Ce funcție se numește proporționalitate directă? Proporționalitatea directă și graficul acesteia

Obiective principale:

introducerea conceptului de dependență directă și invers proporțională a cantităților;
învață cum să rezolvi problemele folosind aceste dependențe;
promovează dezvoltarea abilităților de rezolvare a problemelor;
consolidarea abilității de a rezolva ecuații folosind proporții;
repetă pașii cu obișnuit și zecimale;
dezvoltarea gândirii logice a elevilor.

PROGRESUL LECȚIEI

eu. Autodeterminare pentru activitate(moment organizatoric)

- Băieți! Astăzi în lecție ne vom familiariza cu problemele rezolvate folosind proporții.

II. Actualizarea cunoștințelor și înregistrarea dificultăților în activități

2.1. Lucrări orale (3 min)

– Găsiți sensul expresiilor și aflați cuvântul criptat în răspunsuri.

14 – s; 0,1 – și; 7 – l; 0,2 – a; 17 – în; 25 – la

– Cuvântul rezultat este putere. Bine făcut!
– Motto-ul lecției noastre de astăzi: Puterea este în cunoaștere! Caut - asta înseamnă că învăț!
– Alcătuiți o proporție din numerele rezultate. (14:7 = 0,2:0,1 etc.)

2.2. Să luăm în considerare relația dintre cantitățile pe care le cunoaștem (7 min)

– distanta parcursa de masina cu viteza constanta, si timpul deplasarii acestuia: S = v t ( cu creșterea vitezei (timpului), distanța crește);
– viteza vehiculului și timpul petrecut în călătorie: v=S:t(cu cât timpul de parcurgere a traseului crește, viteza scade);
– costul bunurilor achiziționate la un preț și cantitatea acestuia: C = a · n (cu creșterea (scăderea) prețului, costul de cumpărare crește (descrește));
– prețul produsului și cantitatea acestuia: a = C: n (cu creșterea cantității, prețul scade)
– aria dreptunghiului și lungimea (lățimea): S = a · b (cu creșterea lungimii (lățimea), aria crește;
– lungime și lățime dreptunghi: a = S: b (cu cât lungimea crește, lățimea scade;
– numărul de muncitori care efectuează o anumită muncă cu aceeași productivitate a muncii și timpul necesar pentru a finaliza această muncă: t = A: n (cu creșterea numărului de muncitori, timpul alocat pentru efectuarea muncii scade), etc. .

Am obținut dependențe în care, cu creșterea unei valori de mai multe ori, alta crește imediat cu aceeași valoare (exemplele sunt prezentate cu săgeți) și dependențe în care, cu creșterea unei valori de mai multe ori, a doua valoare scade cu acelasi numar de ori.
Astfel de dependențe se numesc proporționalitate directă și inversă.
Dependență direct proporțională– o relație în care pe măsură ce o valoare crește (descrește) de mai multe ori, a doua valoare crește (descrește) cu aceeași cantitate.
Relație invers proporțională– o relație în care pe măsură ce o valoare crește (descrește) de mai multe ori, a doua valoare scade (crește) cu aceeași cantitate.

III. Stabilirea unei sarcini de învățare

– Ce problemă ne confruntăm? (Învățați să distingeți între dependențe directe și inverse)
- Asta - ţintă lecția noastră. Acum formulează subiect lecţie. (Relație directă și invers proporțională).
- Bine făcut! Notați subiectul lecției în caiete. (Profesorul scrie subiectul pe tablă.)

IV. „Descoperirea” de noi cunoștințe(10 min)

Să ne uităm la problema nr. 199.

1. Imprimanta imprimă 27 de pagini în 4,5 minute. Cât timp va dura imprimarea a 300 de pagini?

27 pagini – 4,5 min.
300 de pagini - x?

2. Cutia contine 48 de pachete de ceai, cate 250 g fiecare. Câte pachete de 150 g din acest ceai vei primi?

48 pachete – 250 g.
X? – 150 g.

3. Mașina a parcurs 310 km, folosind 25 de litri de benzină. Cât de departe poate călători o mașină cu un rezervor plin de 40 de litri?

310 km – 25 l
X? – 40 l

4. Unul dintre angrenajele ambreiajului are 32 de dinți, iar celălalt are 40. Câte rotații va face a doua treaptă în timp ce prima face 215 rotații?

32 dinți – 315 r.
40 de dinți – x?

Pentru a compila o proporție, este necesară o direcție a săgeților, pentru aceasta, în proporționalitate inversă, un raport este înlocuit cu inversul.

La tablă, elevii găsesc pe loc sensul cantităților, elevii rezolvă o problemă la alegere.

– Formulați o regulă pentru rezolvarea problemelor cu dependență directă și invers proporțională.

Pe tablă apare un tabel:

V. Consolidarea primară în vorbirea externă(10 min)

Atribuții pentru foile de lucru:

Din 21 kg de semințe de bumbac s-au obținut 5,1 kg de ulei.
Cât ulei se va obține din 7 kg de semințe de bumbac?

Pentru a construi stadionul, 5 buldozere au curățat șantierul în 210 minute. Cât timp ar dura 7 buldozere pentru a curăța acest site? VI. Munca independentăcu autotest față de standard

(5 min)
Doi elevi completează sarcina nr. 225 în mod independent pe table ascunse, iar restul - în caiete. Apoi verifică funcționarea algoritmului și o compară cu soluția de pe placă. Erorile sunt corectate și cauzele lor sunt determinate. Dacă sarcina este finalizată corect, atunci elevii pun un semn „+” lângă ei.

Elevii care greșesc în munca independentă pot apela la consultanți.№ 271, № 270.

La consiliu lucrează șase persoane. După 3-4 minute, elevii care lucrează la tablă își prezintă soluțiile, iar restul verifică temele și participă la discuția lor.

VIII. Reflecție asupra activității (rezumatul lecției)

– Ce nou ai învățat la lecție?
-Ce au repetat?
– Care este algoritmul pentru rezolvarea problemelor de proporție?
– Ne-am atins scopul?
– Cum îți evaluezi munca?

Trikhleb Daniil, elev în clasa a VII-a

cunoașterea proporționalității directe și a coeficientului de proporționalitate directă (introducerea conceptului de coeficient unghiular”);

construirea unui grafic de proporționalitate directă;

luarea în considerare a poziţiei relative a graficelor de proporţionalitate directă şi a funcţiilor liniare cu coeficienţi unghiulari identici.

Descărcați:

Previzualizare:

Pentru a utiliza previzualizările prezentării, creați-vă un cont ( cont) Google și conectați-vă: https://accounts.google.com

Subtitrările diapozitivelor:

Proporționalitatea directă și graficul acesteia

Care este argumentul și valoarea unei funcții? Care variabilă se numește independentă sau dependentă? Ce este o funcție? REVIEW Care este domeniul unei funcții?

Metode pentru specificarea unei funcții. Analitic (folosind o formulă) Grafic (folosind un grafic) Tabular (folosind un tabel)

Graficul unei funcții este mulțimea tuturor punctelor planului de coordonate, ale căror abscise sunt egale cu valorile argumentului, iar ordonatele sunt valorile corespunzătoare ale funcției. PROGRAMUL FUNCȚIILOR

1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9)

FINALIZAȚI SARCINA Construiți un grafic al funcției y = 2 x +1, unde 0 ≤ x ≤ 4. Faceți o masă. Folosind graficul, găsiți valoarea funcției la x=2,5. La ce valoare a argumentului valoarea funcției este egală cu 8?

Definiție Proporționalitatea directă este o funcție care poate fi specificată printr-o formulă de forma y = k x, unde x este o variabilă independentă, k este un număr diferit de zero. (k-coeficient de proporționalitate directă) Proporționalitate directă

8 Graficul proporționalității directe - o dreaptă care trece prin originea coordonatelor (punctul O(0,0)) Pentru a construi un grafic al funcției y= kx sunt suficiente două puncte, dintre care unul este O (0,0) Pentru k > 0, graficul este situat la sferturile de coordonate I și III. La k

Grafice ale funcţiilor de proporţionalitate directă y x k>0 k>0 k

Sarcină Determinați care dintre grafice arată funcția de proporționalitate directă.

Sarcină Determinați ce grafic al funcției este prezentat în figură. Alegeți o formulă dintre cele trei oferite.

Lucrări orale. Poate graficul unei funcții dat de formula y = k x, unde k

Determinați care dintre punctele A(6,-2), B(-2,-10), C(1,-1), E(0,0) aparțin graficului proporționalității directe dat de formula y = 5x 1) A( 6;-2) -2 = 5  6 - 2 = 30 - incorect. Punctul A nu aparține graficului funcției y=5x. 2) B(-2;-10) -10 = 5  (-2) -10 = -10 - corect. Punctul B aparține graficului funcției y=5x. 3) C(1;-1) -1 = 5  1 -1 = 5 - incorect Punctul C nu aparține graficului funcției y=5x. 4) E (0;0) 0 = 5  0 0 = 0 - adevărat. Punctul E aparține graficului funcției y=5x

TEST 1 opțiunea 2 opțiunea nr. 1. Care dintre funcțiile date de formulă sunt direct proporționale? A. y = 5x B. y = x 2 /8 C. y = 7x(x-1) D . y = x+1 A. y = 3x 2 +5 B. y = 8/x C. y = 7(x + 9) D. y = 10x

nr. 2. Scrieți numerele de drepte y = kx, unde k > 0 1 opțiunea k

nr. 3. Determinați care dintre puncte aparțin graficului proporționalității directe, dat de formula Y = -1 /3 X A (6 -2), B (-2 -10) 1 opțiunea C (1, -1), E (0,0). ) Opțiunea 2

y =5x y =10x III A VI și IV E 1 2 3 1 2 3 Nr. Răspuns corect Răspuns corect Nu.

Finalizați sarcina: Arătați schematic cum se află graficul funcției date de formulă: y =1,7 x y =-3,1 x y=0,9 x y=-2,3 x

SARCINA Din următoarele grafice, selectați numai grafice cu proporționalitate directă.

1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9)

Funcții y = 2x + 3 2. y = 6/ x 3. y = 2x 4. y = - 1,5x 5. y = - 5/ x 6. y = 5x 7. y = 2x – 5 8. y = - 0.3x 9. y = 3/ x 10. y = - x /3 + 1 Selectați funcții de forma y = k x (proporționalitate directă) și scrieți-le

Funcții de proporționalitate directă Y = 2x Y = -1,5x Y = 5x Y = -0,3x y x

la Funcții liniare, care nu sunt funcții de proporționalitate directă 1) y = 2x + 3 2) y = 2x – 5 x -6 -4 -2 0 2 4 6 6 3 -3 -6 y = 2x + 3 y = 2x - 5

Tema pentru acasă: paragraful 15 p. 65-67, Nr. 307; nr. 308.

Să o repetăm din nou. Ce lucruri noi ai învățat? Ce ai invatat? Ce ți s-a părut deosebit de dificil?

Mi-a plăcut lecția și subiectul este înțeles: mi-a plăcut lecția, dar încă nu înțeleg totul: nu mi-a plăcut lecția și subiectul nu este clar.

Exemplu

1,6 / 2 = 0,8;

4/5 = 0,8;

5,6 / 7 = 0,8 etc. Factorul de proporționalitate Se numește o relație constantă de mărimi proporționale

factor de proporționalitate

factor de proporționalitate. Coeficientul de proporționalitate arată câte unități dintr-o cantitate sunt pe unitatea alteia. Proporționalitate directă, în părți egale, adică dacă argumentul se schimbă de două ori în orice direcție, atunci și funcția se schimbă de două ori în aceeași direcție.

Matematic, proporționalitatea directă este scrisă ca o formulă:

f(x) = ox,o = const

Proporționalitate inversă

Proporționalitate inversă- aceasta este o dependență funcțională, în care o creștere a valorii independente (argumentului) determină o scădere proporțională a valorii dependente (funcției).

Matematic, proporționalitatea inversă se scrie sub formă de formulă:

Proprietățile funcției:

Surse

Fundația Wikimedia.

2010.

Vedeți ce înseamnă „Proporționalitate directă” în alte dicționare: proporționalitate directă - - [A.S. Goldberg. Dicționar energetic englez-rus. 2006] Subiecte energetice în general raport direct EN ...

Vedeți ce înseamnă „Proporționalitate directă” în alte dicționare: Ghidul tehnic al traducătorului

- tiesioginis proporcingumas statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. proporţionalitate directă vok. direkte Proportionalität, f rus. proporţionalitate directă, f pranc. proportionnalité direct, f … Fizikos terminų žodynas - (din latină proportionalis proporțional, proporțional). Proporționalitate. Dicţionar cuvinte străine , inclus în limba rusă. Chudinov A.N., 1910. PROPORȚIONALITATE lat. proportionalis, proportional. Proporționalitate. Explicație 25000... ...

Dicționar de cuvinte străine ale limbii ruse PROPORȚIONALITATE, proporționalitate, plural. nu, femeie (carte). 1. abstract substantiv la proporţional. Proporționalitatea pieselor. Proporționalitatea corpului. 2. O astfel de relație între cantități atunci când acestea sunt proporționale (vezi proporțional ... Dicţionar

Ushakova

Două mărimi dependente reciproc se numesc proporționale dacă raportul dintre valorile lor rămâne neschimbat Cuprins 1 Exemplu 2 Coeficient de proporționalitate ... Wikipedia PROPORȚIONALITATE și, feminin. 1. vezi proporțional. 2. La matematică: o astfel de relație între mărimi în care o creștere a uneia dintre ele atrage după sine modificarea celeilalte în aceeași valoare. Linie dreaptă (cu o tăietură cu o creștere cu o valoare... ...

Dicționarul explicativ al lui Ozhegov ŞI; şi. 1. la Proporțional (1 cifră); proporționalitatea. P. piese. P. fizic. P. reprezentare în parlament. 2. Matematică. Dependența dintre cantitățile care se schimbă proporțional. Factorul de proporționalitate. Linie directă (în care cu... ...

Astăzi ne vom uita la ce cantități sunt numite invers proporționale, cum arată un grafic de proporționalitate inversă și cum toate acestea vă pot fi utile nu numai la lecțiile de matematică, ci și în afara școlii.

Proporții atât de diferite

Proporționalitate numiți două cantități care sunt reciproc dependente una de cealaltă.

Dependența poate fi directă și inversă. În consecință, relațiile dintre cantități sunt descrise prin proporționalitate directă și inversă.

factor de proporționalitate- aceasta este o astfel de relație între două cantități în care o creștere sau scădere a uneia duce la o creștere sau scădere a celeilalte. Aceste. atitudinea lor nu se schimbă.

De exemplu, cu cât depui mai mult efort pentru a studia pentru examene, cu atât ai notele mai mari. Sau cu cât iei mai multe lucruri cu tine în drumeție, cu atât rucsacul tău va fi mai greu de purtat. Aceste. Efortul depus pentru pregătirea examenelor este direct proporțional cu notele obținute. Iar numărul de lucruri ambalate într-un rucsac este direct proporțional cu greutatea acestuia.

Proporționalitate inversă – aceasta este o dependență funcțională în care o scădere sau o creștere de mai multe ori a unei valori independente (se numește argument) determină o creștere sau scădere proporțională (adică de același număr de ori) a unei valori dependente (se numește un funcţie).

Să ilustrăm exemplu simplu. Vrei să cumperi mere de la piață. Merele de pe blat și suma de bani din portofel sunt invers proporționale. Aceste. Cu cât cumpărați mai multe mere, cu atât veți avea mai puțini bani.

Funcția și graficul acesteia

Funcția de proporționalitate inversă poate fi descrisă ca y = k/x. În care x≠ 0 și k≠ 0.

Această funcție are următoarele proprietăți:

Domeniul său de definiție este mulțimea tuturor numerelor reale, cu excepția x = 0. D(y): (-∞; 0) U (0; +∞).
Intervalul sunt toate numerele reale, cu excepția y= 0. E(y): (-∞; 0) U (0; +∞) .
Nu are valori maxime sau minime.
Este impar și graficul său este simetric față de origine.
Neperiodică.
Graficul său nu intersectează axele de coordonate.
Nu are zerouri.
Dacă k> 0 (adică argumentul crește), funcția scade proporțional pe fiecare dintre intervalele sale. Dacă k< 0 (т.е. аргумент убывает), функция пропорционально возрастает на каждом из своих промежутков.
Pe măsură ce argumentul crește ( k> 0) valorile negative ale funcției sunt în intervalul (-∞; 0), iar valorile pozitive sunt în intervalul (0; +∞). Când argumentul scade ( k< 0) отрицательные значения расположены на промежутке (0; +∞), положительные – (-∞; 0).

Graficul unei funcții de proporționalitate inversă se numește hiperbolă. Se arată după cum urmează:

Probleme de proporționalitate inversă

Pentru a fi mai clar, să ne uităm la mai multe sarcini. Nu sunt prea complicate, iar rezolvarea lor vă va ajuta să vizualizați ce este proporționalitatea inversă și cum aceste cunoștințe vă pot fi utile în viața de zi cu zi.

Sarcina nr. 1. O mașină se deplasează cu o viteză de 60 km/h. I-a luat 6 ore să ajungă la destinație. Cât timp îi va lua să parcurgă aceeași distanță dacă se mișcă cu o viteză de două ori mai mare?

Putem începe prin a scrie o formulă care descrie relația dintre timp, distanță și viteză: t = S/V. De acord, ne amintește foarte mult de funcția de proporționalitate inversă. Și indică faptul că timpul petrecut o mașină pe drum și viteza cu care se deplasează sunt invers proporționale.

Pentru a verifica acest lucru, să găsim V 2, care conform condiției este de 2 ori mai mare: V 2 = 60 * 2 = 120 km/h. Apoi calculăm distanța folosind formula S = V * t = 60 * 6 = 360 km. Acum nu este greu să aflăm timpul t 2 care ne este necesar în funcție de condițiile problemei: t 2 = 360/120 = 3 ore.

După cum puteți vedea, timpul de călătorie și viteza sunt într-adevăr invers proporționale: la o viteză de 2 ori mai mare decât viteza inițială, mașina va petrece de 2 ori mai puțin timp pe drum.

Soluția la această problemă poate fi scrisă și ca proporție. Deci, să creăm mai întâi această diagramă:

↓ 60 km/h – 6 h

↓120 km/h – x h

Săgețile indică o relație invers proporțională. De asemenea, ei sugerează că atunci când se întocmește o proporție, partea dreaptă a înregistrării trebuie răsturnată: 60/120 = x/6. De unde obținem x = 60 * 6/120 = 3 ore.

Sarcina nr. 2. Atelierul angajează 6 muncitori care pot finaliza o anumită cantitate de muncă în 4 ore. Dacă numărul de lucrători se reduce la jumătate, cât timp va dura muncitorii rămași pentru a finaliza aceeași cantitate de muncă?

Să scriem condițiile problemei în formular diagrama vizuala:

↓ 6 muncitori – 4 ore

↓ 3 muncitori – x h

Să scriem asta ca proporție: 6/3 = x/4. Și obținem x = 6 * 4/3 = 8 ore Dacă sunt de 2 ori mai puțini lucrători, cei rămași vor petrece de 2 ori mai mult timp făcând toată munca.

Sarcina nr. 3. Există două țevi care duc în piscină. Printr-o țeavă, apa curge cu o viteză de 2 l/s și umple piscina în 45 de minute. Printr-o altă conductă, piscina se va umple în 75 de minute. Cu ce viteză intră apa în piscină prin această conductă?

Pentru început, să reducem toate cantitățile care ne sunt date în funcție de condițiile problemei la aceleași unități de măsură. Pentru a face acest lucru, exprimăm viteza de umplere a piscinei în litri pe minut: 2 l/s = 2 * 60 = 120 l/min.

Deoarece condiția implică faptul că piscina se umple mai lent prin a doua conductă, aceasta înseamnă că debitul de apă este mai mic. Proporționalitatea este inversă. Să exprimăm viteza necunoscută prin x și să facem următoarea diagramă:

↓ 120 l/min – 45 min

↓ x l/min – 75 min

Și apoi alcătuim proporția: 120/x = 75/45, de unde x = 120 * 45/75 = 72 l/min.

În problemă, viteza de umplere a piscinei este exprimată în litri pe secundă, să reducem răspunsul primit la aceeași formă: 72/60 = 1,2 l/s.

Sarcina nr. 4. O mică tipografie privată tipărește cărți de vizită. Un angajat al unei tipografii lucrează cu o viteză de 42 de cărți de vizită pe oră și lucrează o zi întreagă - 8 ore. Dacă ar lucra mai repede și ar tipări 48 de cărți de vizită într-o oră, cu cât mai devreme ar putea merge acasă?

Urmăm calea dovedită și întocmim o diagramă în funcție de condițiile problemei, desemnând valoarea dorită ca x:

↓ 42 cărți de vizită/oră – 8 ore

↓ 48 cărți de vizită/h – x h

Avem o relație invers proporțională: de câte ori mai multe cărți de vizită tipărește un angajat al unei tipografii pe oră, de același număr de ori mai puțin timp va avea nevoie pentru a finaliza aceeași muncă. Știind acest lucru, să creăm o proporție:

42/48 = x/8, x = 42 * 8/48 = 7 ore.

Astfel, după ce a finalizat lucrarea în 7 ore, angajatul tipografiei putea pleca acasă cu o oră mai devreme.

Concluzie

Ni se pare că aceste probleme de proporționalitate inversă sunt cu adevărat simple. Sperăm că acum și tu te gândești la ei așa. Și principalul lucru este că cunoștințele despre dependența invers proporțională a cantităților vă pot fi cu adevărat utile de mai multe ori.

Nu numai la lecțiile și examenele de matematică. Dar chiar și atunci, când te pregătești să pleci într-o excursie, să mergi la cumpărături, să te hotărăști să câștigi niște bani în plus în vacanță etc.

Spune-ne în comentarii ce exemple de relații inverse și direct proporționale observi în jurul tău. Să fie un astfel de joc. Vei vedea cât de interesant este. Nu uitați să distribuiți acest articol pe rețelele sociale ca să se poată juca și prietenii și colegii tăi.

blog.site, atunci când copiați materialul integral sau parțial, este necesar un link către sursa originală.

Tipuri de dependență

Să ne uităm la încărcarea bateriei. Ca primă cantitate, să luăm timpul necesar pentru încărcare. A doua valoare este timpul în care va funcționa după încărcare. Cu cât încărcați bateria mai mult, cu atât va dura mai mult. Procesul va continua până când bateria este complet încărcată.

Dependența timpului de funcționare a bateriei de timpul în care este încărcată

Nota 1

Această dependență se numește direct:

Pe măsură ce o valoare crește, la fel crește și a doua. Pe măsură ce o valoare scade, scade și a doua valoare.

Să ne uităm la un alt exemplu.

Cu cât un student citește mai multe cărți, cu atât va face mai puține greșeli în dictare. Sau cu cât te ridici mai sus în munți, cu atât presiunea atmosferică va fi mai mică.

Nota 2

Această dependență se numește verso:

Pe măsură ce o valoare crește, a doua scade. Pe măsură ce o valoare scade, a doua valoare crește.

Astfel, în caz dependență directă ambele cantități se modifică în mod egal (ambele cresc sau scad), iar în caz relație inversă– invers (unul crește și celălalt scade, sau invers).

Determinarea dependențelor dintre cantități

Exemplul 1

Timpul necesar pentru a vizita un prieten este de $20$ minute. Dacă viteza (prima valoare) crește de $2$ ori, vom afla cum se schimbă timpul (a doua valoare) care va fi petrecut pe calea către un prieten.

Evident, timpul va scădea de $2$ ori.

Nota 3

Această dependență se numește proporţional:

De câte ori se modifică o cantitate, de câte ori se modifică a doua cantitate.

Exemplul 2

Pentru pâine de 2 USD în magazin trebuie să plătiți 80 de ruble. Dacă trebuie să cumpărați pâine de $4$ (cantitatea de pâine crește de $2$ ori), de câte ori mai mult va trebui să plătiți?

Evident, costul va crește și de 2$ ori. Avem un exemplu de dependență proporțională.

În ambele exemple, au fost luate în considerare dependențele proporționale. Dar în exemplul cu pâine, cantitățile se schimbă într-o direcție, prin urmare, dependența este direct. Și în exemplul de a merge la casa unui prieten, relația dintre viteză și timp este verso. Astfel există relație direct proporționalăŞi relație invers proporțională.

Proporționalitate directă

Să luăm în considerare cantitățile proporționale de $2$: numărul de pâini și costul acestora. Lăsați pâinea de $2$ să coste 80$ ruble. Dacă numărul de chifle crește de $4$ ori ($8$ chifle), costul lor total va fi de $320$ ruble.

Raportul dintre numărul de chifle: $\frac(8)(2)=4$.

Raportul costului bunului: $\frac(320)(80)=$4.

După cum puteți vedea, aceste relații sunt egale între ele:

$\frac(8)(2)=\frac(320)(80)$.

Definiția 1

Se numește egalitatea a două rapoarte proporţie.

Cu o dependență direct proporțională, se obține o relație atunci când modificarea primei și a doua mărimi coincide:

$\frac(A_2)(A_1)=\frac(B_2)(B_1)$.

Definiția 2

Cele două mărimi sunt numite direct proporțională, dacă atunci când una dintre ele se modifică (crește sau scade), se modifică și cealaltă valoare (crește sau, respectiv, scade) cu aceeași valoare.

Exemplul 3

Mașina a parcurs $180$ km în $2$ ore. Găsiți timpul în care va acoperi de 2$ ori distanța cu aceeași viteză.

Soluţie.

Timpul este direct proporțional cu distanța:

$t=\frac(S)(v)$.

De câte ori va crește distanța, la o viteză constantă, cu aceeași valoare va crește timpul:

$\frac(2S)(v)=2t$;

$\frac(3S)(v)=3t$.

Mașina a parcurs $180$ km în $2$ ore

Mașina va parcurge $180 \cdot 2=360$ km - în $x$ ore

Cu cât mașina se deplasează mai mult, cu atât va dura mai mult. În consecință, relația dintre cantități este direct proporțională.

Să facem o proporție:

$\frac(180)(360)=\frac(2)(x)$;

$x=\frac(360 \cdot 2)(180)$;

Răspuns: mașina va avea nevoie de $4$ ore.

Proporționalitate inversă

Definiția 3

Soluţie.

Timpul este invers proporțional cu viteza:

$t=\frac(S)(v)$.

De câte ori crește viteza, cu aceeași cale, timpul scade cu aceeași cantitate:

$\frac(S)(2v)=\frac(t)(2)$;

$\frac(S)(3v)=\frac(t)(3)$.

Să scriem condiția problemei sub forma unui tabel:

Mașina a parcurs $60$ km - în $6$ ore

Mașina va călători 120$ km – în $x$ ore

Cu cât viteza mașinii este mai mare, cu atât va dura mai puțin timp. În consecință, relația dintre cantități este invers proporțională.

Să facem o proporție.

Deoarece proporționalitatea este inversă, a doua relație în proporție este inversată:

$\frac(60)(120)=\frac(x)(6)$;

$x=\frac(60 \cdot 6)(120)$;

Răspuns: mașina va avea nevoie de $3$ ore.