Cum să grafici o funcție. Grafice și proprietăți de bază ale funcțiilor elementare Graficul funcției 1

Acest material didactic este doar pentru referință și se referă la o gamă largă de subiecte. Articolul oferă o prezentare generală a graficelor funcțiilor elementare de bază și abordează cea mai importantă problemă - cum să construiți un grafic corect și RAPID. În cursul studierii matematicii superioare fără cunoașterea graficelor funcțiilor elementare de bază, va fi dificil, așa că este foarte important să ne amintim cum arată graficele unei parabole, hiperbole, sinus, cosinus etc. și amintiți-vă câteva a semnificaţiilor funcţiilor. Vom vorbi și despre câteva proprietăți ale principalelor funcții.

Nu pretind completitatea și temeinicia științifică a materialelor se va pune accent, în primul rând, pe practică - acele lucruri cu care se întâlnește literalmente la fiecare pas, în orice subiect de matematică superioară. Grafice pentru manechine? S-ar putea spune așa.

Datorită numeroaselor solicitări din partea cititorilor cuprins pe care se poate face clic:

În plus, există un rezumat ultra-scurt pe această temă
– stăpânește 16 tipuri de diagrame studiind șase pagini!

Serios, șase, până și eu am fost surprins. Acest rezumat conține grafică îmbunătățită și este disponibil pentru o taxă nominală poate fi vizualizată. Este convenabil să imprimați fișierul, astfel încât graficele să fie întotdeauna la îndemână. Vă mulțumim pentru susținerea proiectului!

Și să începem imediat:

Cum se construiesc corect axele de coordonate?

În practică, testele sunt aproape întotdeauna finalizate de către elevi în caiete separate, aliniate într-un pătrat. De ce ai nevoie de marcaje în carouri? La urma urmei, munca, în principiu, se poate face pe coli A4. Și cușca este necesară doar pentru proiectarea de înaltă calitate și precisă a desenelor.

Orice desen al unui grafic de funcții începe cu axe de coordonate.

Desenele pot fi bidimensionale sau tridimensionale.

Să luăm mai întâi în considerare cazul bidimensional Sistemul de coordonate carteziene dreptunghiulare:

1) Desenați axele de coordonate. Axa se numește axa x , iar axa este axa y . Întotdeauna încercăm să le desenăm îngrijită și nu strâmbă. De asemenea, săgețile nu ar trebui să semene cu barba lui Papa Carlo.

2) Semnăm axele cu litere mari „X” și „Y”. Nu uitați să etichetați axele.

3) Setați scara de-a lungul axelor: trageți un zero și doi uni. Când faceți un desen, scara cea mai convenabilă și folosită frecvent este: 1 unitate = 2 celule (desen din stânga) - dacă este posibil, rămâneți de ea. Totuși, din când în când se întâmplă ca desenul să nu încapă pe foaia caietului - atunci reducem scara: 1 unitate = 1 celulă (desen din dreapta). Este rar, dar se întâmplă ca scara desenului să fie redusă (sau mărită) și mai mult

NU ESTE NEVOIE să „mitralieră” …-5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …. Căci planul de coordonate nu este un monument al lui Descartes, iar elevul nu este un porumbel. punem zeroŞi două unități de-a lungul axelor. Uneori în loc de unități, este convenabil să „marcați” alte valori, de exemplu, „două” pe axa absciselor și „trei” pe axa ordonatelor - și acest sistem (0, 2 și 3) va defini, de asemenea, în mod unic grila de coordonate.

Este mai bine să estimați dimensiunile estimate ale desenului ÎNAINTE de a construi desenul. Deci, de exemplu, dacă sarcina necesită desenarea unui triunghi cu vârfuri , , , atunci este complet clar că scara populară de 1 unitate = 2 celule nu va funcționa. De ce? Să ne uităm la punctul - aici va trebui să măsurați cincisprezece centimetri mai jos și, evident, desenul nu se va potrivi (sau abia se va potrivi) pe o foaie de caiet. Prin urmare, selectăm imediat o scară mai mică: 1 unitate = 1 celulă.

Apropo, despre centimetri și celule de notebook. Este adevărat că 30 de celule de notebook conțin 15 centimetri? Pentru distracție, măsurați 15 centimetri în caiet cu o riglă. În URSS, s-ar putea să fi fost adevărat... Este interesant de observat că dacă măsurați acești centimetri pe orizontală și pe verticală, rezultatele (în celule) vor fi diferite! Strict vorbind, caietele moderne nu sunt în carouri, ci dreptunghiulare. Acest lucru poate părea o prostie, dar desenarea, de exemplu, a unui cerc cu o busolă în astfel de situații este foarte incomod. Sincer să fiu, în astfel de momente începi să te gândești la corectitudinea tovarășului Stalin, care a fost trimis în lagăre pentru muncă de hack în producție, ca să nu mai vorbim de industria auto autohtonă, căderea avioanelor sau exploziile centralelor electrice.

Apropo de calitate, sau o scurtă recomandare despre papetărie. Astăzi, majoritatea caietelor aflate în vânzare sunt, cel puțin, o porcărie completă. Din motivul că se udă, și nu numai de la pixurile cu gel, ci și de la pixurile cu bilă! Economisesc bani pe hârtie. Pentru înregistrare teste Recomand să folosiți caiete de la Fabrica de celuloză și hârtie din Arkhangelsk (18 coli, pătrat) sau „Pyaterochka”, deși este mai scump. Este indicat să alegeți un pix cu gel, chiar și cea mai ieftină umplutură de gel chinezească este mult mai bună decât un pix, care fie pătează, fie rupe hârtia. Singurul pix „competitiv” pe care mi-l amintesc este Erich Krause. Ea scrie clar, frumos și consecvent – ​​fie cu miezul plin, fie cu unul aproape gol.

În plus: Viziunea unui sistem de coordonate dreptunghiulare prin ochii geometriei analitice este acoperită în articol Dependența liniară (non) a vectorilor. Baza vectorilor, informatii detaliate despre sferturi de coordonate pot fi găsite în al doilea paragraf al lecției Inegalități liniare.

carcasă 3D

Aici este aproape la fel.

1) Desenați axele de coordonate. Standard: axa aplicate – îndreptată în sus, axa – îndreptată spre dreapta, axa – îndreptată în jos spre stânga strict la un unghi de 45 de grade.

2) Etichetați axele.

3) Setați scara de-a lungul axelor. Scara de-a lungul axei este de două ori mai mică decât scara de-a lungul celorlalte axe. De asemenea, rețineți că în desenul din dreapta am folosit o „crestătură” non-standard de-a lungul axei (această posibilitate a fost deja menționată mai sus). Din punctul meu de vedere, acest lucru este mai precis, mai rapid și mai plăcut din punct de vedere estetic - nu este nevoie să căutați mijlocul celulei la microscop și să „sculptați” o unitate apropiată de originea coordonatelor.

Când faceți un desen 3D, acordați din nou prioritate la scară
1 unitate = 2 celule (desen din stânga).

Pentru ce sunt toate aceste reguli? Regulile sunt făcute pentru a fi încălcate. Asta voi face acum. Cert este că desenele ulterioare ale articolului vor fi făcute de mine în Excel, iar axele de coordonate vor arăta incorect din punct de vedere design corect. Aș putea desena toate graficele manual, dar este de fapt înfricoșător să le desenezi, deoarece Excel este reticent să le deseneze mult mai precis.

Grafice și proprietăți de bază ale funcțiilor elementare

O funcție liniară este dată de ecuație. Graficul funcțiilor liniare este direct. Pentru a construi o linie dreaptă este suficient să cunoaștem două puncte.

Exemplul 1

Construiți un grafic al funcției. Să găsim două puncte. Este avantajos să alegeți zero ca unul dintre puncte.

Dacă, atunci

Să luăm un alt punct, de exemplu, 1.

Dacă, atunci

La finalizarea sarcinilor, coordonatele punctelor sunt de obicei rezumate într-un tabel:

Și valorile însele sunt calculate oral sau pe o schiță, un calculator.

Au fost găsite două puncte, să facem un desen:

Când pregătim un desen, semnăm întotdeauna grafica.

Ar fi util să amintim cazuri speciale ale unei funcții liniare:

Observați cum am pus semnăturile, semnăturile nu trebuie să permită discrepanțe la studierea desenului. ÎN în acest caz, Era extrem de nedorit să se pună o semnătură lângă punctul de intersecție al liniilor sau în dreapta jos între grafice.

1) O funcție liniară de forma () se numește proporționalitate directă. De exemplu, . Un grafic de proporționalitate directă trece întotdeauna prin origine. Astfel, construirea unei linii drepte este simplificată - este suficient să găsiți doar un punct.

2) O ecuație de formă specifică o linie dreaptă paralelă cu axa, în special, axa însăși este dată de ecuație. Graficul funcției se construiește imediat, fără a găsi niciun punct. Adică, intrarea ar trebui înțeleasă după cum urmează: „y este întotdeauna egal cu –4, pentru orice valoare a lui x”.

3) O ecuație de formă specifică o linie dreaptă paralelă cu axa, în special, axa însăși este dată de ecuație. Graficul funcției este de asemenea trasat imediat. Intrarea ar trebui să fie înțeleasă după cum urmează: „x este întotdeauna, pentru orice valoare a lui y, egal cu 1”.

Unii se vor întreba, de ce să-ți amintești de clasa a VI-a?! Așa este, poate așa este, dar de-a lungul anilor de practică am întâlnit o duzină bună de studenți care au fost derutați de sarcina de a construi un grafic ca sau.

Construirea unei linii drepte este cea mai comună acțiune la realizarea desenelor.

Linia dreaptă este discutată în detaliu în cursul geometriei analitice, iar cei interesați se pot referi la articol Ecuația unei drepte pe un plan.

Graficul unei funcții pătratice, cubice, graficul unui polinom

Parabolă. Graficul unei funcții pătratice () reprezintă o parabolă. Luați în considerare celebrul caz:

Să ne amintim câteva proprietăți ale funcției.

Deci, soluția ecuației noastre: – în acest punct se află vârful parabolei. De ce este așa poate fi găsit în articolul teoretic despre derivată și lecția despre extremele funcției. Între timp, să calculăm valoarea „Y” corespunzătoare:

Astfel, vârful este în punct

Acum găsim alte puncte, în timp ce folosim cu nerăbdare simetria parabolei. Trebuie remarcat faptul că funcția – nu este chiar, dar, cu toate acestea, nimeni nu a anulat simetria parabolei.

În ce ordine să găsim punctele rămase, cred că va fi clar din masa finală:

Acest algoritm de construcție poate fi numit în mod figurat „navetă” sau principiul „înainte și înapoi” cu Anfisa Cehova.

Să facem desenul:

Din graficele examinate, îmi vine în minte o altă caracteristică utilă:

Pentru o funcție pătratică () următoarele este adevărată:

Dacă , atunci ramurile parabolei sunt îndreptate în sus.

Dacă , atunci ramurile parabolei sunt îndreptate în jos.

Cunoștințe aprofundate despre curbă pot fi obținute în lecția Hiperbolă și parabolă.

O parabolă cubică este dată de funcție. Iată un desen cunoscut de la școală:

Să enumerăm principalele proprietăți ale funcției

Graficul unei funcții

Reprezintă una dintre ramurile unei parabole. Să facem desenul:

Principalele proprietăți ale funcției:

În acest caz, axa este asimptotă verticală pentru graficul unei hiperbole la .

Ar fi o greșeală GRAVE dacă, atunci când întocmești un desen, ai lăsa neglijent ca graficul să se intersecteze cu o asimptotă.

De asemenea, limitele unilaterale ne spun că hiperbola nelimitat de susŞi nelimitat de jos.

Să examinăm funcția la infinit: , adică dacă începem să ne mișcăm de-a lungul axei la stânga (sau la dreapta) la infinit, atunci „jocurile” vor fi un pas ordonat infinit de aproape se apropie de zero și, în consecință, de ramurile hiperbolei infinit de aproape se apropie de ax.

Deci axa este asimptotă orizontală pentru graficul unei funcții, dacă „x” tinde spre plus sau minus infinit.

Funcția este ciudat, și, prin urmare, hiperbola este simetrică față de origine. Acest fapt evident din desen, în plus, se verifică ușor analitic: .

Graficul unei funcții de forma () reprezintă două ramuri ale unei hiperbole.

Dacă , atunci hiperbola este situată în primul și al treilea trimestru de coordonate(vezi poza de mai sus).

Dacă , atunci hiperbola este situată în al doilea și al patrulea trimestru de coordonate.

Modelul indicat al rezidenței hiperbolei este ușor de analizat din punctul de vedere al transformărilor geometrice ale graficelor.

Exemplul 3

Construiți ramura dreaptă a hiperbolei

Folosim metoda de construcție punctuală și este avantajos să selectăm valorile astfel încât să fie divizibile cu un întreg:

Să facem desenul:

Nu va fi dificil să construiți ramura stângă a hiperbolei, ciudatenia funcției va ajuta aici. Aproximativ vorbind, în tabelul de construcție punctual, adăugăm mental un minus fiecărui număr, punem punctele corespunzătoare și desenăm a doua ramură.

Informații geometrice detaliate despre linia luată în considerare pot fi găsite în articolul Hiperbolă și parabolă.

Graficul unei funcții exponențiale

În această secțiune, voi lua în considerare imediat funcția exponențială, deoarece în problemele de matematică superioară în 95% din cazuri exponențialul este cel care se întâlnește.

Vă reamintesc că asta este număr irațional: , acest lucru va fi necesar la construirea unui grafic, pe care, de fapt, îl voi construi fără ceremonie. Trei puncte, poate e suficient:

Să lăsăm graficul funcției deocamdată, mai multe despre el mai târziu.

Principalele proprietăți ale funcției:

Graficele de funcții etc., arată fundamental la fel.

Trebuie să spun că al doilea caz apare mai rar în practică, dar apare, așa că am considerat că este necesar să îl includ în acest articol.

Graficul unei funcții logaritmice

Luați în considerare o funcție cu un logaritm natural.
Să facem un desen punct cu punct:

Dacă ați uitat ce este un logaritm, vă rugăm să consultați manualele școlare.

Principalele proprietăți ale funcției:

Domeniul definiției:

Interval de valori: .

Funcția nu este limitată de mai sus: , deși încet, dar ramura logaritmului urcă până la infinit.
Să examinăm comportamentul funcției aproape de zero din dreapta: . Deci axa este asimptotă verticală deoarece graficul unei funcții ca „x” tinde spre zero din dreapta.

Este imperativ să cunoașteți și să vă amintiți valoarea tipică a logaritmului: .

În principiu, graficul logaritmului la bază arată la fel: , , (logaritmul zecimal la baza 10), etc. Mai mult, cu cât baza este mai mare, cu atât graficul va fi mai plat.

Nu vom lua în considerare cazul; nu-mi amintesc ultima dată când am construit un grafic pe o astfel de bază. Iar logaritmul pare a fi un invitat foarte rar în problemele de matematică superioară.

La sfârșitul acestui paragraf voi mai spune un fapt: Funcția exponențială și funcția logaritmică– acestea sunt două funcții reciproc inverse. Dacă te uiți îndeaproape la graficul logaritmului, poți vedea că acesta este același exponent, doar că este situat puțin diferit.

Grafice ale funcțiilor trigonometrice

De unde începe chinul trigonometric la școală? Corect. Din sinus

Să diagramăm funcția

Această linie se numește sinusoid.

Permiteți-mi să vă reamintesc că „pi” este un număr irațional: , iar în trigonometrie vă face ochii orbitori.

Principalele proprietăți ale funcției:

Această funcție este periodic cu punct . Ce înseamnă? Să ne uităm la segment. În stânga și în dreapta acestuia, exact aceeași bucată a graficului se repetă la nesfârșit.

Domeniul definiției: , adică pentru orice valoare a lui „x” există o valoare sinus.

Interval de valori: . Funcția este limitat: , adică toate „jocurile” stau strict în segmentul .
Acest lucru nu se întâmplă: sau, mai precis, se întâmplă, dar aceste ecuații nu au o soluție.

Lungimea segmentului pe axa de coordonate este determinată de formula:

Lungimea unui segment pe planul de coordonate se găsește folosind formula:

Pentru a afla lungimea unui segment într-un sistem de coordonate tridimensional, utilizați următoarea formulă:

Coordonatele mijlocului segmentului (pentru axa de coordonate se folosește doar prima formulă, pentru planul de coordonate - primele două formule, pentru un sistem de coordonate tridimensional - toate cele trei formule) se calculează folosind formulele:

Funcţie– aceasta este o corespondență a formei y= f(x) între mărimi variabile, datorită cărora fiecare a considerat valoare a unei mărimi variabile x(argument sau variabilă independentă) corespunde unei anumite valori a unei alte variabile, y(variabilă dependentă, uneori această valoare se numește pur și simplu valoarea funcției). Rețineți că funcția presupune acea valoare a unui argument X poate corespunde o singură valoare a variabilei dependente la. Totuși, aceeași valoare la pot fi obținute cu diferite X.

Domeniul funcției– acestea sunt toate valorile variabilei independente (argumentul funcției, de obicei aceasta X), pentru care funcția este definită, i.e. sensul ei există. Este indicată zona de definiție D(y). De în general Sunteți deja familiarizat cu acest concept. Domeniul de definire al unei funcții este altfel numit domeniul valorilor permise, sau VA, pe care l-ați putut găsi de mult.

Gama de funcții sunt toate valorile posibile ale variabilei dependente a unei anumite funcții. Desemnat E(la).

Funcția crește pe intervalul în care o valoare mai mare a argumentului corespunde unei valori mai mari a funcției. Funcția este în scădere pe intervalul în care o valoare mai mare a argumentului corespunde unei valori mai mici a funcției.

Intervale de semn constant al unei funcții- acestea sunt intervalele variabilei independente peste care variabila dependenta isi pastreaza semnul pozitiv sau negativ.

Zerourile funcției– acestea sunt valorile argumentului la care valoarea funcției este egală cu zero. În aceste puncte, graficul funcției intersectează axa absciselor (axa OX). Foarte des, nevoia de a găsi zerourile unei funcții înseamnă nevoia de a rezolva pur și simplu ecuația. De asemenea, adesea nevoia de a găsi intervale de constanță a semnului înseamnă nevoia de a rezolva pur și simplu inegalitatea.

Funcţie y = f(x) sunt numite chiar X

Aceasta înseamnă că pentru orice valori opuse ale argumentului, valorile funcției pare sunt egale. Graficul unei funcții pare este întotdeauna simetric în raport cu axa ordonatelor amplificatorului operațional.

Funcţie y = f(x) sunt numite ciudat, dacă este definită pe o mulțime simetrică și pentru oricare X din domeniul definiției, egalitatea este valabilă:

Aceasta înseamnă că pentru orice valori opuse ale argumentului, valorile funcției impare sunt, de asemenea, opuse. Graficul unei funcții impare este întotdeauna simetric față de origine.

Suma rădăcinilor funcțiilor pare și impare (punctele de intersecție ale axei x OX) este întotdeauna egală cu zero, deoarece pentru fiecare rădăcină pozitivă X are rădăcină negativă - X.

Este important de reținut: unele funcții nu trebuie să fie par sau impare. Există multe funcții care nu sunt nici pare, nici impare. Astfel de funcții sunt numite funcții generale, iar pentru ei nici una dintre egalitățile sau proprietățile date mai sus nu sunt îndeplinite.

Funcția liniară este o funcție care poate fi dată prin formula:

Graficul unei funcții liniare este o linie dreaptă și, în general, arată astfel (un exemplu este dat pentru cazul când k> 0, în acest caz funcția este în creștere; pentru ocazie k < 0 функция будет убывающей, т.е. прямая будет наклонена в другую сторону - слева направо):

Graficul unei funcții pătratice (Parabola)

Graficul unei parabole este dat de o funcție pătratică:

O funcție pătratică, ca orice altă funcție, intersectează axa OX în punctele care sunt rădăcinile sale: ( x 1; 0) și ( x 2; 0). Dacă nu există rădăcini, atunci funcția pătratică nu intersectează axa OX dacă există o singură rădăcină, atunci în acest punct (; x 0; 0) funcția pătratică atinge doar axa OX, dar nu o intersectează. Funcția pătratică intersectează întotdeauna axa OY în punctul cu coordonatele: (0; c). Graficul unei funcții pătratice (parabolă) poate arăta astfel (figura prezintă exemple care nu epuizează toate tipurile posibile de parabole):

În acest caz:

• dacă coeficientul o> 0, în funcție y = topor 2 + bx + c, atunci ramurile parabolei sunt îndreptate în sus;
• dacă o < 0, то ветви параболы направлены вниз.

Coordonatele vârfului unei parabole pot fi calculate folosind următoarele formule. X vârfuri (p- în imaginile de mai sus) parabole (sau punctul în care trinomul pătratic atinge valoarea cea mai mare sau cea mai mică):

Igrek tops (q- în figurile de mai sus) parabole sau maximul dacă ramurile parabolei sunt îndreptate în jos ( o < 0), либо минимальное, если ветви параболы направлены вверх (o> 0), valoarea trinomului pătratic:

Grafice ale altor funcții

Funcția de putere

Iată câteva exemple de grafice ale funcțiilor de putere:

invers proporțional apelați funcția dat de formula:

În funcție de semnul numărului k Un grafic de dependență invers proporțional poate avea două opțiuni fundamentale:

Asimptotă este o dreaptă de care graficul unei funcții se apropie infinit de aproape, dar nu se intersectează. Asimptotele pentru graficele de proporționalitate inversă prezentate în figura de mai sus sunt axele de coordonate de care graficul funcției se apropie infinit, dar nu le intersectează.

Funcția exponențială cu baza O este o funcție dată de formula:

o Graficul unei funcții exponențiale poate avea două opțiuni fundamentale (dam și exemple, vezi mai jos):

Funcția logaritmică este o funcție dată de formula:

Depinde dacă numărul este mai mare sau mai mic decât unu o programa funcţie logaritmică poate avea două opțiuni fundamentale:

Graficul unei funcții y = |x| arata asa:

Grafice ale funcțiilor periodice (trigonometrice).

Funcţie la = f(x) se numește periodic, dacă există un astfel de număr diferit de zero T, Ce f(x + T) = f(x), pentru orice X din domeniul funcției f(x). Dacă funcţia f(x) este periodică cu punct T, apoi funcția:

Unde: O, k, b sunt numere constante și k nu este egal cu zero, de asemenea periodic cu punct T 1, care este determinată de formula:

Cele mai multe exemple de funcții periodice sunt funcții trigonometrice. Prezentăm grafice ale principalelor funcții trigonometrice. Următoarea figură prezintă o parte din graficul funcției y= păcat x(intregul grafic continuă la nesfârșit la stânga și la dreapta), graficul funcției y= păcat x numit sinusoid:

Graficul unei funcții y=cos x numit cosinus. Acest grafic este prezentat în figura următoare. Deoarece graficul sinusului continuă la nesfârșit de-a lungul axei OX la stânga și la dreapta:

Graficul unei funcții y= tg x numit tangentoid. Acest grafic este prezentat în figura următoare. Ca și graficele altor funcții periodice, acest grafic se repetă la nesfârșit de-a lungul axei OX la stânga și la dreapta.

Și în sfârșit, graficul funcției y=ctg x numit cotangentoid. Acest grafic este prezentat în figura următoare. Ca și graficele altor funcții periodice și trigonometrice, acest grafic se repetă la nesfârșit de-a lungul axei OX la stânga și la dreapta.

• Spate
• Redirecţiona

Cum să te pregătești cu succes pentru CT în fizică și matematică?

Pentru a vă pregăti cu succes pentru CT în fizică și matematică, printre altele, este necesar să îndepliniți trei condiții cele mai importante:

1. Studiați toate subiectele și finalizați toate testele și sarcinile date în materialele educaționale de pe acest site. Pentru a face acest lucru, nu aveți nevoie de nimic, și anume: dedicați trei până la patru ore în fiecare zi pregătirii pentru CT la fizică și matematică, studierii teoriei și rezolvării problemelor. Cert este că CT este un examen în care nu este suficient doar să cunoști fizică sau matematică, trebuie și să poți rezolva rapid și fără eșecuri. număr mare sarcini pe teme diferite și complexitate variată. Acesta din urmă poate fi învățat doar prin rezolvarea a mii de probleme.
2. Învață toate formulele și legile din fizică și formulele și metodele din matematică. De fapt, acest lucru este și foarte simplu de făcut, există doar aproximativ 200 de formule necesare în fizică și chiar puțin mai puțin în matematică. La fiecare dintre aceste materii există aproximativ o duzină de metode standard de rezolvare a problemelor de un nivel de complexitate de bază, care pot fi, de asemenea, învățate, și astfel, complet automat și fără dificultate rezolvarea majorității CT la momentul potrivit. După aceasta, va trebui să te gândești doar la cele mai dificile sarcini.
3. Participați la toate cele trei etape ale testării de repetiții la fizică și matematică. Fiecare RT poate fi vizitat de două ori pentru a decide asupra ambelor opțiuni. Din nou, pe CT, pe lângă capacitatea de a rezolva rapid și eficient probleme și cunoașterea formulelor și metodelor, trebuie să fiți capabil să planificați corect timpul, să distribuiți forțele și, cel mai important, să completați corect formularul de răspuns, fără confuzând numărul de răspunsuri și probleme sau propriul nume de familie. De asemenea, în timpul RT, este important să te obișnuiești cu stilul de a pune întrebări în probleme, care poate părea foarte neobișnuit pentru o persoană nepregătită de la DT.

Implementarea cu succes, diligentă și responsabilă a acestor trei puncte, precum și studiul responsabil al testelor de pregătire finale, vă vor permite să afișați pe CT rezultat excelent, maximul de care ești capabil.

Ați găsit o greșeală?

Dacă credeți că ați găsit o eroare în materialele de instruire, vă rugăm să scrieți despre ea pe e-mail(). În scrisoare, indicați subiectul (fizică sau matematică), numele sau numărul subiectului sau testului, numărul problemei sau locul din text (pagină) în care, în opinia dumneavoastră, există o eroare. De asemenea, descrieți care este eroarea suspectată. Scrisoarea dvs. nu va trece neobservată, eroarea fie va fi corectată, fie vi se va explica de ce nu este o eroare.

Pe domeniul de definire al funcției de putere y = x p sunt valabile următoarele formule:
; ;
;
; ;
; ;
; .

Proprietățile funcțiilor de putere și graficele acestora

Funcția de putere cu exponent egal cu zero, p = 0

Dacă exponentul funcției de putere y = x p este egal cu zero, p = 0, atunci funcția de putere este definită pentru toate x ≠ 0 și este o constantă egală cu unu:
y = x p = x 0 = 1, x ≠ 0.

Funcția de putere cu exponent natural impar, p = n = 1, 3, 5, ...

Se consideră o funcție de putere y = x p = x n cu un exponent natural impar n = 1, 3, 5, ... .

Acest indicator poate fi scris și sub forma: n = 2k + 1, unde k = 0, 1, 2, 3, ... este un întreg nenegativ. Mai jos sunt proprietățile și graficele unor astfel de funcții. Graficul unei funcții de putere y = x n cu un exponent natural impar la sensuri diferite

exponent n = 1, 3, 5, ... . -∞ < x < ∞
Domeniu de aplicare: -∞ < y < ∞
Sensuri multiple: Paritate:
impar, y(-x) = - y(x) Monoton:
crește monoton Extreme:
Nu
Convex:< x < 0 выпукла вверх
la -∞< x < ∞ выпукла вниз
la 0 Puncte de inflexiune:
Puncte de inflexiune:
x = 0, y = 0
;
Limite:
Valori private:
la x = -1,
y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k+1 = -1
la x = 0, y(0) = 0 n = 0
pentru x = 1, y(1) = 1 n = 1
Funcția inversă:
pentru n = 1, funcția este inversa ei: x = y pentru n ≠ 1, este rădăcina gradului n:

Funcția de putere cu exponent natural par, p = n = 2, 4, 6, ...

Se consideră o funcție de putere y = x p = x n cu un exponent natural par n = 2, 4, 6, ... .

Acest indicator poate fi scris și sub forma: n = 2k, unde k = 1, 2, 3, ... - natural. Proprietățile și graficele acestor funcții sunt prezentate mai jos.

exponent n = 1, 3, 5, ... . -∞ < x < ∞
Domeniu de aplicare: Graficul unei funcții de putere y = x n cu un exponent natural par pentru diferite valori ale exponentului n = 2, 4, 6, ....< ∞
Sensuri multiple: 0 ≤ y
impar, y(-x) = - y(x)
par, y(-x) = y(x)
pentru x ≤ 0 scade monoton
crește monoton pentru x ≥ 0 crește monoton
Nu minim, x = 0, y = 0
la 0 Extreme:
convex în jos Puncte de inflexiune:
x = 0, y = 0
;
Limite:
Puncte de intersecție cu axele de coordonate: la x = -1,
y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k+1 = -1
la x = 0, y(0) = 0 n = 0
pentru x = 1, y(1) = 1 n = 1
y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k = 1 pentru n = 2,:
rădăcină pătrată

pentru n ≠ 2, rădăcină de grad n:

Funcție de putere cu exponent întreg negativ, p = n = -1, -2, -3, ...

Se consideră o funcție de putere y = x p = x n cu un exponent întreg negativ n = -1, -2, -3, ... .

Dacă punem n = -k, unde k = 1, 2, 3, ... este un număr natural, atunci acesta poate fi reprezentat ca:

Graficul unei funcții de putere y = x n cu un exponent întreg negativ pentru diferite valori ale exponentului n = -1, -2, -3, ....

exponent n = 1, 3, 5, ... . Exponent impar, n = -1, -3, -5, ...
Domeniu de aplicare: Mai jos sunt proprietățile funcției y = x n cu un exponent negativ impar n = -1, -3, -5, ....
Sensuri multiple: Paritate:
impar, y(-x) = - y(x) x ≠ 0
crește monoton Extreme:
Nu
y ≠ 0< 0 : выпукла вверх
scade monoton
la 0 Extreme:
convex în jos Extreme:
la x
y ≠ 0< 0, y < 0
pentru x > 0: convex în jos
x = 0, y = 0
; ; ;
Limite:
la x = 0, y(0) = 0 n = 0
pentru x = 1, y(1) = 1 n = 1
Semn:
pentru x > 0, y > 0< -2 ,

când n = -1,

la n

exponent n = 1, 3, 5, ... . Exponent impar, n = -1, -3, -5, ...
Domeniu de aplicare: Exponent par, n = -2, -4, -6, ...
Sensuri multiple: 0 ≤ y
impar, y(-x) = - y(x)
y ≠ 0< 0 : монотонно возрастает
Mai jos sunt proprietățile funcției y = x n cu exponent negativ par n = -2, -4, -6, ....
crește monoton Extreme:
Nu minim, x = 0, y = 0
la 0 Extreme:
convex în jos Extreme:
la x Exponent par, n = -2, -4, -6, ...
x = 0, y = 0
; ; ;
Limite:
la x = 0, y(0) = 0 n = 0
pentru x = 1, y(1) = 1 n = 1
y > 0
pentru x > 0, y > 0< -2 ,

pentru x > 0: scade monoton

la n = -2,

Funcția de putere cu exponent rațional (fracțional).

Considerăm o funcție de putere y = x p cu un exponent rațional (fracțional), unde n este un număr întreg, m > 1 este un număr natural. Mai mult, n, m nu au divizori comuni.

Numitorul indicatorului fracționar este impar< 0

Fie numitorul exponentului fracționar impar: m = 3, 5, 7, ... . În acest caz, funcția de putere x p este definită atât pentru valorile pozitive, cât și pentru cele negative ale argumentului x.

Să luăm în considerare proprietățile unor astfel de funcții de putere atunci când exponentul p este în anumite limite.

Valoarea p este negativă, p

Prezentăm proprietățile funcției de putere y = x p cu un exponent negativ rațional, unde n = -1, -3, -5, ... este un număr întreg negativ impar, m = 3, 5, 7 ... este un întreg natural impar.

exponent n = 1, 3, 5, ... . Exponent impar, n = -1, -3, -5, ...
Domeniu de aplicare: Mai jos sunt proprietățile funcției y = x n cu un exponent negativ impar n = -1, -3, -5, ....
Sensuri multiple: Paritate:
impar, y(-x) = - y(x) x ≠ 0
crește monoton Extreme:
Nu
y ≠ 0< 0 : выпукла вверх
scade monoton
la 0 Extreme:
convex în jos Extreme:
la x
y ≠ 0< 0, y < 0
pentru x > 0: convex în jos
x = 0, y = 0
; ; ;
Limite:
la x = -1, y(-1) = (-1) n = -1
la x = 0, y(0) = 0 n = 0
pentru x = 1, y(1) = 1 n = 1

Numător par, n = -2, -4, -6, ...

Proprietățile funcției de putere y = x p cu un exponent rațional negativ, unde n = -2, -4, -6, ... este un întreg negativ par, m = 3, 5, 7 ... este un întreg natural impar .

exponent n = 1, 3, 5, ... . Exponent impar, n = -1, -3, -5, ...
Domeniu de aplicare: Exponent par, n = -2, -4, -6, ...
Sensuri multiple: 0 ≤ y
impar, y(-x) = - y(x)
y ≠ 0< 0 : монотонно возрастает
Mai jos sunt proprietățile funcției y = x n cu exponent negativ par n = -2, -4, -6, ....
crește monoton Extreme:
Nu minim, x = 0, y = 0
la 0 Extreme:
convex în jos Extreme:
la x Exponent par, n = -2, -4, -6, ...
x = 0, y = 0
; ; ;
Limite:
la x = -1, y(-1) = (-1) n = 1
la x = 0, y(0) = 0 n = 0
pentru x = 1, y(1) = 1 n = 1

Valoarea p este pozitivă, mai mică de unu, 0< p < 1

Graficul unei funcții de putere cu exponent rațional (0< p < 1 ) при различных значениях показателя степени , где m = 3, 5, 7, ... - нечетное.

Numător impar, n = 1, 3, 5, ...

< p < 1 , где n = 1, 3, 5, ... - нечетное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

exponent n = 1, 3, 5, ... . -∞ < x < +∞
Domeniu de aplicare: -∞ < y < +∞
Sensuri multiple: Paritate:
impar, y(-x) = - y(x) Monoton:
crește monoton Extreme:
Nu
y ≠ 0< 0 : выпукла вниз
pentru x > 0: convex în sus
la 0 Puncte de inflexiune:
convex în jos Puncte de inflexiune:
la x
y ≠ 0< 0, y < 0
pentru x > 0: convex în jos
x = 0, y = 0
;
Limite:
la x = -1, y(-1) = -1
la x = 0, y(0) = 0
pentru x = 1, y(1) = 1
pentru x = 1, y(1) = 1 n = 1

Numător par, n = 2, 4, 6, ...

Sunt prezentate proprietățile funcției de putere y = x p cu un exponent rațional în 0< p < 1 , где n = 2, 4, 6, ... - четное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

exponent n = 1, 3, 5, ... . -∞ < x < +∞
Domeniu de aplicare: Graficul unei funcții de putere y = x n cu un exponent natural par pentru diferite valori ale exponentului n = 2, 4, 6, ....< +∞
Sensuri multiple: 0 ≤ y
impar, y(-x) = - y(x)
y ≠ 0< 0 : монотонно убывает
pentru x > 0: crește monoton
crește monoton minim la x = 0, y = 0
Nu convex în sus pentru x ≠ 0
la 0 Extreme:
convex în jos Puncte de inflexiune:
la x pentru x ≠ 0, y > 0
x = 0, y = 0
;
Limite:
la x = -1, y(-1) = 1
la x = 0, y(0) = 0
pentru x = 1, y(1) = 1
pentru x = 1, y(1) = 1 n = 1

Indicele p este mai mare decât unu, p > 1

Graficul unei funcții de putere cu un exponent rațional (p > 1) pentru diferite valori ale exponentului, unde m = 3, 5, 7, ... este impar.

Numător impar, n = 5, 7, 9, ...

Proprietăţi ale funcţiei de putere y = x p cu un exponent raţional mai mare de unu: .

exponent n = 1, 3, 5, ... . -∞ < x < ∞
Domeniu de aplicare: -∞ < y < ∞
Sensuri multiple: Paritate:
impar, y(-x) = - y(x) Monoton:
crește monoton Extreme:
Nu
Convex:< x < 0 выпукла вверх
la -∞< x < ∞ выпукла вниз
la 0 Puncte de inflexiune:
convex în jos Puncte de inflexiune:
x = 0, y = 0
;
Limite:
la x = -1, y(-1) = -1
la x = 0, y(0) = 0
pentru x = 1, y(1) = 1
pentru x = 1, y(1) = 1 n = 1

Unde n = 5, 7, 9, ... - impar natural, m = 3, 5, 7 ... - impar natural.

Numător par, n = 4, 6, 8, ...

exponent n = 1, 3, 5, ... . -∞ < x < ∞
Domeniu de aplicare: Graficul unei funcții de putere y = x n cu un exponent natural par pentru diferite valori ale exponentului n = 2, 4, 6, ....< ∞
Sensuri multiple: 0 ≤ y
impar, y(-x) = - y(x)
y ≠ 0< 0 монотонно убывает
Proprietăţi ale funcţiei de putere y = x p cu un exponent raţional mai mare de unu: .
crește monoton minim la x = 0, y = 0
Nu minim, x = 0, y = 0
la 0 Extreme:
convex în jos Puncte de inflexiune:
x = 0, y = 0
;
Limite:
la x = -1, y(-1) = 1
la x = 0, y(0) = 0
pentru x = 1, y(1) = 1
pentru x = 1, y(1) = 1 n = 1

Unde n = 4, 6, 8, ... - natural par, m = 3, 5, 7 ... - natural impar.

pentru x > 0 crește monoton

Numitorul indicatorului fracționar este par

Fie numitorul exponentului fracționar par: m = 2, 4, 6, ... . În acest caz, funcția de putere x p nu este definită pentru valorile negative ale argumentului. Proprietățile sale coincid cu proprietățile unei funcții de putere cu un exponent irațional (vezi secțiunea următoare).

Se consideră o funcție de putere y = x p cu un exponent irațional p.< 0

exponent n = 1, 3, 5, ... . Proprietățile unor astfel de funcții diferă de cele discutate mai sus prin faptul că nu sunt definite pentru valorile negative ale argumentului x.
Domeniu de aplicare: Exponent par, n = -2, -4, -6, ...
impar, y(-x) = - y(x) x ≠ 0
Nu minim, x = 0, y = 0
la 0 Extreme:
convex în jos Extreme:
x = 0, y = 0 ;
Pentru valorile pozitive ale argumentului, proprietățile depind numai de valoarea exponentului p și nu depind de dacă p este întreg, rațional sau irațional. y = x p pentru diferite valori ale exponentului p.

Funcția de putere cu exponent pozitiv p > 0

Indicator mai mic de unu 0< p < 1

exponent n = 1, 3, 5, ... . x ≥ 0
Domeniu de aplicare: y ≥ 0
impar, y(-x) = - y(x) Monoton:
Nu convex în sus
la 0 Extreme:
convex în jos Puncte de inflexiune:
x = 0, y = 0
Limite: Pentru x = 0, y(0) = 0 p = 0 .
y = x p pentru diferite valori ale exponentului p.

Indicatorul este mai mare decât un p > 1

exponent n = 1, 3, 5, ... . x ≥ 0
Domeniu de aplicare: y ≥ 0
impar, y(-x) = - y(x) Monoton:
Nu minim, x = 0, y = 0
la 0 Extreme:
convex în jos Puncte de inflexiune:
x = 0, y = 0
Limite: Pentru x = 0, y(0) = 0 p = 0 .
y = x p pentru diferite valori ale exponentului p.

Literatura folosita:
ÎN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Manual de matematică pentru ingineri și studenți, „Lan”, 2009.

Să alegem un sistem de coordonate dreptunghiular pe plan și să trasăm valorile argumentului pe axa absciselor X, iar pe ordonată - valorile funcției y = f(x).

Graficul funcției y = f(x) este mulțimea tuturor punctelor ale căror abscise aparțin domeniului de definire a funcției, iar ordonatele sunt egale cu valorile corespunzătoare ale funcției.

Cu alte cuvinte, graficul funcției y = f (x) este mulțimea tuturor punctelor planului, coordonatele X, la care satisfac relatia y = f(x).

În fig. 45 și 46 prezintă grafice ale funcțiilor y = 2x + 1Şi y = x 2 - 2x.

Strict vorbind, ar trebui să distingem între un grafic al unei funcții (a cărui definiție matematică exactă a fost dată mai sus) și o curbă desenată, care oferă întotdeauna doar o schiță mai mult sau mai puțin precisă a graficului (și chiar și atunci, de regulă, nu întregul grafic, ci doar partea lui situată în părțile finale ale planului). În cele ce urmează, totuși, vom spune în general „grafic” mai degrabă decât „schiță grafică”.

Folosind un grafic, puteți găsi valoarea unei funcții într-un punct. Și anume, dacă punctul x = a aparține domeniului de definire a funcției y = f(x), apoi pentru a găsi numărul fa)(adică valorile funcției la punctul x = a) ar trebui să faci asta. Este necesar prin punctul de abscisă x = a trageți o linie dreaptă paralelă cu axa ordonatelor; această linie va intersecta graficul funcției y = f(x) la un moment dat; ordonata acestui punct va fi, în virtutea definiţiei graficului, egală cu fa)(Fig. 47).

De exemplu, pentru funcție f(x) = x 2 - 2x folosind graficul (Fig. 46) găsim f(-1) = 3, f(0) = 0, f(1) = -l, f(2) = 0 etc.

Un grafic al funcției ilustrează clar comportamentul și proprietățile unei funcții. De exemplu, luând în considerare fig. 46 este clar că funcţia y = x 2 - 2x acceptă valori pozitive la X< 0 iar la x > 2, negativ - la 0< x < 2; cea mai mică valoare funcţie y = x 2 - 2x acceptă la x = 1.

Pentru a reprezenta grafic o funcție f(x) trebuie să găsiți toate punctele avionului, coordonatele X,la care satisfac ecuația y = f(x). În cele mai multe cazuri, acest lucru este imposibil de făcut, deoarece există un număr infinit de astfel de puncte. Prin urmare, graficul funcției este reprezentat aproximativ - cu o precizie mai mare sau mai mică. Cea mai simplă este metoda de a reprezenta un grafic folosind mai multe puncte. Constă în faptul că argumentul X dați un număr finit de valori - să spunem, x 1, x 2, x 3,..., x k și creați un tabel care include valorile funcției selectate.

Tabelul arată astfel:

După ce am compilat un astfel de tabel, putem contura mai multe puncte pe graficul funcției y = f(x). Apoi, conectând aceste puncte cu o linie netedă, obținem o vedere aproximativă a graficului funcției y = f(x).

Trebuie remarcat, totuși, că metoda de reprezentare în mai multe puncte este foarte nesigură. De fapt, comportamentul graficului dintre punctele dorite și comportamentul acestuia în afara segmentului dintre punctele extreme luate rămâne necunoscut.

Exemplul 1. Pentru a reprezenta grafic o funcție y = f(x) cineva a compilat un tabel de valori ale argumentelor și ale funcției:

Cele cinci puncte corespunzătoare sunt prezentate în Fig. 48.

Pe baza locației acestor puncte, a concluzionat că graficul funcției este o linie dreaptă (prezentată în Fig. 48 cu o linie punctată). Această concluzie poate fi considerată de încredere? Cu excepția cazului în care există considerații suplimentare care să susțină această concluzie, cu greu poate fi considerată de încredere. de încredere.

Pentru a fundamenta afirmația noastră, luați în considerare funcția

.

Calculele arată că valorile acestei funcții la punctele -2, -1, 0, 1, 2 sunt descrise exact de tabelul de mai sus. Cu toate acestea, graficul acestei funcții nu este deloc o linie dreaptă (este prezentat în Fig. 49). Un alt exemplu ar fi funcția y = x + l + sinπx; semnificațiile sale sunt descrise și în tabelul de mai sus.

Aceste exemple arată că, în forma sa „pură”, metoda de a reprezenta un grafic folosind mai multe puncte este nesigură. Prin urmare, pentru a reprezenta graficul unei funcții date, de regulă, procedați după cum urmează. În primul rând, sunt studiate proprietățile acestei funcții, cu ajutorul căreia puteți construi o schiță a graficului. Apoi, calculând valorile funcției în mai multe puncte (ale căror alegere depinde de proprietățile stabilite ale funcției), se găsesc punctele corespunzătoare ale graficului. Și în final, o curbă este trasată prin punctele construite folosind proprietățile acestei funcții.

Ne vom uita la unele (cele mai simple și mai frecvent utilizate) proprietăți ale funcțiilor folosite pentru a găsi o schiță grafică mai târziu, dar acum ne vom uita la câteva metode utilizate în mod obișnuit pentru construirea de grafice.

Graficul funcției y = |f(x)|.

Adesea este necesar să reprezentați o funcție y = |f(x)|, unde f(x) - funcţie dată. Să vă reamintim cum se face acest lucru. Prin definirea valorii absolute a unui număr, putem scrie

Aceasta înseamnă că graficul funcției y =|f(x)| poate fi obținută din grafic, funcție y = f(x) astfel: toate punctele de pe graficul funcţiei y = f(x), ale căror ordonate sunt nenegative, trebuie lăsate neschimbate; mai departe, în locul punctelor graficului funcției y = f(x) având coordonate negative, ar trebui să construiți punctele corespunzătoare pe graficul funcției y = -f(x)(adică o parte a graficului funcției
y = f(x), care se află sub axă X, ar trebui să fie reflectată simetric în jurul axei X).

Exemplul 2. Reprezentați grafic funcția y = |x|.

Să luăm graficul funcției y = x(Fig. 50, a) și o parte a acestui grafic la X< 0 (întins sub ax X) reflectată simetric în raport cu axa X. Ca rezultat, obținem un grafic al funcției y = |x|(Fig. 50, b).

Exemplul 3. Reprezentați grafic funcția y = |x 2 - 2x|.

În primul rând, să diagramăm funcția y = x 2 - 2x. Graficul acestei funcții este o parabolă, ale cărei ramuri sunt îndreptate în sus, vârful parabolei are coordonatele (1; -1), graficul său intersectează axa x în punctele 0 și 2. În intervalul (0; 2) funcția ia valori negative, prin urmare această parte a graficului reflectată simetric față de axa absciselor. Figura 51 prezintă graficul funcției y = |x 2 -2x|, pe baza graficului funcției y = x 2 - 2x

Graficul funcției y = f(x) + g(x)

Luați în considerare problema construirii unui grafic al unei funcții y = f(x) + g(x). dacă sunt date grafice de funcții y = f(x)Şi y = g(x).

Rețineți că domeniul de definiție al funcției y = |f(x) + g(x)| este mulțimea tuturor acelor valori ale lui x pentru care sunt definite ambele funcții y = f(x) și y = g(x), adică acest domeniu de definiție este intersecția domeniilor de definiție, funcțiile f(x) și g(x).

Lasă punctele (x 0 , y 1) Și (x 0, y 2) aparțin respectiv graficelor de funcții y = f(x)Şi y = g(x), adică y 1 = f(x 0), y 2 = g(x 0). Atunci punctul (x0;. y1 + y2) aparține graficului funcției y = f(x) + g(x)(pentru f(x 0) + g(x 0) = y 1 +y2),. și orice punct din graficul funcției y = f(x) + g(x) poate fi obtinut in acest fel. Prin urmare, graficul funcției y = f(x) + g(x) pot fi obținute din graficele de funcții y = f(x). Şi y = g(x)înlocuind fiecare punct ( x n, y 1) grafică funcțională y = f(x) punct (x n, y 1 + y 2), Unde y 2 = g(x n), adică prin deplasarea fiecărui punct ( x n, y 1) graficul funcției y = f(x) de-a lungul axei la prin suma y 1 = g(x n). În acest caz, sunt luate în considerare numai astfel de puncte X n pentru care sunt definite ambele funcții y = f(x)Şi y = g(x).

Această metodă de reprezentare a unei funcții y = f(x) + g(x) se numește adunare de grafice de funcții y = f(x)Şi y = g(x)

Exemplul 4. În figură, un grafic al funcției a fost construit folosind metoda de adunare a graficelor
y = x + sinx.

La trasarea unei funcții y = x + sinx am crezut că f(x) = x, O g(x) = sinx. Pentru a reprezenta graficul funcției, selectăm puncte cu abscise -1,5π, -, -0,5, 0, 0,5,, 1,5, 2. Valori f(x) = x, g(x) = sinx, y = x + sinx Să calculăm la punctele selectate și să plasăm rezultatele în tabel.