Rădăcina pătrată a unui număr. Extracția rădăcinilor

Rădăcină n-a-a putere a unui număr natural o se numeste acest numar n al cărui grad este egal cu o. Rădăcina se desemnează astfel: . Se numește simbolul √ semn rădăcină sau semn radical, număr o - număr radical, n - exponent rădăcină.

Se numește acțiunea prin care se găsește rădăcina unui grad dat extragerea rădăcinilor.

Întrucât, conform definiției conceptului de rădăcină n gradul

Că extragerea rădăcinilor- o acțiune inversă ridicării la o putere, cu ajutorul căreia se află baza gradului de la un grad dat și de la un exponent dat.

Rădăcină pătrată

Rădăcina pătrată a unui număr o este numărul al cărui pătrat este egal cu o.

Acțiunea prin care se calculează rădăcina pătrată se numește înrădăcinare pătrată.

Rădăcină pătrată- acțiunea opusă a pătrarii (sau ridicarea unui număr la a doua putere). Când puneți la pătrat un număr, trebuie să găsiți pătratul acestuia. Când extrageți rădăcina pătrată, pătratul numărului este cunoscut, trebuie să îl utilizați pentru a găsi numărul în sine.

Prin urmare, pentru a verifica corectitudinea acțiunii, puteți ridica rădăcina găsită la a doua putere și, dacă gradul este egal cu numărul radical, atunci rădăcina a fost găsită corect.

Să ne uităm la extragerea rădăcinii pătrate și la verificarea ei folosind un exemplu. Să calculăm sau (de obicei nu se scrie exponentul rădăcinii cu o valoare de 2, deoarece 2 este cel mai mic exponent și trebuie amintit că dacă nu există nici un exponent deasupra semnului rădăcinii, atunci exponentul 2 este implicit), pentru aceasta avem trebuie să găsiți numărul, atunci când este ridicat la al doilea gradul va fi 49. Evident, un astfel de număr este 7, deoarece

7 7 = 7 2 = 49.

Calcularea rădăcinii pătrate

Dacă un anumit număr este 100 sau mai mic, atunci rădăcina pătrată a acestuia poate fi calculată folosind tabelul înmulțirii. De exemplu, rădăcina pătrată a lui 25 este 5, deoarece 5 5 = 25.

Acum să ne uităm la o modalitate de a găsi rădăcina pătrată a oricărui număr fără a folosi un calculator. De exemplu, să luăm numărul 4489 și să începem să-l calculăm pas cu pas.

1. Să stabilim din ce cifre ar trebui să conțină rădăcina necesară. Deoarece 10 2 = 10 · 10 = 100 și 100 2 = 100 · 100 = 10000, devine clar că rădăcina dorită trebuie să fie mai mare decât 10 și mai mică de 100, adică. constau din zeci și unu.
2. Aflați numărul zecilor rădăcinii. Înmulțirea zecilor dă sute și sunt 44 dintre ele în numărul nostru, așa că rădăcina trebuie să conțină atât de multe zeci, încât pătratul zecilor dă aproximativ 44 de sute. Prin urmare, rădăcina trebuie să aibă 6 zeci, deoarece 60 2 = 3600 și 70 2 = 4900 (acest lucru este prea mult). Astfel, am aflat că rădăcina noastră conține 6 zeci și mai multe unități, deoarece este în intervalul de la 60 la 70.
3. Tabelul înmulțirii vă va ajuta să determinați numărul de unități din rădăcină. Privind numărul 4489, vedem că ultima cifră din el este 9. Acum ne uităm la tabelul înmulțirii și vedem că 9 unități pot fi obținute doar prin pătrarea numerelor 3 și 7. Aceasta înseamnă că rădăcina numărului va fi egal cu 63 sau 67.
4. Verificăm numerele 63 și 67 pe care le-am primit prin pătrarea lor: 63 2 = 3969, 67 2 = 4489.

Elevii întreabă mereu: „De ce nu pot folosi un calculator la examenul de matematică? Cum se extrage rădăcina pătrată a unui număr fără un calculator? Să încercăm să răspundem la această întrebare.

Cum se extrage rădăcina pătrată a unui număr fără ajutorul unui calculator?

Acţiune rădăcină pătrată inversă acțiunii de pătrare.

√81= 9 9 2 =81

Dacă luați rădăcina pătrată a unui număr pozitiv și rezultatul la pătrat, obțineți același număr.

Din nu numere mari, care sunt pătrate exacte numere naturale, de exemplu 1, 4, 9, 16, 25, ..., 100 de rădăcini pătrate pot fi extrase oral. De obicei, la școală se preda un tabel cu pătrate de numere naturale până la douăzeci. Cunoscând acest tabel, este ușor să extragi rădăcini pătrate din numerele 121,144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400. Din numerele mai mari de 400 le poți extrage folosind metoda de selecție folosind câteva sfaturi. Să încercăm să privim această metodă cu un exemplu.

Exemplu: Extrageți rădăcina numărului 676.

Observăm că 20 2 = 400 și 30 2 = 900, ceea ce înseamnă 20< √676 < 900.

Pătratele exacte ale numerelor naturale se termină cu 0; 1; 4; 5; 6; 9.
Numărul 6 este dat de 4 2 și 6 2.
Aceasta înseamnă că, dacă rădăcina este luată de la 676, atunci este fie 24, fie 26.

Rămâne de verificat: 24 2 = 576, 26 2 = 676.

Răspuns: √676 = 26 .

Mai mult exemplu: √6889 .

Deoarece 80 2 = 6400 și 90 2 = 8100, atunci 80< √6889 < 90.
Numărul 9 este dat de 3 2 și 7 2, atunci √6889 este egal fie cu 83, fie cu 87.

Să verificăm: 83 2 = 6889.

Răspuns: √6889 = 83 .

Dacă vă este dificil de rezolvat folosind metoda de selecție, puteți factoriza expresia radicală.

De exemplu, găsiți √893025.

Să factorizez numărul 893025, amintiți-vă, ați făcut asta în clasa a șasea.

Se obține: √893025 = √3 6 ∙5 2 ∙7 2 = 3 3 ∙5 ∙7 = 945.

Mai mult exemplu: √20736. Să factorizăm numărul 20736:

Se obține √20736 = √2 8 ∙3 4 = 2 4 ∙3 2 = 144.

Desigur, factorizarea necesită cunoașterea semnelor de divizibilitate și abilități de factorizare.

Și, în sfârșit, există regula pentru extragerea rădăcinilor pătrate. Să ne familiarizăm cu această regulă cu exemple.

Calculați √279841.

Pentru a extrage rădăcina unui număr întreg cu mai multe cifre, îl împărțim de la dreapta la stânga în fețe care conțin 2 cifre (marginea din stânga poate conține o cifră). O scriem astfel: 27’98’41

Pentru a obține prima cifră a rădăcinii (5), luăm rădăcina pătrată a celui mai mare pătrat perfect conținut în prima față din stânga (27).
Apoi pătratul primei cifre a rădăcinii (25) este scăzut din prima față și următoarea față (98) se adaugă la diferență (scăzută).
În stânga numărului rezultat 298, scrieți cifra dublă a rădăcinii (10), împărțiți la ea numărul tuturor zecilor din numărul obținut anterior (29/2 ≈ 2), testați câtul (102 ∙2 = 204). nu trebuie să fie mai mare de 298) și scrieți (2) după prima cifră a rădăcinii.
Apoi, coeficientul rezultat 204 este scăzut din 298 și următoarea muchie (41) este adăugată la diferența (94).
În stânga numărului rezultat 9441, scrieți produsul dublu al cifrelor rădăcinii (52 ∙2 = 104), împărțiți numărul tuturor zecilor din numărul 9441 (944/104 ≈ 9) la acest produs, testați câtul (1049 ∙9 = 9441) ar trebui să fie 9441 și notează-l (9) după a doua cifră a rădăcinii.

Am primit răspunsul √279841 = 529.

Extrageți în mod similar rădăcinile fracțiilor zecimale. Doar numărul radical trebuie împărțit în fețe, astfel încât virgula să fie între fețe.

Exemplu. Găsiți valoarea √0,00956484.

Trebuie doar să-ți amintești că dacă zecimal are un număr impar de zecimale, rădăcina pătrată nu poate fi extrasă exact din el.

Deci acum ați văzut trei moduri de a extrage rădăcina. Alege-l pe cel care ti se potriveste cel mai bine si exerseaza-te. Pentru a învăța să rezolvi problemele, trebuie să le rezolvi. Și dacă aveți întrebări, înscrieți-vă la lecțiile mele.

site-ul web, atunci când copiați materialul integral sau parțial, este necesar un link către sursă.

De preferință unul de inginerie - unul care are un buton cu semnul rădăcină: „√”. De obicei, pentru a extrage rădăcina, este suficient să tastați numărul în sine și apoi să apăsați butonul: „√”.

În cele mai moderne telefoane mobile Există o aplicație „calculator” cu o funcție de extracție a rădăcinilor. Procedura pentru găsirea rădăcinii unui număr folosind un calculator de telefon este similară cu cea de mai sus.
Exemplu.
Găsiți de la 2.
Porniți calculatorul (dacă este oprit) și apăsați succesiv butoanele cu imaginea a doi și rădăcină („2” „√”). De regulă, nu trebuie să apăsați tasta „=”. Ca rezultat, obținem un număr ca 1,4142 (numărul de cifre și „rotunjimea” depind de adâncimea de biți și de setările calculatorului).
Notă: Când încercați să găsiți rădăcina, calculatorul dă de obicei o eroare.

Dacă aveți acces la un computer, atunci găsirea rădăcinii unui număr este foarte ușoară.
1. Puteți folosi aplicația Calculator, disponibilă pe aproape orice computer. Pentru Windows XP, acest program poate fi lansat după cum urmează:
„Start” - „Toate programele” - „Accesorii” - „Calculator”.
Este mai bine să setați vizualizarea la „normal”. Apropo, spre deosebire de un calculator real, butonul pentru extragerea rădăcinii este marcat „sqrt” și nu „√”.

Dacă nu puteți ajunge la calculator folosind metoda indicată, puteți rula calculatorul standard „manual”:
„Start” - „Run” - „calc”.
2. Pentru a găsi rădăcina unui număr, puteți folosi și unele programe instalate pe computer. În plus, programul are propriul său calculator încorporat.

De exemplu, pentru aplicația MS Excel, puteți efectua următoarea secvență de acțiuni:
Lansați MS Excel.

Notăm în orice celulă numărul din care trebuie să extragem rădăcina.

Mutați indicatorul celulei într-o altă locație

Apăsați butonul de selectare a funcției (fx)

Selectați funcția „ROOT”.

Specificăm o celulă cu un număr ca argument al funcției

Faceți clic pe „OK” sau „Enter”
Avantajul acestei metode este că acum este suficient să introduceți orice valoare în celulă cu un număr, ca în funcția, .
Nota.
Există câteva alte moduri, mai exotice, de a găsi rădăcina unui număr. De exemplu, într-un „colț”, folosind o regulă de calcul sau tabele Bradis. Cu toate acestea, aceste metode nu sunt discutate în acest articol din cauza complexității și inutilității lor practice.

Video pe tema

Surse:

• cum să găsești rădăcina unui număr

Uneori apar situații când trebuie să efectuați un fel de calcule matematice, inclusiv extragerea rădăcinilor pătrate și a rădăcinilor mai mari ale unui număr. Rădăcina „n” a lui „a” este numărul gradul al n-lea care este numărul „a”.

Instrucţiuni

Pentru a găsi rădăcina „n” a lui , procedați în felul următor.

Pe computer, faceți clic pe „Start” - „Toate programele” - „Accesorii”. Apoi accesați subsecțiunea „Servicii” și selectați „Calculator”. Puteți face acest lucru manual: faceți clic pe Start, tastați „calk” în caseta Run și apăsați Enter. Se va deschide. Pentru a extrage rădăcina pătrată a unui număr, introduceți-o în calculator și apăsați butonul etichetat „sqrt”. Calculatorul va extrage rădăcina de gradul doi, numită rădăcină pătrată, din numărul introdus.

Pentru a extrage o rădăcină al cărei grad este mai mare decât al doilea, trebuie să utilizați un alt tip de calculator. Pentru a face acest lucru, în interfața calculatorului, faceți clic pe butonul „Vizualizare” și selectați linia „Inginerie” sau „Științific” din meniu. Acest tip de calculator are necesarul de calcul a n-a rădăcină functie de grad.

Pentru a extrage rădăcina gradului al treilea (), pe un calculator „de inginerie”, tastați numărul potrivitși apăsați butonul „3√”. Pentru a obține o rădăcină al cărei grad este mai mare de 3, introduceți numărul dorit, apăsați butonul cu pictograma „y√x” și apoi introduceți numărul - exponentul. După aceasta, apăsați semnul egal (butonul „=") și veți obține rădăcina dorită.

Dacă calculatorul dumneavoastră nu are funcția „y√x”, următoarele.

Pentru a extrage rădăcina cubului, introduceți expresia radicală, apoi puneți o bifă în caseta de selectare, care se află lângă inscripția „Inv”. Cu această acțiune, veți inversa funcțiile butoanelor calculatorului, adică, făcând clic pe butonul cub, veți extrage rădăcina cubului. Pe butonul pe care tu

Faptul 1.
\(\bullet\) Să luăm un număr nenegativ \(a\) (adică \(a\geqslant 0\) ). Apoi (aritmetică) rădăcină pătrată din numărul \(a\) se numește un astfel de număr nenegativ \(b\) , la pătrat obținem numărul \(a\) : \[\sqrt a=b\quad \text(la fel ca )\quad a=b^2\] Din definiţie rezultă că \(a\geqslant 0, b\geqslant 0\). Aceste restricții sunt o condiție importantă existența unei rădăcini pătrate și ar trebui reținute!
Amintiți-vă că orice număr la pătrat dă un rezultat nenegativ. Adică \(100^2=10000\geqslant 0\) și \((-100)^2=10000\geqslant 0\) .
\(\bullet\) Cu ce ​​este egal cu \(\sqrt(25)\)? Știm că \(5^2=25\) și \((-5)^2=25\) . Deoarece prin definiție trebuie să găsim un număr nenegativ, atunci \(-5\) nu este potrivit, prin urmare, \(\sqrt(25)=5\) (deoarece \(25=5^2\) ).
Găsirea valorii lui \(\sqrt a\) se numește luarea rădăcinii pătrate a numărului \(a\) , iar numărul \(a\) se numește expresie radicală.
\(\bullet\) Pe baza definiției, expresiei \(\sqrt(-25)\), \(\sqrt(-4)\), etc. nu au sens.

Faptul 2.
Pentru calcule rapide, va fi util să înveți tabelul de pătrate ale numerelor naturale de la \(1\) la \(20\): \[\begin(array)(|ll|) \hline 1^2=1 & \quad11^2=121 \\ 2^2=4 & \quad12^2=144\\ 3^2=9 & \quad13 ^2=169\\ 4^2=16 & \quad14^2=196\\ 5^2=25 & \quad15^2=225\\ 6^2=36 & \quad16^2=256\\ 7^ 2=49 & \quad17^2=289\\ 8^2=64 & \quad18^2=324\\ 9^2=81 & \quad19^2=361\\ 10^2=100& \quad20^2= 400\\ \hline \end(matrice)\]

Faptul 3.
Ce operații poți face cu rădăcini pătrate?
\(\glonţ\) Suma sau diferența rădăcinilor pătrate NU este EGALĂ cu rădăcina pătrată a sumei sau diferenței, adică \[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt(a\pm b)\] Astfel, dacă trebuie să calculați, de exemplu, \(\sqrt(25)+\sqrt(49)\) , atunci inițial trebuie să găsiți valorile \(\sqrt(25)\) și \(\ sqrt(49)\ ) și apoi pliați-le. Prin urmare, \[\sqrt(25)+\sqrt(49)=5+7=12\] Dacă valorile \(\sqrt a\) sau \(\sqrt b\) nu pot fi găsite la adăugarea \(\sqrt a+\sqrt b\), atunci o astfel de expresie nu se transformă în continuare și rămâne așa cum este. De exemplu, în suma \(\sqrt 2+ \sqrt (49)\) putem găsi \(\sqrt(49)\) este \(7\) , dar \(\sqrt 2\) nu poate fi transformat în oricum, de aceea \(\sqrt 2+\sqrt(49)=\sqrt 2+7\). Din păcate, această expresie nu poate fi simplificată în continuare\(\bullet\) Produsul/coeficientul rădăcinilor pătrate este egal cu rădăcina pătrată a produsului/coeficientului, adică \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt(ab)\quad \text(s)\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt(a:b)\] (cu condiția ca ambele părți ale egalităților să aibă sens)
Exemplu: \(\sqrt(32)\cdot \sqrt 2=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8\); \(\sqrt(768):\sqrt3=\sqrt(768:3)=\sqrt(256)=16\); \(\sqrt((-25)\cdot (-64))=\sqrt(25\cdot 64)=\sqrt(25)\cdot \sqrt(64)= 5\cdot 8=40\).
\(\bullet\) Folosind aceste proprietăți, este convenabil să găsiți rădăcini pătrate ale numerelor mari prin factorizarea acestora.
Să ne uităm la un exemplu. Să găsim \(\sqrt(44100)\) . Deoarece \(44100:100=441\) , atunci \(44100=100\cdot 441\) . Conform criteriului divizibilității, numărul \(441\) este divizibil cu \(9\) (deoarece suma cifrelor sale este 9 și este divizibil cu 9), prin urmare, \(441:9=49\), adică \(441=9\ cdot 49\) . Astfel am obtinut:\[\sqrt(44100)=\sqrt(9\cdot 49\cdot 100)= \sqrt9\cdot \sqrt(49)\cdot \sqrt(100)=3\cdot 7\cdot 10=210\] \[\sqrt(\dfrac(32\cdot 294)(27))= \sqrt(\dfrac(16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2)(9\cdot 3))= \sqrt( \ dfrac(16\cdot4\cdot49)(9))=\dfrac(\sqrt(16)\cdot \sqrt4 \cdot \sqrt(49))(\sqrt9)=\dfrac(4\cdot 2\cdot 7)3 =\dfrac(56)3\]
\(\bullet\) Să arătăm cum să introduceți numere sub semnul rădăcinii pătrate folosind exemplul expresiei \(5\sqrt2\) (notație scurtă pentru expresia \(5\cdot \sqrt2\)). Deoarece \(5=\sqrt(25)\) , atunci \ De asemenea, rețineți că, de exemplu,
1) \(\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2\),
2) \(5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3\)
3) \(\sqrt a+\sqrt a=2\sqrt a\) .

De ce este așa? Să explicăm folosind exemplul 1). După cum înțelegeți deja, nu putem transforma cumva numărul \(\sqrt2\). Să ne imaginăm că \(\sqrt2\) este un număr \(a\) . În consecință, expresia \(\sqrt2+3\sqrt2\) nu este altceva decât \(a+3a\) (un număr \(a\) plus încă trei numere identice \(a\)). Și știm că aceasta este egală cu patru astfel de numere \(a\) , adică \(4\sqrt2\) .

Faptul 4.
\(\bullet\) Adesea spun „nu poți extrage rădăcina” când nu poți scăpa de semnul \(\sqrt () \ \) al rădăcinii (radicalului) când găsești valoarea unui număr . De exemplu, puteți lua rădăcina numărului \(16\) deoarece \(16=4^2\) , prin urmare \(\sqrt(16)=4\) . Dar este imposibil să extragi rădăcina numărului \(3\), adică să găsești \(\sqrt3\), deoarece nu există un număr care la pătrat să dea \(3\) .
Astfel de numere (sau expresii cu astfel de numere) sunt iraționale. De exemplu, numerele \(\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \ \sqrt(15)\) etc. sunt iraționale.
De asemenea, sunt iraționale numerele \(\pi\) (numărul „pi”, aproximativ egal cu \(3,14\)), \(e\) (acest număr se numește număr Euler, este aproximativ egal cu \(2,7). \)) etc.
\(\bullet\) Vă rugăm să rețineți că orice număr va fi rațional sau irațional. Și împreună toate numerele raționale și toate numerele iraționale formează o mulțime numită un set de numere reale. Această mulțime este notă cu litera \(\mathbb(R)\) .
Aceasta înseamnă că toate numerele pe care le cunoaștem în prezent se numesc numere reale.

Faptul 5.
\(\bullet\) Modulul unui număr real \(a\) este un număr nenegativ \(|a|\) egal cu distanța de la punctul \(a\) la \(0\) de pe linie reală. De exemplu, \(|3|\) și \(|-3|\) sunt egale cu 3, deoarece distanțele de la punctele \(3\) și \(-3\) la \(0\) sunt același și egal cu \(3 \) .
\(\bullet\) Dacă \(a\) este un număr nenegativ, atunci \(|a|=a\) .
Exemplu: \(|5|=5\) ; \(\qquad |\sqrt2|=\sqrt2\) .
Exemplu: \(|-5|=-(-5)=5\) ; \(\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3\).
Ei spun că pentru numerele negative modulul „mâncă” minusul, în timp ce numerele pozitive, precum și numărul \(0\), sunt lăsate neschimbate de modul.
DAR Această regulă se aplică numai numerelor. Dacă sub semnul modulului există o necunoscută \(x\) (sau o altă necunoscută), de exemplu, \(|x|\) , despre care nu știm dacă este pozitiv, zero sau negativ, atunci scăpați a modulului nu putem. În acest caz, această expresie rămâne aceeași: \(|x|\) . \(\bullet\) Următoarele formule sunt valabile: \[(\large(\sqrt(a^2)=|a|))\]\[(\large((\sqrt(a))^2=a)), \text( furnizat ) a\geqslant 0\]
Foarte des se face următoarea greșeală: ei spun că \(\sqrt(a^2)\) și \((\sqrt a)^2\) sunt unul și același. Acest lucru este adevărat numai dacă \(a\) este un număr pozitiv sau zero. Dar dacă \(a\) este un număr negativ, atunci acesta este fals. Este suficient să luăm în considerare acest exemplu. Să luăm în loc de \(a\) numărul \(-1\) . Atunci \(\sqrt((-1)^2)=\sqrt(1)=1\) , dar expresia \((\sqrt (-1))^2\) nu există deloc (la urma urmei, este imposibil de folosit semnul rădăcină pune numere negative!). Prin urmare, vă atragem atenția asupra faptului că \(\sqrt(a^2)\) nu este egal cu \((\sqrt a)^2\) ! Exemplu: 1)\(\sqrt(\left(-\sqrt2\right)^2)=|-\sqrt2|=\sqrt2\)<0\) ;

, pentru că \(-\sqrt2 \(\phantom(00000)\) 2) \((\sqrt(2))^2=2\) .
\(\bullet\) Deoarece \(\sqrt(a^2)=|a|\) , atunci \[\sqrt(a^(2n))=|a^n|\]
(expresia \(2n\) denotă un număr par)
Adică, atunci când luăm rădăcina unui număr care este într-o anumită măsură, acest grad este înjumătățit.
Exemplu:
1) \(\sqrt(4^6)=|4^3|=4^3=64\)

2) \(\sqrt((-25)^2)=|-25|=25\) (rețineți că dacă modulul nu este furnizat, se dovedește că rădăcina numărului este egală cu \(-25\ ) ; dar ne amintim că, prin definiția unei rădăcini, acest lucru nu se poate întâmpla: atunci când extragem o rădăcină, ar trebui să obținem întotdeauna un număr pozitiv sau zero)
3) \(\sqrt(x^(16))=|x^8|=x^8\) (deoarece orice număr la o putere pară este nenegativ)
Faptul 6.<\sqrt b\) , то \(a(expresia \(2n\) denotă un număr par)
Cum se compară două rădăcini pătrate? \(\bullet\) Pentru rădăcinile pătrate este adevărat: dacă \(\sqrt a 1) comparați \(\sqrt(50)\) și \(6\sqrt2\) . Mai întâi, să transformăm a doua expresie în<72\) , то и \(\sqrt{50}<\sqrt{72}\) . Следовательно, \(\sqrt{50}<6\sqrt2\) .
\(\sqrt(36)\cdot \sqrt2=\sqrt(36\cdot 2)=\sqrt(72)\)
. Astfel, deoarece \(50<50<64\) , то \(7<\sqrt{50}<8\) , то есть число \(\sqrt{50}\) находится между числами \(7\) и \(8\) .
2) Între ce numere întregi se află \(\sqrt(50)\)? \[\begin(aligned) &\sqrt 2-1>0,5 \ \big| +1\quad \text((adăugați unul pe ambele părți))\\ &\sqrt2>0.5+1 \\big| \ ^2 \quad\text((la pătratul ambelor părți))\\ &2>1,5^2\\ &2>2,25 \end(aligned)\] Vedem că am obținut o inegalitate incorectă. Prin urmare, presupunerea noastră a fost incorectă și \(\sqrt 2-1<0,5\) .
Rețineți că adăugarea unui anumit număr de ambele părți ale inegalității nu afectează semnul acestuia. Înmulțirea/împărțirea ambelor părți ale unei inegalități cu un număr pozitiv, de asemenea, nu afectează semnul acesteia, dar înmulțirea/împărțirea cu un număr negativ inversează semnul inegalității!
Puteți pătra ambele părți ale unei ecuații/inegalități NUMAI DACĂ ambele părți sunt nenegative. De exemplu, în inegalitatea din exemplul anterior puteți pătra ambele părți, în inegalitatea \(-3<\sqrt2\) нельзя (убедитесь в этом сами)! \(\bullet\) Trebuie amintit că \[\begin(aliniat) &\sqrt 2\aproximativ 1,4\\ &\sqrt 3\aproximativ 1,7 \end(aliniat)\] Cunoașterea semnificației aproximative a acestor numere vă va ajuta atunci când comparați numerele!
\(\bullet\) Pentru a extrage rădăcina (dacă poate fi extrasă) dintr-un număr mare care nu se află în tabelul de pătrate, trebuie mai întâi să determinați între ce „sute” se află, apoi – între care „ zeci”, apoi determinați ultima cifră a acestui număr. Să arătăm cum funcționează acest lucru cu un exemplu.
Să luăm \(\sqrt(28224)\) . Știm că \(100^2=10\,000\), \(200^2=40\,000\), etc. Rețineți că \(28224\) este între \(10\,000\) și \(40\,000\) . Prin urmare, \(\sqrt(28224)\) este între \(100\) și \(200\) .
Acum să stabilim între ce „zeci” se află numărul nostru (adică, de exemplu, între \(120\) și \(130\)). Tot din tabelul pătratelor știm că \(11^2=121\) , \(12^2=144\) etc., apoi \(110^2=12100\) , \(120^2=14400 \ ) , \(130^2=16900\) , \(140^2=19600\) , \(150^2=22500\) , \(160^2=25600\) , \(170^2=28900 \ ) . Deci vedem că \(28224\) este între \(160^2\) și \(170^2\) . Prin urmare, numărul \(\sqrt(28224)\) este între \(160\) și \(170\) .
Să încercăm să determinăm ultima cifră. Să ne amintim ce numere cu o singură cifră, la pătrat, dau \(4\) la sfârșit? Acestea sunt \(2^2\) și \(8^2\) . Prin urmare, \(\sqrt(28224)\) se va termina fie cu 2, fie cu 8. Să verificăm acest lucru. Să găsim \(162^2\) și \(168^2\):
\(162^2=162\cdot 162=26224\)
\(168^2=168\cdot 168=28224\) .

Pentru a rezolva în mod adecvat Examenul de stat unificat la matematică, trebuie mai întâi să studiezi material teoretic, care să te introducă în numeroase teoreme, formule, algoritmi etc. La prima vedere, poate părea că acest lucru este destul de simplu. Totuși, găsirea unei surse în care teoria pentru examenul de stat unificat la matematică să fie prezentată într-un mod ușor și ușor de înțeles pentru studenții cu orice nivel de pregătire este de fapt o sarcină destul de dificilă. Manualele școlare nu pot fi ținute întotdeauna la îndemână. Și găsirea formulelor de bază pentru examenul de stat unificat la matematică poate fi dificilă chiar și pe Internet.

De ce este atât de important să studiezi teoria în matematică nu numai pentru cei care susțin examenul de stat unificat?

1. Pentru că îți lărgește orizonturile. Studierea materialelor teoretice la matematică este utilă pentru oricine dorește să obțină răspunsuri la o gamă largă de întrebări legate de cunoașterea lumii din jurul lor. Totul în natură este ordonat și are o logică clară. Acesta este exact ceea ce se reflectă în știință, prin care este posibil să înțelegem lumea.
2. Pentru că dezvoltă inteligența. Prin studierea materialelor de referință pentru examenul de stat unificat la matematică, precum și prin rezolvarea diferitelor probleme, o persoană învață să gândească și să raționeze logic, să formuleze gândurile în mod competent și clar. El dezvoltă capacitatea de a analiza, generaliza și trage concluzii.

Vă invităm să evaluați personal toate avantajele abordării noastre de sistematizare și prezentare a materialelor educaționale.

Destul de des, atunci când rezolvăm probleme, ne confruntăm cu numere mari din care trebuie să extragem rădăcină pătrată. Mulți elevi decid că aceasta este o greșeală și încep să rezolve întregul exemplu. Sub nicio formă nu trebuie să faci asta! Există două motive pentru aceasta:

1. Rădăcinile unui număr mare apar în probleme. Mai ales în cele de text;
2. Există un algoritm prin care aceste rădăcini sunt calculate aproape oral.

Vom lua în considerare acest algoritm astăzi. Poate că unele lucruri ți se vor părea de neînțeles. Dar dacă acordați atenție acestei lecții, veți primi o armă puternică împotriva rădăcini pătrate.

Deci, algoritmul:

1. Limitați rădăcina necesară deasupra și dedesubt la numerele care sunt multipli ai lui 10. Astfel, vom reduce intervalul de căutare la 10 numere;
2. Din aceste 10 numere, îndepărtați-le pe cele care cu siguranță nu pot fi rădăcini. Ca urmare, vor rămâne 1-2 numere;
3. Patratează aceste 1-2 numere. Cel al cărui pătrat este egal cu numărul inițial va fi rădăcina.

Înainte de a pune acest algoritm în practică, să ne uităm la fiecare pas individual.

Limitare la rădăcină

În primul rând, trebuie să aflăm între ce numere se află rădăcina noastră. Este foarte de dorit ca numerele să fie multipli de zece:

10 2 = 100;
20 2 = 400;
30 2 = 900;
40 2 = 1600;
...
90 2 = 8100;
100 2 = 10 000.

Obținem o serie de numere:

100; 400; 900; 1600; 2500; 3600; 4900; 6400; 8100; 10 000.

Ce ne spun aceste numere? Este simplu: primim limite. Luați, de exemplu, numărul 1296. Se află între 900 și 1600. Prin urmare, rădăcina sa nu poate fi mai mică de 30 și mai mare de 40:

[Letină pentru imagine]

Același lucru este valabil și pentru orice alt număr din care puteți găsi rădăcina pătrată. De exemplu, 3364:

Astfel, în loc de un număr de neînțeles, obținem un interval foarte specific în care se află rădăcina originală. Pentru a restrânge și mai mult zona de căutare, treceți la pasul al doilea.

Eliminarea numerelor în mod evident inutile

Deci, avem 10 numere - candidați pentru rădăcină. Le-am luat foarte repede, fără gândire complexă și înmulțire într-o coloană. E timpul să treci mai departe.

Credeți sau nu, acum vom reduce numărul de numere de candidați la două - din nou fără calcule complicate! Este suficient să cunoașteți regula specială. Iată-l:

Ultima cifră a pătratului depinde doar de ultima cifră numărul original.

Cu alte cuvinte, priviți doar ultima cifră a pătratului și vom înțelege imediat unde se termină numărul inițial.

Sunt doar 10 cifre care pot fi pe ultimul loc. Să încercăm să aflăm în ce se transformă la pătrat. Aruncă o privire la tabel:

Acest tabel este un alt pas către calcularea rădăcinii. După cum puteți vedea, numerele din a doua linie s-au dovedit a fi simetrice față de cele cinci. De exemplu:

2 2 = 4;
8 2 = 64 → 4.

După cum puteți vedea, ultima cifră este aceeași în ambele cazuri. Aceasta înseamnă că, de exemplu, rădăcina lui 3364 trebuie să se termine în 2 sau 8. Pe de altă parte, ne amintim restricția din paragraful anterior. Primim:

Pătratele roșii indică faptul că nu cunoaștem încă această cifră. Dar rădăcina se află în intervalul de la 50 la 60, pe care există doar două numere care se termină în 2 și 8:

Asta este! Dintre toate rădăcinile posibile, am lăsat doar două opțiuni! Și acesta este în cel mai dificil caz, deoarece ultima cifră poate fi 5 sau 0. Și atunci va fi un singur candidat pentru rădăcini!

Calcule finale

Deci, mai avem 2 numere de candidat. De unde știi care este rădăcina? Răspunsul este evident: pătratează ambele numere. Cel care la pătrat dă numărul inițial va fi rădăcina.

De exemplu, pentru numărul 3364 am găsit două numere candidate: 52 și 58. Să le pătram:

52 2 = (50 +2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;
58 2 = (60 − 2) 2 = 3600 − 2 60 2 + 4 = 3364.

Asta este! S-a dovedit că rădăcina este 58! În același timp, pentru a simplifica calculele, am folosit formula pentru pătratele sumei și diferenței. Datorită acestui lucru, nici nu a trebuit să înmulțesc numerele într-o coloană! Acesta este un alt nivel de optimizare a calculelor, dar, desigur, este complet opțional :)

Exemple de calculare a rădăcinilor

Teoria este, desigur, bună. Dar să verificăm în practică.

[Letină pentru imagine]

Mai întâi, să aflăm între ce numere se află numărul 576:

400 < 576 < 900
20 2 < 576 < 30 2

Acum să ne uităm la ultimul număr. Este egal cu 6. Când se întâmplă acest lucru? Doar dacă rădăcina se termină cu 4 sau 6. Obținem două numere:

Tot ce rămâne este să pătrați fiecare număr și să-l comparați cu originalul:

24 2 = (20 + 4) 2 = 576

Mare! Primul pătrat s-a dovedit a fi egal cu numărul inițial. Deci aceasta este rădăcina.

Sarcină. Calculați rădăcina pătrată:

[Letină pentru imagine]

900 < 1369 < 1600;
30 2 < 1369 < 40 2;

Să ne uităm la ultima cifră:

1369 → 9;
33; 37.

Square it:

33 2 = (30 + 3) 2 = 900 + 2 30 3 + 9 = 1089 ≠ 1369;
37 2 = (40 − 3) 2 = 1600 − 2 40 3 + 9 = 1369.

Iată răspunsul: 37.

Sarcină. Calculați rădăcina pătrată:

[Letină pentru imagine]

Limităm numărul:

2500 < 2704 < 3600;
50 2 < 2704 < 60 2;

Să ne uităm la ultima cifră:

2704 → 4;
52; 58.

Square it:

52 2 = (50 + 2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;

Am primit răspunsul: 52. Al doilea număr nu va mai fi nevoie să fie pătrat.

Sarcină. Calculați rădăcina pătrată:

[Letină pentru imagine]

Limităm numărul:

3600 < 4225 < 4900;
60 2 < 4225 < 70 2;

Să ne uităm la ultima cifră:

4225 → 5;
65.

După cum puteți vedea, după al doilea pas mai rămâne o singură opțiune: 65. Aceasta este rădăcina dorită. Dar să facem totuși la pătrare și să verificăm:

65 2 = (60 + 5) 2 = 3600 + 2 60 5 + 25 = 4225;

Totul este corect. Scriem răspunsul.

Concluzie

Vai, nu mai bine. Să ne uităm la motive. Sunt două dintre ele:

• În orice examen normal de matematică, fie că este vorba de examenul de stat sau de examenul de stat unificat, utilizarea calculatoarelor este interzisă. Și dacă aduci un calculator în clasă, poți fi cu ușurință dat afară din examen.
• Nu fi ca americanii proști. Care nu sunt ca rădăcinile - nu pot adăuga două numere prime. Și când văd fracții, în general devin isteric.