilindrului. Latura FF1 a dreptunghiului este o dezvoltare a circumferinței bazei cilindrului, prin urmare, FF1=2πR, iar latura sa FT este egală cu generatricea cilindrului, adică FT = H (Fig. 5, b). Astfel, aria FT∙FF1=2πRH a dezvoltării cilindrului este egală cu aria suprafeței sale laterale.

1.5. Volumul cilindrului

Dacă corpul geometric este simplu, adică poate fi împărțit într-un număr finit de piramide triunghiulare, atunci volumul său este egal cu suma volumelor acestor piramide. Pentru un corp arbitrar, volumul este definit după cum urmează.

Un corp dat are volumul V dacă există corpuri simple care îl conțin și corpuri simple conținute în el cu volume cât mai puțin diferite de V după cum se dorește.

Să aplicăm această definiție pentru a găsi volumul unui cilindru cu raza bazei R și înălțimea H.

La derivarea formulei pentru aria unui cerc, două n-gonuri (unul care conține un cerc, celălalt conținut într-un cerc) au fost construite astfel încât zonele lor cu o creștere nelimitată în n se apropie de aria unui cerc pe termen nelimitat. Să construim astfel de poligoane pentru cercul de la baza cilindrului. Fie P un poligon care conține un cerc și P" un poligon conținut într-un cerc (Fig. 6).

Orez. 7 - Cilindru cu o prismă descrisă și înscrisă în el

Construim două prisme drepte cu bazele P și P "și înălțimea H egală cu înălțimea cilindrului. Prima prismă conține un cilindru, iar a doua prismă este conținută într-un cilindru. Deoarece cu o creștere nelimitată în n, ariile de bazele prismelor se apropie de aria bazei cilindrului S la nesfârșit, apoi volumele lor se apropie la infinit de S H. Conform definiției, volumul unui cilindru

V = SH = πR 2 H.

Deci, volumul unui cilindru este egal cu produsul dintre suprafața bazei și înălțimea.

Sarcina 1.

Secțiunea axială a unui cilindru este un pătrat a cărui zonă este Q.

Găsiți aria bazei cilindrului.

Dat: cilindru, pătrat - secțiunea axială a cilindrului, S pătrat = Q.

Găsiți: S cilindru principal.

Latura pătratului este . Este egal cu diametrul bazei. Deci aria bazei este .

Răspuns: S cilindru principal. =

Sarcina 2.

Într-un cilindru este înscrisă o prismă hexagonală regulată. Aflați unghiul dintre diagonala feței sale laterale și axa cilindrului dacă raza bazei este egală cu înălțimea cilindrului.

Dat fiind: un cilindru, o prismă hexagonală regulată înscrisă într-un cilindru, raza bazei = înălțimea cilindrului.

Aflați: unghiul dintre diagonala feței sale laterale și axa cilindrului.

Rezolvare: Fețele laterale ale prismei sunt pătrate, deoarece latura unui hexagon regulat înscris într-un cerc este egală cu raza.

Marginile prismei sunt paralele cu axa cilindrului, deci unghiul dintre diagonala feței și axa cilindrului este egal cu unghiul dintre diagonală și marginea laterală. Și acest unghi este de 45 °, deoarece fețele sunt pătrate.

Răspuns: unghiul dintre diagonala feței sale laterale și axa cilindrului = 45°.

Sarcina 3.

Înălțimea cilindrului este de 6 cm, raza bazei este de 5 cm.

Găsiți aria unei secțiuni trasate paralel cu axa cilindrului la o distanță de 4 cm de acesta.

Dat: H = 6cm, R = 5cm, OE = 4cm.

Găsiți: S sec.

S sec. = KM×KS,

OE = 4 cm, KS = 6 cm.

Triunghi OKM - isoscel (OK = OM = R = 5 cm),

triunghiul OEK este un triunghi dreptunghic.

Din triunghiul OEK, conform teoremei lui Pitagora:

KM \u003d 2EK \u003d 2 × 3 \u003d 6,

S sec. \u003d 6 × 6 \u003d 36 cm 2.

Scopul acestui eseu este îndeplinit, este luat în considerare un astfel de corp geometric ca un cilindru.

Au fost luate în considerare următoarele sarcini:

− se dă definiţia unui cilindru;

− sunt luate în considerare elementele cilindrului;

− a studiat proprietăţile cilindrului;

− se iau în considerare tipurile de secțiune a cilindrului;

− se derivă formula pentru aria unui cilindru;

− se derivă formula pentru volumul unui cilindru;

− Problemele sunt rezolvate cu utilizarea unui cilindru.

1. Pogorelov A. V. Geometrie: un manual pentru clasele 10-11 ale instituțiilor de învățământ, 1995.

2. Beskin L.N. Stereometrie. Ghidul profesorului liceu, 1999.

3. Atanasyan L. S., Butuzov V. F., Kadomtsev S. B., Kiseleva L. S., Poznyak E. G. Geometrie: manual pentru clasele 10-11 ale instituțiilor de învățământ, 2000.

4. Aleksandrov A.D., Verner A.L., Ryzhik V.I. Geometrie: manual pentru clasele 10-11 ale instituţiilor de învăţământ, 1998.

5. Kiselev A. P., Rybkin N. A. Geometrie: Stereometrie: Clasele 10 - 11: Manual și carte de probleme, 2000.

Un cilindru este o figură spațială simetrică, ale cărei proprietăți sunt luate în considerare în clasele superioare ale școlii în cursul geometriei solide. Pentru a-l descrie, sunt utilizate caracteristici liniare precum înălțimea și raza bazei. În acest articol, vom lua în considerare întrebări cu privire la care este secțiunea axială a unui cilindru și cum să îi calculăm parametrii prin principalele caracteristici liniare ale figurii.

Figura geometrică

Mai întâi, să definim figura care va fi discutată în articol. Un cilindru este o suprafață formată printr-o deplasare paralelă a unui segment de lungime fixă ​​de-a lungul unei anumite curbe. Condiția principală pentru această mișcare este ca segmentul planului curbei să nu aparțină.

Figura de mai jos prezintă un cilindru a cărui curbă (ghid) este o elipsă.

Aici un segment de lungime h este generatria și înălțimea sa.

Se poate observa că cilindrul este format din două baze identice (elipse în acest caz), care se află în planuri paralele și suprafața laterală. Acesta din urmă aparține tuturor punctelor liniilor generatoare.

Înainte de a trece la revizuire sectiune axiala cilindri, vă vom spune ce tipuri de aceste figuri sunt.

Dacă generatoarea este perpendiculară pe bazele figurii, atunci vorbesc despre un cilindru drept. În caz contrar, cilindrul va fi înclinat. Dacă conectați punctele centrale ale celor două baze, atunci linia dreaptă rezultată se numește axa figurii. Figura următoare arată diferența dintre cilindrii drepti și înclinați.

Se poate observa că pentru o figură dreaptă, lungimea segmentului generator coincide cu valoarea înălțimii h. Pentru un cilindru înclinat, înălțimea, adică distanța dintre baze, este întotdeauna mai mică decât lungimea generatricei.

Secțiunea axială a unui cilindru drept

O secțiune axială este orice secțiune a unui cilindru care conține axa acestuia. Această definiție înseamnă că secțiunea axială va fi întotdeauna paralelă cu generatoarea.

Într-un cilindru drept, axa trece prin centrul cercului și este perpendiculară pe planul său. Aceasta înseamnă că cercul luat în considerare se va intersecta de-a lungul diametrului său. Figura prezintă o jumătate din cilindru, care a fost obținută ca urmare a intersecției figurii cu un plan care trece prin axă.

Nu este greu de înțeles că secțiunea axială a unui cilindru circular drept este un dreptunghi. Laturile sale sunt diametrul d al bazei și înălțimea h a figurii.

Scriem formule pentru aria secțiunii axiale a cilindrului și lungimea h d a diagonalei acestuia:

Un dreptunghi are două diagonale, dar ambele sunt egale între ele. Dacă raza bazei este cunoscută, atunci nu este greu să rescrieți aceste formule prin ea, având în vedere că este jumătate din diametru.

Secțiunea axială a unui cilindru înclinat

Imaginea de mai sus prezintă un cilindru înclinat din hârtie. Dacă efectuați secțiunea sa axială, atunci nu veți mai obține un dreptunghi, ci un paralelogram. Laturile sale sunt cantități cunoscute. Unul dintre ele, ca și în cazul unei secțiuni a unui cilindru drept, este egal cu diametrul d al bazei, în timp ce celălalt este lungimea segmentului generator. Să o notăm b.

Pentru a determina fără ambiguitate parametrii unui paralelogram, nu este suficient să cunoaștem lungimile laturilor sale. Avem nevoie și de un unghi între ele. Să presupunem că unghiul ascuțit dintre ghidaj și bază este α. Va fi, de asemenea, unghiul dintre laturile paralelogramului. Apoi formula pentru aria secțiunii axiale a cilindrului înclinat poate fi scrisă după cum urmează:

Diagonalele secțiunii axiale a unui cilindru înclinat sunt oarecum mai dificil de calculat. Un paralelogram are două diagonale de lungimi diferite. Oferim expresii fără derivare care ne permit să calculăm diagonalele unui paralelogram din laturile cunoscute și un unghi ascuțit între ele:

l 1 = √(d 2 + b 2 - 2*b*d*cos(α));

l 2 = √(d 2 + b 2 + 2*b*d*cos(α))

Aici l 1 și l 2 sunt lungimile diagonalelor mici și, respectiv, mari. Aceste formule pot fi obținute independent dacă considerăm fiecare diagonală ca un vector prin introducerea unui sistem de coordonate dreptunghiular în plan.

Problema cilindrului drept

Vom arăta cum să folosim cunoștințele dobândite pentru a rezolva următoarea sarcină. Să fie dat un cilindru drept rotund. Se știe că secțiunea axială a unui cilindru este un pătrat. Care este aria acestei secțiuni dacă întreaga cifră este de 100 cm 2?

Pentru a calcula suprafața dorită, trebuie să găsiți fie raza, fie diametrul bazei cilindrului. Pentru a face acest lucru, folosim formula pentru suprafata totala Cifre S f:

Deoarece secțiunea axială este un pătrat, aceasta înseamnă că raza r a bazei este jumătate din înălțimea h. Având în vedere acest lucru, putem rescrie egalitatea de mai sus ca:

S f = 2*pi*r*(r + 2*r) = 6*pi*r 2

Acum putem exprima raza r, avem:

Deoarece latura unei secțiuni pătrate este egală cu diametrul bazei figurii, următoarea formulă va fi valabilă pentru a-i calcula aria S:

S = (2*r) 2 = 4*r 2 = 2*S f / (3*pi)

Vedem că aria necesară este determinată în mod unic de suprafața cilindrului. Înlocuind datele în egalitate, ajungem la răspunsul: S = 21,23 cm 2.

Există un numar mare de sarcini legate de cilindru. În ele, trebuie să găsiți raza și înălțimea corpului sau tipul secțiunii sale. În plus, uneori trebuie să calculați aria unui cilindru și volumul acestuia.

Ce corp este un cilindru?

Știu curiculumul scolar se studiază un circular, adică fiind astfel la bază, cilindru. Dar ele disting și aspectul eliptic al acestei figuri. Din nume este clar că baza sa va fi o elipsă sau ovală.

Cilindrul are două baze. Ele sunt egale între ele și sunt conectate prin segmente care combină punctele corespunzătoare ale bazelor. Se numesc generatoare de cilindri. Toate generatoarele sunt paralele între ele și egale. Ele alcătuiesc suprafața laterală a corpului.

În general, un cilindru este un corp înclinat. Dacă generatoarele fac un unghi drept cu bazele, atunci vorbesc deja despre o figură dreaptă.

Interesant este că un cilindru circular este un corp de revoluție. Se obține prin rotirea unui dreptunghi în jurul uneia dintre laturile sale.

Elementele principale ale cilindrului

Elementele principale ale cilindrului sunt următoarele.

1. Înălţime. Este cea mai scurtă distanță dintre bazele cilindrului. Dacă este dreaptă, atunci înălțimea coincide cu generatoarea.
2. Rază. Coincide cu cea care poate fi efectuată în bază.
3. Axă. Aceasta este o linie dreaptă care conține centrele ambelor baze. Axa este întotdeauna paralelă cu toate generatoarele. Într-un cilindru drept, este perpendicular pe baze.
4. Secțiune axială. Se formează atunci când cilindrul intersectează planul care conține axa.
5. Plan tangent. Trece prin unul dintre generatoare și este perpendicular pe secțiunea axială, care este trasă prin această generatoare.

Cum este un cilindru legat de o prismă înscrisă în el sau circumscris în apropierea lui?

Uneori există probleme în care este necesar să se calculeze aria unui cilindru, în timp ce unele elemente ale prismei asociate cu acesta sunt cunoscute. Cum sunt legate aceste cifre?

Dacă o prismă este înscrisă într-un cilindru, atunci bazele sale sunt poligoane egale. Mai mult, ele sunt înscrise în bazele corespunzătoare ale cilindrului. Marginile laterale ale prismei coincid cu generatoarele.

Prisma descrisă are poligoane regulate la baze. Ele sunt descrise lângă cercurile cilindrului, care sunt bazele acestuia. Planurile care conțin fețele prismei ating cilindrul de-a lungul generatoarelor.

Pe zona suprafeței laterale și a bazei pentru un cilindru circular drept

Dacă desfaceți suprafața laterală, obțineți un dreptunghi. Laturile sale vor coincide cu generatria și circumferința bazei. Prin urmare, aria laterală a cilindrului va fi egală cu produsul acestor două cantități. Dacă scrieți formula, obțineți următoarele:

Partea S \u003d l * n,

unde n este generatria, l este circumferința.

Mai mult, ultimul parametru este calculat prin formula:

l = 2 π*r,

aici r este raza cercului, π este numărul „pi”, egal cu 3,14.

Deoarece baza este un cerc, aria sa se calculează folosind următoarea expresie:

S principal \u003d π * r 2.

Pe zona întregii suprafețe a unui cilindru circular drept

Deoarece este format din două baze și o suprafață laterală, trebuie adăugate aceste trei cantități. Adică, aria totală a cilindrului va fi calculată prin formula:

S etaj = 2 π * r * n + 2 π * r 2 .

Este adesea scris într-o formă diferită:

S etaj = 2 π * r (n + r).

Pe zonele unui cilindru circular înclinat

În ceea ce privește bazele, toate formulele sunt la fel, pentru că sunt încă cercuri. Dar suprafața laterală nu mai dă dreptunghi.

Pentru a calcula suprafața laterală a unui cilindru înclinat, va trebui să înmulțiți valorile generatricei și perimetrul secțiunii, care va fi perpendicular pe generatricea selectată.

Formula arată astfel:

Latura S \u003d x * P,

unde x este lungimea generatricei cilindrului, P este perimetrul secțiunii.

Secțiunea transversală, apropo, este mai bine să alegeți astfel încât să formeze o elipsă. Apoi calculele perimetrului acestuia vor fi simplificate. Lungimea elipsei este calculată folosind o formulă care oferă un răspuns aproximativ. Dar este adesea suficient pentru sarcinile cursului școlar:

l \u003d π * (a + b),

unde „a” și „b” sunt semiaxele elipsei, adică distanțele de la centru până la punctele sale cele mai apropiate și cele mai îndepărtate.

Aria întregii suprafețe trebuie calculată folosind următoarea expresie:

S etaj = 2 π * r 2 + x * R.

Care sunt unele secțiuni ale unui cilindru circular drept?

Când secțiunea trece prin axă, atunci aria sa este determinată ca produs al generatricei și diametrul bazei. Acest lucru se datorează faptului că are forma unui dreptunghi, ale cărui laturi coincid cu elementele desemnate.

Pentru a găsi aria secțiunii transversale a unui cilindru care este paralel cu cel axial, veți avea nevoie și de o formulă pentru un dreptunghi. În această situație, una dintre laturile sale va coincide în continuare cu înălțimea, iar cealaltă va fi egală cu coarda bazei. Acesta din urmă coincide cu linia de secțiune de-a lungul bazei.

Când secțiunea este perpendiculară pe axă, atunci arată ca un cerc. Mai mult, aria sa este aceeași ca la baza figurii.

De asemenea, este posibil să se intersecteze la un anumit unghi cu axa. Apoi, în secțiune se obține un oval sau o parte din acesta.

Exemple de sarcini

Sarcina numărul 1. Este dat un cilindru drept, a cărui suprafață de bază este de 12,56 cm 2 . Este necesar să se calculeze suprafața totală a cilindrului dacă înălțimea acestuia este de 3 cm.

Soluţie. Este necesar să utilizați formula pentru suprafața totală a unui cilindru circular drept. Dar îi lipsesc date și anume raza bazei. Dar aria cercului este cunoscută. Din aceasta este ușor de calculat raza.

Se dovedește a fi egal rădăcină pătrată din privat, care se obține prin împărțirea zonei bazei la pi. Împărțirea lui 12,56 la 3,14 este 4. Rădăcina pătrată a lui 4 este 2. Prin urmare, raza va avea această valoare.

Răspuns: S podea \u003d 50,24 cm 2.

Sarcina numărul 2. Un cilindru cu o rază de 5 cm este tăiat de un plan paralel cu axa. Distanța de la secțiune la axă este de 3 cm. Înălțimea cilindrului este de 4 cm. Este necesar să găsiți aria secțiunii.

Soluţie. Forma secțiunii este dreptunghiulară. Una dintre laturile sale coincide cu înălțimea cilindrului, iar cealaltă este egală cu coarda. Dacă prima valoare este cunoscută, atunci trebuie găsită a doua.

Pentru a face acest lucru, trebuie să faceți o construcție suplimentară. La bază desenăm două segmente. Ambele vor începe din centrul cercului. Prima se va termina în centrul coardei și egală cu distanța cunoscută până la axă. Al doilea este la sfârșitul acordului.

Obțineți un triunghi dreptunghic. În ea sunt cunoscute ipotenuza și unul dintre catete. Ipotenuza este aceeași cu raza. Al doilea picior este egal cu jumătate din coardă. Piciorul necunoscut, înmulțit cu 2, va da lungimea coardă necesară. Să-i calculăm valoarea.

Pentru a găsi catetul necunoscut, trebuie să pătrați ipotenuza și catetul cunoscut, să scădeți al doilea din primul și să luați rădăcina pătrată. Pătratele sunt 25 și 9. Diferența lor este 16. După extragerea rădăcinii pătrate, rămâne 4. Acesta este piciorul dorit.

Coarda va fi egală cu 4 * 2 = 8 (cm). Acum puteți calcula aria secțiunii transversale: 8 * 4 \u003d 32 (cm 2).

Răspuns: S sec este 32 cm 2.

Sarcina numărul 3. Este necesar să se calculeze aria secțiunii axiale a cilindrului. Se știe că în el este înscris un cub cu marginea de 10 cm.

Soluţie. Secțiunea axială a cilindrului coincide cu un dreptunghi care trece prin cele patru vârfuri ale cubului și conține diagonalele bazelor acestuia. Latura cubului este generatoarea cilindrului, iar diagonala bazei coincide cu diametrul. Produsul acestor două valori va oferi zona pe care trebuie să o aflați în problemă.

Pentru a găsi diametrul, trebuie să cunoașteți că baza cubului este un pătrat, iar diagonala sa formează un triunghi dreptunghic echilateral. Ipotenuza sa este diagonala necesară a figurii.

Pentru a-l calcula, aveți nevoie de formula teoremei lui Pitagora. Trebuie să pătrați latura cubului, să o înmulțiți cu 2 și să luați rădăcina pătrată. Zece la a doua putere este o sută. Înmulțit cu 2 - două sute. Rădăcina pătrată a lui 200 este 10√2.

Secțiunea este din nou un dreptunghi cu laturile 10 și 10√2. Aria sa este ușor de calculat prin înmulțirea acestor valori.

Răspuns. S sec \u003d 100√2 cm 2.

Numele științei „geometrie” este tradus ca „măsurarea pământului”. S-a născut prin eforturile primilor geodeți antici. Și s-a întâmplat așa: în timpul inundațiilor Nilului sacru, pâraiele de apă spălau uneori granițele parcelelor fermierilor, iar noile granițe s-ar putea să nu coincidă cu cele vechi. Impozitele erau plătite de țărani la vistieria faraonului proporțional cu mărimea terenului. După deversare, persoane speciale au fost angajate în măsurarea suprafețelor de teren arabil din noile limite. În urma activităților lor a apărut o nouă știință, care a fost dezvoltată în Grecia antică. Acolo a primit numele și a dobândit practic aspect modern. În viitor, termenul a devenit numele internațional pentru știința figurilor plate și tridimensionale.

Planimetria este o ramură a geometriei care se ocupă cu studiul figuri plate. O altă ramură a științei este stereometria, care ia în considerare proprietățile figurilor spațiale (volumice). Cilindrul descris în acest articol aparține și el unor astfel de figuri.

Exemple de prezență a obiectelor cilindrice în Viata de zi cu zi suficient. Aproape toate părțile de rotație - arborii, bucșele, gâturile, osiile etc. au o formă cilindrică (mult mai rar - conică). Cilindrul este utilizat pe scară largă în construcții: turnuri, suport, coloane decorative. Și în plus, vase, unele tipuri de ambalaje, țevi de diferite diametre. Și în sfârșit - celebrele pălării, care au devenit de mult timp un simbol al eleganței masculine. Lista este nesfârșită.

Definirea unui cilindru ca figură geometrică

Un cilindru (cilindru circular) este de obicei numit o figură constând din două cercuri, care, dacă se dorește, sunt combinate folosind translația paralelă. Aceste cercuri sunt bazele cilindrului. Dar liniile (segmente drepte) care leagă punctele corespunzătoare se numesc „generatoare”.

Este important ca bazele cilindrului să fie întotdeauna egale (dacă această condiție nu este îndeplinită, atunci avem în față un trunchi de con, altceva, dar nu un cilindru) și să fie în planuri paralele. Segmentele care leagă punctele corespunzătoare de pe cercuri sunt paralele și egale.

Totalitatea unui set infinit de generatoare nu este altceva decât suprafața laterală a unui cilindru - unul dintre elementele unei figuri geometrice date. Cealaltă componentă importantă a acesteia sunt cercurile discutate mai sus. Se numesc baze.

Tipuri de cilindri

Cel mai simplu și cel mai comun tip de cilindru este circular. Este format din două cercuri regulate care acționează ca baze. Dar în locul lor pot exista și alte cifre.

Bazele cilindrilor pot forma (cu excepția cercurilor) elipse și alte figuri închise. Dar cilindrul poate să nu aibă neapărat o formă închisă. De exemplu, o parabolă, o hiperbolă sau o altă funcție deschisă poate servi drept bază a unui cilindru. Un astfel de cilindru va fi deschis sau desfășurat.

După unghiul de înclinare al generatricelor față de baze, cilindrii pot fi drepti sau înclinați. Pentru un cilindru drept, generatoarele sunt strict perpendiculare pe planul bazei. Dacă acest unghi diferă de 90°, cilindrul este înclinat.

Ce este o suprafață a revoluției

Un cilindru circular drept este, fără îndoială, cea mai comună suprafață de revoluție folosită în inginerie. Uneori, conform indicațiilor tehnice, se folosesc suprafețe conice, sferice și alte tipuri de suprafețe, dar 99% din toți arborii rotativi, osii etc. realizate sub formă de cilindri. Pentru a înțelege mai bine ce este o suprafață de revoluție, putem lua în considerare modul în care este format cilindrul în sine.

Să spunem că există o linie A plasat vertical. ABCD este un dreptunghi, una dintre ale cărui laturi (segmentul AB) se află pe o linie dreaptă A. Dacă rotim un dreptunghi în jurul unei linii drepte, așa cum se arată în figură, volumul pe care îl va ocupa în timp ce se rotește va fi corpul nostru de revoluție - un cilindru circular drept cu înălțimea H = AB = DC și raza R = AD = BC.

În acest caz, ca urmare a rotației figurii - un dreptunghi - se obține un cilindru. Rotind un triunghi, puteți obține un con, rotind un semicerc - o minge etc.

Suprafața cilindrului

Pentru a calcula suprafața unui cilindru circular drept obișnuit, este necesar să se calculeze ariile bazelor și ale suprafeței laterale.

Mai întâi, să ne uităm la modul în care este calculată aria suprafeței laterale. Acesta este produsul dintre circumferința și înălțimea cilindrului. Circumferința, la rândul său, este egală cu dublul produsului numărului universal P la raza cercului.

Se știe că aria unui cerc este egală cu produsul P la pătratul razei. Deci, adăugând formulele pentru aria de determinare a suprafeței laterale cu expresia de două ori pentru aria bazei (sunt două) și făcând transformări algebrice simple, obținem expresia finală pentru determinarea suprafața cilindrului.

Determinarea volumului unei figuri

Volumul cilindrului este determinat de schema standard: Suprafața bazei înmulțită cu înălțimea.

Astfel, formula finală arată astfel: doritul este definit ca produsul înălțimii corpului cu numărul universal. Pși pătratul razei bazei.

Formula rezultată, trebuie spus, este aplicabilă pentru rezolvarea celor mai neașteptate probleme. În același mod ca și volumul unui cilindru, de exemplu, se determină volumul cablurilor electrice. Acest lucru poate fi necesar pentru a calcula masa firelor.

Singura diferență în formulă este că, în loc de raza unui cilindru, există diametrul miezului de cablu împărțit în două, iar numărul de miezuri din fir apare în expresie N. De asemenea, se folosește lungimea firului în loc de înălțime. Astfel, volumul „cilindrului” este calculat nu de unul, ci de numărul de fire din împletitură.

Astfel de calcule sunt adesea necesare în practică. La urma urmei, o parte semnificativă a rezervoarelor de apă este realizată sub formă de țeavă. Și este adesea necesar să se calculeze volumul unui cilindru chiar și în gospodărie.

Cu toate acestea, după cum sa menționat deja, forma cilindrului poate fi diferită. Și în unele cazuri este necesar să se calculeze cu ce este egal volumul cilindrului înclinat.

Diferența este că suprafața bazei este înmulțită nu cu lungimea generatricei, ca în cazul unui cilindru drept, ci cu distanța dintre planuri - un segment perpendicular construit între ele.

După cum se poate observa din figură, un astfel de segment este egal cu produsul lungimii generatricei cu sinusul unghiului de înclinare al generatricei față de plan.

Cum se construiește un cilindru de măturat

În unele cazuri, este necesară tăierea unui alez cilindric. Figura de mai jos arată regulile prin care se construiește un semifabricat pentru fabricarea unui cilindru cu o înălțime și un diametru dat.

Vă rugăm să rețineți că figura este afișată fără cusături.

Diferențele de cilindru teșit

Să ne imaginăm un cilindru drept mărginit pe o parte de un plan perpendicular pe generatoare. Dar planul care delimitează cilindrul pe cealaltă parte nu este perpendicular pe generatoare și nu este paralel cu primul plan.

Figura prezintă un cilindru teșit. Avion A la un alt unghi decât 90° față de generatoare, intersectează figura.

Această formă geometrică este mai frecventă în practică sub formă de conexiuni de conducte (coturi). Dar există chiar și clădiri construite sub forma unui cilindru teșit.

Caracteristicile geometrice ale cilindrului teșit

Panta unuia dintre planurile cilindrului teșit modifică ușor ordinea de calcul atât a suprafeței unei astfel de figuri, cât și a volumului acesteia.

Găsiți aria secțiunii axiale perpendiculare pe bazele cilindrului. Una dintre laturile acestui dreptunghi este egală cu înălțimea cilindrului, cealaltă este egală cu diametrul cercului de bază. În consecință, aria secțiunii transversale în acest caz va fi egală cu produsul laturilor dreptunghiului. S=2R*h, unde S este aria secțiunii transversale, R este raza cercului de bază, dată de condițiile problemei, iar h este înălțimea cilindrului, dată și de condițiile problemei.

Dacă secțiunea este perpendiculară pe baze, dar nu trece prin axa de rotație, dreptunghiul nu va fi egal cu diametrul cercului. Trebuie calculat. Pentru a face acest lucru, sarcina trebuie să spună la ce distanță de axa de rotație trece planul de secțiune. Pentru comoditatea calculelor, construiți un cerc la baza cilindrului, desenați o rază și lăsați deoparte distanța la care se află secțiunea de centrul cercului. Din acest punct, trageți spre perpendiculare până când acestea se intersectează cu cercul. Conectați punctele de intersecție la centru. Trebuie să găsești acorduri. Găsiți dimensiunea unei jumătăți de coardă folosind teorema lui Pitagora. Va fi egal cu rădăcina pătrată a diferenței pătratelor razei cercului de la centru la linia de secțiune. a2=R2-b2. Întreaga coardă va fi, respectiv, egală cu 2a. Calculați aria secțiunii transversale, care este egală cu produsul laturilor dreptunghiului, adică S=2a*h.

Cilindrul poate fi disecat fără a trece prin planul bazei. Dacă secțiunea transversală este perpendiculară pe axa de rotație, atunci va fi un cerc. Aria sa în acest caz este egală cu aria bazelor, adică este calculată prin formula S \u003d πR2.

Sfaturi utile

Pentru a vă imagina mai precis secțiunea, faceți un desen și construcții suplimentare.

Surse:

• zona secțiunii transversale a cilindrului

Linia de intersecție a unei suprafețe cu un plan aparține atât suprafeței, cât și planului secant. Linia de intersecție a unei suprafețe cilindrice cu un plan secant paralel cu generatricea dreaptă este o linie dreaptă. Dacă planul de tăiere este perpendicular pe axa suprafeței de revoluție, secțiunea va avea un cerc. În general, linia de intersecție a unei suprafețe cilindrice cu un plan de tăiere este o linie curbă.

Vei avea nevoie

• Creion, riglă, triunghi, modele, busole, instrument de măsură.

Instruire

Pe planul de proiecție frontală P₂, linia de secțiune coincide cu proiecția planului secant Σ₂ sub forma unei drepte.
Desemnați punctele de intersecție ale generatricelor cilindrului cu proiecția Σ₂ 1₂, 2₂ etc. la punctele 10₂ și 11₂.

Pe planul P₁ este un cerc. Punctele 1₂ , 2₂ marcate pe planul de secțiune Σ₂ etc. cu ajutorul unei linii de proiectie se vor proiecta legaturile pe conturul acestui cerc. Desemnați proiecțiile lor orizontale simetric față de axa orizontală a cercului.

Astfel, proiecțiile secțiunii dorite sunt definite: pe planul P₂ - o linie dreaptă (punctele 1₂, 2₂ ... 10₂); pe planul P₁ - un cerc (punctele 1₁, 2₁ ... 10₁).

Cu doi, construiți dimensiunea naturală a secțiunii cilindrului dat după planul Σ care se proiectează în față. Pentru a face acest lucru, utilizați metoda proiecțiilor.

Desenați planul P₄ paralel cu proiecția planului Σ₂. Pe această nouă axă x₂₄, marcați punctul 1₀. Distanțele dintre punctele 1₂ - 2₂, 2₂ - 4₂ etc. din proiecția frontală a secțiunii, pusă deoparte pe axa x₂₄, se trasează linii subțiri ale conexiunii de proiecție perpendiculare pe axa x₂₄.

În această metodă, planul P₄ este înlocuit cu planul P₁, prin urmare, din proiecția orizontală, se transferă dimensiunile de la axă la puncte la axa planului P₄.

De exemplu, pe P₁ pentru punctele 2 și 3, aceasta va fi distanța de la 2₁ și 3₁ la axa (punctul A), etc.

După ce am amânat distanțele indicate față de proiecția orizontală, veți obține punctele 2₀, 3₀, 6₀, 7₀, 10₀, 11₀. Apoi, pentru o mai mare acuratețe a construcției, se determină punctele rămase, intermediare.

Prin conectarea tuturor punctelor cu o curbă curbă, veți obține dimensiunea naturală dorită a secțiunii transversale a cilindrului de către planul care se proiectează în față.

Surse:

• cum se înlocuiește avionul

Sfat 3: Cum să găsiți zona secțiunii axiale a unui trunchi de con

Pentru a rezolva această problemă, trebuie să vă amintiți ce este un trunchi de con și ce proprietăți are. Asigurați-vă că desenați. Aceasta va determina ce figură geometrică este o secțiune. Este foarte posibil ca după aceasta rezolvarea problemei să nu vă mai fie dificilă.

Instruire

Un con rotund este un corp obținut prin rotirea unui triunghi în jurul unuia dintre picioarele sale. Linii drepte care vin de sus conuri iar care intersectează baza ei se numesc generatoare. Dacă toți generatorii sunt egali, atunci conul este drept. La baza rundei conuri zace un cerc. Perpendiculara coborâtă pe bază de sus este înălțimea conuri. La dreapta rotundă conuriînălțimea coincide cu axa acesteia. Axa este o linie dreaptă care se conectează la centrul bazei. Dacă planul orizontal de tăiere al circularei conuri, atunci baza sa superioară este un cerc.

Deoarece nu este specificat în condiția problemei că este conul care este dat în acest caz, putem concluziona că acesta este un trunchi de con drept, a cărui secțiune orizontală este paralelă cu baza. Secțiunea sa axială, adică plan vertical, care prin axa unei circulare conuri, este un trapez isoscel. Toate axiale secțiuni rotund drept conuri sunt egali unul cu altul. Prin urmare, pentru a găsi pătrat axial secțiuni, este necesar să se găsească pătrat trapez, ale cărui baze sunt diametrele bazelor trunchiului conuri, iar părțile laterale sunt generatoarele sale. Înălțime trunchiată conuri este și înălțimea trapezului.

Aria unui trapez este determinată de formula: S = ½(a+b) h, unde S este pătrat trapez; a - valoarea bazei inferioare a trapezului; b - valoarea bazei sale superioare; h - înălțimea trapezului.

Deoarece condiția nu specifică care sunt date, este posibil ca diametrele ambelor baze ale trunchiului conuri cunoscut: AD = d1 este diametrul bazei inferioare a trunchiului conuri;BC = d2 este diametrul bazei sale superioare; EH = h1 - înălțime conuri.Prin urmare, pătrat axial secțiuni trunchiată conuri definit: S1 = ½ (d1+d2) h1

Surse:

• zona trunchiată de con

Cilindrul este o figură tridimensională și constă din două baze egale, care sunt cercuri, și o suprafață laterală care leagă liniile care delimitează bazele. A calcula pătrat cilindru, găsiți zonele tuturor suprafețelor sale și adăugați-le.