Funcții logaritmice, proprietățile și grafica lor. Logaritm - proprietăți, formule, grafic

Ministerul Educației și Politicii pentru Tineret al Republicii Ciuvaș

Profesionist autonom de stat

instituție de învățământ din Republica Ciuvașă

„Colegiul de Transporturi Cheboksary și tehnologii de constructii»

(GAPOU „Școala tehnică Cheboksary TransStroyTech”

Ministerul Educației din Chuvashia)

Dezvoltarea metodologică

ODP. 01 Matematică

„Funcția logaritmică. Proprietăți și program"

Ceboksary - 2016

Notă explicativă…………………………………………………………………… .......... ......…………………………………….….…3

Context teoreticși implementarea metodologică……………………………………………………………….4-10

Concluzie…………………………………………………………….......................... ........................………....11

Aplicații………………………………………………………………………………………………………… ....... ................................………...13

Notă explicativă

Dezvoltarea metodologică a unui modul de lecție la disciplina „Matematică” cu tema „Funcția logaritmică. Proprietăți și grafic" din secțiunea "Rădăcini, puteri și logaritmi" este compilat pe baza Program de lucru la matematică şi calendar-plan tematic. Subiectele lecției sunt interconectate prin conținut și prevederi principale.

Scopul studierii acestui subiect este de a învăța conceptul funcţie logaritmică, studiați proprietățile sale de bază, învățați să reprezentați grafic o funcție logaritmică și învățați să vedeți o spirală logaritmică în lumea din jurul nostru.

Materialul programului pentru această lecție se bazează pe cunoștințele de matematică. Dezvoltarea metodologică a modulului de lecție a fost întocmită pentru desfășurarea orelor teoretice pe tema: „Funcția logaritmică. Proprietăți și program” -1 oră. În cadrul lecției practice, elevii își consolidează cunoștințele dobândite: definiții ale funcțiilor, proprietățile și graficele acestora, transformări ale graficelor, funcții continue și periodice, funcții inverse și graficele acestora, funcții logaritmice.

Dezvoltarea metodologică are scopul de a oferi asistență metodologică elevilor la studierea modulului de lecție cu tema „Funcția logaritmică. Proprietăți și program”. Ca extracurricular munca independenta elevii pot pregăti, cu ajutorul surselor suplimentare, un mesaj pe tema „Logaritmii și aplicarea lor în natură și tehnologie”, cuvinte încrucișate și puzzle-uri. Cunoștințele educaționale și competențele profesionale dobândite în cursul studierii temei „Funcțiile logaritmice, proprietățile și graficele acestora” vor fi aplicate în studiul următoarelor secțiuni: „Ecuații și inegalități” și „Principii de analiză matematică”.

Structura didactică a lecției:

Subiect:« Funcția logaritmică. Proprietăți și grafic »

Tip de activitate: Combinat.

Obiectivele lecției:

Educațional- formarea cunoştinţelor în însuşirea conceptului de funcţie logaritmică, proprietăţi ale unei funcţii logaritmice; folosiți grafice pentru a rezolva probleme.

De dezvoltare- dezvoltarea operatiilor mentale prin concretizare, dezvoltarea memoriei vizuale, nevoia de autoeducatie, pentru a favoriza dezvoltarea proceselor cognitive.

Educațional- stimularea activității cognitive, a simțului responsabilității, a respectului unul față de celălalt, a înțelegerii reciproce, a încrederii în sine; promovarea unei culturi a comunicării; promovarea unei atitudini conștiente și a interesului pentru învățare.

Instrumente de învățare:

Dezvoltare metodologică pe tema;

Computer personal;

Manual de Sh.A Alimov „Algebra și începuturile analizei” clasele 10-11. Editura „Prosveshcheniye”.

Conexiuni intrasubiect: funcția exponențială și funcția logaritmică.

Conexiuni interdisciplinare: algebră și analiză matematică.

Studentar trebui sa stie:

definirea funcției logaritmice;

proprietățile funcției logaritmice;

graficul unei funcții logaritmice.

Studenttrebuie să poată:

efectuează transformări ale expresiilor care conțin logaritmi;

găsiți logaritmul unui număr, aplicați proprietățile logaritmilor atunci când luați logaritmi;

determinați poziția unui punct pe un grafic prin coordonatele sale și invers;

aplicați proprietățile unei funcții logaritmice la construirea graficelor;

Efectuați transformări grafice.

Planul de lecție

1. Moment organizatoric(1 min).

2. Stabilirea scopurilor și obiectivelor lecției. Motivația pentru activitățile de învățare ale elevilor (1 min).

3. Etapa de actualizare a cunoștințelor și abilităților de bază (3 min).

4. Verificați teme pentru acasă(2 min).

5. Etapa de asimilare a noilor cunoștințe (10 min).

6. Etapa de consolidare a noilor cunoștințe (15 min).

7. Monitorizarea materialului învățat la lecție (10 min).

8. Rezumat (2 min).

9. Etapa de informare a elevilor despre teme (1 min).

Progresul lecției:

1. Moment organizatoric.

Include salutul profesorului, pregătirea sălii pentru lecție și verificarea absenților.

2. Stabilirea scopurilor și obiectivelor pentru lecție.

Astăzi vom vorbi despre conceptul de funcție logaritmică, vom desena un grafic al funcției și vom studia proprietățile acesteia.

3. Etapa de actualizare a cunoștințelor și abilităților de bază.

Se realizează sub formă de lucru frontal cu clasa.

Care a fost ultima funcție pe care am studiat-o? Desenați schematic pe tablă.

Dați definiția unei funcții exponențiale.

Care este rădăcina unei ecuații exponențiale?

Definiți logaritmul?

Care sunt proprietățile logaritmilor?

Care este principala identitate logaritmică?

4. Verificarea temelor.

Elevii își deschid caietele și arată exercițiile rezolvate. Puneți întrebări care au apărut în timp ce faceți temele.

5. Etapa de asimilare a noilor cunoștințe.

Profesor: Deschideți caietele, notați data de astăzi și subiectul lecției „Funcția logaritmică, proprietățile și graficul acesteia”.

Definiţie: O funcție logaritmică este o funcție a formei

Unde este un număr dat, .

Să ne uităm la construirea unui grafic al acestei funcții folosind un exemplu specific.

Să construim grafice ale funcțiilor și .

Nota 1: Funcția logaritmică este inversul funcției exponențiale, unde . Prin urmare, graficele lor sunt simetrice față de bisectoarea unghiurilor de coordonate I și III (Fig. 1).

Pe baza definiției logaritmului și a tipului de grafice, vom identifica proprietățile funcției logaritmice:

1) Domeniul de aplicare: , deoarece prin definiţia logaritmului x>0.

2) Gama de funcții: .

3) Logaritmul lui unu este egal cu zero, logaritmul bazei este egal cu unu: , .

4) Funcția , crește în interval (Fig. 1).

5) Funcția , scădere în interval (Fig. 1).

6) Intervale de constanță a semnelor:

Dacă , atunci la ; la ;

Dacă , atunci la la ;

Nota 2: Graficul oricărei funcții logaritmice trece întotdeauna prin punctul (1; 0).

Teorema: Dacă , unde , atunci .

6. Etapa de consolidare a noilor cunoștințe.

Profesor: Rezolvăm sarcinile nr. 318 - nr. 322 (impare) (§18 Alimov Sh.A. „Algebra și începuturile analizei” clasa 10-11).

1) deoarece funcția crește.

3), deoarece funcția scade.

1) , deoarece și .

3) , deoarece și .

1) , pentru că , , atunci .

3) , din moment ce 10> 1, atunci .

1) scade

3) crește.

7. Rezumând.

- Astăzi am făcut o treabă bună în clasă! Ce nou ai învățat în clasă astăzi?

(Aspect nou funcții - funcție logaritmică)

Prezentați definiția unei funcții logaritmice.

(Funcția y = logax, (a > 0, a ≠ 1) se numește funcție logaritmică)

Bine făcut! Corect! Numiți proprietățile funcției logaritmice.

(domeniul de definire a unei funcții, set de valori ale funcției, monotonitate, constanța semnului)

8. Controlul materialului învăţat la lecţie.

Profesor: Să aflăm cât de bine ai însușit subiectul „Funcția logaritmică. Proprietăți și program”. Pentru a face acest lucru, vom scrie o lucrare de testare (Anexa 1). Lucrarea constă din patru sarcini care trebuie rezolvate folosind proprietățile funcției logaritmice. Pentru executare munca de testare vi se acordă 10 minute.

9. Etapa de informare a elevilor despre teme.

Scrierea la tablă și în jurnale: Alimov Sh.A. „Algebra și începuturile analizei” clasele 10-11. §18 Nr. 318 - Nr. 322 (par)

Concluzie

Pe parcursul utilizării dezvoltării metodologice, ne-am atins toate scopurile și obiectivele. În această dezvoltare metodologică au fost luate în considerare toate proprietățile funcției logaritmice, datorită cărora elevii au învățat să transforme expresii care conțin logaritmi și să construiască grafice ale funcțiilor logaritmice. Finalizarea sarcinilor practice ajută la consolidarea materialului studiat, iar monitorizarea testării cunoștințelor și abilităților va ajuta profesorii și elevii să afle cât de eficientă a fost munca lor în lecție. Dezvoltarea metodologică permite elevilor să obțină informații interesante și educaționale cu privire la subiect, să generalizeze și să sistematizeze cunoștințele, să aplice proprietățile logaritmilor și ale funcțiilor logaritmice la rezolvarea diverselor ecuații logaritmiceși inegalități.

Alimov Sh. A., Kolyagin Yu M., Sidorov Yu V., Fedorova N. E., Shabunin M. I. sub îndrumarea academicianului Tikhonov A. N. Algebra și începuturile analizei matematice. - M. Educație, 2011.

Nikolsky S. M., Potapov M. K., Reshetnikov N. N. și colab. Algebra și începuturile analizei matematice (nivelurile de bază și de profil). 10 clase - M., 2006.

Kolyagin Yu.M., Tkacheva M.V., Federova N.E. şi altele, ed. Jizhcenko A.B. Algebra și începuturile analizei matematice (niveluri de bază și de specialitate). 10 clase - M., 2005.

Lisichkin V. T. Matematică în probleme cu soluții: manual / V. T. Lisichkin, I. L. Soloveychik. - Ed. a III-a, șters. - Sankt Petersburg. [și alții]: Lan, 2011 (Arkhangelsk). - 464 s.

Resurse de internet:

http://school-collection.edu.ru - Manual electronic „Matematică în

școală, secolul XXI”.

http://fcior.edu.ru - materiale de informare, instruire și control.

www.school-collection.edu.ru - Colecție unificată de resurse educaționale digitale.

Aplicații

Opțiunea 1.

Opțiunea 2.

Criterii de evaluare:

Se acordă nota „3” (satisfăcător) pentru oricare 2 exemple completate corect.

Se acordă nota „4” (bine) dacă oricare 3 exemple sunt completate corect.

Nota „5” (excelent) este acordată pentru toate cele 4 exemple completate corect.

Logaritm real

Logaritmul unui log de numere reale o b are sens cu src="/pictures/wiki/files/55/7cd1159e49fee8eff61027c9cde84a53.png" border="0">.

Cele mai utilizate tipuri de logaritmi sunt:

Dacă considerăm numărul logaritmic ca o variabilă, obținem funcţie logaritmică, De exemplu: . Această funcție este definită în partea dreaptă a liniei numerice: x> 0, este continuu si diferentiabil acolo (vezi Fig. 1).

Proprietăți

Logaritmi naturali

Când egalitatea este adevărată

În special,

Această serie converge mai repede și, în plus, partea stângă a formulei poate exprima acum logaritmul oricărui număr pozitiv.

Relația cu logaritmul zecimal: .

Logaritmi zecimali

Orez. 2. Scară logaritmică

Logaritmi la baza 10 (simbol: lg o) înainte de inventarea calculatoarelor erau utilizate pe scară largă pentru calcule. Scara neuniformă a logaritmilor zecimal este de obicei marcată și pe regulile de calcul. O scară similară este utilizată pe scară largă în diferite domenii ale științei, de exemplu:

• Chimie - activitatea ionilor de hidrogen ().
• Teoria muzicii - o scară de note, în raport cu frecvențele notelor muzicale.

Scara logaritmică este, de asemenea, utilizată pe scară largă pentru a identifica exponentul în relațiile de putere și coeficientul în exponent. În acest caz, un grafic construit pe o scară logaritmică de-a lungul uneia sau două axe ia forma unei linii drepte, care este mai ușor de studiat.

Logaritm complex

Funcție cu mai multe valori

Suprafata Riemann

O funcție logaritmică complexă este un exemplu de suprafață Riemann; partea sa imaginară (Fig. 3) este formată din număr infinit crengile răsucite ca o spirală. Această suprafață este pur și simplu conectată; singurul său zero (de ordinul întâi) se obține la z= 1, puncte singulare: z= 0 și (puncte de ramificare de ordin infinit).

Suprafața Riemann a logaritmului este acoperirea universală pentru planul complex fără punctul 0.

Schiță istorică

Logaritm real

Nevoia de calcule complexe a crescut rapid în secolul al XVI-lea și o mare parte din dificultate a implicat înmulțirea și împărțirea numerelor cu mai multe cifre. La sfârșitul secolului, mai mulți matematicieni, aproape simultan, au venit cu ideea: să înlocuiască înmulțirea intensivă în muncă cu adunarea simplă, folosind tabele speciale pentru a compara progresiile geometrice și aritmetice, cea geometrică fiind cea originală. Apoi împărțirea este înlocuită automat cu scăderea nemăsurat mai simplă și mai sigură. El a fost primul care a publicat această idee în cartea sa „ Aritmetica integra„Michael Stiefel, care, însă, nu a făcut eforturi serioase pentru a-și pune în aplicare ideea.

În anii 1620, Edmund Wingate și William Oughtred au inventat prima regulă de calcul, înainte de apariția calculatoarelor de buzunar — un instrument indispensabil al inginerului.

O înțelegere apropiată de cea modernă a logaritmării - ca operație inversă a ridicării la putere - a apărut pentru prima dată cu Wallis și Johann Bernoulli și a fost în cele din urmă legitimată de Euler în secolul al XVIII-lea. În cartea „Introducere în analiza infinitelor” (), Euler a dat definiții moderne atât ale funcțiilor exponențiale, cât și ale funcțiilor logaritmice, le-a extins în serii de puteri și a notat mai ales rolul logaritmului natural.

Euler este, de asemenea, creditat cu extinderea funcției logaritmice la domeniul complex.

Logaritm complex

Primele încercări de a extinde logaritmii la numere complexe au fost făcute la începutul secolelor XVII-XVIII de către Leibniz și Johann Bernoulli, dar nu au reușit să creeze o teorie holistică, în primul rând pentru că însuși conceptul de logaritm nu era încă clar definit. Discuția pe această problemă a avut loc mai întâi între Leibniz și Bernoulli, iar la mijlocul secolului al XVIII-lea - între d'Alembert și Euler. Bernoulli și d'Alembert credeau că ar trebui stabilit log(-x) = log(x). Teoria completă a logaritmilor numerelor negative și complexe a fost publicată de Euler în 1747-1751 și nu este în esență diferită de cea modernă.

Deși disputa a continuat (D'Alembert și-a apărat punctul de vedere și l-a argumentat în detaliu într-un articol din Enciclopedia sa și în alte lucrări), punctul de vedere al lui Euler a câștigat rapid recunoașterea universală.

Tabelele logaritmice

Tabelele logaritmice

Din proprietățile logaritmului rezultă că, în loc de înmulțirea intensivă a forței de muncă a numerelor cu mai multe cifre, este suficient să găsiți (din tabele) și să adăugați logaritmii acestora, apoi, folosind aceleași tabele, să efectuați potențarea, adică să găsiți valoarea rezultatului din logaritmul său. Efectuarea diviziunii diferă doar prin faptul că logaritmii sunt scăzuți. Laplace a spus că inventarea logaritmilor „a prelungit viața astronomilor” prin accelerarea mult procesul de calcule.

Când mutați punctul zecimal într-un număr la n cifre, valoarea logaritmului zecimal al acestui număr se schimbă în n. De exemplu, log8314,63 = log8,31463 + 3. Rezultă că este suficient să compilați un tabel de logaritmi zecimal pentru numerele din intervalul de la 1 la 10.

Primele tabele de logaritmi au fost publicate de John Napier (), și au conținut doar logaritmi de funcții trigonometrice și cu erori. Independent de el, Joost Bürgi, un prieten al lui Kepler (), și-a publicat tabelele. În 1617, profesorul de matematică de la Oxford Henry Briggs a publicat tabele care includeau deja logaritmi zecimali ai numerelor în sine, de la 1 la 1000, cu 8 (mai târziu 14) cifre. Dar au existat și erori în tabelele lui Briggs. Prima ediție fără erori bazată pe tabelele Vega () a apărut abia în 1857 la Berlin (tabelele Bremiwer).

În Rusia, primele tabele de logaritmi au fost publicate în 1703, cu participarea lui L. F. Magnitsky. Mai multe colecții de tabele logaritmice au fost publicate în URSS.

• Bradis V. M. Tabelele matematice din patru cifre. Ediția a 44-a, M., 1973.

Sunt date proprietățile de bază ale logaritmului, graficul logaritmului, domeniul de definire, setul de valori, formulele de bază, crescător și descrescător. Se ia în considerare găsirea derivatei unui logaritm. La fel ca integrală, extinderea seriei de putere și reprezentarea folosind numere complexe.

Definiţia logarithm

Logaritm cu baza a este o funcție a lui y (x) = log a x, inversă funcției exponențiale cu baza a: x (y) = a y.

Logaritm zecimal este logaritmul la baza unui număr 10 : log x ≡ log 10 x.

Logaritmul natural este logaritmul la baza lui e: ln x ≡ log e x.

2,718281828459045... ;
.

Graficul logaritmului se obține din graficul funcției exponențiale prin oglindirea acesteia față de dreapta y = x. În stânga sunt grafice ale funcției y(x) = log a x pentru patru valori baze logaritmice 2 : a = 8 : a = 1/2 , a = 1/8 și a = 1 . 0 < a < 1 Graficul arată că atunci când un >

logaritmul crește monoton. Pe măsură ce x crește, creșterea încetinește semnificativ. La

logaritmul scade monoton.

Proprietățile logaritmului

Interceptarea punctelor cu axa ordonatelor, x =

Nu Valori private Se numește logaritmul la baza 10

logaritm zecimal și se notează după cum urmează: Logaritm la bază e:

numit

logaritmul natural

Formule de bază pentru logaritmi

Proprietățile logaritmului care decurg din definiția funcției inverse:

Principala proprietate a logaritmilor și consecințele acesteia Formula de înlocuire a bazei

Potentarea este o operație matematică inversă logaritmului. În timpul potențarii, o bază dată este ridicată la gradul de expresie peste care se realizează potențarea. În acest caz, sumele de termeni sunt transformate în produse de factori.

Dovada formulelor de bază pentru logaritmi

Formulele legate de logaritmi decurg din formulele pentru funcții exponențiale și din definiția unei funcții inverse.

Luați în considerare proprietatea funcției exponențiale
.
Apoi
.
Să aplicăm proprietatea funcției exponențiale
:
.

Să demonstrăm formula de înlocuire de bază.
;
.
Presupunând c = b, avem:

Funcția inversă

Inversa unui logaritm la baza a este o funcție exponențială cu exponentul a.

Dacă, atunci

Dacă, atunci

Derivată a logaritmului

Derivată a logaritmului modulului x:
.
Derivată de ordin al n-lea:
.
Formule derivate > > >

Pentru a găsi derivata unui logaritm, aceasta trebuie redusă la bază și se notează după cum urmează:.
;
.

Integral

Integrala logaritmului se calculează prin integrarea pe părți: .
Aşa,

Expresii folosind numere complexe

Luați în considerare funcția număr complex z:
.
Să exprimăm un număr complex z prin modul r si argument φ :
.
Apoi, folosind proprietățile logaritmului, avem:
.
Sau

Cu toate acestea, argumentul φ nu este definit în mod unic. Daca pui
, unde n este un număr întreg,
atunci va fi același număr pentru diferit n.

Prin urmare, logaritmul, ca funcție a unei variabile complexe, nu este o funcție cu o singură valoare.

Extinderea seriei de putere

Când are loc extinderea:

Literatura folosita:
ÎN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Manual de matematică pentru ingineri și studenți, „Lan”, 2009.

Lecție de algebră în clasa a X-a

Subiect: „Funcția logaritmică, proprietățile și graficul acesteia”

Obiective:

Educațional: Introduceți conceptul de funcție logaritmică folosind experiența trecută, oferiți o definiție. Studiați proprietățile de bază ale funcției logaritmice. Dezvoltați capacitatea de a construi un grafic al unei funcții logaritmice.

Dezvoltare: Dezvoltați capacitatea de a evidenția principalul lucru, de a compara, de a generaliza. Pentru a forma o cultură grafică în rândul elevilor.

Educațional: Arătați relația dintre matematică și realitatea înconjurătoare. Dezvoltați abilitățile de comunicare, dialog și capacitatea de a lucra în echipă.

Tip de lecție: Combinate

Metode de predare: Căutare parțial, interactiv.

Progresul lecției.

1. Actualizarea experienței anterioare:

Elevilor li se oferă exerciții orale folosind definiția logaritmului, proprietățile acestuia, formule pentru trecerea la o nouă bază, rezolvarea celor mai simple ecuații logaritmice și exponențiale, exemple de găsire a intervalului de valori permise sub expresii logaritmice

Exerciții oraleLucrări orale.

1) Calculați folosind definiția logaritmului: jurnal 2 8; jurnal 4 16;.

2) Calculați folosind identitatea logaritmică de bază:

3) Rezolvați ecuația folosind definiția:

4) Aflați la ce valori ale lui x are sens expresia:

5) Găsiți valoarea expresiei folosind proprietățile logaritmilor:

2. Studiază subiectul. Elevii sunt rugați să rezolve ecuații exponențiale: 2 x =y; () x = y. prin exprimarea variabilei x în termenii variabilei y. În urma acestei lucrări, se obțin formule care definesc funcții necunoscute elevilor. ,. Întrebare : „Cum ați numi această funcție?” elevii spun că este logaritmică, deoarece variabila se află sub semnul logaritmului: .

Întrebare . Definiți o funcție. Definiție: Funcție, dat de formula y=log o x se numește logaritmic cu baza a (a>0, a 1)

III. Studiu de funcții y=log o x

Mai recent, am introdus conceptul de logaritm al unui număr pozitiv la o bază a pozitivă și non-1. Pentru orice număr pozitiv, puteți găsi logaritmul unei baze date. Dar atunci ar trebui să vă gândiți la o funcție de forma y=log topor, și despre grafica și proprietățile sale.Funcția dată de formula y=log o x se numește logaritmic cu baza a (a>0, a 1)

Proprietățile de bază ale funcției logaritmice:

1. Domeniul de definire al funcției logaritmice va fi întregul set de numere reale pozitive. Pentru concizie, se mai numeșteR+. O proprietate evidentă, deoarece fiecare număr pozitiv are un logaritm pe baza a.D(f)=R+

2. Domeniul funcției logaritmice va fi întregul set de numere reale.E(f)= (-∞; +∞)

3 . Graficul unei funcții logaritmice trece întotdeauna prin punctul (1;0).

4 . Lfuncția logaritmică a vârsteinu la a>1 și scade la 0<х<1.

5 . Funcția nu este pară sau impară. Funcția logaritmică - o funcție generalăO.

6 . Funcția nu are puncte maxime sau minime, este continuă în domeniul definiției.

Următoarea figură prezintă un grafic al unei funcții logaritmice descrescătoare - (0

Dacă construiți funcții exponențiale și logaritmice cu aceleași baze în aceeași axă de coordonate, atunci graficele acestor funcții vor fi simetrice față de linia dreaptă y = x. Această afirmație este prezentată în figura următoare.

Afirmația de mai sus va fi adevărată atât pentru funcțiile logaritmice și exponențiale crescătoare, cât și descrescătoare.

Luați în considerare un exemplu: găsiți domeniul de definiție al funcției logaritmice f(x) = log 8 (4 - 5x).

Pe baza proprietăților funcției logaritmice, domeniul de definiție este întregul set de numere reale pozitive R+. Apoi funcția dată va fi definită pentru un astfel de x pentru care 4 - 5x>0. Rezolvăm această inegalitate și obținem x<0.8. Таким образом, получается, что областью определения функции f(x) = log 8 (4 - 5*x) va fi intervalul (-∞;0,8)

Grafice ale unei funcții logaritmice în GeoGebra

Grafice cu funcții logaritmice
1) logaritmul natural y = ln (x)
2) logaritm zecimal y = log(x)
3) logaritmul baza 2 y = ld (x)

V. Întărirea subiectului

Folosind proprietățile obținute ale funcției logaritmice, vom rezolva următoarele probleme:

1. Găsiți domeniul funcției: y=log 8 (4-5x); y=log 0,5 (2x+8);.

3. Construiți schematic grafice ale funcțiilor: y=log 2 (x+2) -3 y= log 2 (x) +2

Tip de lecție:învăţarea de materiale noi.

Obiectivele lecției:

• formați o reprezentare a funcției logaritmice și a proprietăților sale de bază;
• dezvoltarea capacității de a reprezenta o funcție logaritmică;
• promovează dezvoltarea abilităților de identificare a proprietăților unei funcții logaritmice dintr-un grafic;
• dezvoltarea abilităților în lucrul cu text, capacitatea de a analiza informațiile, capacitatea de sistematizare, evaluare și utilizare;
• dezvoltarea abilităților de a lucra în perechi și microgrupuri (abilități de comunicare, dialog, luare a deciziilor în comun)

Tehnologia utilizată: tehnologie pentru dezvoltarea gândirii critice, tehnologie pentru lucrul în colaborare

Tehnici folosite: afirmații adevărate, false, INSERT, cluster, syncwine

Lecția utilizează elemente de tehnologie pentru dezvoltarea gândirii critice pentru a dezvolta capacitatea de a identifica lacunele în cunoștințele și abilitățile cuiva atunci când rezolvă o nouă problemă, să evalueze nevoia de anumite informații pentru activitățile cuiva, să efectueze căutarea de informații și să stăpânească în mod independent cunoștințele necesare pentru rezolva probleme cognitive și comunicative. Acest tip de gândire ajută să fii critic față de orice afirmație, să nu iei nimic de bun fără dovezi și să fii deschis către noi cunoștințe, idei și metode.

Percepția informației are loc în trei etape, care corespund următoarelor etape ale lecției:

• etapa pregătitoare – provocare;
• percepția noului – stadiul semantic (sau stadiul realizării sensului);
• însuşirea informaţiei – stadiu de reflecţie.

Elevii lucrează în grupuri, își compară ipotezele cu informațiile obținute din lucrul cu manualul, construind grafice ale funcțiilor și descrierilor proprietăților lor, fac modificări la tabelul propus „Crezi că...”, împărtășesc gândurile cu clasa, discută răspunsurile la fiecare întrebare. În etapa de apelare, ei află în ce cazuri, atunci când execută ce sarcini, pot fi aplicate proprietățile funcției logaritmice. În etapa de înțelegere a conținutului, se lucrează pentru a recunoaște grafice ale funcțiilor logaritmice, a găsi domeniul de definiție și a determina monotonitatea funcțiilor.

Pentru a extinde cunoștințele despre problema studiată, studenților li se oferă textul „Aplicarea funcției logaritmice în natură și tehnologie”. Îl folosim pentru a menține interesul față de subiect. Elevii lucrează în grupuri pentru a forma clustere „Aplicarea funcției logaritmice”. Apoi clusterele sunt protejate și discutate.

Cinquain este folosit ca formă creativă de reflecție, dezvoltând capacitatea de a rezuma informații și de a exprima idei, sentimente și percepții complexe în câteva cuvinte.

Echipament: Prezentare PowerPoint, tablă interactivă, fișe (carduri, material text, tabele), foi de hârtie pătrate.

Progresul lecției

Etapa apelului:

Prezentarea profesorului. Lucrăm la stăpânirea subiectului „Logaritmi”. Ce știm și ce putem face în prezent?

Raspunde elevul.

Ştim: definiție, proprietăți ale logaritmului, identitatea logaritmică de bază, formule de trecere la o nouă bază, domenii de aplicare a logaritmilor.

Putem: calculează logaritmi, rezolvă ecuații logaritmice simple, transformă logaritmi.

Ce concept este strâns legat de conceptul de logaritm? (cu conceptul de grad, deoarece logaritmul este un exponent)

Temă de elev. Folosind conceptul de logaritm, completați oricare două tabele cu a > 1 iar la 0 < o< 1 (Anexa nr. 1)

Verificarea muncii grupurilor.

Ce reprezintă expresiile prezentate? (ecuații exponențiale, funcții exponențiale)

Temă de elev. Rezolvați ecuații exponențiale folosind expresia variabilă X prin variabilă la.

În urma acestei lucrări, se obțin următoarele formule:

Să schimbăm locurile din expresiile rezultate XŞi la. Ce am primit?

Cum ați numi aceste funcții? (logaritmică, deoarece variabila se află sub semnul logaritmului). Cum se scrie această funcție în formă generală?

Subiectul lecției noastre este „Funcția logaritmică, proprietățile și graficul acesteia”.

O funcție logaritmică este o funcție de forma unde O- un număr dat, a>0, a≠1.

Sarcina noastră este să învățăm cum să construim și să studiem grafice ale funcțiilor logaritmice și să le aplicăm proprietățile.

Ai cărți cu întrebări pe mesele tale. Toate încep cu cuvintele „Crezi că...”

Răspunsul la întrebare poate fi doar „da” sau „nu”. Dacă „da”, atunci în dreapta întrebării din prima coloană puneți semnul „+” dacă „nu”, atunci semnul „-”. Dacă aveți îndoieli, puneți semnul „?”.

Lucrați în perechi. Timp de funcționare 3 minute. (Anexa nr. 2)

După ascultarea răspunsurilor elevilor, se completează prima coloană a tabelului rezumativ de pe tablă.

Etapa de înțelegere a conținutului(10 min).

Însumând munca cu întrebările din tabel, profesorul îi pregătește pe elevi pentru ideea că atunci când răspundem la întrebări, nu știm încă dacă avem dreptate sau greșit.

Misiunea de grup. Răspunsurile la întrebări pot fi găsite studiind textul §4 p. 240-242. Dar sugerez nu doar citirea textului, ci alegerea uneia dintre cele patru funcții obținute anterior: construirea graficului său și identificarea proprietăților funcției logaritmice din grafic. Fiecare membru al grupului face acest lucru într-un caiet. Și apoi un grafic al funcției este construit pe o foaie mare de hârtie într-un pătrat. După finalizarea lucrării, un reprezentant al fiecărui grup vorbește în apărarea muncii lor.

Misiunea de grup. Generalizați proprietățile funcției pt a > 1Şi 0 < o< 1 (Anexa nr. 3)

Axă Oh este asimptota verticală a graficului funcţiei logaritmice şi în cazul când a>1, iar în cazul când 0.