Inegalități cuadratice cu modul, exemple de soluții. Rezolvarea inegalităților cu modul

Acest calculator de matematică online vă va ajuta rezolvarea unei ecuații sau inegalități cu module. Program pentru rezolvarea ecuaţiilor şi inegalităţilor cu module nu numai că oferă răspunsul problemei, ci conduce solutie detaliata cu explicatii

, adică afișează procesul de obținere a rezultatului. Acest program poate fi util pentru elevii de liceu scoli medii în pregătire pentru teste și examene, la testarea cunoștințelor înainte de Examenul de stat unificat, pentru ca părinții să controleze rezolvarea multor probleme de matematică și algebră. Sau poate este prea scump pentru tine să angajezi un tutor sau să cumperi noi manuale? Sau vrei doar să o faci cât mai repede posibil?

teme pentru acasă

În acest fel, vă puteți conduce propria pregătire și/sau formare a fraților sau surorilor mai mici, în timp ce nivelul de educație în domeniul rezolvării problemelor crește.

Introduceți o ecuație sau o inegalitate cu module
x^2 + 2|x-1| -6 = 0
Rezolvați o ecuație sau o inegalitate

JavaScript este dezactivat în browserul dvs.
Pentru ca soluția să apară, trebuie să activați JavaScript.
Iată instrucțiuni despre cum să activați JavaScript în browser. Deoarece Există o mulțime de oameni dispuși să rezolve problema, cererea dvs. a fost pusă în coadă.

În câteva secunde, soluția va apărea mai jos. Va rugam asteptati sec...
Dacă tu observat o eroare în soluție, apoi puteți scrie despre asta în Formularul de feedback. Nu uita.

indicați ce sarcină

tu decizi ce

intra in campuri

Jocurile, puzzle-urile, emulatorii noștri:

Puțină teorie.

Dar principala modalitate de a rezolva ecuațiile și inegalitățile cu module este asociată cu așa-numita „revelație a modulului prin definiție”:
dacă \(a \geq 0 \), atunci \(|a|=a \);
dacă \(a De regulă, o ecuație (inegalitate) cu module se reduce la o mulțime de ecuații (inegalități) care nu conțin semnul modulului.

Pe lângă definiția de mai sus, se folosesc următoarele afirmații:
1) Dacă \(c > 0\), atunci ecuația \(|f(x)|=c \) este echivalentă cu mulțimea de ecuații: \(\left[\begin(array)(l) f(x )=c \\ f(x)=-c \end(matrice)\right.
2) Dacă \(c > 0 \), atunci inegalitatea \(|f(x)| 3) Dacă \(c \geq 0 \), atunci inegalitatea \(|f(x)| > c \) este echivalent cu o mulțime de inegalități : \(\left[\begin(array)(l) f(x) c \end(array)\right. \)
4) Dacă ambele părți ale inegalității \(f(x) EXEMPLU 1. Rezolvați ecuația \(x^2 +2|x-1| -6 = 0\).

Dacă \(x-1 \geq 0\), atunci \(|x-1| = x-1\) și ecuația dată ia forma
\(x^2 +2(x-1) -6 = 0 \Rightarrow x^2 +2x -8 = 0 \).
Dacă \(x-1 \(x^2 -2(x-1) -6 = 0 \Rightarrow x^2 -2x -4 = 0 \).
Astfel, ecuația dată trebuie luată în considerare separat în fiecare dintre cele două cazuri indicate.
1) Fie \(x-1 \geq 0 \), i.e. \(x\geq 1\). Din ecuația \(x^2 +2x -8 = 0\) găsim \(x_1=2, \; x_2=-4\).
Condiția \(x \geq 1 \) este îndeplinită numai de valoarea \(x_1=2\).

2) Fie \(x-1 Răspuns: \(2; \;\; 1-\sqrt(5) \)

EXEMPLU 2. Rezolvați ecuația \(|x^2-6x+7| = \frac(5x-9)(3)\). Prima cale
(extinderea modulului prin definiție).

Raționând ca în exemplul 1, ajungem la concluzia că ecuația dată trebuie luată în considerare separat dacă sunt îndeplinite două condiții: \(x^2-6x+7 \geq 0 \) sau \(x^2-6x+7
1) Dacă \(x^2-6x+7 \geq 0 \), atunci \(|x^2-6x+7| = x^2-6x+7 \) și ecuația dată ia forma \(x ^2 -6x+7 = \frac(5x-9)(3) \Rightarrow 3x^2-23x+30=0 \). După ce am rezolvat această ecuație pătratică, obținem: \(x_1=6, \; x_2=\frac(5)(3) \).
Să aflăm dacă valoarea \(x_1=6\) satisface condiția \(x^2-6x+7 \geq 0\). Pentru a face acest lucru, înlocuiți valoarea indicată în inegalitatea pătratică. Se obține: \(6^2-6 \cdot 6+7 \geq 0 \), adică. \(7 \geq 0 \) este o inegalitate adevărată.

2) Dacă \(x^2-6x+7 Valoare \(x_3=3\) satisface condiția \(x^2-6x+7 Valoare \(x_4=\frac(4)(3) \) nu satisface condiția \ (x^2-6x+7 Deci, ecuația dată are două rădăcini: \(x=6, \; x=3 \).

A doua cale. Dacă este dată ecuația \(|f(x)| = h(x) \), atunci cu \(h(x) \(\left[\begin(array)(l) x^2-6x+7 = \frac (5x-9)(3) \\ x^2-6x+7 = -\frac(5x-9)(3) \end(array)\right \)
Ambele ecuații au fost rezolvate mai sus (folosind prima metodă de rezolvare a ecuației date), rădăcinile lor sunt următoarele: \(6,\; \frac(5)(3),\; 3,\; \frac(4) )(3)\). Condiția \(\frac(5x-9)(3) \geq 0 \) a acestor patru valori este îndeplinită doar de două: 6 și 3. Aceasta înseamnă că ecuația dată are două rădăcini: \(x=6 , \; x=3 \ ).

A treia cale(grafic).
1) Să construim un grafic al funcției \(y = |x^2-6x+7| \). Mai întâi, să construim o parabolă \(y = x^2-6x+7\). Avem \(x^2-6x+7 = (x-3)^2-2 \). Graficul funcției \(y = (x-3)^2-2\) poate fi obținut din graficul funcției \(y = x^2 \) deplasând-o cu 3 unități de scară la dreapta (de-a lungul pe axa x) și cu 2 unități de scară în jos (de-a lungul axei y). Linia dreaptă x=3 este axa parabolei care ne interesează. Ca puncte de referință pentru mai multe
construcție precisă
Pentru grafică, este convenabil să luați punctul (3; -2) - vârful parabolei, punctul (0; 7) și punctul (6; 7) simetric față de acesta în raport cu axa parabolei. Pentru a construi acum un grafic al funcției \(y = |x^2-6x+7| \), trebuie să lăsați neschimbate acele părți ale parabolei construite care nu se află sub axa x și să oglindiți acea parte a parabolei. parabola care se află sub axa x în raport cu axa x. 2) Să construim un grafic

funcţie liniară

\(y = \frac(5x-9)(3)\). Este convenabil să luați punctele (0; –3) și (3; 2) ca puncte de control. Este important ca punctul x = 1,8 al intersecției dreptei cu axa absciselor să fie situat la dreapta punctului din stânga de intersecție al parabolei cu axa absciselor - acesta este punctul \(x=3-\ sqrt(2) \) (deoarece \(3-\sqrt(2 ) 3) Judecând după desen, graficele se intersectează în două puncte - A(3; 2) și B(6; 7). Înlocuind abscisele acestora punctele x = 3 și x = 6 în ecuația dată, suntem convinși că în ambele cazuri se obține egalitatea numerică corectă. Aceasta înseamnă că ipoteza noastră a fost confirmată - ecuația are două rădăcini: x = 3 x = 6. Răspuns: 3;

Comentariu

EXEMPLU 2. Rezolvați ecuația \(|x^2-6x+7| = \frac(5x-9)(3)\).
. Metoda grafică, cu toată eleganța ei, nu este foarte de încredere. În exemplul luat în considerare, a funcționat doar pentru că rădăcinile ecuației sunt numere întregi.

Luați în considerare primul interval: \((-\infty; \; -3) \).
Dacă x Luați în considerare al doilea interval: \([-3; \; 2) \).
Dacă \(-3 \leq x Luați în considerare al treilea interval: \() - ei vor considera automat acest răspuns ca un răspuns incorect. De asemenea, atunci când testați, dacă este dată o inegalitate nestrictă cu module, atunci căutați zonele cu paranteze drepte printre solutii.

Pe intervalul (-3;0), extinzând modulul, schimbăm semnul funcției cu cel opus

Ținând cont de zona dezvăluirii inegalității, soluția va avea forma

Împreună cu zona anterioară, aceasta va da două jumătăți de intervale

Exemplul 5. Găsiți o soluție a inegalității
9x^2-|x-3|>=9x-2

Soluţie:
Este dată o inegalitate nestrictă a cărei funcție submodulară este egală cu zero în punctul x=3.<3.

Pentru valori mai mici este negativ, pentru valori mai mari este pozitiv. Extindeți modulul pe intervalul x

Găsirea discriminantului ecuației

și rădăcini

Înlocuind punctul zero, aflăm că pe intervalul [-1/9;1] funcția pătratică este negativă, deci intervalul este o soluție. Apoi extindem modulul la x>3 Matematică,

este un simbol al înțelepciunii științei,

un model de rigoare şi simplitate ştiinţifică

standardul de excelență și frumusețe în știință.

Filosof rus, profesorul A.V. Voloşinov

Inegalități cu modul, Cele mai dificile probleme de rezolvat la matematica școlară sunt inegalitățile

conţinând variabile sub semnul modulului. Pentru a rezolva cu succes astfel de inegalități, trebuie să aveți o bună cunoaștere a proprietăților modulului și să aveți abilitățile de a le folosi.

Concepte și proprietăți de bază Modul (valoare absolută) număr real notat cu

și se definește după cum urmează:

Proprietățile simple ale unui modul includ următoarele relații:

ȘI . Nota,

că ultimele două proprietăți sunt valabile pentru orice grad par.

Mai mult, dacă, unde, atunci și Mai mult proprietăți complexe, modul, care poate fi utilizat eficient la rezolvarea ecuaţiilor şi inegalităţilor cu module

sunt formulate prin următoarele teoreme:Teorema 1. Pentru orice funcții analitice Şi.

inegalitatea este adevărată Teorema 2. Egalitatea.

echivalează cu inegalitatea Teorema 3. Egalitatea.

Egalitatea, Cele mai frecvente inegalități în matematica școlară, conţinând variabile necunoscute sub semnul modulului sunt inegalități de formă și, unde

o constantă pozitivă. Teorema 4. Inegalitate, este echivalent cu dubla inegalitateși soluția inegalității se reduce la rezolvarea unui set de inegalităţi

Și .

Această teoremă este un caz special al teoremelor 6 și 7., Inegalități mai complexe care conțin un modul sunt inegalități de formă

Metodele de rezolvare a unor astfel de inegalități pot fi formulate folosind următoarele trei teoreme.

Teorema 5. Inegalitate este echivalentă cu combinarea a două sisteme de inegalități

eu (1)

Dovada. De atunci

Aceasta implică valabilitatea (1).

Teorema 6. Inegalitate este echivalent cu sistemul de inegalități

Dovada. Pentru ca, apoi din inegalitate rezultă că . În această condiție, inegalitateaiar în acest caz al doilea sistem de inegalități (1) se va dovedi a fi inconsecvent.

Teorema a fost demonstrată.

Teorema 7. Inegalitate este echivalent cu combinația dintre o inegalitate și două sisteme de inegalități

eu (3)

Dovada. De la , atunci inegalitatea întotdeauna executat, Dacă .

Lasă apoi inegalitateava fi echivalent cu inegalitatea, din care rezultă un set de două inegalităţi se reduce la rezolvarea unui set de inegalităţi

Teorema a fost demonstrată.

Să luăm în considerare exemple tipice rezolvarea de probleme pe tema „Inegalități, care conțin variabile sub semnul modulului.”

Rezolvarea inegalităților cu modul

Cele mai multe metoda simpla rezolvarea inegalităților cu modul este metoda, bazat pe extinderea modulelor. Această metodă este universală, totuși, în cazul general, utilizarea lui poate duce la calcule foarte greoaie. Prin urmare, elevii ar trebui să cunoască alte metode și tehnici (mai eficiente) de rezolvare a unor astfel de inegalități. În special, este necesar să existe abilităţi în aplicarea teoremelor, dat în acest articol.

Exemplul 1.Rezolvați inegalitatea

. (4)

Soluţie.Vom rezolva inegalitatea (4) folosind metoda „clasică” – metoda dezvăluirii modulelor. În acest scop, împărțim axa numerelor puncte și în intervale și luați în considerare trei cazuri.

1. Dacă , atunci , , , iar inegalitatea (4) ia forma sau .

Deoarece cazul este luat în considerare aici, este o soluție a inegalității (4).

2. Dacă, apoi din inegalitatea (4) obţinem sau . De la intersectia intervalelor Pentru orice funcții analitice este gol, atunci pe intervalul de soluții luate în considerare nu există inegalitate (4).

3. Dacă, atunci inegalitatea (4) ia forma sau . Este evident că este, de asemenea, o soluție la inegalitate (4).

Răspuns: , .

Exemplul 2. Rezolvați inegalitatea.

Soluţie. Să presupunem că. Pentru ca, atunci inegalitatea dată ia forma sau . De atunci si de aici urmeaza sau .

Cu toate acestea, prin urmare sau.

Exemplul 3. Rezolvați inegalitatea

. (5)

Soluţie. Pentru ca, atunci inegalitatea (5) este echivalentă cu inegalitățile sau . De aici, conform teoremei 4, avem un set de inegalități se reduce la rezolvarea unui set de inegalităţi

Răspuns: , .

Exemplul 4.Rezolvați inegalitatea

. (6)

Soluţie. Să notăm. Apoi din inegalitatea (6) obținem inegalitățile , , sau .

De aici, folosind metoda intervalului, primim . Pentru ca, atunci aici avem un sistem de inegalități

Soluția primei inegalități a sistemului (7) este unirea a două intervale si, iar soluția celei de-a doua inegalități este inegalitatea dublă. De aici rezultă, că soluția sistemului de inegalități (7) este unirea a două intervale se reduce la rezolvarea unui set de inegalităţi

Raspuns: ,

Exemplul 5.Rezolvați inegalitatea

. (8)

Soluţie. Să transformăm inegalitatea (8) după cum urmează:

Sau .

Folosind metoda intervalului, obținem o soluție a inegalității (8).

Raspuns: .

Nota. Dacă punem și în condițiile teoremei 5, obținem .

Exemplul 6. Rezolvați inegalitatea

. (9)

Soluţie. Din inegalitate (9) rezultă. Să transformăm inegalitatea (9) după cum urmează:

Sau

De când , atunci sau .

Raspuns: .

Exemplul 7.Rezolvați inegalitatea

. (10)

Soluţie. Din moment ce și , apoi sau .

În această privinţă iar inegalitatea (10) ia forma

Sau

. (11)

Rezultă că sau . Deoarece , atunci inegalitatea (11) implică și sau .

Raspuns: .

Nota. Dacă aplicăm teorema 1 în partea stângă a inegalității (10), apoi primim . Din aceasta și inegalitatea (10) rezultă, ce sau . Pentru ca, atunci inegalitatea (10) ia forma sau .

Exemplul 8. Rezolvați inegalitatea

. (12)

Soluţie. De atunci iar din inegalitate (12) rezultă sau . Cu toate acestea, prin urmare sau. De aici obținem sau .

Raspuns: .

Exemplul 9. Rezolvați inegalitatea

. (13)

Soluţie. Conform teoremei 7, soluția inegalității (13) este sau .

Să fie acum. În acest caz iar inegalitatea (13) ia forma sau .

Dacă combinați intervalele si, atunci obținem o soluție la inegalitatea (13) de forma.

Exemplul 10. Rezolvați inegalitatea

. (14)

Soluţie. Să rescriem inegalitatea (14) într-o formă echivalentă: . Dacă aplicăm teorema 1 în partea stângă a acestei inegalități, obținem inegalitatea .

De aici și din Teorema 1 rezultă, că inegalitatea (14) este satisfăcută pentru orice valoare.

Răspuns: orice număr.

Exemplul 11. Rezolvați inegalitatea

. (15)

Soluţie. Aplicarea teoremei 1 în partea stângă a inegalității (15), primim . Aceasta și inegalitatea (15) dau ecuația, care are forma.

Conform teoremei 3, ecuație Egalitatea. De aici ajungem.

Exemplul 12.Rezolvați inegalitatea

. (16)

Soluţie. Din inegalitatea (16), conform teoremei 4, obținem un sistem de inegalități

La rezolvarea inegalitățiiSă folosim teorema 6 și să obținem un sistem de inegalitățidin care rezultă.

Luați în considerare inegalitatea. Conform teoremei 7, obţinem un set de inegalităţiȘi . A doua inegalitate a populației este valabilă pentru orice real.

Prin urmare, soluția inegalității (16) este.

Exemplul 13.Rezolvați inegalitatea

. (17)

Soluţie. Conform teoremei 1, putem scrie

(18)

Luând în considerare inegalitatea (17), concluzionăm că ambele inegalități (18) se transformă în egalități, i.e. există un sistem de ecuații

Prin teorema 3, acest sistem de ecuații este echivalent cu sistemul de inegalități

sau

Exemplul 14.Rezolvați inegalitatea

. (19)

Soluţie. De atunci. Să înmulțim ambele părți ale inegalității (19) cu expresia, care pentru orice valoare ia doar valori pozitive. Apoi obținem o inegalitate care este echivalentă cu inegalitatea (19), de forma

De aici ajungem sau , unde . Din moment ce şi atunci soluția inegalității (19) este se reduce la rezolvarea unui set de inegalităţi

Răspuns: , .

Pentru un studiu mai aprofundat al metodelor de rezolvare a inegalităților cu un modul, vă recomandăm să apelați la manuale, dat în lista literaturii recomandate.

1. Culegere de probleme de matematică pentru candidații la colegii / Ed. M.I. Scanavi. – M.: Pace și educație, 2013. – 608 p.

2. Suprun V.P. Matematică pentru liceeni: metode de rezolvare și demonstrare a inegalităților. – M.: Lenand / URSS, 2018. – 264 p.

3. Suprun V.P. Matematică pentru liceeni: metode non-standard de rezolvare a problemelor. – M.: CD „Librocom” / URSS, 2017. – 296 p.

Mai ai întrebări?

Pentru a obține ajutor de la un tutor, înregistrați-vă.

site-ul web, atunci când copiați materialul integral sau parțial, este necesar un link către sursă.

Astăzi, prieteni, nu va mai exista nici un muci sau sentimentalism. În schimb, te voi trimite, fără întrebări, în luptă cu unul dintre cei mai formidabili adversari de la cursul de algebră de clasa a VIII-a-9.

Da, ați înțeles totul corect: vorbim de inegalități cu modul. Vom analiza patru tehnici de bază cu care vei învăța să rezolvi aproximativ 90% din astfel de probleme. Dar restul de 10%? Ei bine, vom vorbi despre ele într-o lecție separată.

Cu toate acestea, înainte de a analiza oricare dintre tehnici, aș dori să vă reamintesc două fapte pe care trebuie să le cunoașteți deja. Altfel, riscați să nu înțelegeți deloc materialul lecției de astăzi.

Ce trebuie să știi deja

Captain Obviousness pare să sugereze că pentru a rezolva inegalitățile cu modul trebuie să știi două lucruri:

1. Cum sunt rezolvate inegalitățile;
2. Ce este un modul?

Să începem cu al doilea punct.

Definiția modulului

Totul este simplu aici. Există două definiții: algebrică și grafică. Pentru început - algebric:

Definiţie. Modulul unui număr $x$ este fie numărul în sine, dacă este nenegativ, fie numărul opus acestuia, dacă $x$ original este încă negativ.

Este scris astfel:

\[\stanga| x \right|=\left\( \begin(align) & x,\ x\ge 0, \\ & -x,\ x \lt 0. \\\end(align) \right.\]

În termeni simpli, un modul este un „număr fără minus”. Și tocmai în această dualitate (în unele locuri nu trebuie să faci nimic cu numărul inițial, dar în altele va trebui să eliminați un fel de minus) acolo se află întreaga dificultate pentru studenții începători.

Există și o definiție geometrică. De asemenea, este util de știut, dar vom apela la el doar în cazuri complexe și unele speciale, în care abordarea geometrică este mai convenabilă decât cea algebrică (spoiler: nu astăzi).

Definiţie. Punctul $a$ să fie marcat pe linia numerică. Apoi modulul $\left| x-a \right|$ este distanța de la punctul $x$ la punctul $a$ pe această linie.

Dacă desenați o imagine, veți obține ceva de genul acesta:

Într-un fel sau altul, din definiția unui modul, proprietatea sa cheie urmează imediat: modulul unui număr este întotdeauna o mărime nenegativă. Acest fapt va fi un fir roșu care traversează întreaga noastră narațiune de astăzi.

Rezolvarea inegalităților. Metoda intervalului

Acum să ne uităm la inegalități. Sunt foarte multe dintre ele, dar sarcina noastră acum este să putem rezolva cel puțin pe cele mai simple dintre ele. Cele care se reduc la inegalități liniare, precum și la metoda intervalului.

Am două lecții mari pe această temă (apropo, foarte, FOARTE utile - recomand să le studiez):

1. Metoda intervalului pentru inegalități (în special urmăriți videoclipul);
2. Inegalitățile raționale fracționale sunt o lecție foarte extinsă, dar după aceasta nu veți mai avea deloc întrebări.

Dacă știi toate acestea, dacă expresia „să trecem de la inegalitate la ecuație” nu te face să ai o vagă dorință de a te lovi de perete, atunci ești gata: bine ai venit în iad la subiectul principal al lecției :)

1. Inegalități de formă „Modulul este mai mic decât funcția”

Aceasta este una dintre cele mai frecvente probleme cu modulele. Este necesar să se rezolve o inegalitate de forma:

\[\stanga| f\dreapta| \ltg\]

Funcțiile $f$ și $g$ pot fi orice, dar de obicei sunt polinoame. Exemple de astfel de inegalități:

\[\begin(align) & \left| 2x+3 \dreapta| \lt x+7; \\ & \left| ((x)^(2))+2x-3 \right|+3\left(x+1 \right) \lt 0; \\ & \left| ((x)^(2))-2\stânga| x \right|-3 \right| \lt 2. \\\end(align)\]

Toate acestea pot fi rezolvate literalmente într-o singură linie conform următoarei scheme:

\[\stanga| f\dreapta| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g\quad \left(\Rightarrow \left\( \begin(align) & f \lt g, \\ & f \gt -g \\\end(align) \dreapta.\dreapta)\]

Este ușor de observat că scăpăm de modul, dar în schimb obținem o inegalitate dublă (sau, ceea ce este același lucru, un sistem de două inegalități). Dar această tranziție ia în considerare absolut totul posibile probleme: dacă numărul de sub modul este pozitiv, metoda funcționează; dacă este negativ, încă funcționează; și chiar și cu cea mai inadecvată funcție în locul $f$ sau $g$, metoda va funcționa în continuare.

Desigur, se pune întrebarea: nu ar putea fi mai simplu? Din păcate, nu este posibil. Acesta este scopul modulului.

Cu toate acestea, destul cu filozofarea. Să rezolvăm câteva probleme:

Sarcină. Rezolvați inegalitatea:

\[\stanga| 2x+3 \dreapta| \lt x+7\]

Soluţie. Deci, avem în fața noastră o inegalitate clasică de forma „modulul este mai mic” - nu există nici măcar nimic de transformat. Lucrăm conform algoritmului:

\[\begin(align) & \left| f\dreapta| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g; \\ & \left| 2x+3 \dreapta| \lt x+7\Rightarrow -\left(x+7 \right) \lt 2x+3 \lt x+7 \\\end(align)\]

Nu te grăbi să deschizi parantezele care au un „minus” în față: este foarte posibil ca din cauza grabei tale să faci o greșeală ofensivă.

\[-x-7 \lt 2x+3 \lt x+7\]

\[\left\( \begin(align) & -x-7 \lt 2x+3 \\ & 2x+3 \lt x+7 \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & -3x \lt 10 \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & x \gt -\frac(10)(3) \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \right.\]

Problema s-a redus la două inegalități elementare. Să notăm soluțiile lor pe drepte numerice paralele:

Intersecția mulțimilor

Intersecția acestor mulțimi va fi răspunsul.

Răspuns: $x\in \left(-\frac(10)(3);4 \right)$

Sarcină. Rezolvați inegalitatea:

\[\stanga| ((x)^(2))+2x-3 \right|+3\left(x+1 \right) \lt 0\]

Soluţie. Această sarcină este puțin mai dificilă. Mai întâi, să izolăm modulul mutând al doilea termen la dreapta:

\[\stanga| ((x)^(2))+2x-3 \right| \lt -3\left(x+1 \right)\]

Evident, avem din nou o inegalitate de forma „modulul este mai mic”, așa că scăpăm de modul folosind algoritmul deja cunoscut:

\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right) \lt ((x)^(2))+2x-3 \lt -3\left(x+1 \right)\]

Acum atenție: cineva va spune că sunt cam pervers cu toate aceste paranteze. Dar permiteți-mi să vă reamintesc încă o dată că scopul nostru cheie este rezolvați corect inegalitatea și obțineți răspunsul. Mai târziu, când ai stăpânit perfect tot ce este descris în această lecție, poți să-l pervertizi tu însuți după cum dorești: deschideți paranteze, adăugați minusuri etc.

Pentru început, pur și simplu vom scăpa de minusul dublu din stânga:

\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right)=\left(-1 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(x+1 \right) =3\stânga(x+1\dreapta)\]

Acum să deschidem toate parantezele din inegalitatea dublă:

Să trecem la dubla inegalitate. De data aceasta calculele vor fi mai serioase:

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -3x-3 \\ & 3x+3 \lt ((x)^(2))+2x -3 \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+5x \lt 0 \\ & ((x)^(2))-x-6 \gt 0 \\ \end( aliniați)\dreapta.\]

Ambele inegalități sunt pătratice și pot fi rezolvate folosind metoda intervalului (de aceea spun: dacă nu știi ce este, mai bine să nu iei module încă). Să trecem la ecuația din prima inegalitate:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+5x=0; \\ & x\left(x+5 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=0;((x)_(2))=-5. \\\end(align)\]

După cum puteți vedea, rezultatul este o ecuație pătratică incompletă, care poate fi rezolvată într-un mod elementar. Acum să ne uităm la a doua inegalitate a sistemului. Acolo va trebui să aplicați teorema lui Vieta:

\[\begin(align) & ((x)^(2))-x-6=0; \\ & \left(x-3 \right)\left(x+2 \right)=0; \\& ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-2. \\\end(align)\]

Marcam numerele rezultate pe două drepte paralele (separate pentru prima inegalitate și separate pentru a doua):

Din nou, deoarece rezolvăm un sistem de inegalități, ne interesează intersecția mulțimilor umbrite: $x\in \left(-5;-2 \right)$. Acesta este răspunsul.

Răspuns: $x\în \left(-5;-2 \right)$

Cred că după aceste exemple schema de soluție este extrem de clară:

1. Izolați modulul mutând toți ceilalți termeni în partea opusă a inegalității. Astfel obținem o inegalitate de forma $\left| f\dreapta| \ltg$.
2. Rezolvați această inegalitate eliminând modulul conform schemei descrise mai sus. La un moment dat, va fi necesar să trecem de la inegalitatea dublă la un sistem de două expresii independente, fiecare dintre acestea putând fi deja rezolvată separat.
3. În cele din urmă, tot ce rămâne este să intersectăm soluțiile acestor două expresii independente - și asta este, vom obține răspunsul final.

Un algoritm similar există pentru inegalități următorul tip, când modulul este mai mare decât funcția. Cu toate acestea, există câteva „dar” serioase. Vom vorbi despre aceste „dar” acum.

2. Inegalități de formă „Modulul este mai mare decât funcția”

Arata asa:

\[\stanga| f\dreapta| \gtg\]

Similar cu precedentul? Se pare. Și totuși astfel de probleme sunt rezolvate într-un mod complet diferit. Formal, schema este următoarea:

\[\stanga| f\dreapta| \gt g\Rightarrow \left[ \begin(align) & f \gt g, \\ & f \lt -g \\\end(align) \right.\]

Cu alte cuvinte, luăm în considerare două cazuri:

1. În primul rând, ignorăm modulul și rezolvăm inegalitatea obișnuită;
2. Apoi, în esență, extindem modulul cu semnul minus și apoi înmulțim ambele părți ale inegalității cu −1, în timp ce am semnul.

În acest caz, opțiunile sunt combinate cu o paranteză pătrată, adică. Avem în fața noastră o combinație de două cerințe.

Vă rugăm să rețineți din nou: acesta nu este un sistem, ci o totalitate, așadar în răspuns seturile sunt combinate, nu intersectate. Aceasta este o diferență fundamentală față de punctul anterior!

În general, mulți studenți sunt complet confundați cu uniunile și intersecțiile, așa că haideți să rezolvăm această problemă odată pentru totdeauna:

• „∪” este un semn de uniune. În esență, aceasta este o litera stilizată „U” care ne-a venit de la Limba englezăși este o abreviere pentru „Unire”, adică „Asociații”.
• „∩” este semnul de intersecție. Prostia asta nu a venit de nicăieri, ci a apărut pur și simplu ca un contrapunct la „∪”.

Pentru a fi și mai ușor de reținut, trageți picioarele la aceste semne pentru a face ochelari (numai acum nu mă acuza că promovez dependența de droguri și alcoolismul: dacă studiezi serios această lecție, atunci ești deja dependent de droguri):

Tradus în rusă, aceasta înseamnă următoarele: uniunea (totalitatea) include elemente din ambele seturi, prin urmare nu este în niciun fel mai mică decât fiecare dintre ele; dar intersecția (sistemul) include doar acele elemente care se află simultan atât în ​​primul set, cât și în al doilea. Prin urmare, intersecția mulțimilor nu este niciodată mai mare decât mulțimile sursă.

Deci a devenit mai clar? Grozav. Să trecem la practică.

Sarcină. Rezolvați inegalitatea:

\[\stanga| 3x+1 \dreapta| \gt 5-4x\]

Soluţie. Procedăm conform schemei:

\[\stanga| 3x+1 \dreapta| \gt 5-4x\Rightarrow \left[ \begin(align) & 3x+1 \gt 5-4x \\ & 3x+1 \lt -\left(5-4x \right) \\\end(align) \ corect.\]

Rezolvăm fiecare inegalitate din populație:

\[\left[ \begin(align) & 3x+4x \gt 5-1 \\ & 3x-4x \lt -5-1 \\ \end(align) \right.\]

\[\left[ \begin(align) & 7x \gt 4 \\ & -x \lt -6 \\ \end(align) \right.\]

\[\left[ \begin(align) & x \gt 4/7\ \\ & x \gt 6 \\ \end(align) \right.\]

Marcam fiecare set rezultat pe linia numerică și apoi le combinăm:

Unirea de seturi

Este destul de evident că răspunsul va fi $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

Răspuns: $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

Sarcină. Rezolvați inegalitatea:

\[\stanga| ((x)^(2))+2x-3 \right| \gt x\]

Soluţie. Bine? Nimic - totul este la fel. Trecem de la o inegalitate cu modul la o mulțime de două inegalități:

\[\stanga| ((x)^(2))+2x-3 \right| \gt x\Rightarrow \left[ \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x \\ & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x \\\end(aliniere) \dreapta.\]

Rezolvăm orice inegalitate. Din păcate, rădăcinile de acolo nu vor fi foarte bune:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x; \\ & ((x)^(2))+x-3 \gt 0; \\&D=1+12=13; \\ & x=\frac(-1\pm \sqrt(13))(2). \\\end(align)\]

A doua inegalitate este, de asemenea, puțin sălbatică:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x; \\ & ((x)^(2))+3x-3 \lt 0; \\&D=9+12=21; \\ & x=\frac(-3\pm \sqrt(21))(2). \\\end(align)\]

Acum trebuie să marcați aceste numere pe două axe - o axă pentru fiecare inegalitate. Cu toate acestea, trebuie să marcați punctele în ordinea corectă: decât număr mai mare, cu atât mai mult deplasăm punctul spre dreapta.

Și aici ne așteaptă o configurație. Dacă totul este clar cu numerele $\frac(-3-\sqrt(21))(2) \lt \frac(-1-\sqrt(13))(2)$ (termenii din numărătorul primului fracție sunt mai mici decât termenii din numărătorul secundului, deci suma este și mai mică), cu numerele $\frac(-3-\sqrt(13))(2) \lt \frac(-1+\sqrt (21))(2)$ nu vor fi nici dificultăți (număr pozitiv evident mai negativ), apoi cu ultimul cuplu totul nu este atât de clar. Care este mai mare: $\frac(-3+\sqrt(21))(2)$ sau $\frac(-1+\sqrt(13))(2)$? Amplasarea punctelor pe liniile numerice și, de fapt, răspunsul va depinde de răspunsul la această întrebare.

Deci haideți să comparăm:

\[\begin(matrix) \frac(-1+\sqrt(13))(2)\vee \frac(-3+\sqrt(21))(2) \\ -1+\sqrt(13)\ vee -3+\sqrt(21) \\ 2+\sqrt(13)\vee \sqrt(21) \\\end(matrice)\]

Am izolat rădăcina, am obținut numere nenegative de ambele părți ale inegalității, deci avem dreptul de a pătra ambele părți:

\[\begin(matrix) ((\left(2+\sqrt(13) \right))^(2))\vee ((\left(\sqrt(21) \right))^(2)) \ \ 4+4\sqrt(13)+13\vee 21 \\ 4\sqrt(13)\vee 3 \\\end(matrice)\]

Cred că nu este o idee că $4\sqrt(13) \gt 3$, deci $\frac(-1+\sqrt(13))(2) \gt \frac(-3+\sqrt(21)) ( 2)$, punctele finale pe axe vor fi plasate astfel:

Un caz de rădăcini urâte

Permiteți-mi să vă reamintesc că rezolvăm o colecție, deci răspunsul va fi o unire, nu o intersecție de seturi umbrite.

Răspuns: $x\in \left(-\infty ;\frac(-3+\sqrt(21))(2) \right)\bigcup \left(\frac(-1+\sqrt(13))(2 );+\infty \dreapta)$

După cum puteți vedea, schema noastră funcționează excelent atât pentru probleme simple, cât și pentru probleme foarte dificile. Singurul lucru" punct slab„În această abordare, trebuie să comparați în mod competent numerele iraționale (și credeți-mă: acestea nu sunt doar rădăcini). Dar o lecție separată (și foarte serioasă) va fi dedicată problemelor de comparație. Și mergem mai departe.

3. Inegalități cu „cozi” nenegative

Acum ajungem la partea cea mai interesantă. Acestea sunt inegalități de formă:

\[\stanga| f\dreapta| \gt \left| g\dreapta|\]

În general, algoritmul despre care vom vorbi acum este corect doar pentru modul. Funcționează în toate inegalitățile în care există expresii nenegative garantate în stânga și dreapta:

Ce să faci cu aceste sarcini? Nu uitați decât:

În inegalitățile cu „cozi” nenegative, ambele părți pot fi ridicate la orice putere naturală. Nu vor exista restricții suplimentare.

În primul rând, ne va interesa pătrarea - arde module și rădăcini:

\[\begin(align) & ((\left(\left| f \right| \right))^(2))=((f)^(2)); \\ & ((\left(\sqrt(f) \right))^(2))=f. \\\end(align)\]

Doar nu confundați acest lucru cu luarea rădăcinii unui pătrat:

\[\sqrt(((f)^(2)))=\left| f \dreapta|\ne f\]

S-au făcut nenumărate greșeli când un student a uitat să instaleze un modul! Dar aceasta este o poveste complet diferită (acestea sunt, parcă, ecuații iraționale), așa că nu vom intra în asta acum. Să rezolvăm mai bine câteva probleme:

Sarcină. Rezolvați inegalitatea:

\[\stanga| x+2 \right|\ge \left| 1-2x \dreapta|\]

Soluţie. Să observăm imediat două lucruri:

1. Aceasta nu este o inegalitate strictă. Punctele de pe linia numerică vor fi perforate.
2. Ambele părți ale inegalității sunt în mod evident nenegative (aceasta este o proprietate a modulului: $\left| f\left(x \right) \right|\ge 0$).

Prin urmare, putem pătra ambele părți ale inegalității pentru a scăpa de modul și a rezolva problema folosind metoda obișnuită a intervalului:

\[\begin(align) & ((\left(\left| x+2 \right| \right))^(2))\ge ((\left(\left| 1-2x \right| \right) )^(2)); \\ & ((\left(x+2 \right))^(2))\ge ((\left(2x-1 \right))^(2)). \\\end(align)\]

La ultimul pas, am trișat puțin: am schimbat succesiunea termenilor, profitând de uniformitatea modulului (de fapt, am înmulțit expresia $1-2x$ cu −1).

\[\begin(align) & ((\left(2x-1 \right))^(2))-((\left(x+2 \right))^(2))\le 0; \\ & \left(\left(2x-1 \right)-\left(x+2 \right) \right)\cdot \left(\left(2x-1 \right)+\left(x+2 \ dreapta)\dreapta)\le 0; \\ & \left(2x-1-x-2 \right)\cdot \left(2x-1+x+2 \right)\le 0; \\ & \left(x-3 \right)\cdot \left(3x+1 \right)\le 0. \\\end(align)\]

Rezolvăm folosind metoda intervalului. Să trecem de la inegalitate la ecuație:

\[\begin(align) & \left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-\frac(1)(3). \\\end(align)\]

Marcam rădăcinile găsite pe linia numerică. Încă o dată: toate punctele sunt umbrite pentru că inegalitatea inițială nu este strictă!

Scaparea de semnul modulului

Permiteți-mi să vă reamintesc pentru cei care sunt deosebit de încăpățânați: luăm semnele din ultima inegalitate, care a fost notă înainte de a trece la ecuație. Și pictăm peste zonele necesare în aceeași inegalitate. În cazul nostru, este $\left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)\le 0$.

Ei bine, asta-i tot. Problema este rezolvată.

Răspuns: $x\in \left[ -\frac(1)(3);3 \right]$.

Sarcină. Rezolvați inegalitatea:

\[\stanga| ((x)^(2))+x+1 \right|\le \left| ((x)^(2))+3x+4 \dreapta|\]

Soluţie. Facem totul la fel. Nu voi comenta - doar uitați-vă la succesiunea acțiunilor.

Square it:

\[\begin(align) & ((\left(\left| ((x)^(2))+x+1 \right| \right))^(2))\le ((\left(\left) |. ((x)^(2))+3x+4 \right))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \right))^(2))\le ((\left(((x)^(2))+3x+4 \dreapta))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \right))^(2))-((\left(((x)^(2))+3x+4 \ dreapta))^(2))\le 0; \\ & \left(((x)^(2))+x+1-((x)^(2))-3x-4 \right)\times \\ & \times \left(((x) ^(2))+x+1+((x)^(2))+3x+4 \right)\le 0; \\ & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)\le 0. \\\end(align)\]

Metoda intervalului:

\[\begin(align) & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)=0 \\ & -2x-3=0\ Săgeată dreapta x=-1,5; \\ & 2((x)^(2))+4x+5=0\Rightarrow D=16-40 \lt 0\Rightarrow \varnothing . \\\end(align)\]

Există o singură rădăcină pe linia numerică:

Răspunsul este un întreg interval

Răspuns: $x\în \left[ -1,5;+\infty \right)$.

O mică notă despre ultima sarcină. După cum a remarcat cu exactitate unul dintre studenții mei, ambele expresii submodulare din această inegalitate sunt în mod evident pozitive, astfel încât semnul modulului poate fi omis fără a dăuna sănătății.

Dar acesta este un nivel complet diferit de gândire și o abordare diferită - poate fi numit în mod condiționat metoda consecințelor. Despre asta - într-o lecție separată. Acum să trecem la ultima parte a lecției de astăzi și să ne uităm la un algoritm universal care funcționează întotdeauna. Chiar și atunci când toate abordările anterioare au fost neputincioase :)

4. Metoda de enumerare a opțiunilor

Ce se întâmplă dacă toate aceste tehnici nu ajută? Dacă inegalitatea nu poate fi redusă la cozi nenegative, dacă este imposibil să izolați modulul, dacă în general există durere, tristețe, melancolie?

Apoi, „artileria grea” a tuturor matematicii intră în scenă – metoda forței brute. În raport cu inegalitățile cu modul, arată astfel:

1. Scrieți toate expresiile submodulare și setați-le egale cu zero;
2. Rezolvați ecuațiile rezultate și marcați rădăcinile găsite pe o dreaptă numerică;
3. Linia dreaptă va fi împărțită în mai multe secțiuni, în cadrul cărora fiecare modul are un semn fix și, prin urmare, este dezvăluit în mod unic;
4. Rezolvați inegalitatea pe fiecare astfel de secțiune (puteți lua în considerare separat limitele rădăcinilor obținute la pasul 2 - pentru fiabilitate). Combină rezultatele - acesta va fi răspunsul.

Deci cum? Slab? Uşor! Doar pentru mult timp. Să vedem în practică:

Sarcină. Rezolvați inegalitatea:

\[\stanga| x+2 \dreapta| \lt \left| x-1 \right|+x-\frac(3)(2)\]

Soluţie. Prostia asta nu se rezumă la inegalități precum $\left| f\dreapta| \lt g$, $\left| f\dreapta| \gt g$ sau $\left| f\dreapta| \lt \left| g \right|$, așa că acționăm înainte.

Scriem expresii submodulare, le echivalăm cu zero și găsim rădăcinile:

\[\begin(align) & x+2=0\Rightarrow x=-2; \\ & x-1=0\Săgeată la dreapta x=1. \\\end(align)\]

În total, avem două rădăcini care împart linia numerică în trei secțiuni, în cadrul cărora fiecare modul este dezvăluit în mod unic:

Partiționarea dreptei numerice prin zerouri a funcțiilor submodulare

Să ne uităm la fiecare secțiune separat.

1. Fie $x \lt -2$. Atunci ambele expresii submodulare sunt negative, iar inegalitatea originală va fi rescrisă după cum urmează:

\[\begin(align) & -\left(x+2 \right) \lt -\left(x-1 \right)+x-1,5 \\ & -x-2 \lt -x+1+ x- 1,5 \\ & x \gt 1,5 \\\end(align)\]

Avem o limitare destul de simplă. Să-l intersectăm cu ipoteza inițială că $x \lt -2$:

\[\left\( \begin(align) & x \lt -2 \\ & x \gt 1.5 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]

În mod evident, variabila $x$ nu poate fi simultan mai mică de −2 și mai mare de 1,5. Nu există soluții în acest domeniu.

1.1. Să luăm în considerare separat cazul limită: $x=-2$. Să înlocuim acest număr în inegalitatea originală și să verificăm: este adevărat?

\[\begin(align) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1,5 \right|)_(x=-2) ) \ \ & 0 \lt \left| -3\right|-2-1,5; \\ & 0 \lt 3-3,5; \\ & 0 \lt -0.5\Rightarrow \varnothing . \\\end(align)\]

Este evident că lanțul de calcule ne-a condus la o inegalitate incorectă. Prin urmare, inegalitatea inițială este, de asemenea, falsă, iar $x=-2$ nu este inclus în răspuns.

2. Fie acum $-2 \lt x \lt 1$. Modulul din stânga se va deschide deja cu un „plus”, dar cel din dreapta se va deschide în continuare cu un „minus”. Avem:

\[\begin(align) & x+2 \lt -\left(x-1 \right)+x-1,5 \\ & x+2 \lt -x+1+x-1,5 \\& x \lt - 2.5 \\\end(align)\]

Din nou ne intersectăm cu cerința inițială:

\[\left\( \begin(align) & x \lt -2,5 \\ & -2 \lt x \lt 1 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]

Și din nou, mulțimea de soluții este goală, deoarece nu există numere care să fie atât mai mici decât −2,5, cât și mai mari decât −2.

2.1. Și din nou caz special: $x=1$. Înlocuim în inegalitatea originală:

\[\begin(align) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1,5 \right|)_(x=1)) \\ & \stânga| 3\dreapta| \lt \left| 0 \right|+1-1,5; \\ & 3 \lt -0,5; \\ & 3 \lt -0.5\Rightarrow \varnothing . \\\end(align)\]

Similar cu „cazul special” anterior, numărul $x=1$ nu este în mod clar inclus în răspuns.

3. Ultima bucată a liniei: $x \gt 1$. Aici toate modulele sunt deschise cu semnul plus:

\[\begin(align) & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x \gt 4.5 \\ \end(align)\ ]

Și din nou intersectăm mulțimea găsită cu constrângerea inițială:

\[\left\( \begin(align) & x \gt 4.5 \\ & x \gt 1 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \left(4.5;+\infty \right)\ ]

Ei bine, în sfârșit! Am găsit un interval care va fi răspunsul.

Răspuns: $x\in \left(4,5;+\infty \right)$

În sfârșit, o notă care te poate scuti de greșeli stupide atunci când rezolvi probleme reale:

Soluțiile inegalităților cu module reprezintă de obicei mulțimi continue pe linia numerică - intervale și segmente. Punctele izolate sunt mult mai puțin frecvente. Și chiar mai rar, se întâmplă ca limita soluției (sfârșitul segmentului) să coincidă cu limita intervalului luat în considerare.

În consecință, dacă granițele (aceleași „cazuri speciale”) nu sunt incluse în răspuns, atunci zonele din stânga și dreapta acestor limite nu vor fi aproape sigur incluse în răspuns. Și invers: granița a intrat în răspuns, ceea ce înseamnă că unele zone din jurul lui vor fi și răspunsuri.

Țineți cont de acest lucru atunci când examinați soluțiile dvs.

Modulul numerelor acest număr în sine se numește dacă este nenegativ, sau același număr cu semnul opus dacă este negativ.

De exemplu, modulul numărului 6 este 6, iar modulul numărului -6 este, de asemenea, 6.

Adică modulul unui număr este înțeles ca valoare absolută, valoarea absolută a acestui număr fără a lua în considerare semnul său.

Se desemnează după cum urmează: |6|, | X|, |O| etc.

(Mai multe detalii în secțiunea „Modul de număr”).

Ecuații cu modul.

Exemplul 1 . Rezolvați ecuația|10 X - 5| = 15.

Soluţie.

Conform regulii, ecuația este echivalentă cu combinația a două ecuații:

10X - 5 = 15
10X - 5 = -15

Noi decidem:

10X = 15 + 5 = 20
10X = -15 + 5 = -10

X = 20: 10
X = -10: 10

X = 2
X = -1

Răspuns: X 1 = 2, X 2 = -1.

Exemplul 2 . Rezolvați ecuația|2 X + 1| = X + 2.

Soluţie.

Deoarece modulul este un număr nenegativ, atunci X+ 2 ≥ 0. În consecință:

X ≥ -2.

Să facem două ecuații:

2X + 1 = X + 2
2X + 1 = -(X + 2)

Noi decidem:

2X + 1 = X + 2
2X + 1 = -X - 2

2X - X = 2 - 1
2X + X = -2 - 1

X = 1
X = -1

Ambele numere sunt mai mari decât -2. Deci ambele sunt rădăcini ale ecuației.

Răspuns: X 1 = -1, X 2 = 1.

Exemplul 3 . Rezolvați ecuația

|X + 3| - 1
————— = 4
X - 1

Soluţie.

Ecuația are sens dacă numitorul nu este zero - asta înseamnă dacă X≠ 1. Să luăm în considerare această condiție. Prima noastră acțiune este simplă - nu doar scăpăm de fracțiune, ci o transformăm astfel încât să obținem modulul în forma sa pură:

|X+ 3| - 1 = 4 · ( X - 1),

|X + 3| - 1 = 4X - 4,

|X + 3| = 4X - 4 + 1,

|X + 3| = 4X - 3.

Acum avem doar o expresie sub modulul din partea stângă a ecuației. Să mergem mai departe.
Modulul unui număr este un număr nenegativ - adică trebuie să fie mai mare decât zero sau egal cu zero. În consecință, rezolvăm inegalitatea:

4X - 3 ≥ 0

4X ≥ 3

X ≥ 3/4

Astfel, avem o a doua condiție: rădăcina ecuației trebuie să fie cel puțin 3/4.

În conformitate cu regula, compunem un set de două ecuații și le rezolvăm:

X + 3 = 4X - 3
X + 3 = -(4X - 3)

X + 3 = 4X - 3
X + 3 = -4X + 3

X - 4X = -3 - 3
X + 4X = 3 - 3

X = 2
X = 0

Am primit două răspunsuri. Să verificăm dacă sunt rădăcini ale ecuației originale.

Am avut două condiții: rădăcina ecuației nu poate fi egală cu 1 și trebuie să fie cel puțin 3/4. Adică X ≠ 1, X≥ 3/4. Doar unul dintre cele două răspunsuri obținute corespunde ambelor condiții - numărul 2. Aceasta înseamnă că numai aceasta este rădăcina ecuației inițiale.

Răspuns: X = 2.

Inegalități cu modul.

Exemplul 1 . Rezolvați inegalitatea| X - 3| < 4

Soluţie.

Regula modulului spune:

|O| = O, Dacă O ≥ 0.

|O| = -O, Dacă O < 0.

Modulul poate avea atât numere nenegative, cât și numere negative. Deci trebuie să luăm în considerare ambele cazuri: X- 3 ≥ 0 și X - 3 < 0.

1) Când X- 3 ≥ 0 inegalitatea noastră originală rămâne așa cum este, doar fără semnul modulului:
X - 3 < 4.

2) Când X - 3 < 0 в исходном неравенстве надо поставить знак минус перед всем подмодульным выражением:

-(X - 3) < 4.

Deschizând parantezele, obținem:

-X + 3 < 4.

Astfel, din aceste două condiții am ajuns la unificarea a două sisteme de inegalități:

X - 3 ≥ 0
X - 3 < 4

X - 3 < 0
-X + 3 < 4

Să le rezolvăm:

X ≥ 3
X < 7

X < 3
X > -1

Deci, răspunsul nostru este o unire a două seturi:

3 ≤ X < 7 U -1 < X < 3.

Determinați cel mai mic și cea mai mare valoare. Acestea sunt -1 și 7. Mai mult X mai mare de -1 dar mai mic de 7.
In plus, X≥ 3. Aceasta înseamnă că soluția inegalității este întregul set de numere de la -1 la 7, excluzând aceste numere extreme.

Răspuns: -1 < X < 7.

Sau: X ∈ (-1; 7).

Suplimente.

1) Există o modalitate mai simplă și mai scurtă de a ne rezolva inegalitatea - grafic. Pentru a face acest lucru, trebuie să desenați o axă orizontală (Fig. 1).

Expresie | X - 3| < 4 означает, что расстояние от точки X la punctul 3 este mai puțin de patru unități. Marcam numărul 3 pe axă și numărăm 4 diviziuni la stânga și la dreapta acestuia. În stânga vom ajunge la punctul -1, în dreapta - la punctul 7. Astfel, punctele X le-am văzut doar fără să le calculăm.

În plus, conform condiției de inegalitate, -1 și 7 înșiși nu sunt incluse în setul de soluții. Astfel, obținem răspunsul:

1 < X < 7.

2) Dar există o altă soluție care este mai simplă chiar și decât metoda grafică. Pentru a face acest lucru, inegalitatea noastră trebuie să fie prezentată în următoarea formă:

4 < X - 3 < 4.

La urma urmei, așa este în conformitate cu regula modulului. Numărul nenegativ 4 și numărul negativ similar -4 sunt limitele pentru rezolvarea inegalității.

4 + 3 < X < 4 + 3

1 < X < 7.

Exemplul 2 . Rezolvați inegalitatea| X - 2| ≥ 5

Soluţie.

Acest exemplu este semnificativ diferit de cel precedent. Partea stângă este mai mare decât 5 sau egală cu 5. Din punct de vedere geometric, soluția inegalității sunt toate numerele care se află la o distanță de 5 unități sau mai mult de punctul 2 (Fig. 2). Graficul arată că toate acestea sunt numere mai mici sau egale cu -3 și mai mari sau egale cu 7. Aceasta înseamnă că am primit deja răspunsul.

Răspuns: -3 ≥ X ≥ 7.

Pe parcurs, rezolvăm aceeași inegalitate prin rearanjarea termenului liber la stânga și la dreapta cu semnul opus:

5 ≥ X - 2 ≥ 5

5 + 2 ≥ X ≥ 5 + 2

Răspunsul este același: -3 ≥ X ≥ 7.

Sau: X ∈ [-3; 7]

Exemplul este rezolvat.

Exemplul 3 . Rezolvați inegalitatea 6 X 2 - | X| - 2 ≤ 0

Soluţie.

Număr X poate fi un număr pozitiv, un număr negativ sau zero. Prin urmare, trebuie să luăm în considerare toate cele trei circumstanțe. După cum știți, ele sunt luate în considerare în două inegalități: X≥ 0 și X < 0. При X≥ 0 pur și simplu rescriem inegalitatea noastră originală așa cum este, doar fără semnul modulului:

6x 2 - X - 2 ≤ 0.

Acum despre al doilea caz: dacă X < 0. Модулем отрицательного числа является это же число с противоположным знаком. То есть пишем число под модулем с обратным знаком и опять же освобождаемся от знака модуля:

6X 2 - (-X) - 2 ≤ 0.

Extinderea parantezelor:

6X 2 + X - 2 ≤ 0.

Astfel, am primit două sisteme de ecuații:

6X 2 - X - 2 ≤ 0
X ≥ 0

6X 2 + X - 2 ≤ 0
X < 0

Trebuie să rezolvăm inegalitățile în sisteme - și asta înseamnă că trebuie să găsim rădăcinile a două ecuații pătratice. Pentru a face acest lucru, echivalăm părțile din stânga ale inegalităților cu zero.

Să începem cu primul:

6X 2 - X - 2 = 0.

Cum se rezolvă o ecuație pătratică - vezi secțiunea " Ecuație cuadratică" Vom numi imediat răspunsul:

X 1 = -1/2, x 2 = 2/3.

Din primul sistem de inegalități obținem că soluția inegalității inițiale este întreaga mulțime de numere de la -1/2 la 2/3. Scriem uniunea de soluții la X ≥ 0:
[-1/2; 2/3].

Acum să rezolvăm a doua ecuație pătratică:

6X 2 + X - 2 = 0.

Rădăcinile sale:

X 1 = -2/3, X 2 = 1/2.

Concluzie: când X < 0 корнями исходного неравенства являются также все числа от -2/3 до 1/2.

Să combinăm cele două răspunsuri și să obținem răspunsul final: soluția este întregul set de numere de la -2/3 la 2/3, inclusiv aceste numere extreme.

Răspuns: -2/3 ≤ X ≤ 2/3.

Sau: X ∈ [-2/3; 2/3].