Exemple de logaritmi pentru examen. Rezolvarea ecuațiilor logaritmice - Lecția finală

\(a^(b)=c\) \(\Leftrightarrow\) \(\log_(a)(c)=b\)

Să explicăm mai simplu. De exemplu, \(\log_(2)(8)\) este egal cu puterea la care trebuie ridicat \(2\) pentru a obține \(8\). Din aceasta rezultă clar că \(\log_(2)(8)=3\).

Argumentul și baza logaritmului

Orice logaritm are următoarea „anatomie”:

Argumentul unui logaritm este de obicei scris la nivelul său, iar baza este scrisă în indice mai aproape de semnul logaritmului. Și această intrare se citește astfel: „logaritm de douăzeci și cinci la baza cinci”.

Cum se calculează logaritmul?

Pentru a calcula logaritmul, trebuie să răspundeți la întrebarea: la ce putere ar trebui ridicată baza pentru a obține argumentul?

De exemplu, calculați logaritmul: a) \(\log_(4)(16)\) b) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) c) \(\log_(\ sqrt (5))(1)\) d) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)

a) La ce putere trebuie ridicat \(4\) pentru a obține \(16\)? Evident, al doilea. De aceea:

\(\log_(4)(16)=2\)

\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)

c) La ce putere trebuie ridicată \(\sqrt(5)\) pentru a obține \(1\)? Ce putere face pe orice număr unu? Zero, desigur!

\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)

d) La ce putere trebuie ridicată \(\sqrt(7)\) pentru a obține \(\sqrt(7)\)? În primul rând, orice număr la prima putere este egal cu el însuși.

\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)

e) La ce putere trebuie ridicată \(3\) pentru a obține \(\sqrt(3)\)? Din știm că este o putere fracțională, ceea ce înseamnă rădăcină pătrată este puterea lui \(\frac(1)(2)\) .

\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)

Exemplu : Calculați logaritmul \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)

Soluţie :

Răspuns : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)

De ce a fost inventat logaritmul?

Pentru a înțelege acest lucru, să rezolvăm ecuația: \(3^(x)=9\). Doar potriviți \(x\) pentru ca ecuația să funcționeze. Desigur, \(x=2\).

Acum rezolvați ecuația: \(3^(x)=8\). Cu ce ​​este x egal? Acesta este ideea.

Cei mai deștepți vor spune: „X este puțin mai puțin de doi”. Cum să scriu mai exact acest număr? Pentru a răspunde la această întrebare, a fost inventat logaritmul. Datorită lui, răspunsul de aici poate fi scris ca \(x=\log_(3)(8)\).

Vreau să subliniez că \(\log_(3)(8)\), ca orice logaritm este doar un număr. Da, pare neobișnuit, dar este scurt. Pentru că dacă am vrea să-l scriem ca zecimală, ar arăta astfel: \(1.892789260714.....\)

Exemplu : Rezolvați ecuația \(4^(5x-4)=10\)

Soluţie :

Răspuns : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)

Logaritmi zecimali și naturali

După cum se precizează în definiția unui logaritm, baza acestuia poate fi orice număr pozitiv, cu excepția unuia \((a>0, a\neq1)\). Și dintre toate bazele posibile, există două care apar atât de des încât a fost inventată o notație scurtă specială pentru logaritmi cu ele:

Logaritm natural: un logaritm a cărui bază este numărul lui Euler \(e\) (egal cu aproximativ \(2,7182818…\)), iar logaritmul se scrie ca \(\ln(a)\).

adica \(\ln(a)\) este același cu \(\log_(e)(a)\)

Logaritm zecimal: Un logaritm a cărui bază este 10 se scrie \(\lg(a)\).

adica \(\lg(a)\) este același cu \(\log_(10)(a)\), unde \(a\) este un număr.

Identitatea logaritmică de bază

Logaritmii au multe proprietăți. Una dintre ele se numește „Identitatea logaritmică de bază” și arată astfel:

Această proprietate decurge direct din definiție. Să vedem exact cum a apărut această formulă.

Să ne amintim o scurtă notație a definiției logaritmului:

dacă \(a^(b)=c\), atunci \(\log_(a)(c)=b\)

Adică, \(b\) este același cu \(\log_(a)(c)\). Apoi putem scrie \(\log_(a)(c)\) în loc de \(b\) în formula \(a^(b)=c\). S-a dovedit \(a^(\log_(a)(c))=c\) - principala identitate logaritmică.

Puteți găsi alte proprietăți ale logaritmilor. Cu ajutorul lor, puteți simplifica și calcula valorile expresiilor cu logaritmi, care sunt dificil de calculat direct.

Exemplu : Găsiți valoarea expresiei \(36^(\log_(6)(5))\)

Soluţie :

Răspuns : \(25\)

Cum se scrie un număr ca logaritm?

După cum am menționat mai sus, orice logaritm este doar un număr. Este adevărat și invers: orice număr poate fi scris ca logaritm. De exemplu, știm că \(\log_(2)(4)\) este egal cu doi. Apoi, în loc de două, puteți scrie \(\log_(2)(4)\).

Dar \(\log_(3)(9)\) este, de asemenea, egal cu \(2\), ceea ce înseamnă că putem scrie și \(2=\log_(3)(9)\) . La fel și cu \(\log_(5)(25)\), și cu \(\log_(9)(81)\), etc. Adică se dovedește

\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ log_(7)(49)...\)

Astfel, dacă avem nevoie, putem scrie doi ca logaritm cu orice bază oriunde (fie ea într-o ecuație, într-o expresie sau într-o inegalitate) - pur și simplu scriem baza la pătrat ca argument.

Este la fel și cu triplul – poate fi scris ca \(\log_(2)(8)\), sau ca \(\log_(3)(27)\), sau ca \(\log_(4)( 64) \)... Aici scriem baza în cub ca argument:

\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ log_(7)(343)...\)

Și cu patru:

\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ log_(7)(2401)...\)

Și cu minus unu:

\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1) )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1)(7)\) \(...\)

Și cu o treime:

\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)

Orice număr \(a\) poate fi reprezentat ca un logaritm cu baza \(b\): \(a=\log_(b)(b^(a))\)

Exemplu : Găsiți sensul expresiei \(\frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7))\)

Soluţie :

Răspuns : \(1\)

Logaritmii, ca orice numere, pot fi adunați, scăzuți și transformați în orice fel. Dar, deoarece logaritmii nu sunt chiar numere obișnuite, există reguli aici, care sunt numite proprietăți principale.

Cu siguranță trebuie să cunoașteți aceste reguli - fără ele, nici o problemă logaritmică serioasă nu poate fi rezolvată. În plus, sunt foarte puține dintre ele - puteți învăța totul într-o singură zi. Deci, să începem.

Adunarea și scăderea logaritmilor

Luați în considerare doi logaritmi cu aceleași baze: log o xși log o y. Apoi pot fi adăugate și scăzute și:

1. jurnal o x+ jurnal o y= jurnal o (x · y);
2. jurnal o x− jurnal o y= jurnal o (x : y).

Deci, suma logaritmilor este egală cu logaritmul produsului, iar diferența este egală cu logaritmul coeficientului. Vă rugăm să rețineți: punctul cheie aici este temeiuri identice. Dacă motivele sunt diferite, aceste reguli nu funcționează!

Aceste formule vă vor ajuta să calculați expresie logaritmică chiar și atunci când părțile sale individuale nu sunt numărate (vezi lecția „Ce este un logaritm”). Aruncă o privire la exemple și vezi:

Jurnal 6 4 + jurnal 6 9.

Deoarece logaritmii au aceleași baze, folosim formula sumei:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Sarcină. Aflați valoarea expresiei: log 2 48 − log 2 3.

Bazele sunt aceleași, folosim formula diferenței:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Sarcină. Aflați valoarea expresiei: log 3 135 − log 3 5.

Din nou bazele sunt aceleași, deci avem:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

După cum puteți vedea, expresiile originale sunt formate din logaritmi „răi”, care nu sunt calculate separat. Dar după transformări se obțin numere complet normale. Multe sunt construite pe acest fapt teste. Da, expresii asemănătoare testelor sunt oferite cu toată seriozitatea (uneori practic fără modificări) la examenul de stat unificat.

Extragerea exponentului din logaritm

Acum să complicăm puțin sarcina. Ce se întâmplă dacă baza sau argumentul unui logaritm este o putere? Apoi, exponentul acestui grad poate fi scos din semnul logaritmului conform următoarelor reguli:

Este ușor de observat că ultima regulă le urmează pe primele două. Dar este mai bine să-l amintiți oricum - în unele cazuri va reduce semnificativ cantitatea de calcule.

Desigur, toate aceste reguli au sens dacă se respectă ODZ al logaritmului: o > 0, o ≠ 1, x> 0. Si inca ceva: invata sa aplici toate formulele nu numai de la stanga la dreapta, ci si invers, i.e. Puteți introduce numerele înainte de semnul logaritmului în logaritmul însuși. Acesta este ceea ce se cere cel mai adesea.

Sarcină. Aflați valoarea expresiei: log 7 49 6 .

Să scăpăm de gradul din argument folosind prima formulă:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

Sarcină. Găsiți sensul expresiei:

[Letină pentru imagine]

Rețineți că numitorul conține un logaritm, a cărui bază și argument sunt puteri exacte: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. Avem:

Cred că ultimul exemplu necesită unele clarificări. Unde s-au dus logaritmii? Până în ultimul moment lucrăm doar cu numitorul. Am prezentat baza și argumentul logaritmului aflat acolo sub formă de puteri și am scos exponenții - am obținut o fracțiune „cu trei etaje”.

Acum să ne uităm la fracția principală. Numătorul și numitorul conțin același număr: log 2 7. Deoarece log 2 7 ≠ 0, putem reduce fracția - 2/4 va rămâne la numitor. Conform regulilor aritmeticii, cele patru pot fi transferate la numărător, ceea ce s-a făcut. Rezultatul a fost răspunsul: 2.

Tranziția la o nouă fundație

Vorbind despre regulile de adunare și scădere a logaritmilor, am subliniat în mod special că funcționează doar cu aceleași baze. Ce se întâmplă dacă motivele sunt diferite? Ce se întâmplă dacă nu sunt puteri exacte de același număr?

Formulele pentru tranziția către o nouă fundație vin în ajutor. Să le formulăm sub forma unei teoreme:

Să fie dat jurnal de logaritm o x. Apoi pentru orice număr c astfel încât c> 0 și c≠ 1, egalitatea este adevărată:

[Letină pentru imagine]

În special, dacă punem c = x, obținem:

[Letină pentru imagine]

Din a doua formulă rezultă că baza și argumentul logaritmului pot fi schimbate, dar în acest caz întreaga expresie este „întoarsă”, adică. logaritmul apare la numitor.

Aceste formule se găsesc rar în expresiile numerice obișnuite. Este posibil să se evalueze cât de convenabile sunt acestea numai atunci când se rezolvă ecuații și inegalități logaritmice.

Cu toate acestea, există probleme care nu pot fi rezolvate deloc decât prin trecerea la o nouă fundație. Să ne uităm la câteva dintre acestea:

Sarcină. Aflați valoarea expresiei: log 5 16 log 2 25.

Rețineți că argumentele ambilor logaritmi conțin puteri exacte. Să scoatem indicatorii: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

Acum să „inversăm” al doilea logaritm:

Deoarece produsul nu se schimbă la rearanjarea factorilor, am înmulțit cu calm patru și doi, apoi ne-am ocupat de logaritmi.

Sarcină. Aflați valoarea expresiei: log 9 100 lg 3.

Baza și argumentul primului logaritm sunt puteri exacte. Să notăm asta și să scăpăm de indicatorii:

Acum să scăpăm de logaritmul zecimal trecând la o nouă bază:

Identitatea logaritmică de bază

Adesea, în procesul de rezolvare, este necesar să se reprezinte un număr ca logaritm la o bază dată. În acest caz, următoarele formule ne vor ajuta:

În primul caz, numărul n devine un indicator al gradului aflat în argument. Număr n poate fi absolut orice, pentru că este doar o valoare logaritmică.

A doua formulă este de fapt o definiție parafrazată. Așa se numește: identitatea logaritmică de bază.

De fapt, ce se va întâmpla dacă numărul b ridică la o asemenea putere încât numărul b acestei puteri dă numărul o? Așa este: obțineți același număr o. Citiți din nou acest paragraf cu atenție - mulți oameni rămân blocați în el.

Asemenea formulelor pentru trecerea la o nouă bază, identitatea logaritmică de bază este uneori singura soluție posibilă.

Sarcină. Găsiți sensul expresiei:

[Letină pentru imagine]

Rețineți că log 25 64 = log 5 8 - pur și simplu a luat pătratul de la baza și argumentul logaritmului. Luând în considerare regulile de înmulțire a puterilor cu aceeași bază, obținem:

Dacă cineva nu știe, aceasta a fost o sarcină reală de la examenul de stat unificat :)

Unitate logaritmică și zero logaritmic

În concluzie, voi da două identități care cu greu pot fi numite proprietăți - mai degrabă, sunt consecințe ale definiției logaritmului. Apar constant în probleme și, în mod surprinzător, creează probleme chiar și pentru elevii „avansați”.

1. jurnal o o= 1 este o unitate logaritmică. Amintiți-vă odată pentru totdeauna: logaritm la orice bază o chiar din această bază este egal cu unu.
2. jurnal o 1 = 0 este zero logaritmic. Baza o poate fi orice, dar dacă argumentul conține unul, logaritmul este egal cu zero! Deoarece o 0 = 1 este o consecință directă a definiției.

Sunt toate proprietățile. Asigurați-vă că exersați punerea lor în practică! Descărcați fișa cheat la începutul lecției, imprimați-o și rezolvați problemele.

Unul dintre elementele algebrei de nivel primitiv este logaritmul. Numele vine de la limba greacă de la cuvântul „număr” sau „putere” și înseamnă gradul în care numărul din bază trebuie ridicat pentru a găsi numărul final.

Tipuri de logaritmi

• log a b – logaritmul numărului b la baza a (a > 0, a ≠ 1, b > 0);
• log b – logaritm zecimal (logaritm la baza 10, a = 10);
• ln b – logaritm natural (logaritm la baza e, a = e).

Cum se rezolvă logaritmii?

Logaritmul lui b la baza a este un exponent care necesită ca b să fie ridicat la baza a. Rezultatul obținut se pronunță astfel: „logaritmul lui b la baza a”. Soluția la problemele logaritmice este că trebuie să determinați puterea dată în numere din numerele specificate. Există câteva reguli de bază pentru a determina sau rezolva logaritmul, precum și pentru a converti notația în sine. Folosind ele, se rezolvă ecuații logaritmice, se găsesc derivate, se rezolvă integrale și se efectuează multe alte operații. Practic, soluția logaritmului în sine este notația sa simplificată. Mai jos sunt formulele și proprietățile de bază:

Pentru orice a ; a > 0; a ≠ 1 și pentru orice x ; y > 0.

• a log a b = b – identitate logaritmică de bază
• log a 1 = 0
• loga a = 1
• log a (x y) = log a x + log a y
• log a x/ y = log a x – log a y
• log a 1/x = -log a x
• log a x p = p log a x
• log a k x = 1/k log a x , pentru k ≠ 0
• log a x = log a c x c
• log a x = log b x/ log b a – formulă pentru trecerea la o nouă bază
• log a x = 1/log x a

Cum se rezolvă logaritmi - instrucțiuni pas cu pas pentru rezolvare

• Mai întâi, scrieți ecuația necesară.

Vă rugăm să rețineți: dacă logaritmul de bază este 10, atunci intrarea este scurtată, rezultând un logaritm zecimal. Dacă merită număr natural e, apoi îl notăm, reducându-l la logaritmul natural. Aceasta înseamnă că rezultatul tuturor logaritmilor este puterea la care se ridică numărul de bază pentru a obține numărul b.

Direct, soluția constă în calcularea acestui grad. Înainte de a rezolva o expresie cu un logaritm, aceasta trebuie simplificată conform regulii, adică folosind formule. Poți găsi identitățile principale revenind puțin în articol.

Când se adună și se scad logaritmi cu două numere diferite, dar cu aceleași baze, înlocuiți cu un logaritm cu produsul sau împărțirea numerelor b și, respectiv, c. În acest caz, puteți aplica formula pentru mutarea la o altă bază (vezi mai sus).

Dacă folosiți expresii pentru a simplifica un logaritm, există câteva limitări de luat în considerare. Și adică: baza logaritmului a este doar un număr pozitiv, dar nu egal cu unul. Numărul b, ca și a, trebuie să fie mai mare decât zero.

Sunt cazuri în care, prin simplificarea unei expresii, nu veți putea calcula logaritmul numeric. Se întâmplă ca o astfel de expresie să nu aibă sens, deoarece multe puteri sunt numere iraționale. În această condiție, lăsați puterea numărului ca logaritm.

Cu acest videoclip încep o serie lungă de lecții despre ecuații logaritmice. Acum aveți trei exemple pe baza cărora vom învăța să rezolvăm cele mai simple probleme, care se numesc - protozoare.

log 0,5 (3x − 1) = −3

log (x + 3) = 3 + 2 log 5

Permiteți-mi să vă reamintesc că cea mai simplă ecuație logaritmică este următoarea:

log a f(x) = b

În acest caz, este important ca variabila x să fie prezentă doar în interiorul argumentului, adică doar în funcția f (x). Și numerele a și b sunt doar numere și în niciun caz nu sunt funcții care conțin variabila x.

Metode de bază de rezolvare

Există multe modalități de a rezolva astfel de structuri. De exemplu, majoritatea profesorilor de la școală oferă această metodă: Exprimați imediat funcția f (x) folosind formula f ( x) = a b . Adică, atunci când dai peste cea mai simplă construcție, poți trece imediat la soluție fără acțiuni și construcții suplimentare.

Da, desigur, decizia va fi corectă. Cu toate acestea, problema cu această formulă este că majoritatea studenților nu inteleg, de unde vine și de ce ridicăm litera a la litera b.

Drept urmare, văd adesea greșeli foarte enervante când, de exemplu, aceste litere sunt schimbate. Această formulă trebuie fie înțeleasă, fie înghesuită, iar a doua metodă duce la greșeli în cele mai inoportune și cruciale momente: în timpul examenelor, testelor etc.

De aceea, sugerez tuturor elevilor mei să renunțe la formula școlară standard și să folosească a doua abordare pentru a rezolva ecuații logaritmice, care, așa cum probabil ați ghicit din nume, se numește formă canonică.

Ideea formei canonice este simplă. Să ne uităm din nou la problema noastră: în stânga avem log a, iar prin litera a înțelegem un număr și în niciun caz o funcție care conține variabila x. În consecință, această scrisoare este supusă tuturor restricțiilor care se aplică bazei logaritmului. anume:

1 ≠ a > 0

Pe de altă parte, din aceeași ecuație vedem că logaritmul trebuie să fie egal cu numărul b și nu sunt impuse restricții asupra acestei litere, deoarece poate lua orice valoare - atât pozitivă, cât și negativă. Totul depinde de ce valori ia funcția f(x).

Și aici ne amintim minunata noastră regulă că orice număr b poate fi reprezentat ca un logaritm la baza a lui a la puterea lui b:

b = log a a b

Cum să-ți amintești această formulă? Da, foarte simplu. Să scriem următoarea construcție:

b = b 1 = b log a a

Desigur, în acest caz apar toate restricțiile pe care le-am notat la început. Acum să folosim proprietatea de bază a logaritmului și să introducem multiplicatorul b ca putere a lui a. Primim:

b = b 1 = b log a a = log a a b

Ca urmare, ecuația inițială va fi rescrisă după cum urmează:

log a f (x) = log a a b → f (x) = a b

Asta este. Funcție nouă nu mai conține un logaritm și poate fi rezolvat folosind tehnici algebrice standard.

Desigur, cineva va obiecta acum: de ce a fost necesar să se vină cu un fel de formulă canonică, de ce să se efectueze doi pași suplimentari inutile dacă a fost posibil să se treacă imediat de la designul original la formula finală? Da, fie doar pentru că majoritatea studenților nu înțeleg de unde vine această formulă și, ca urmare, greșesc în mod regulat atunci când o aplică.

Dar această secvență de acțiuni, constând din trei pași, vă permite să rezolvați ecuația logaritmică inițială, chiar dacă nu înțelegeți de unde vine formula finală. Apropo, această intrare se numește formula canonică:

log a f (x) = log a a b

Comoditatea formei canonice constă și în faptul că poate fi folosită pentru a rezolva o clasă foarte largă de ecuații logaritmice, și nu doar pe cele mai simple pe care le luăm în considerare astăzi.

Exemple de soluții

Acum să aruncăm o privire exemple reale. Deci, să decidem:

log 0,5 (3x − 1) = −3

Să-l rescriem astfel:

log 0,5 (3x − 1) = log 0,5 0,5 −3

Mulți studenți se grăbesc și încearcă să ridice imediat numărul 0,5 la puterea care ne-a venit din problema inițială. Într-adevăr, atunci când ești deja bine pregătit în rezolvarea unor astfel de probleme, poți face imediat acest pas.

Cu toate acestea, dacă acum abia începeți să studiați acest subiect, este mai bine să nu vă grăbiți nicăieri pentru a evita greșelile jignitoare. Deci, avem forma canonică. Avem:

3x − 1 = 0,5 −3

Aceasta nu mai este o ecuație logaritmică, ci liniară în raport cu variabila x. Pentru a o rezolva, să ne uităm mai întâi la numărul 0,5 la puterea lui -3. Rețineți că 0,5 este 1/2.

(1/2) −3 = (2/1) 3 = 8

Toate zecimale convertiți în cele obișnuite atunci când rezolvați o ecuație logaritmică.

Rescriem și obținem:

3x − 1 = 8
3x = 9
x = 3

Asta e, am primit răspunsul. Prima problemă a fost rezolvată.

A doua sarcină

Să trecem la a doua sarcină:

După cum vedem, această ecuație nu mai este cea mai simplă. Numai pentru că există o diferență în stânga și nu un singur logaritm la o bază.

Prin urmare, trebuie să scăpăm cumva de această diferență. ÎN în acest caz, totul este foarte simplu. Să aruncăm o privire mai atentă la baze: în stânga este numărul de sub rădăcină:

Recomandare generală: în toate ecuațiile logaritmice, încercați să scăpați de radicali, adică de la intrările cu rădăcini și treceți la funcții de putere, pur și simplu pentru că exponenții acestor puteri sunt ușor scoși din semnul logaritmului și, în cele din urmă, astfel de o intrare simplifică și accelerează considerabil calculele. Să o scriem astfel:

Acum să ne amintim de proprietatea remarcabilă a logaritmului: puterile pot fi derivate din argument, precum și din bază. În cazul motivelor, se întâmplă următoarele:

log a k b = 1/k loga b

Cu alte cuvinte, numărul care a fost în puterea de bază este adus înainte și în același timp inversat, adică devine un număr reciproc. În cazul nostru, gradul de bază a fost 1/2. Prin urmare, îl putem scoate ca 2/1. Primim:

5 2 log 5 x − log 5 x = 18
10 log 5 x − log 5 x = 18

Vă rugăm să rețineți: în niciun caz nu trebuie să scăpați de logaritmi la acest pas. Amintiți-vă matematica de clasa a 4-a-5 și ordinea operațiilor: se face mai întâi înmulțirea, și abia apoi adunarea și scăderea. În acest caz, scădem unul dintre aceleași elemente din 10 elemente:

9 log 5 x = 18
log 5 x = 2

Acum ecuația noastră arată așa cum ar trebui. Acest cel mai simplu design, și o rezolvăm folosind forma canonică:

log 5 x = log 5 5 2
x = 5 2
x = 25

Asta este. A doua problemă a fost rezolvată.

Al treilea exemplu

Să trecem la a treia sarcină:

log (x + 3) = 3 + 2 log 5

Permiteți-mi să vă reamintesc următoarea formulă:

log b = log 10 b

Dacă dintr-un motiv oarecare sunteți confuz de notația log b , atunci când efectuați toate calculele puteți scrie pur și simplu log 10 b . Puteți lucra cu logaritmi zecimali în același mod ca și cu alții: luați puteri, adăugați și reprezentați orice numere sub forma lg 10.

Aceste proprietăți le vom folosi acum pentru a rezolva problema, deoarece nu este cea mai simplă pe care am notat-o ​​chiar la începutul lecției noastre.

În primul rând, rețineți că factorul 2 în fața lui lg 5 poate fi introdus și devine o putere a bazei 5. În plus, termenul liber 3 este reprezentabil și ca logaritm - acest lucru este foarte ușor de observat din notația noastră.

Judecă singur: orice număr poate fi reprezentat ca log la baza 10:

3 = log 10 10 3 = log 10 3

Să rescriem problema inițială ținând cont de modificările obținute:

log (x − 3) = log 1000 + log 25
log (x − 3) = log 1000 25
log (x − 3) = log 25.000

În fața noastră este din nou forma canonică și am obținut-o fără a trece prin etapa de transformare, adică cea mai simplă ecuație logaritmică nu a apărut nicăieri.

Exact despre asta am vorbit chiar la începutul lecției. Forma canonică vă permite să rezolvați o clasă mai largă de probleme decât formula școlară standard pe care o dau majoritatea profesorilor de școală.

Ei bine, asta este, scăpăm de semnul logaritmului zecimal și obținem o construcție liniară simplă:

x + 3 = 25.000
x = 24.997

Toate! Problema este rezolvată.

O notă despre domeniul de aplicare

Aici aș dori să fac o remarcă importantă cu privire la sfera definiției. Cu siguranță acum vor exista elevi și profesori care vor spune: „Când rezolvăm expresii cu logaritmi, trebuie să ne amintim că argumentul f (x) trebuie să fie mai mare decât zero!” În acest sens, se ridică o întrebare logică: de ce nu am cerut ca această inegalitate să fie satisfăcută în vreuna dintre problemele luate în considerare?

Nu vă faceți griji. În aceste cazuri, nu vor apărea rădăcini suplimentare. Și acesta este un alt truc grozav care vă permite să accelerați soluția. Doar să știți că dacă în problemă variabila x apare doar într-un singur loc (sau mai degrabă, într-un singur argument al unui singur logaritm), și nicăieri în cazul nostru nu apare variabila x, atunci scrieți domeniul de definiție nu este nevoie, deoarece va fi executat automat.

Judecă singur: în prima ecuație am obținut că 3x - 1, adică argumentul ar trebui să fie egal cu 8. Aceasta înseamnă automat că 3x - 1 va fi mai mare decât zero.

Cu același succes putem scrie că în al doilea caz x ar trebui să fie egal cu 5 2, adică este cu siguranță mai mare decât zero. Și în al treilea caz, unde x + 3 = 25.000, adică din nou, evident mai mare decât zero. Cu alte cuvinte, domeniul de aplicare este satisfăcut automat, dar numai dacă x apare doar în argumentul unui singur logaritm.

Este tot ce trebuie să știi pentru a rezolva cele mai simple probleme. Doar această regulă, împreună cu regulile de transformare, vă vor permite să rezolvați o clasă foarte largă de probleme.

Dar să fim sinceri: pentru a înțelege în sfârșit această tehnică, pentru a învăța cum să aplicați forma canonică a ecuației logaritmice, nu este suficient să vizionați doar o lecție video. Deci, descărcați opțiunile chiar acum pentru decizie independentă, care sunt atașate la această lecție video și încep să rezolve cel puțin una dintre aceste două lucrări independente.

Îți va lua literalmente câteva minute. Dar efectul unui astfel de antrenament va fi mult mai mare decât dacă ați urmări pur și simplu această lecție video.

Sper că această lecție vă va ajuta să înțelegeți ecuațiile logaritmice. Utilizați forma canonică, simplificați expresiile folosind regulile de lucru cu logaritmi - și nu vă va teme de probleme. Asta e tot ce am pentru azi.

Ținând cont de domeniul definiției

Acum să vorbim despre domeniul definiției funcţie logaritmică, precum și modul în care aceasta afectează soluția ecuațiilor logaritmice. Luați în considerare o construcție a formei

log a f (x) = b

O astfel de expresie se numește cea mai simplă - conține o singură funcție, iar numerele a și b sunt doar numere și în niciun caz o funcție care depinde de variabila x. Se poate rezolva foarte simplu. Trebuie doar să utilizați formula:

b = log a a b

Această formulă este una dintre proprietățile cheie ale logaritmului, iar atunci când o înlocuim în expresia noastră originală, obținem următoarele:

log a f (x) = log a a b

f (x) = a b

Aceasta este o formulă familiară din manualele școlare. Mulți elevi vor avea probabil o întrebare: deoarece în expresia originală funcția f (x) se află sub semnul log, i se impun următoarele restricții:

f(x) > 0

Această limitare se aplică deoarece logaritmul numerelor negative nu există. Deci, poate, ca urmare a acestei limitări, ar trebui introdusă o verificare a răspunsurilor? Poate că trebuie introduse în sursă?

Nu, în cele mai simple ecuații logaritmice nu este necesară verificarea suplimentară. Și iată de ce. Aruncă o privire la formula noastră finală:

f (x) = a b

Faptul este că numărul a este în orice caz mai mare decât 0 - această cerință este impusă și de logaritm. Numărul a este baza. În acest caz, nu se impun restricții asupra numărului b. Dar acest lucru nu contează, deoarece indiferent de puterea la care ridicăm un număr pozitiv, vom obține totuși un număr pozitiv la ieșire. Astfel, cerința f (x) > 0 este satisfăcută automat.

Ceea ce merită verificat este domeniul funcției de sub semnul jurnalului. Pot exista structuri destul de complexe și cu siguranță trebuie să fii cu ochii pe ele în timpul procesului de soluționare. Să vedem.

Prima sarcină:

Primul pas: convertiți fracția din dreapta. Primim:

Scăpăm de semnul logaritmului și obținem ecuația obișnuită irațională:

Dintre rădăcinile obținute, doar prima ni se potrivește, deoarece a doua rădăcină este mai mică decât zero. Singurul răspuns va fi numărul 9. Gata, problema este rezolvată. Nu sunt necesare verificări suplimentare pentru a se asigura că expresia de sub semnul logaritmului este mai mare decât 0, deoarece nu este doar mai mare decât 0, ci, în funcție de condiția ecuației, este egală cu 2. Prin urmare, cerința „mai mare decât zero ” este satisfăcut automat.

Să trecem la a doua sarcină:

Totul este la fel aici. Rescriem construcția, înlocuind triplul:

Scăpăm de semnele logaritmului și obținem o ecuație irațională:

Patram ambele laturi tinand cont de restrictii si obtinem:

4 − 6x − x 2 = (x − 4) 2

4 − 6x − x 2 = x 2 + 8x + 16

x 2 + 8x + 16 −4 + ​​​​6x + x 2 = 0

2x 2 + 14x + 12 = 0 |:2

x 2 + 7x + 6 = 0

Rezolvăm ecuația rezultată prin discriminant:

D = 49 − 24 = 25

x 1 = −1

x 2 = −6

Dar x = −6 nu ne convine, deoarece dacă substituim acest număr în inegalitatea noastră, obținem:

−6 + 4 = −2 < 0

În cazul nostru, se cere ca acesta să fie mai mare decât 0 sau, în cazuri extreme, egal. Dar x = −1 ni se potrivește:

−1 + 4 = 3 > 0

Singurul răspuns în cazul nostru va fi x = −1. Asta e soluția. Să ne întoarcem la începutul calculelor noastre.

Principala concluzie din această lecție este că nu trebuie să verificați constrângerile unei funcții în ecuații logaritmice simple. Deoarece în timpul procesului de rezolvare toate constrângerile sunt satisfăcute automat.

Cu toate acestea, acest lucru nu înseamnă în niciun caz că puteți uita cu totul de verificare. În procesul de lucru la o ecuație logaritmică, se poate transforma într-una irațională, care va avea propriile restricții și cerințe pentru partea dreaptă, pe care le-am văzut astăzi în două exemple diferite.

Simțiți-vă liber să rezolvați astfel de probleme și fiți deosebit de atenți dacă există o rădăcină în argument.

Ecuații logaritmice cu baze diferite

Continuăm să studiem ecuațiile logaritmice și să ne uităm la alte două tehnici destul de interesante cu care este la modă să rezolvăm mai multe desene complexe. Dar mai întâi, să ne amintim cum sunt rezolvate cele mai simple probleme:

log a f (x) = b

În această intrare, a și b sunt numere, iar în funcția f (x) variabila x trebuie să fie prezentă și numai acolo, adică x trebuie să fie doar în argument. Vom transforma astfel de ecuații logaritmice folosind forma canonică. Pentru a face acest lucru, rețineți că

b = log a a b

Mai mult, a b este tocmai un argument. Să rescriem această expresie după cum urmează:

log a f (x) = log a a b

Este exact ceea ce încercăm să realizăm, astfel încât să existe un logaritm care să bazeze a atât pe stânga, cât și pe dreapta. În acest caz, putem, la figurat vorbind, să bifurcăm semnele log, iar din punct de vedere matematic putem spune că pur și simplu echivalăm argumentele:

f (x) = a b

Ca urmare, vom obține o nouă expresie care va fi mult mai ușor de rezolvat. Să aplicăm această regulă problemelor noastre de astăzi.

Deci, primul design:

În primul rând, observ că în dreapta este o fracție al cărei numitor este log. Când vedeți o expresie ca aceasta, este o idee bună să vă amintiți o proprietate minunată a logaritmilor:

Tradus în rusă, aceasta înseamnă că orice logaritm poate fi reprezentat ca câtul a doi logaritmi cu orice bază c. Desigur 0< с ≠ 1.

Deci: această formulă are una minunată caz special, când variabila c este egală cu variabila b. În acest caz, obținem o construcție ca:

Aceasta este exact construcția pe care o vedem din semnul din dreapta în ecuația noastră. Să înlocuim această construcție cu log a b , obținem:

Cu alte cuvinte, în comparație cu sarcina originală, am schimbat argumentul și baza logaritmului. În schimb, a trebuit să inversăm fracția.

Reamintim că orice grad poate fi derivat din bază conform următoarei reguli:

Cu alte cuvinte, coeficientul k, care este puterea bazei, este exprimat ca o fracție inversată. Să o redăm ca o fracție inversată:

Factorul fracționar nu poate fi lăsat în față, deoarece în acest caz nu vom putea reprezenta această notație ca formă canonică (la urma urmei, în forma canonică nu există un factor suplimentar înaintea celui de-al doilea logaritm). Prin urmare, să adăugăm fracția 1/4 la argument ca putere:

Acum echivalăm argumentele ale căror baze sunt aceleași (și bazele noastre sunt într-adevăr aceleași) și scriem:

x + 5 = 1

x = −4

Asta este. Am primit răspunsul la prima ecuație logaritmică. Vă rugăm să rețineți: în problema inițială, variabila x apare într-un singur log și apare în argumentul său. Prin urmare, nu este nevoie să verificăm domeniul, iar numărul nostru x = −4 este într-adevăr răspunsul.

Acum să trecem la a doua expresie:

log 56 = log 2 log 2 7 − 3log (x + 4)

Aici, pe lângă logaritmii obișnuiți, va trebui să lucrăm cu log f (x). Cum se rezolvă o astfel de ecuație? Pentru un student nepregătit, poate părea că aceasta este un fel de sarcină grea, dar de fapt totul poate fi rezolvat într-un mod elementar.

Aruncă o privire atentă la termenul lg 2 log 2 7. Ce putem spune despre el? Bazele și argumentele log și lg sunt aceleași, iar acest lucru ar trebui să dea câteva idei. Să ne amintim încă o dată cum sunt scoase puterile de sub semnul logaritmului:

log a b n = nlog a b

Cu alte cuvinte, ceea ce a fost o putere a lui b în argument devine un factor în fața logului însuși. Să aplicăm această formulă expresiei lg 2 log 2 7. Nu vă speriați de lg 2 - aceasta este cea mai comună expresie. Îl poți rescrie după cum urmează:

Toate regulile care se aplică oricărui alt logaritm sunt valabile pentru acesta. În special, factorul din față poate fi adăugat la gradul argumentului. Hai sa o scriem:

De foarte multe ori, elevii nu văd direct această acțiune, pentru că nu este bine să introduceți un jurnal sub semnul altuia. De fapt, nu este nimic criminal în asta. Mai mult, obținem o formulă care este ușor de calculat dacă vă amintiți o regulă importantă:

Această formulă poate fi considerată atât ca o definiție, cât și ca una dintre proprietățile sale. În orice caz, dacă convertiți o ecuație logaritmică, ar trebui să cunoașteți această formulă la fel cum ați cunoaște reprezentarea în log a oricărui număr.

Să revenim la sarcina noastră. O rescriem ținând cont de faptul că primul termen din dreapta semnului egal va fi pur și simplu egal cu lg 7. Avem:

lg 56 = lg 7 − 3lg (x + 4)

Să mutăm lg 7 la stânga, obținem:

lg 56 − lg 7 = −3lg (x + 4)

Scădem expresiile din stânga pentru că au aceeași bază:

lg (56/7) = −3lg (x + 4)

Acum să aruncăm o privire mai atentă la ecuația pe care o avem. Este practic forma canonică, dar există un factor -3 în dreapta. Să-l adăugăm la argumentul lg corect:

log 8 = log (x + 4) −3

În fața noastră este forma canonică a ecuației logaritmice, așa că tăiem semnele lg și echivalăm argumentele:

(x + 4) −3 = 8

x + 4 = 0,5

Asta este! Am rezolvat a doua ecuație logaritmică. În acest caz, nu sunt necesare verificări suplimentare, deoarece în problema inițială x era prezent doar într-un singur argument.

O voi enumera din nou puncte cheie această lecție.

Formula principală care este predată în toate lecțiile de pe această pagină dedicată rezolvării ecuațiilor logaritmice este forma canonică. Și nu vă speriați de faptul că majoritatea manualelor școlare vă învață să rezolvați astfel de probleme altfel. Acest instrument funcționează foarte eficient și vă permite să rezolvați o clasă mult mai largă de probleme decât cele mai simple pe care le-am studiat chiar la începutul lecției noastre.

În plus, pentru a rezolva ecuații logaritmice va fi util să cunoaștem proprietățile de bază. Anume:

1. Formula de mutare la o singură bază și cazul special în care înregistrăm invers (aceasta ne-a fost foarte util în prima problemă);
2. Formula pentru adunarea și scăderea puterilor din semnul logaritmului. Aici, mulți studenți se blochează și nu văd că gradul scos și introdus poate conține el însuși log f (x). Nu e nimic în neregulă cu asta. Putem introduce un buștean după semnul celuilalt și, în același timp, simplificăm semnificativ soluția problemei, ceea ce observăm în al doilea caz.

În concluzie, aș dori să adaug că nu este necesară verificarea domeniului de definiție în fiecare dintre aceste cazuri, deoarece peste tot variabila x este prezentă într-un singur semn de log, și în același timp este în argumentul său. În consecință, toate cerințele domeniului de aplicare sunt îndeplinite automat.

Probleme cu baza variabilă

Astăzi ne vom uita la ecuațiile logaritmice, care pentru mulți studenți par nestandard, dacă nu complet de nerezolvat. Vorbim despre expresii bazate nu pe numere, ci pe variabile și chiar pe funcții. Vom rezolva astfel de construcții folosind tehnica noastră standard și anume prin forma canonică.

În primul rând, să ne amintim cum sunt rezolvate cele mai simple probleme, pe baza numerelor obișnuite. Deci, cea mai simplă construcție se numește

log a f (x) = b

Pentru a rezolva astfel de probleme putem folosi următoarea formulă:

b = log a a b

Ne rescriem expresia originală și obținem:

log a f (x) = log a a b

Apoi echivalăm argumentele, adică scriem:

f (x) = a b

Astfel, scăpăm de semnul jurnalului și rezolvăm problema obișnuită. În acest caz, rădăcinile obținute din soluție vor fi rădăcinile ecuației logaritmice originale. În plus, o înregistrare când atât stânga, cât și dreapta sunt în același logaritm cu aceeași bază se numește exact forma canonică. La un astfel de record vom încerca să reducem modelele de astăzi. Deci, hai să mergem.

Prima sarcină:

log x − 2 (2x 2 − 13x + 18) = 1

Înlocuiți 1 cu log x − 2 (x − 2) 1 . Gradul pe care îl observăm în argument este de fapt numărul b care stătea în dreapta semnului egal. Astfel, să ne rescriem expresia. Primim:

log x − 2 (2x 2 − 13x + 18) = log x − 2 (x − 2)

Ce vedem? În fața noastră este forma canonică a ecuației logaritmice, astfel încât să putem echivala argumentele în siguranță. Primim:

2x 2 − 13x + 18 = x − 2

Dar soluția nu se termină aici, deoarece această ecuație nu este echivalentă cu cea inițială. La urma urmei, construcția rezultată constă din funcții care sunt definite pe întreaga linie numerică, iar logaritmii noștri originali nu sunt definiți peste tot și nu întotdeauna.

Prin urmare, trebuie să scriem domeniul definiției separat. Să nu despărțim firele de păr și să notăm mai întâi toate cerințele:

În primul rând, argumentul fiecărui logaritm trebuie să fie mai mare decât 0:

2x 2 − 13x + 18 > 0

x − 2 > 0

În al doilea rând, baza nu trebuie să fie numai mai mare decât 0, ci și diferită de 1:

x − 2 ≠ 1

Ca rezultat, obținem sistemul:

Dar nu vă alarmați: atunci când procesați ecuații logaritmice, un astfel de sistem poate fi simplificat semnificativ.

Judecăți singuri: pe de o parte, ni se cere ca funcția pătratică să fie mai mare decât zero, iar pe de altă parte, această funcție pătratică este echivalată cu o anumită expresie liniară, care se cere și ca aceasta să fie mai mare decât zero.

În acest caz, dacă solicităm ca x − 2 > 0, atunci cerința 2x 2 − 13x + 18 > 0 va fi automat satisfăcută. Prin urmare, putem tăia în siguranță inegalitatea care conține funcția pătratică. Astfel, numărul de expresii conținute în sistemul nostru se va reduce la trei.

Desigur, cu același succes am putea tăia inegalitatea liniară, adică să tăiem x − 2 > 0 și să cerem ca 2x 2 − 13x + 18 > 0. Dar veți fi de acord că rezolvarea celei mai simple inegalități liniare este mult mai rapidă. și mai simplu, decât pătratic, chiar și cu condiția ca în urma rezolvării întregului sistem să obținem aceleași rădăcini.

În general, încercați să optimizați calculele ori de câte ori este posibil. Și în cazul ecuațiilor logaritmice, tăiați cele mai dificile inegalități.

Să rescriem sistemul nostru:

Iată un sistem de trei expresii, dintre care două, de fapt, ne-am ocupat deja. Să-l notăm separat ecuație pătratică si hai sa o rezolvam:

2x 2 − 14x + 20 = 0

x 2 − 7x + 10 = 0

Avem în fața noastră un trinom pătratic redus și, prin urmare, putem folosi formulele lui Vieta. Primim:

(x − 5)(x − 2) = 0

x 1 = 5

x 2 = 2

Acum ne întoarcem la sistemul nostru și aflăm că x = 2 nu ni se potrivește, deoarece ni se cere ca x să fie strict mai mare decât 2.

Dar x = 5 ni se potrivește perfect: numărul 5 este mai mare decât 2 și, în același timp, 5 nu este egal cu 3. Prin urmare, singura soluție a acestui sistem va fi x = 5.

Gata, problema este rezolvată, inclusiv ținând cont de ODZ. Să trecem la a doua ecuație. Mai multe calcule interesante și informative ne așteaptă aici:

Primul pas: ca data trecută, aducem toată această chestiune în formă canonică. Pentru a face acest lucru, putem scrie numărul 9 după cum urmează:

Baza rădăcină poate fi lăsată neatinsă, dar este mai bine să transformați argumentul. Să trecem de la rădăcină la putere cu un exponent rațional. Hai sa scriem:

Permiteți-mi să nu rescriu întreaga noastră ecuație logaritmică mare, ci doar echivalez imediat argumentele:

x 3 + 10x 2 + 31x + 30 = x 3 + 9x 2 + 27x + 27

x 2 + 4x + 3 = 0

În fața noastră este un trinom pătratic nou redus, să folosim formulele lui Vieta și să scriem:

(x + 3)(x + 1) = 0

x 1 = −3

x 2 = −1

Deci, am primit rădăcinile, dar nimeni nu ne-a garantat că se vor potrivi cu ecuația logaritmică inițială. La urma urmei, semnele de jurnal impun restricții suplimentare (aici ar fi trebuit să notăm sistemul, dar din cauza naturii greoaie a întregii structuri, am decis să calculez domeniul de definiție separat).

În primul rând, rețineți că argumentele trebuie să fie mai mari decât 0 și anume:

Acestea sunt cerințele impuse de domeniul de aplicare al definiției.

Să remarcăm imediat că, deoarece echivalăm primele două expresii ale sistemului una cu cealaltă, putem tăia oricare dintre ele. Să-l tăiem pe primul pentru că pare mai amenințător decât al doilea.

În plus, rețineți că soluția pentru a doua și a treia inegalități vor fi aceleași mulțimi (cubul unui număr este mai mare decât zero, dacă acest număr în sine este mai mare decât zero; în mod similar, cu o rădăcină de gradul trei - aceste inegalități sunt complet analoge, așa că putem tăia).

Dar cu a treia inegalitate acest lucru nu va funcționa. Să scăpăm de semnul radical din stânga ridicând ambele părți într-un cub. Primim:

Deci obținem următoarele cerințe:

− 2 ≠ x > −3

Care dintre rădăcinile noastre: x 1 = −3 sau x 2 = −1 îndeplinește aceste cerințe? Evident, doar x = −1, deoarece x = −3 nu satisface prima inegalitate (deoarece inegalitatea noastră este strictă). Deci, revenind la problema noastră, obținem o rădăcină: x = −1. Gata, problema rezolvata.

Încă o dată, punctele cheie ale acestei sarcini:

1. Simțiți-vă liber să aplicați și să rezolvați ecuații logaritmice folosind forma canonică. Elevii care fac o astfel de notație, în loc să treacă direct de la problema inițială la o construcție precum log a f (x) = b, fac mult mai puține erori decât cei care se grăbesc undeva, sărind peste pașii intermediari de calcul;
2. De îndată ce o bază variabilă apare într-un logaritm, problema încetează să fie cea mai simplă. Prin urmare, la rezolvarea acesteia, este necesar să se țină cont de domeniul definiției: argumentele trebuie să fie mai mari decât zero, iar bazele nu trebuie să fie doar mai mari decât 0, dar nu trebuie să fie egale cu 1.

Cerințele finale pot fi aplicate răspunsurilor finale în moduri diferite. De exemplu, puteți rezolva un întreg sistem care conține toate cerințele pentru domeniul de definire. Pe de altă parte, puteți mai întâi să rezolvați problema în sine și apoi să vă amintiți domeniul de definiție, să îl rezolvați separat sub forma unui sistem și să îl aplicați la rădăcinile rezultate.

Ce metodă să alegeți atunci când rezolvați o anumită ecuație logaritmică depinde de dvs. În orice caz, răspunsul va fi același.

Menținerea confidențialității dvs. este importantă pentru noi. Din acest motiv, am dezvoltat o Politică de confidențialitate care descrie modul în care folosim și stocăm informațiile dumneavoastră. Vă rugăm să examinați practicile noastre de confidențialitate și să ne comunicați dacă aveți întrebări.

Colectarea și utilizarea informațiilor personale

Informațiile personale se referă la date care pot fi folosite pentru a identifica sau contacta o anumită persoană.

Vi se poate cere să furnizați informațiile dumneavoastră personale în orice moment când ne contactați.

Mai jos sunt câteva exemple de tipuri de informații personale pe care le putem colecta și cum putem folosi aceste informații.

Ce informații personale colectăm:

• Când trimiteți o cerere pe site, este posibil să colectăm diverse informații, inclusiv numele, numărul de telefon, adresa dvs e-mail etc.

Cum folosim informațiile dumneavoastră personale:

• Informațiile personale pe care le colectăm ne permit să vă contactăm cu oferte unice, promoții și alte evenimente și evenimente viitoare.
• Din când în când, putem folosi informațiile dumneavoastră personale pentru a trimite notificări și comunicări importante.
• De asemenea, putem folosi informații personale în scopuri interne, cum ar fi efectuarea de audituri, analize de date și diverse cercetări pentru a îmbunătăți serviciile pe care le oferim și pentru a vă oferi recomandări cu privire la serviciile noastre.
• Dacă participați la o tragere la sorți, la un concurs sau la o promoție similară, este posibil să folosim informațiile pe care le furnizați pentru a administra astfel de programe.

Dezvăluirea informațiilor către terți

Nu dezvăluim informațiile primite de la dumneavoastră către terți.

Excepții:

• Dacă este necesar - în conformitate cu legea, procedura judiciară, în procedurile judiciare și/sau pe baza solicitărilor publice sau a solicitărilor din partea autorităților guvernamentale de pe teritoriul Federației Ruse - de a vă dezvălui informațiile personale. De asemenea, putem dezvălui informații despre dumneavoastră dacă stabilim că o astfel de dezvăluire este necesară sau adecvată pentru securitate, aplicarea legii sau alte scopuri de importanță publică.
• În cazul unei reorganizări, fuziuni sau vânzări, putem transfera informațiile personale pe care le colectăm către terțul succesor aplicabil.

Protecția informațiilor personale

Luăm măsuri de precauție - inclusiv administrative, tehnice și fizice - pentru a vă proteja informațiile personale împotriva pierderii, furtului și utilizării greșite, precum și împotriva accesului, dezvăluirii, modificării și distrugerii neautorizate.

Respectarea vieții private la nivelul companiei

Pentru a ne asigura că informațiile dumneavoastră personale sunt în siguranță, comunicăm angajaților noștri standarde de confidențialitate și securitate și aplicăm strict practicile de confidențialitate.