Cum să găsiți valoarea unei expresii logaritmice. Ce este un logaritm

Ecuație logaritmică este o ecuație în care necunoscuta (x) și expresiile cu aceasta se află sub semn funcţie logaritmică. Soluţie ecuații logaritmice presupune că sunteți deja familiarizat cu și .
Cum se rezolvă ecuațiile logaritmice?

Cea mai simplă ecuație este log a x = b, unde a și b sunt numere, x este o necunoscută.
Rezolvarea unei ecuații logaritmice este x = a b cu condiția: a > 0, a 1.

Trebuie remarcat faptul că, dacă x este undeva în afara logaritmului, de exemplu log 2 x = x-2, atunci o astfel de ecuație este deja numită mixtă și este necesară o abordare specială pentru a o rezolva.

Cazul ideal este atunci când dai peste o ecuație în care doar numerele sunt sub semnul logaritmului, de exemplu x+2 = log 2 2. Aici este suficient să cunoști proprietățile logaritmilor pentru a o rezolva. Dar un astfel de noroc nu se întâmplă des, așa că pregătește-te pentru lucruri mai dificile.

Dar mai întâi, să începem cu ecuații simple. Pentru a le rezolva, este de dorit să aveți cel mai mult idee generală despre logaritm.

Rezolvarea ecuațiilor logaritmice simple

Acestea includ ecuații de tipul log 2 x = log 2 16. Ochiul liber poate vedea că omițând semnul logaritmului obținem x = 16.

Pentru a rezolva o ecuație logaritmică mai complexă, aceasta se reduce de obicei la rezolvarea obișnuită ecuație algebrică sau la soluția celei mai simple ecuații logaritmice log a x = b. În cele mai simple ecuații acest lucru se întâmplă într-o singură mișcare, motiv pentru care sunt numite cele mai simple.

Metoda de mai sus de eliminare a logaritmilor este una dintre principalele modalități de rezolvare a ecuațiilor și inegalităților logaritmice. În matematică, această operație se numește potențare. Există anumite reguli sau restricții pentru acest tip de operațiuni:

• logaritmii au aceleași baze numerice
• Logaritmii din ambele părți ale ecuației sunt liberi, adică. fara nici un coeficient si altele diverse feluri expresii.

Să presupunem că în ecuație log 2 x = 2log 2 (1 - x) potențarea nu este aplicabilă - coeficientul 2 din dreapta nu o permite. În exemplul următor, log 2 x+log 2 (1 - x) = log 2 (1+x) nu satisface nici una dintre restricții - există doi logaritmi în stânga. Dacă ar fi doar unul, ar fi cu totul altă chestiune!

În general, puteți elimina logaritmii numai dacă ecuația are forma:

log a (...) = log a (...)

Absolut orice expresii pot fi plasate între paranteze, acest lucru nu are absolut niciun efect asupra operației de potențare. Și după eliminarea logaritmilor, va rămâne o ecuație mai simplă - liniară, pătratică, exponențială etc., pe care, sper, deja știi să o rezolvi.

Să luăm un alt exemplu:

log 3 (2x-5) = log 3 x

Aplicăm potențarea, obținem:

log 3 (2x-1) = 2

Pe baza definiției unui logaritm, și anume, că un logaritm este un număr la care trebuie ridicată baza pentru a obține o expresie care se află sub semnul logaritmului, i.e. (4x-1), obținem:

Din nou am primit un răspuns frumos. Aici am făcut fără eliminarea logaritmilor, dar potențarea este aplicabilă și aici, pentru că un logaritm se poate face din orice număr, și exact cel de care avem nevoie. Această metodă este foarte utilă în rezolvarea ecuațiilor logaritmice și în special a inegalităților.

Să rezolvăm ecuația noastră logaritmică log 3 (2x-1) = 2 folosind potențarea:

Să ne imaginăm numărul 2 ca un logaritm, de exemplu, acest log 3 9, deoarece 3 2 =9.

Apoi log 3 (2x-1) = log 3 9 și din nou obținem aceeași ecuație 2x-1 = 9. Sper că totul este clar.

Așa că ne-am uitat la cum să rezolvăm cele mai simple ecuații logaritmice, care sunt de fapt foarte importante, deoarece rezolvarea ecuațiilor logaritmice, chiar și cele mai groaznice și întortocheate, până la urmă întotdeauna se rezumă la rezolvarea celor mai simple ecuații.

În tot ceea ce am făcut mai sus, ne-a ratat unul foarte mult punct important, care va juca un rol decisiv în viitor. Faptul este că soluția oricărei ecuații logaritmice, chiar și cea mai elementară, constă din două părți egale. Prima este soluția ecuației în sine, a doua lucrează cu intervalul de valori admisibile (APV). Aceasta este exact prima parte pe care am stăpânit-o. În exemplele de mai sus, ODZ nu afectează în niciun fel răspunsul, așa că nu l-am luat în considerare.

Să luăm un alt exemplu:

log 3 (x 2 -3) = log 3 (2x)

În exterior, această ecuație nu este diferită de una elementară, care poate fi rezolvată cu mare succes. Dar acest lucru nu este în întregime adevărat. Nu, bineînțeles că o vom rezolva, dar cel mai probabil incorect, deoarece conține o mică ambuscadă, în care cad imediat în ea atât elevii de clasa C, cât și studenții excelenți. Să aruncăm o privire mai atentă.

Să presupunem că trebuie să găsiți rădăcina ecuației sau suma rădăcinilor, dacă există mai multe dintre ele:

log 3 (x 2 -3) = log 3 (2x)

Folosim potențarea, este acceptabilă aici. Ca rezultat, obținem o ecuație pătratică obișnuită.

Găsirea rădăcinilor ecuației:

S-au dovedit două rădăcini.

Răspuns: 3 și -1

La prima vedere totul este corect. Dar haideți să verificăm rezultatul și să-l înlocuim în ecuația originală.

Să începem cu x 1 = 3:

log 3 6 = log 3 6

Verificarea a avut succes, acum coada este x 2 = -1:

log 3 (-2) = log 3 (-2)

Bine, oprește-te! La exterior totul este perfect. Un lucru - nu există logaritmi din numerele negative! Aceasta înseamnă că rădăcina x = -1 nu este potrivită pentru rezolvarea ecuației noastre. Și, prin urmare, răspunsul corect va fi 3, nu 2, așa cum am scris.

Aici și-a jucat ODZ rolul fatal, de care uitasem.

Permiteți-mi să vă reamintesc că intervalul de valori acceptabile include acele valori ale lui x care sunt permise sau au sens pentru exemplul original.

Fără ODZ, orice soluție, chiar și una absolut corectă, a oricărei ecuații se transformă într-o loterie - 50/50.

Cum am putea fi prinși rezolvând un exemplu aparent elementar? Dar tocmai în momentul potențarii. Logaritmii au dispărut și odată cu ei toate restricțiile.

Ce să faci în acest caz? Refuzați să eliminați logaritmii? Și refuză complet să rezolvi această ecuație?

Nu, noi, ca niște eroi adevărați dintr-un cântec celebru, vom face un ocol!

Înainte de a începe să rezolvăm orice ecuație logaritmică, vom nota ODZ. Dar după aceea, poți face orice dorește inima ta cu ecuația noastră. După ce am primit răspunsul, pur și simplu aruncăm acele rădăcini care nu sunt incluse în ODZ-ul nostru și notăm versiunea finală.

Acum să decidem cum să înregistrăm ODZ. Pentru a face acest lucru, examinăm cu atenție ecuația originală și căutăm locuri suspecte în ea, cum ar fi împărțirea cu x, chiar rădăcină etc. Până nu rezolvăm ecuația, nu știm cu ce este egal x, dar știm sigur că există x care, atunci când sunt înlocuiți, vor da împărțire cu 0 sau extracție. rădăcină pătrată dintr-un număr negativ nu sunt în mod evident potrivite ca răspuns. Prin urmare, astfel de x sunt inacceptabile, în timp ce restul vor constitui ODZ.

Să folosim din nou aceeași ecuație:

log 3 (x 2 -3) = log 3 (2x)

log 3 (x 2 -3) = log 3 (2x)

După cum puteți vedea, nu există diviziune cu 0, nu există nici rădăcini pătrate, dar există expresii cu x în corpul logaritmului. Să ne amintim imediat că expresia din interiorul logaritmului trebuie să fie întotdeauna >0. Scriem această condiție sub forma ODZ:

Aceste. Încă nu am rezolvat nimic, dar am notat deja o condiție obligatorie pentru întreaga expresie sublogaritmică. Acolada înseamnă că aceste condiții trebuie să fie adevărate simultan.

ODZ este notat, dar este și necesar să rezolvăm sistemul de inegalități rezultat, ceea ce vom face. Obținem răspunsul x > v3. Acum știm sigur care x nu ne va potrivi. Și apoi începem să rezolvăm ecuația logaritmică în sine, ceea ce am făcut mai sus.

După ce am primit răspunsurile x 1 = 3 și x 2 = -1, este ușor de observat că doar x1 = 3 ni se potrivește și îl notăm ca răspuns final.

Pentru viitor, este foarte important să rețineți următoarele: rezolvăm orice ecuație logaritmică în 2 etape. Primul este de a rezolva ecuația în sine, al doilea este de a rezolva condiția ODZ. Ambele etape se desfășoară independent una de cealaltă și sunt comparate numai la scrierea răspunsului, adică. aruncați tot ce nu este necesar și scrieți răspunsul corect.

Pentru a consolida materialul, vă recomandăm insistent să urmăriți videoclipul:

Videoclipul prezintă alte exemple de rezolvare a jurnalului. ecuații și elaborarea metodei intervalului în practică.

La aceasta intrebare, cum se rezolvă ecuații logaritmice Asta e tot deocamdată. Dacă ceva este decis de jurnal. ecuațiile rămân neclare sau de neînțeles, scrieți-vă întrebările în comentarii.

Notă: Academia de Educație Socială (ASE) este pregătită să accepte noi studenți.

Sunt date proprietățile de bază ale logaritmului, graficul logaritmului, domeniul de definire, setul de valori, formulele de bază, crescător și descrescător. Se ia în considerare găsirea derivatei unui logaritm. La fel ca integrală, extinderea seriei de putere și reprezentarea folosind numere complexe.

Definiţia logarithm

Logaritm cu baza a este o funcție a lui y (x) = log a x, inversă funcției exponențiale cu baza a: x (y) = a y.

Logaritm zecimal este logaritmul la baza unui număr 10 : log x ≡ log 10 x.

Logaritmul natural este logaritmul la baza lui e: ln x ≡ log e x.

2,718281828459045... ;
.

Graficul logaritmului se obține din graficul funcției exponențiale prin oglindirea acesteia față de dreapta y = x. În stânga sunt grafice ale funcției y(x) = log a x pentru patru valori baze logaritmice 2 : a = 8 : a = 1/2 , a = 1/8 și a = 1 . 0 < a < 1 Graficul arată că atunci când un >

logaritmul crește monoton. Pe măsură ce x crește, creșterea încetinește semnificativ. La

logaritmul scade monoton.

Proprietățile logaritmului

Interceptarea punctelor cu axa ordonatelor, x =

Nu Valori private Se numește logaritmul la baza 10

logaritm zecimal și se notează după cum urmează: Logaritm la bază e:

numit

logaritmul natural

Formule de bază pentru logaritmi

Proprietățile logaritmului care decurg din definiția funcției inverse:

Principala proprietate a logaritmilor și consecințele acesteia este operația matematică de luare a unui logaritm. Când se iau logaritmi, produsele factorilor sunt convertite în sume de termeni.

Potentarea este operația matematică inversă a logaritmului. În timpul potențarii, o bază dată este ridicată la gradul de expresie peste care se realizează potențarea. În acest caz, sumele de termeni sunt transformate în produse de factori.

Dovada formulelor de bază pentru logaritmi

Formulele legate de logaritmi decurg din formulele pentru funcții exponențiale și din definiția unei funcții inverse.

Luați în considerare proprietatea funcției exponențiale
.
Apoi
.
Să aplicăm proprietatea funcției exponențiale
:
.

Să demonstrăm formula de înlocuire a bazei.
;
.
Presupunând c = b, avem:

Funcția inversă

Inversa unui logaritm la baza a este o funcție exponențială cu exponentul a.

Dacă, atunci

Dacă, atunci

Derivată a logaritmului

Derivată a logaritmului modulului x:
.
Derivată de ordin al n-lea:
.
Formule derivate > > >

Pentru a găsi derivata unui logaritm, aceasta trebuie redusă la bază și se notează după cum urmează:.
;
.

Integral

Integrala logaritmului se calculează prin integrarea pe părți: .
Aşa,

Expresii folosind numere complexe

Luați în considerare funcția număr complex z:
.
Să exprimăm un număr complex z prin modul r si argument φ :
.
Apoi, folosind proprietățile logaritmului, avem:
.
Sau

Cu toate acestea, argumentul φ nu este definit în mod unic. Daca pui
, unde n este un număr întreg,
atunci va fi același număr pentru diferit n.

Prin urmare, logaritmul, ca funcție a unei variabile complexe, nu este o funcție cu o singură valoare.

Extinderea seriei de putere

Când are loc extinderea:

Literatura folosita:
ÎN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Manual de matematică pentru ingineri și studenți, „Lan”, 2009.

Logaritmii, ca orice numere, pot fi adunați, scăzuți și transformați în orice fel. Dar, deoarece logaritmii nu sunt chiar numere obișnuite, există reguli aici, care sunt numite proprietăți principale.

Cu siguranță trebuie să cunoașteți aceste reguli - fără ele, nici o problemă logaritmică serioasă nu poate fi rezolvată. În plus, sunt foarte puține dintre ele - puteți învăța totul într-o singură zi. Deci, să începem.

Adunarea și scăderea logaritmilor

Luați în considerare doi logaritmi cu aceleași baze: log o xși log o y. Apoi pot fi adăugate și scăzute și:

1. jurnal o x+ jurnal o y= jurnal o (x · y);
2. jurnal o x− jurnal o y= jurnal o (x : y).

Deci, suma logaritmilor este egală cu logaritmul produsului, iar diferența este egală cu logaritmul coeficientului. Vă rugăm să rețineți: punct cheie Aici - temeiuri identice. Dacă motivele sunt diferite, aceste reguli nu funcționează!

Aceste formule vă vor ajuta să calculați o expresie logaritmică chiar și atunci când părțile sale individuale nu sunt luate în considerare (vezi lecția „Ce este un logaritm”). Aruncă o privire la exemple și vezi:

Jurnal 6 4 + jurnal 6 9.

Deoarece logaritmii au aceleași baze, folosim formula sumei:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Sarcină. Aflați valoarea expresiei: log 2 48 − log 2 3.

Bazele sunt aceleași, folosim formula diferenței:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Sarcină. Aflați valoarea expresiei: log 3 135 − log 3 5.

Din nou bazele sunt aceleași, deci avem:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

După cum puteți vedea, expresiile originale sunt formate din logaritmi „răi”, care nu sunt calculate separat. Dar după transformări se obțin numere complet normale. Multe sunt construite pe acest fapt teste. Da, expresii asemănătoare testelor sunt oferite cu toată seriozitatea (uneori practic fără modificări) la examenul de stat unificat.

Extragerea exponentului din logaritm

Acum să complicăm puțin sarcina. Ce se întâmplă dacă baza sau argumentul unui logaritm este o putere? Apoi, exponentul acestui grad poate fi scos din semnul logaritmului conform următoarelor reguli:

Este ușor de observat că ultima regulă le urmează pe primele două. Dar este mai bine să-l amintiți oricum - în unele cazuri va reduce semnificativ cantitatea de calcule.

Desigur, toate aceste reguli au sens dacă se respectă ODZ al logaritmului: o > 0, o ≠ 1, x> 0. Si inca ceva: invata sa aplici toate formulele nu numai de la stanga la dreapta, ci si invers, i.e. Puteți introduce numerele înainte de semnul logaritmului în logaritmul însuși. Acesta este ceea ce se cere cel mai adesea.

Sarcină. Aflați valoarea expresiei: log 7 49 6 .

Să scăpăm de gradul din argument folosind prima formulă:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

Sarcină. Găsiți sensul expresiei:

[Letină pentru imagine]

Rețineți că numitorul conține un logaritm, a cărui bază și argument sunt puteri exacte: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. Avem:

Cred că ultimul exemplu necesită unele clarificări. Unde s-au dus logaritmii? Până în ultimul moment lucrăm doar cu numitorul. Am prezentat baza și argumentul logaritmului aflat acolo sub formă de puteri și am scos exponenții - am obținut o fracțiune „cu trei etaje”.

Acum să ne uităm la fracția principală. Numătorul și numitorul conțin același număr: log 2 7. Deoarece log 2 7 ≠ 0, putem reduce fracția - 2/4 va rămâne la numitor. Conform regulilor aritmeticii, cele patru pot fi transferate la numărător, ceea ce s-a făcut. Rezultatul a fost răspunsul: 2.

Tranziția la o nouă fundație

Vorbind despre regulile de adunare și scădere a logaritmilor, am subliniat în mod special că funcționează doar cu aceleași baze. Ce se întâmplă dacă motivele sunt diferite? Ce se întâmplă dacă nu sunt puteri exacte de același număr?

Formulele pentru tranziția către o nouă fundație vin în ajutor. Să le formulăm sub forma unei teoreme:

Să fie dat jurnal de logaritm o x. Apoi pentru orice număr c astfel încât c> 0 și c≠ 1, egalitatea este adevărată:

[Letină pentru imagine]

În special, dacă punem c = x, obținem:

[Letină pentru imagine]

Din a doua formulă rezultă că baza și argumentul logaritmului pot fi schimbate, dar în acest caz întreaga expresie este „întoarsă”, adică. logaritmul apare la numitor.

Aceste formule se găsesc rar în expresiile numerice obișnuite. Este posibil să se evalueze cât de convenabile sunt acestea numai atunci când se rezolvă ecuații și inegalități logaritmice.

Cu toate acestea, există probleme care nu pot fi rezolvate deloc decât prin trecerea la o nouă fundație. Să ne uităm la câteva dintre acestea:

Sarcină. Aflați valoarea expresiei: log 5 16 log 2 25.

Rețineți că argumentele ambilor logaritmi conțin puteri exacte. Să scoatem indicatorii: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

Acum să „inversăm” al doilea logaritm:

Deoarece produsul nu se schimbă la rearanjarea factorilor, am înmulțit cu calm patru și doi, apoi ne-am ocupat de logaritmi.

Sarcină. Aflați valoarea expresiei: log 9 100 lg 3.

Baza și argumentul primului logaritm sunt puteri exacte. Să notăm asta și să scăpăm de indicatorii:

Acum să scăpăm de logaritmul zecimal trecând la o nouă bază:

Identitatea logaritmică de bază

Adesea, în procesul de rezolvare, este necesar să se reprezinte un număr ca logaritm la o bază dată. În acest caz, următoarele formule ne vor ajuta:

În primul caz, numărul n devine un indicator al gradului aflat în argument. Număr n poate fi absolut orice, pentru că este doar o valoare logaritmică.

A doua formulă este de fapt o definiție parafrazată. Așa se numește: identitatea logaritmică de bază.

De fapt, ce se va întâmpla dacă numărul b ridică la o asemenea putere încât numărul b acestei puteri dă numărul o? Așa este: obțineți același număr o. Citiți din nou acest paragraf cu atenție - mulți oameni rămân blocați în el.

Asemenea formulelor pentru trecerea la o nouă bază, identitatea logaritmică de bază este uneori singura soluție posibilă.

Sarcină. Găsiți sensul expresiei:

[Letină pentru imagine]

Rețineți că log 25 64 = log 5 8 - pur și simplu am luat pătratul de la baza și argumentul logaritmului. Luând în considerare regulile de înmulțire a puterilor cu aceeași bază, obținem:

Dacă cineva nu știe, aceasta a fost o sarcină reală de la examenul de stat unificat :)

Unitate logaritmică și zero logaritmic

În concluzie, voi da două identități care cu greu pot fi numite proprietăți - mai degrabă, sunt consecințe ale definiției logaritmului. Apar constant în probleme și, în mod surprinzător, creează probleme chiar și pentru elevii „avansați”.

1. jurnal o o= 1 este o unitate logaritmică. Amintiți-vă odată pentru totdeauna: logaritm la orice bază o chiar din această bază este egal cu unu.
2. jurnal o 1 = 0 este zero logaritmic. Baza o poate fi orice, dar dacă argumentul conține unul, logaritmul este egal cu zero! Deoarece o 0 = 1 este o consecință directă a definiției.

Sunt toate proprietățile. Asigurați-vă că exersați punerea lor în practică! Descărcați fișa cheat la începutul lecției, imprimați-o și rezolvați problemele.

Rezultă din definiția sa. Și astfel logaritmul numărului b bazat pe O este definit ca exponentul la care trebuie ridicat un numar o pentru a obține numărul b(logaritmul există doar pentru numerele pozitive).

Din această formulare rezultă că calculul x=log a b, este echivalent cu rezolvarea ecuației a x =b. De exemplu, log 2 8 = 3 deoarece 8 = 2 3 . Formularea logaritmului face posibilă justificarea că dacă b=a c, apoi logaritmul numărului b bazat pe o egală Cu. De asemenea, este clar că subiectul logaritmilor este strâns legat de subiectul puterilor unui număr.

Cu logaritmi, ca și cu orice numere, poți face operații de adunare, scădereși se transformă în toate modurile posibile. Dar datorită faptului că logaritmii nu sunt numere în întregime obișnuite, aici se aplică propriile reguli speciale, care sunt numite proprietăți principale.

Adunarea și scăderea logaritmilor.

Să luăm doi logaritmi cu aceleași baze: log un xŞi log a y. Apoi, este posibil să efectuați operații de adunare și scădere:

log a x+ log a y= log a (x·y);

log a x - log a y = log a (x:y).

log a(x 1 . x 2 . x 3 ... x k) = log un x 1 + log un x 2 + log un x 3 + ... + log a x k.

Din teorema coeficientului de logaritm Mai poate fi obținută o proprietate a logaritmului. Este cunoscut faptul că log o 1= 0, prin urmare

jurnal o 1 /b= jurnal o 1 - jurnal a b= -log a b.

Aceasta înseamnă că există o egalitate:

log a 1 / b = - log a b.

Logaritmi a două numere reciproce din același motiv vor diferi unul de celălalt numai prin semn. Aşa:

Log 3 9= - log 3 1 / 9 ; log 5 1 / 125 = -log 5 125.

Pe măsură ce societatea s-a dezvoltat și producția a devenit mai complexă, s-a dezvoltat și matematica. Mișcare de la simplu la complex. Din contabilitatea obișnuită folosind metoda adunării și scăderii, cu repetarea lor repetată, s-a ajuns la conceptul de înmulțire și împărțire. Reducerea operației repetate de înmulțire a devenit conceptul de exponențiere. Primele tabele ale dependenței numerelor de bază și ale numărului de exponențiere au fost întocmite încă din secolul al VIII-lea de către matematicianul indian Varasena. Din ele puteți număra timpul de apariție a logaritmilor.

Schiță istorică

Reînvierea Europei în secolul al XVI-lea a stimulat și dezvoltarea mecanicii. T a necesitat o cantitate mare de calcul legate de înmulțirea și împărțirea numerelor cu mai multe cifre. Mesele antice erau de mare serviciu. Au făcut posibilă înlocuirea operațiilor complexe cu altele mai simple - adunarea și scăderea. Un mare pas înainte a fost lucrarea matematicianului Michael Stiefel, publicată în 1544, în care a realizat ideea multor matematicieni. Acest lucru a făcut posibilă utilizarea tabelelor nu numai pentru grade în formă numere prime, dar și pentru cele raționale arbitrare.

În 1614, scoțianul John Napier, dezvoltând aceste idei, a introdus pentru prima dată noul termen „logaritm al unui număr”. Au fost compilate altele noi tabele complexe pentru calcularea logaritmilor sinusurilor și cosinusurilor, precum și a tangentelor. Acest lucru a redus foarte mult munca astronomilor.

Au început să apară tabele noi, care au fost folosite cu succes de oamenii de știință timp de trei secole. A trecut mult timp înainte ca noua operație în algebră să-și dobândească forma finală. S-a dat definiția logaritmului și s-au studiat proprietățile acestuia.

Abia în secolul al XX-lea, odată cu apariția calculatorului și a computerului, omenirea a abandonat vechile mese care funcționaseră cu succes de-a lungul secolelor al XIII-lea.

Astăzi numim logaritmul lui b pentru a baza pe a numărul x care este puterea lui a de a face b. Aceasta se scrie sub formă de formulă: x = log a(b).

De exemplu, log 3(9) va fi egal cu 2. Acest lucru este evident dacă urmați definiția. Dacă ridicăm 3 la puterea lui 2, obținem 9.

Astfel, definiția formulată stabilește o singură restricție: numerele a și b trebuie să fie reale.

Tipuri de logaritmi

Definiția clasică se numește logaritm real și este de fapt soluția ecuației a x = b. Opțiunea a = 1 este limită și nu prezintă interes. Atenție: 1 la orice putere este egal cu 1.

Valoarea reală a logaritmului definit numai atunci când baza și argumentul sunt mai mari decât 0, iar baza nu trebuie să fie egală cu 1.

Loc deosebit în domeniul matematicii jucați logaritmi, care vor fi denumiti în funcție de dimensiunea bazei lor:

Reguli și restricții

Proprietatea fundamentală a logaritmilor este regula: logaritmul unui produs este egal cu suma logaritmică. log abp = log a(b) + log a(p).

Ca variantă a acestei afirmații va fi: log c(b/p) = log c(b) - log c(p), funcția coeficient este egală cu diferența funcțiilor.

Din cele două reguli anterioare este ușor de observat că: log a(b p) = p * log a(b).

Alte proprietăți includ:

Comentariu. Nu este nevoie să faceți o greșeală comună - logaritmul unei sume nu este egal cu suma logaritmilor.

Timp de multe secole, operația de găsire a unui logaritm a fost o sarcină destul de consumatoare de timp. Matematicienii au folosit formula binecunoscută a teoriei logaritmice a expansiunii polinomiale:

ln (1 + x) = x — (x^2)/2 + (x^3)/3 — (x^4)/4 + … + ((-1)^(n + 1))*(( x^n)/n), unde n - număr natural mai mare decât 1, ceea ce determină acuratețea calculului.

Logaritmii cu alte baze au fost calculați folosind teorema despre trecerea de la o bază la alta și proprietatea logaritmului produsului.

Deoarece această metodă necesită foarte multă muncă și la rezolvarea problemelor practice dificil de implementat, am folosit tabele de logaritmi precompilate, care au accelerat semnificativ toată munca.

În unele cazuri, s-au folosit grafice special concepute de logaritmi, care au oferit mai puțină acuratețe, dar au accelerat semnificativ căutarea valorii dorite. Curba funcției y = log a(x), construită pe mai multe puncte, vă permite să utilizați o riglă obișnuită pentru a găsi valoarea funcției în orice alt punct. Ingineri perioadă lungă de timpÎn aceste scopuri, s-a folosit așa-numita hârtie milimetrată.

În secolul al XVII-lea au apărut primele condiții auxiliare de calcul analogic, care secolul al XIX-lea a căpătat un aspect finit. Cel mai de succes dispozitiv a fost numit regulă de calcul. În ciuda simplității dispozitivului, aspectul său a accelerat semnificativ procesul tuturor calculelor de inginerie, iar acest lucru este dificil de supraestimat. În prezent, puțini oameni sunt familiarizați cu acest dispozitiv.

Apariția calculatoarelor și calculatoarelor a făcut ca utilizarea oricăror alte dispozitive să fie inutilă.

Ecuații și inegalități

Pentru a rezolva diverse ecuații și inegalități folosind logaritmi, se folosesc următoarele formule:

• Trecerea de la o bază la alta: log a(b) = log c(b) / log c(a);
• Ca o consecință versiunea anterioară: log a(b) = 1 / log b(a).

Pentru a rezolva inegalitățile este util să știm:

• Valoarea logaritmului va fi pozitivă numai dacă baza și argumentul sunt ambele mai mari sau mai mici decât unu; dacă cel puțin o condiție este încălcată, valoarea logaritmului va fi negativă.
• Dacă funcția logaritm este aplicată în partea dreaptă și stângă a unei inegalități, iar baza logaritmului este mai mare decât unu, atunci semnul inegalității este păstrat; altfel se schimba.

Exemple de probleme

Să luăm în considerare mai multe opțiuni pentru utilizarea logaritmilor și proprietățile acestora. Exemple cu rezolvarea ecuațiilor:

Luați în considerare opțiunea de a plasa logaritmul într-o putere:

• Problema 3. Calculați 25^log 5(3). Soluție: în condițiile problemei, intrarea este similară cu următoarea (5^2)^log5(3) sau 5^(2 * log 5(3)). Să-l scriem diferit: 5^log 5(3*2), sau pătratul unui număr ca argument funcție poate fi scris ca pătrat al funcției în sine (5^log 5(3))^2. Folosind proprietățile logaritmilor, această expresie este egală cu 3^2. Răspuns: ca rezultat al calculului obținem 9.

Aplicație practică

Fiind un instrument pur matematic, pare departe de a fi viata reala pe care logaritmul a dobândit-o brusc mare valoare pentru a descrie obiecte lumea reală. Este greu să găsești o știință în care să nu fie folosită. Acest lucru se aplică pe deplin nu numai domeniilor de cunoaștere naturale, ci și umanitare.

Dependențe logaritmice

Iată câteva exemple de dependențe numerice:

Mecanica si fizica

Din punct de vedere istoric, mecanica și fizica s-au dezvoltat întotdeauna folosind metode de cercetare matematică și, în același timp, au servit drept stimulent pentru dezvoltarea matematicii, inclusiv a logaritmilor. Teoria majorității legilor fizicii este scrisă în limbajul matematicii. Să dăm doar două exemple de descrieri legi fizice folosind logaritmul.

Problema calculării unei cantități atât de complexe precum viteza unei rachete poate fi rezolvată folosind formula Tsiolkovsky, care a pus bazele teoriei explorării spațiului:

V = I * ln (M1/M2), unde

• V este viteza finală a aeronavei.
• I – impuls specific motorului.
• M 1 – masa inițială a rachetei.
• M 2 – masa finală.

Altul exemplu important - aceasta este folosită în formula unui alt mare om de știință Max Planck, care servește la evaluarea stării de echilibru în termodinamică.

S = k * ln (Ω), unde

• S – proprietate termodinamică.
• k – constanta Boltzmann.
• Ω este ponderea statistică a diferitelor stări.

Chimie

Mai puțin evidentă este utilizarea formulelor în chimie care conțin raportul logaritmilor. Să dăm doar două exemple:

• Ecuația Nernst, starea potențialului redox al mediului în raport cu activitatea substanțelor și constanta de echilibru.
• De asemenea, calculul unor constante precum indicele de autoliză și aciditatea soluției nu se poate face fără funcția noastră.

Psihologie și biologie

Și nu este deloc clar ce legătură are psihologia cu asta. Se pare că puterea senzației este bine descrisă de această funcție ca raportul invers dintre valoarea intensității stimulului și valoarea intensității inferioare.

După exemplele de mai sus, nu mai este de mirare că subiectul logaritmilor este utilizat pe scară largă în biologie. S-ar putea scrie volume întregi despre formele biologice corespunzătoare spiralelor logaritmice.

Alte zone

Se pare că existența lumii este imposibilă fără legătură cu această funcție și guvernează toate legile. Mai ales când legile naturii sunt asociate cu progresia geometrică. Merită să apelați la site-ul MatProfi și există multe astfel de exemple în următoarele domenii de activitate:

Lista poate fi nesfârșită. După ce stăpânești principiile de bază ale acestei funcții, te poți cufunda în lumea înțelepciunii infinite.