Găsiți aria unei figuri cu linii mărginite vizibile. Cum se calculează aria unei figuri plane folosind integrală dublă

Începem să luăm în considerare procesul real de calcul al integralei duble și să ne familiarizăm cu semnificația ei geometrică.

Dubla integrală numeric egal cu suprafata figură plată (regiune de integrare). Aceasta este cea mai simplă formă de integrală dublă, când funcția a două variabile este egală cu una: .

Mai întâi, să ne uităm la problema în formă generală. Acum vei fi destul de surprins cât de simplu este totul cu adevărat! Să calculăm aria unei figuri plate, limitat de linii. Pentru certitudine, presupunem că pe segmentul . Aria acestei figuri este numeric egală cu:

Să reprezentăm zona din desen:

Să alegem primul mod de a traversa zona:

Astfel:

Și imediat un truc tehnic important: integralele repetate pot fi calculate separat. Mai întâi integrala interioară, apoi integrala exterioară. Recomand cu caldura aceasta metoda incepatorilor in materie.

1) Să calculăm integrala internă, iar integrarea se efectuează peste variabila „y”:

Integrala nedefinită aici este cea mai simplă, iar apoi se folosește formula banală Newton-Leibniz, cu singura diferență că limitele integrării nu sunt numere, ci funcții. În primul rând, am înlocuit limita superioară în „y” (funcția antiderivată), apoi limita inferioară

2) Rezultatul obţinut la primul paragraf trebuie înlocuit în integrala externă:

O reprezentare mai compactă a întregii soluții arată astfel:

Formula rezultată este exact formula de lucru pentru calcularea ariei unei figuri plane folosind integrala definită „obișnuită”! Vezi lecția Calcularea ariei folosind o integrală definită, acolo este la fiecare pas!

Adică problema calculării ariei folosind integrală dublă nu mult diferit din problema găsirii zonei folosind o integrală definită!

De fapt, este același lucru!

Prin urmare, nu ar trebui să apară dificultăți! Nu mă voi uita la foarte multe exemple, deoarece, de fapt, ați întâlnit în mod repetat această sarcină.

Exemplul 9

Soluție: Să reprezentăm zona din desen:

Să alegem următoarea ordine de parcurgere a zonei:

Aici și mai departe nu mă voi opri asupra modului de parcurgere a zonei, deoarece în primul paragraf au fost date explicații foarte detaliate.

Astfel:

1) În primul rând, folosind formula Newton-Leibniz, ne ocupăm de integrala internă:

2) Rezultatul obținut în prima etapă este înlocuit în integrala externă:

Punctul 2 este de fapt găsirea aria unei figuri plane folosind o integrală definită.

Răspuns:

Aceasta este o sarcină atât de stupidă și naivă.

Un exemplu interesant pentru decizie independentă:

Exemplul 10

Folosind o integrală dublă, calculați aria unei figuri plane delimitată de liniile , ,

Un exemplu aproximativ de soluție finală la sfârșitul lecției.

În Exemplele 9-10, este mult mai profitabil să folosești prima metodă de parcurgere a zonei, cititorii curioși, de altfel, pot schimba ordinea de parcurgere și pot calcula zonele folosind a doua metodă; Dacă nu greșești, atunci, în mod natural, vei obține aceleași valori de suprafață.

Dar, în unele cazuri, a doua metodă de traversare a zonei este mai eficientă, iar la sfârșitul cursului tânărului tocilar, să ne uităm la câteva exemple pe acest subiect:

Exemplul 11

Folosind o integrală dublă, calculați aria unei figuri plane delimitată de linii,

Soluție: așteptăm cu nerăbdare două parabole cu o ciudată care se află pe o parte. Nu este nevoie să zâmbești lucruri similare care apar destul de des în integrale multiple.

Care este cel mai simplu mod de a face un desen?

Să ne imaginăm o parabolă sub forma a două funcții:
– ramura superioară și – ramura inferioară.

În mod similar, imaginați-vă o parabolă sub formă de sus și de jos ramuri.

Apoi, graficul punctual al regulilor graficelor, rezultând această cifră bizară:

Calculăm aria figurii folosind integrala dublă conform formulei:

Ce se întâmplă dacă alegem prima metodă de parcurgere a zonei? În primul rând, această zonă va trebui împărțită în două părți. Și în al doilea rând, vom observa această imagine tristă: . Integralele, desigur, nu sunt de un nivel supercomplicat, dar... există o veche zicală matematică: cei care sunt aproape de rădăcinile lor nu au nevoie de un test.

Prin urmare, din neînțelegerea dată în condiție, exprimăm funcțiile inverse:

Funcții inverseîn acest exemplu, au avantajul că specifică întreaga parabola dintr-o dată, fără frunze, ghinde, ramuri și rădăcini.

Conform celei de-a doua metode, traversarea zonei va fi după cum urmează:

Aici și mai departe nu mă voi opri asupra modului de parcurgere a zonei, deoarece în primul paragraf au fost date explicații foarte detaliate.

După cum se spune, simți diferența.

1) Ne ocupăm de integrala internă:

Înlocuim rezultatul în integrala exterioară:

Integrarea peste variabila „y” nu ar trebui să fie confuză dacă ar exista o litera „zy”, ar fi grozav să o integrezi; Deși oricine a citit al doilea paragraf al lecției Cum se calculează volumul unui corp de rotație nu mai experimentează cea mai mică stânjeneală cu integrarea folosind metoda „Y”.

Atenție și la primul pas: integrandul este par, iar intervalul de integrare este simetric față de zero. Prin urmare, segmentul poate fi înjumătățit, iar rezultatul poate fi dublat. Această tehnică este comentată în detaliu în lecție. Metode eficiente calculul unei integrale definite.

Ce să adaugi... Toate!

Răspuns:

Pentru a vă testa tehnica de integrare, puteți încerca să calculați . Răspunsul ar trebui să fie exact același.

Exemplul 12

Folosind o integrală dublă, calculați aria unei figuri plane delimitată de linii

Acesta este un exemplu de rezolvat singur. Este interesant de observat că, dacă încercați să utilizați prima metodă de parcurgere a zonei, figura nu va mai trebui împărțită în două, ci în trei părți! Și, în consecință, obținem trei perechi de integrale repetate. Se întâmplă și asta.

Clasa de master a ajuns la sfârșit și este timpul să trecem la nivelul de mare maestru - Cum se calculează o integrală dublă? Exemple de soluții. Voi încerca să nu fiu atât de maniac în al doilea articol =)

iti doresc succes!

Solutii si raspunsuri:

Exemplul 2:Soluţie: Să descriem zona pe desen:

Să alegem următoarea ordine de parcurgere a zonei:

Astfel:
Să trecem la funcțiile inverse:


Astfel:
Răspuns:

Exemplul 4:Soluţie: Să trecem la funcțiile directe:


Să facem desenul:

Să schimbăm ordinea de parcurgere a zonei:

Răspuns:

În acest articol veți învăța cum să găsiți aria unei figuri delimitate de linii folosind calcule integrale. Formularea unei astfel de probleme o întâlnim mai întâi în liceu, când tocmai am finalizat studiul integralelor definite și este timpul să începem interpretarea geometrică a cunoștințelor dobândite în practică.

Deci, ce este necesar pentru a rezolva cu succes problema găsirii ariei unei figuri folosind integrale:

• Abilitatea de a realiza desene competente;
• Abilități de rezolvare integrală definită folosind celebra formulă Newton-Leibniz;
• Abilitatea de a „vedea” o opțiune de soluție mai profitabilă - de ex. înțelegeți cum va fi mai convenabil să efectuați integrarea într-un caz sau altul? De-a lungul axei x (OX) sau a axei y (OY)?
• Ei bine, unde am fi fără calcule corecte?) Aceasta include înțelegerea cum să rezolvăm acel alt tip de integrale și calcule numerice corecte.

Algoritm pentru rezolvarea problemei de calcul a ariei unei figuri delimitate de linii:

1. Construim un desen. Este indicat să faceți acest lucru pe o foaie de hârtie în carouri, la scară mare. Semnăm numele acestei funcții cu un creion deasupra fiecărui grafic. Semnarea graficelor se face numai pentru confortul calculelor ulterioare. După ce a primit un grafic al cifrei dorite, în majoritatea cazurilor va fi imediat clar ce limite de integrare vor fi utilizate. Astfel, rezolvăm problema grafic. Cu toate acestea, se întâmplă ca valorile limitelor să fie fracționale sau iraționale. Prin urmare, puteți face calcule suplimentare, treceți la pasul doi.

2. Dacă limitele de integrare nu sunt specificate în mod explicit, atunci găsim punctele de intersecție ale graficelor între ele și vedem dacă soluția noastră grafică coincide cu cea analitică.

3. În continuare, trebuie să analizați desenul. În funcție de modul în care sunt aranjate graficele funcțiilor, există diferite abordări pentru a găsi aria unei figuri. Să luăm în considerare exemple diferite la găsirea ariei unei figuri folosind integrale.

3.1.

Cea mai clasică și simplă versiune a problemei este atunci când trebuie să găsiți zona unui trapez curbat. Ce este un trapez curbat? Aceasta este o figură plată limitată de axa x (y = 0), linii drepte x = a, x = b și orice curbă continuă în intervalul de la a la b. În plus, această cifră nu este negativă și nu se află sub axa x. În acest caz, aria trapezului curbiliniu este numeric egală cu o anumită integrală, calculată folosind formula Newton-Leibniz: Exemplul 1

y = x2 – 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0. Prin ce linii este delimitată figura? Avem o parabolă y = x2 - 3x + 3, care este situată deasupra axei OX, este nenegativă, deoarece toate punctele acestei parabole au valori pozitive . În continuare, sunt date liniile drepte x = 1 și x = 3, care sunt paralele cu axa amplificatorului operațional și sunt liniile de delimitare ale figurii din stânga și dreapta. Ei bine, y = 0, care este și axa x, care limitează figura de jos. Figura rezultată este umbrită, așa cum se poate vedea din figura din stânga. ÎNîn acest caz,

, puteți începe imediat să rezolvați problema. În fața noastră este un exemplu simplu de trapez curbat, pe care îl rezolvăm în continuare folosind formula Newton-Leibniz.

3.2.În paragraful anterior 3.1, am examinat cazul în care un trapez curbat este situat deasupra axei x. Acum luați în considerare cazul în care condițiile problemei sunt aceleași, cu excepția faptului că funcția se află sub axa x. La formula standard Newton-Leibniz se adaugă un minus. Vom analiza mai jos cum să rezolvăm o astfel de problemă.

În acest exemplu avem o parabolă y = x2 + 6x + 2, care provine de sub axa OX, drepte x = -4, x = -1, y = 0. Aici y = 0 limitează cifra dorită de sus. Dreaptele x = -4 și x = -1 sunt limitele în care se va calcula integrala definită. Principiul rezolvării problemei găsirii ariei unei figuri coincide aproape complet cu exemplul numărul 1. Singura diferență este că funcția dată nu este pozitivă și este, de asemenea, continuă pe intervalul [-4; -1]. Ce vrei sa spui ca nu pozitiv? După cum se poate observa din figură, figura care se află în x-urile date are coordonate exclusiv „negative”, ceea ce trebuie să vedem și să ne amintim atunci când rezolvăm problema. Căutăm aria figurii folosind formula Newton-Leibniz, doar cu semnul minus la început.

Articolul nu este completat.

O)

Soluţie.

În primul rând și cel mai important moment soluții - construirea unui desen.

Să facem desenul:

Ecuaţie y=0 setează axa „x”;

- x=-2Şi x=1- drept, paralel cu axa Oh;

- y=x 2 +2 - o parabolă, ale cărei ramuri sunt îndreptate în sus, cu vârful în punctul (0;2).

Comentariu. Pentru a construi o parabolă, este suficient să găsiți punctele de intersecție a acesteia cu axele de coordonate, adică. punând x=0 găsiți intersecția cu axa Ohși hotărând în consecință ecuație pătratică, găsiți intersecția cu axa Oh .

Vârful unei parabole poate fi găsit folosind formulele:

De asemenea, puteți construi linii punct cu punct.

Pe intervalul [-2;1] graficul funcției y=x 2 +2 situat deasupra axei Bou, De aceea:

Răspuns: S=9 unități mp

După ce sarcina este finalizată, este întotdeauna util să priviți desenul și să vă dați seama dacă răspunsul este real. În acest caz, „prin ochi” numărăm numărul de celule din desen - ei bine, vor fi aproximativ 9, se pare că este adevărat. Este absolut clar că dacă am primit, să zicem, răspunsul: 20 de unități pătrate, atunci este evident că s-a făcut o greșeală undeva - 20 de celule evident nu se încadrează în figura în cauză, cel mult o duzină. Dacă răspunsul este negativ, atunci și sarcina a fost rezolvată incorect.

Ce trebuie să faceți dacă un trapez curbat este situat sub axă Oh?

b) Calculați aria figurii delimitată de drepte y=-e x , x=1și axele de coordonate.

Soluţie.

Să facem un desen.

Dacă un trapez curbat este complet situat sub axă Oh , atunci aria sa poate fi găsită folosind formula:

Răspuns: S=(e-1) unități mp" 1,72 unități mp

Atenţie! Cele două tipuri de sarcini nu trebuie confundate:

1) Dacă vi se cere să rezolvați pur și simplu o integrală definită fără nicio semnificație geometrică, atunci aceasta poate fi negativă.

2) Dacă vi se cere să găsiți aria unei figuri folosind o integrală definită, atunci aria este întotdeauna pozitivă! De aceea apare minusul în formula tocmai discutată.

În practică, cel mai adesea figura este situată atât în ​​semiplanul superior, cât și în cel inferior.

c) Aflați aria unei figuri plate delimitate de linii y=2x-x 2, y=-x.

Soluţie.

Mai întâi trebuie să finalizați desenul. În general, atunci când construim un desen în probleme de zonă, suntem cel mai interesați de punctele de intersecție a liniilor. Să găsim punctele de intersecție ale parabolei si drept Acest lucru se poate face în două moduri. Prima metodă este analitică.

Rezolvam ecuatia:

Aceasta înseamnă că limita inferioară a integrării a=0, limita superioară a integrării b=3 .

Puteți construi linii punct cu punct, iar limitele integrării devin clare „de la sine”. Cu toate acestea, metoda analitică de găsire a limitelor mai trebuie folosită uneori dacă, de exemplu, graficul este suficient de mare sau construcția detaliată nu a evidențiat limitele integrării (pot fi fracționale sau iraționale).

Cifra dorită este limitată de o parabolă deasupra și de o linie dreaptă dedesubt.

Pe segment , conform formulei corespunzătoare:

Răspuns: S=4,5 unități mp

În acest articol veți învăța cum să găsiți aria unei figuri delimitate de linii folosind calcule integrale. Formularea unei astfel de probleme o întâlnim mai întâi în liceu, când tocmai am finalizat studiul integralelor definite și este timpul să începem interpretarea geometrică a cunoștințelor dobândite în practică.

Deci, ce este necesar pentru a rezolva cu succes problema găsirii ariei unei figuri folosind integrale:

• Abilitatea de a realiza desene competente;
• Abilitatea de a rezolva o integrală definită folosind binecunoscuta formulă Newton-Leibniz;
• Abilitatea de a „vedea” o opțiune de soluție mai profitabilă - de ex. înțelegeți cum va fi mai convenabil să efectuați integrarea într-un caz sau altul? De-a lungul axei x (OX) sau a axei y (OY)?
• Ei bine, unde am fi fără calcule corecte?) Aceasta include înțelegerea cum să rezolvăm acel alt tip de integrale și calcule numerice corecte.

Algoritm pentru rezolvarea problemei de calcul a ariei unei figuri delimitate de linii:

1. Construim un desen. Este indicat să faceți acest lucru pe o foaie de hârtie în carouri, la scară mare. Semnăm numele acestei funcții cu un creion deasupra fiecărui grafic. Semnarea graficelor se face numai pentru confortul calculelor ulterioare. După ce a primit un grafic al cifrei dorite, în majoritatea cazurilor va fi imediat clar ce limite de integrare vor fi utilizate. Astfel, rezolvăm problema grafic. Cu toate acestea, se întâmplă ca valorile limitelor să fie fracționale sau iraționale. Prin urmare, puteți face calcule suplimentare, treceți la pasul doi.

2. Dacă limitele de integrare nu sunt specificate în mod explicit, atunci găsim punctele de intersecție ale graficelor între ele și vedem dacă soluția noastră grafică coincide cu cea analitică.

3. În continuare, trebuie să analizați desenul. În funcție de modul în care sunt aranjate graficele funcțiilor, există diferite abordări pentru a găsi aria unei figuri. Să ne uităm la diferite exemple de găsire a ariei unei figuri folosind integrale.

3.1.

Cea mai clasică și simplă versiune a problemei este atunci când trebuie să găsiți zona unui trapez curbat. Ce este un trapez curbat? Aceasta este o figură plată limitată de axa x (y = 0), linii drepte x = a, x = b și orice curbă continuă în intervalul de la a la b. În plus, această cifră nu este negativă și nu se află sub axa x. În acest caz, aria trapezului curbiliniu este numeric egală cu o anumită integrală, calculată folosind formula Newton-Leibniz: Exemplul 1

Prin ce linii este delimitată figura? Avem o parabolă y = x2 - 3x + 3, care este situată deasupra axei OX, este nenegativă, deoarece toate punctele acestei parabole au valori pozitive. În continuare, sunt date liniile drepte x = 1 și x = 3, care sunt paralele cu axa amplificatorului operațional și sunt liniile de delimitare ale figurii din stânga și dreapta. Ei bine, y = 0, care este și axa x, care limitează figura de jos. Figura rezultată este umbrită, așa cum se poate vedea din figura din stânga. În acest caz, puteți începe imediat rezolvarea problemei. În fața noastră este un exemplu simplu de trapez curbat, pe care îl rezolvăm în continuare folosind formula Newton-Leibniz.

, puteți începe imediat să rezolvați problema. În fața noastră este un exemplu simplu de trapez curbat, pe care îl rezolvăm în continuare folosind formula Newton-Leibniz.

3.2.În paragraful anterior 3.1, am examinat cazul în care un trapez curbat este situat deasupra axei x. Acum luați în considerare cazul în care condițiile problemei sunt aceleași, cu excepția faptului că funcția se află sub axa x. La formula standard Newton-Leibniz se adaugă un minus. Vom analiza mai jos cum să rezolvăm o astfel de problemă.

În acest exemplu avem o parabolă y = x2 + 6x + 2, care provine de sub axa OX, drepte x = -4, x = -1, y = 0. Aici y = 0 limitează cifra dorită de sus. Dreaptele x = -4 și x = -1 sunt limitele în care se va calcula integrala definită. Principiul rezolvării problemei găsirii ariei unei figuri coincide aproape complet cu exemplul numărul 1. Singura diferență este că funcția dată nu este pozitivă și este, de asemenea, continuă pe intervalul [-4; -1]. Ce vrei sa spui ca nu pozitiv? După cum se poate observa din figură, figura care se află în x-urile date are coordonate exclusiv „negative”, ceea ce trebuie să vedem și să ne amintim atunci când rezolvăm problema. Căutăm aria figurii folosind formula Newton-Leibniz, doar cu semnul minus la început.

Articolul nu este completat.

Cum se inserează formule matematice pe un site web?

Dacă vreodată trebuie să adăugați una sau două formule matematice pe o pagină web, atunci cel mai simplu mod de a face acest lucru este descris în articol: formulele matematice sunt ușor de inserat pe site sub formă de imagini care sunt generate automat de Wolfram Alpha . Pe lângă simplitate, această metodă universală va ajuta la îmbunătățirea vizibilității site-ului în motoarele de căutare. Funcționează de mult timp (și cred că va funcționa pentru totdeauna), dar este deja depășit din punct de vedere moral.

Dacă utilizați în mod regulat formule matematice pe site-ul dvs., atunci vă recomand să utilizați MathJax - o bibliotecă JavaScript specială care afișează notații matematice în browserele web folosind markup MathML, LaTeX sau ASCIIMathML.

Există două moduri de a începe să utilizați MathJax: (1) folosind un cod simplu, puteți conecta rapid un script MathJax la site-ul dvs., care va fi încărcat automat de pe un server la distanță la momentul potrivit (lista de servere); (2) descărcați scriptul MathJax de pe un server la distanță pe serverul dvs. și conectați-l la toate paginile site-ului dvs. A doua metodă - mai complexă și consumatoare de timp - va grăbi încărcarea paginilor site-ului dvs., iar dacă serverul MathJax părinte devine temporar indisponibil dintr-un motiv oarecare, acest lucru nu vă va afecta în niciun fel propriul site. În ciuda acestor avantaje, am ales prima metodă deoarece este mai simplă, mai rapidă și nu necesită abilități tehnice. Urmează-mi exemplul și în doar 5 minute vei putea folosi toate funcțiile MathJax de pe site-ul tău.

Puteți conecta scriptul de bibliotecă MathJax de la un server la distanță folosind două opțiuni de cod preluate de pe site-ul principal MathJax sau de pe pagina de documentație:

Una dintre aceste opțiuni de cod trebuie să fie copiată și lipită în codul paginii dvs. web, de preferință între etichete și/sau imediat după etichetă. Conform primei opțiuni, MathJax se încarcă mai repede și încetinește pagina mai puțin. Dar a doua opțiune monitorizează și încarcă automat cele mai recente versiuni de MathJax. Dacă introduceți primul cod, acesta va trebui actualizat periodic. Dacă introduceți al doilea cod, paginile se vor încărca mai lent, dar nu va trebui să monitorizați în mod constant actualizările MathJax.

Cel mai simplu mod de a conecta MathJax este în Blogger sau WordPress: în panoul de control al site-ului, adăugați un widget conceput pentru a insera cod JavaScript terță parte, copiați prima sau a doua versiune a codului de descărcare prezentat mai sus în el și plasați widgetul mai aproape la începutul șablonului (apropo, acest lucru nu este deloc necesar, deoarece scriptul MathJax este încărcat asincron). Asta este. Acum aflați sintaxa de marcare a MathML, LaTeX și ASCIIMathML și sunteți gata să inserați formule matematice în paginile web ale site-ului dvs.

Orice fractal este construit după o anumită regulă, care este aplicată în mod constant de un număr nelimitat de ori. Fiecare astfel de timp se numește iterație.

Algoritmul iterativ pentru construirea unui burete Menger este destul de simplu: cubul original cu latura 1 este împărțit de planuri paralele cu fețele sale în 27 de cuburi egale. Un cub central și 6 cuburi adiacente acestuia de-a lungul fețelor sunt îndepărtate din el. Rezultatul este un set format din restul de 20 de cuburi mai mici. Făcând același lucru cu fiecare dintre aceste cuburi, obținem un set format din 400 de cuburi mai mici. Continuând acest proces la nesfârșit, obținem un burete Menger.