Cum să găsiți aria unei piramide patruunghiulare obișnuite. Suprafața totală a piramidei

Înainte de a studia întrebările despre această figură geometrică și proprietățile ei, ar trebui să înțelegeți câțiva termeni. Când o persoană aude despre o piramidă, își imaginează clădiri uriașe în Egipt. Așa arată cele mai simple. Dar vin în diferite tipuri și forme, ceea ce înseamnă că formula de calcul pentru formele geometrice va fi diferită.

Piramida - figură geometrică, denotând și reprezentând mai multe fețe. În esență, acesta este același poliedru, la baza căruia se află un poligon, iar pe laturi există triunghiuri care se conectează într-un punct - vârful. Cifra vine în două tipuri principale:

• corecta;
• trunchiată.

În primul caz, baza este un poligon regulat. Aici toate suprafețele laterale sunt egaleîntre ei și figura în sine vor mulțumi ochiul unui perfecționist.

În al doilea caz, există două baze - una mare în partea de jos și una mică între partea de sus, repetând forma celei principale. Cu alte cuvinte, o piramidă trunchiată este un poliedru cu o secțiune transversală formată paralel cu baza.

Termeni și simboluri

Termeni cheie:

• Triunghi regulat (echilateral).- o figură cu trei unghiuri egale și laturi egale. În acest caz, toate unghiurile sunt de 60 de grade. Figura este cea mai simplă dintre poliedre regulate. Dacă această cifră se află la bază, atunci un astfel de poliedru va fi numit triunghiular regulat. Dacă baza este un pătrat, piramida va fi numită o piramidă patruunghiulară obișnuită.
• Vertex– punctul cel mai înalt în care marginile se întâlnesc. Înălțimea vârfului este formată dintr-o linie dreaptă care se extinde de la vârf până la baza piramidei.
• Margine– unul dintre planurile poligonului. Poate fi sub formă de triunghi în cazul unei piramide triunghiulare, sau sub formă de trapez pentru o piramidă trunchiată.
• Secțiune- o figură plată formată în urma disecției. Nu trebuie confundat cu o secțiune, deoarece o secțiune arată și ce se află în spatele secțiunii.
• Apotema- un segment trasat de la vârful piramidei până la baza acesteia. Este, de asemenea, înălțimea feței unde se află al doilea punct de înălțime. Această definiție este valabilă numai în raport cu un poliedru regulat. De exemplu, dacă aceasta nu este o piramidă trunchiată, atunci fața va fi un triunghi. În acest caz, înălțimea acestui triunghi va deveni apotema.

Formule de arie

Găsiți aria suprafeței laterale a piramidei orice tip se poate face în mai multe moduri. Dacă figura nu este simetrică și este un poligon cu laturi diferite, atunci în acest caz este mai ușor să calculați suprafața totală prin totalitatea tuturor suprafețelor. Cu alte cuvinte, trebuie să calculați aria fiecărei fețe și să le adăugați.

În funcție de parametrii cunoscuți, pot fi necesare formule pentru calcularea unui pătrat, trapez, patrulater arbitrar etc. Formulele în sine în diferite cazuri va avea și diferențe.

În cazul unei figuri obișnuite, găsirea zonei este mult mai ușoară. Este suficient să cunoașteți doar câțiva parametri cheie. În cele mai multe cazuri, calculele sunt necesare în mod specific pentru astfel de cifre. Prin urmare, formulele corespunzătoare vor fi date mai jos. În caz contrar, ar trebui să scrieți totul pe mai multe pagini, ceea ce nu ar face decât să vă încurce și să vă încurce.

Formula de bază pentru calcul Suprafața laterală a unei piramide obișnuite va avea următoarea formă:

S=½ Pa (P este perimetrul bazei și este apotema)

Să ne uităm la un exemplu. Poliedrul are o bază cu segmente A1, A2, A3, A4, A5 și toate sunt egale cu 10 cm Lăsați apotema să fie egală cu 5 cm. Deoarece toate cele cinci fețe ale bazei sunt aceleași, o puteți găsi astfel: P = 5 * 10 = 50 cm În continuare, aplicăm formula de bază: S = ½ * 50 * 5 = 125 cm pătrat.

Suprafața laterală a unei piramide triunghiulare regulate cel mai usor de calculat. Formula arată astfel:

S =½* ab *3, unde a este apotema, b este fața bazei. Factorul de trei aici înseamnă numărul de fețe ale bazei, iar prima parte este aria suprafeței laterale. Să ne uităm la un exemplu. Având în vedere o figură cu apotema de 5 cm și marginea bazei de 8 cm Calculăm: S = 1/2*5*8*3=60 cm pătrat.

Suprafața laterală a unei piramide trunchiate Este puțin mai greu de calculat. Formula arată astfel: S =1/2*(p_01+ p_02)*a, unde p_01 și p_02 sunt perimetrele bazelor și este apotema. Să ne uităm la un exemplu. Să presupunem că pentru o figură patruunghiulară dimensiunile laturilor bazelor sunt de 3 și 6 cm, iar apotema este de 4 cm.

Aici, mai întâi trebuie să găsiți perimetrele bazelor: р_01 =3*4=12 cm; р_02=6*4=24 cm Rămâne să înlocuim valorile în formula principală și obținem: S =1/2*(12+24)*4=0,5*36*4=72 cm pătrat.

Astfel, puteți găsi suprafața laterală a unei piramide obișnuite de orice complexitate. Ar trebui să fii atent și să nu încurci aceste calcule cu aria totală a întregului poliedr. Și dacă tot trebuie să faceți acest lucru, doar calculați aria celei mai mari baze a poliedrului și adăugați-o la aria suprafeței laterale a poliedrului.

Video

Acest videoclip vă va ajuta să consolidați informații despre cum să găsiți suprafața laterală a diferitelor piramide.

Nu ai primit răspuns la întrebarea ta? Propuneți autorilor un subiect.

Definiţie. Marginea laterală- acesta este un triunghi în care un unghi se află în vârful piramidei, iar latura opusă coincide cu latura bazei (poligon).

Definiţie. Coaste laterale- acestea sunt laturile comune ale fețelor laterale. O piramidă are tot atâtea muchii cât unghiurile unui poligon.

Definiţie. Înălțimea piramidei- aceasta este o perpendiculară coborâtă de la vârf la baza piramidei.

Definiţie. Apotema- aceasta este o perpendiculară pe fața laterală a piramidei, coborâtă din vârful piramidei până în lateralul bazei.

Definiţie. Secțiune diagonală- aceasta este o secțiune a unei piramide printr-un plan care trece prin vârful piramidei și diagonala bazei.

Definiţie. Piramida corectă este o piramidă în care baza este un poligon regulat, iar înălțimea cade în centrul bazei.

Volumul și suprafața piramidei

Formula. Volumul piramidei prin zona de bază și înălțimea:

Proprietățile piramidei

Dacă toate marginile laterale sunt egale, atunci un cerc poate fi desenat în jurul bazei piramidei, iar centrul bazei coincide cu centrul cercului. De asemenea, o perpendiculară căzută din vârf trece prin centrul bazei (cercului).

Dacă toate marginile laterale sunt egale, atunci ele sunt înclinate față de planul bazei la aceleași unghiuri.

Marginile laterale sunt egale atunci când formează unghiuri egale cu planul bazei sau dacă se poate descrie un cerc în jurul bazei piramidei.

Dacă fețele laterale sunt înclinate față de planul bazei la același unghi, atunci un cerc poate fi înscris în baza piramidei, iar vârful piramidei este proiectat în centrul acesteia.

Dacă fețele laterale sunt înclinate față de planul bazei la același unghi, atunci apotemele fețelor laterale sunt egale.

Proprietățile unei piramide obișnuite

1. Vârful piramidei este echidistant de toate colțurile bazei.

2. Toate marginile laterale sunt egale.

3. Toate nervurile laterale sunt înclinate la unghiuri egale față de bază.

4. Apotemele tuturor fețelor laterale sunt egale.

5. Suprafețele tuturor fețelor laterale sunt egale.

6. Toate fețele au aceleași unghiuri diedrice (plate).

7. O sferă poate fi descrisă în jurul piramidei. Centrul sferei circumscrise va fi punctul de intersecție al perpendicularelor care trec prin mijlocul marginilor.

8. Puteți încadra o sferă într-o piramidă. Centrul sferei înscrise va fi punctul de intersecție al bisectoarelor care emană din unghiul dintre margine și bază.

9. Dacă centrul sferei înscrise coincide cu centrul sferei circumscrise, atunci suma unghiurilor plane de la vârf este egală cu π sau invers, un unghi este egal cu π/n, unde n este numărul de unghiuri la baza piramidei.

Legătura dintre piramidă și sferă

O sferă poate fi descrisă în jurul unei piramide când la baza piramidei există un poliedru în jurul căruia poate fi descris un cerc (o condiție necesară și suficientă). Centrul sferei va fi punctul de intersecție al planurilor care trec perpendicular prin punctele de mijloc ale marginilor laterale ale piramidei.

Este întotdeauna posibil să descrii o sferă în jurul oricărei piramide triunghiulare sau regulate.

O sferă poate fi înscrisă într-o piramidă dacă planurile bisectoare ale unghiurilor diedrice interne ale piramidei se intersectează într-un punct (o condiție necesară și suficientă). Acest punct va fi centrul sferei.

Relația dintre o piramidă și un con

Se spune că un con este înscris într-o piramidă dacă vârfurile lor coincid și baza conului este înscrisă în baza piramidei.

Un con poate fi înscris într-o piramidă dacă apotemele piramidei sunt egale între ele.

Se spune că un con este circumscris în jurul unei piramide dacă vârfurile lor coincid, iar baza conului este circumscrisă în jurul bazei piramidei.

Un con poate fi descris în jurul unei piramide dacă toate marginile laterale ale piramidei sunt egale între ele.

Relația dintre o piramidă și un cilindru

O piramidă se numește înscrisă într-un cilindru dacă vârful piramidei se află pe o bază a cilindrului, iar baza piramidei este înscrisă într-o altă bază a cilindrului.

Un cilindru poate fi descris în jurul unei piramide dacă un cerc poate fi descris în jurul bazei piramidei.

Un tetraedru are patru fețe și patru vârfuri și șase muchii, unde oricare două muchii nu au vârfuri comune, dar nu se ating.

Fiecare vârf este format din trei fețe și muchii care se formează unghi triunghiular.

Segmentul care leagă vârful unui tetraedru cu centrul feței opuse se numește mediana tetraedrului(GM).

Bimedian numit segment care leagă punctele medii ale muchiilor opuse care nu se ating (KL).

Toate bimedianele și medianele unui tetraedru se intersectează într-un punct (S). În acest caz, bimedianele sunt împărțite în jumătate, iar medianele sunt împărțite într-un raport de 3:1 începând de sus.

Definiţie. Piramidă unghiulară ascuțită- o piramidă în care apotema are mai mult de jumătate din lungimea laturii bazei.

Definiţie. Piramidă obtuză- o piramidă în care apotema este mai mică de jumătate din lungimea laturii bazei.

Definiţie. Tetraedru regulat- un tetraedru în care toate cele patru fețe sunt triunghiuri echilaterale. Este unul dintre cele cinci poligoane regulate. Într-un tetraedru obișnuit, toate unghiurile diedrice (între fețe) și unghiurile triedrice (la vârf) sunt egale.

Definiţie. Tetraedru dreptunghiular se numește tetraedru în care există un unghi drept între trei muchii la vârf (marginile sunt perpendiculare). Se formează trei fețe unghi triunghiular dreptunghiular iar fețele sunt triunghiuri dreptunghiulare, iar baza este un triunghi arbitrar. Apotema oricărei fețe este egală cu jumătate din latura bazei pe care cade apotema.

Definiţie. Tetraedru izoedric se numește tetraedru ale cărui fețe laterale sunt egale între ele, iar baza este un triunghi regulat. Un astfel de tetraedru are fețe care sunt triunghiuri isoscele.

Definiţie. tetraedru ortocentric se numește tetraedru în care se intersectează într-un punct toate înălțimile (perpendicularele) care sunt coborâte de sus pe fața opusă.

Definiţie. Piramida stelară Un poliedru a cărui bază este o stea se numește.

Există o formulă generală? Nu, în general, nu. Trebuie doar să căutați zonele fețelor laterale și să le rezumați.

Formula poate fi scrisă pentru prismă dreaptă:

Unde este perimetrul bazei.

Dar este totuși mult mai ușor să adunăm toate zonele în fiecare caz specific decât să memorezi formule suplimentare. De exemplu, să calculăm suprafața totală a unei prisme hexagonale regulate.

Toate fețele laterale sunt dreptunghiuri. Mijloace.

Acest lucru a fost deja arătat la calcularea volumului.

Deci obținem:

Suprafața piramidei

Regula generală se aplică și piramidei:

Acum să calculăm suprafața celor mai populare piramide.

Suprafața unei piramide triunghiulare regulate

Lasă latura bazei să fie egală și marginea laterală egală. Trebuie să găsim și.

Să ne amintim acum asta

Aceasta este aria unui triunghi regulat.

Și să ne amintim cum să căutăm această zonă. Folosim formula zonei:

Pentru noi, „ ” este aceasta, iar „ ” este și aceasta, eh.

Acum să-l găsim.

Folosind formula de bază a ariei și teorema lui Pitagora, găsim

Atenţie: dacă aveți un tetraedru obișnuit (adică), atunci formula se dovedește astfel:

Suprafața unei piramide patruunghiulare obișnuite

Lasă latura bazei să fie egală și marginea laterală egală.

Baza este un pătrat și de aceea.

Rămâne să găsiți zona feței laterale

Suprafața unei piramide hexagonale regulate.

Lasă latura bazei să fie egală și marginea laterală.

Cum să găsești? Un hexagon este format din exact șase triunghiuri regulate identice. Am căutat deja aria unui triunghi regulat atunci când calculăm suprafața unei piramide triunghiulare obișnuite aici folosim formula pe care am găsit-o.

Ei bine, am căutat deja zona feței laterale de două ori.

Ei bine, subiectul s-a terminat. Dacă citești aceste rânduri, înseamnă că ești foarte cool.

Pentru că doar 5% dintre oameni sunt capabili să stăpânească ceva pe cont propriu. Și dacă citești până la capăt, atunci ești în acest 5%!

Acum cel mai important lucru.

Ați înțeles teoria pe această temă. Și, repet, asta... asta este pur și simplu super! Ești deja mai bun decât marea majoritate a colegilor tăi.

Problema este că acest lucru poate să nu fie suficient...

Pentru ce?

Pentru promovarea cu succes a Examenului Unificat de Stat, pentru intrarea la facultate cu buget redus și, CEL MAI IMPORTANT, pe viață.

Nu te voi convinge de nimic, o să spun doar un lucru...

Oamenii care au primit o educație bună câștigă mult mai mult decât cei care nu au primit-o. Aceasta este statistica.

Dar acesta nu este principalul lucru.

Principalul lucru este că sunt MAI FERICIȚI (există astfel de studii). Poate pentru că mai multe oportunități se deschid în fața lor și viața devine mai strălucitoare? nu stiu...

Dar gandeste-te singur...

Ce este nevoie pentru a fi sigur că ești mai bun decât alții la examenul de stat unificat și, în cele din urmă, fii... mai fericit?

CĂGAȚI-VĂ MÂNĂ REZOLVÂND PROBLEME PE ACEST TEMA.

Nu ți se va cere teorie în timpul examenului.

vei avea nevoie rezolva problemele in timp.

Și, dacă nu le-ați rezolvat (MULTE!), cu siguranță veți face o greșeală stupidă undeva sau pur și simplu nu veți avea timp.

Este ca în sport - trebuie să o repeți de multe ori pentru a câștiga cu siguranță.

Găsiți colecția oriunde doriți, neaparat cu solutii, analiza detaliatași decide, decide, decide!

Puteți folosi sarcinile noastre (opțional) și noi, bineînțeles, le recomandăm.

Pentru a folosi mai bine sarcinile noastre, trebuie să contribuiți la prelungirea duratei de viață a manualului YouClever pe care îl citiți în prezent.

Cum? Există două opțiuni:

1. Deblocați toate sarcinile ascunse din acest articol -
2. Deblocați accesul la toate sarcinile ascunse din toate cele 99 de articole ale manualului - Cumpărați un manual - 499 RUR

Da, avem 99 de astfel de articole în manualul nostru și accesul la toate sarcinile și toate textele ascunse din ele poate fi deschis imediat.

Accesul la toate sarcinile ascunse este asigurat pe toată durata de viață a site-ului.

Si in concluzie...

Dacă nu vă plac sarcinile noastre, găsiți altele. Doar nu te opri la teorie.

„Înțeles” și „Pot rezolva” sunt abilități complet diferite. Ai nevoie de amândouă.

Găsiți probleme și rezolvați-le!

Piramida triunghiulara este un poliedru a cărui bază este un triunghi regulat.

Într-o astfel de piramidă, marginile bazei și marginile laturilor sunt egale între ele. În consecință, aria fețelor laterale se găsește din suma ariilor a trei triunghiuri identice. Puteți găsi suprafața laterală a unei piramide obișnuite folosind formula. Și puteți face calculul de câteva ori mai rapid. Pentru a face acest lucru, trebuie să aplicați formula pentru zona suprafeței laterale a unei piramide triunghiulare:

unde p este perimetrul bazei, ale cărei toate laturile sunt egale cu b, a este apotema coborâtă de la vârf la această bază. Să luăm în considerare un exemplu de calcul al ariei unei piramide triunghiulare.

Problemă: Să fie dată o piramidă obișnuită. Latura triunghiului de la bază este b = 4 cm Apotema piramidei este a = 7 cm.
Deoarece, în funcție de condițiile problemei, cunoaștem lungimile tuturor elementelor necesare, vom găsi perimetrul. Ne amintim că într-un triunghi obișnuit toate laturile sunt egale și, prin urmare, perimetrul este calculat cu formula:

Să înlocuim datele și să găsim valoarea:

Acum, cunoscând perimetrul, putem calcula aria suprafeței laterale:

Pentru a aplica formula pentru aria unei piramide triunghiulare pentru a calcula valoarea completă, trebuie să găsiți aria bazei poliedrului. Pentru a face acest lucru, utilizați formula:

Formula pentru aria bazei unei piramide triunghiulare poate fi diferită. Este posibil să utilizați orice calcul al parametrilor pentru o anumită cifră, dar cel mai adesea acest lucru nu este necesar. Să luăm în considerare un exemplu de calcul al ariei bazei unei piramide triunghiulare.

Problemă: Într-o piramidă obișnuită, latura triunghiului de la bază este a = 6 cm Calculați aria bazei.
Pentru a calcula, avem nevoie doar de lungimea laturii triunghiului regulat situat la baza piramidei. Să înlocuim datele în formula:

Destul de des trebuie să găsiți aria totală a unui poliedru. Pentru a face acest lucru, va trebui să adăugați zona suprafeței laterale și a bazei.

Să luăm în considerare un exemplu de calcul al ariei unei piramide triunghiulare.

Problemă: Să fie dată o piramidă triunghiulară regulată. Latura bazei este b = 4 cm, apotema este a = 6 cm Aflați aria totală a piramidei.
Mai întâi, să găsim aria suprafeței laterale folosind formula deja cunoscută. Să calculăm perimetrul:

Înlocuiți datele în formula:
Acum să găsim aria bazei:
Cunoscând aria bazei și a suprafeței laterale, găsim aria totală a piramidei:

Când calculați aria unei piramide obișnuite, nu trebuie să uitați că baza este un triunghi regulat și multe elemente ale acestui poliedru sunt egale între ele.

este o figură a cărei bază este un poligon arbitrar, iar fețele laterale sunt reprezentate prin triunghiuri. Vârfurile lor se află în același punct și corespund vârfului piramidei.

Piramida poate fi variată - triunghiulară, patruunghiulară, hexagonală etc. Numele său poate fi determinat în funcție de numărul de colțuri adiacente bazei.
Piramida dreapta numită piramidă în care laturile bazei, unghiurile și marginile sunt egale. De asemenea, într-o astfel de piramidă, aria fețelor laterale va fi egală.
Formula pentru aria suprafeței laterale a unei piramide este suma ariilor tuturor fețelor sale:
Adică, pentru a calcula aria suprafeței laterale a unei piramide arbitrare, trebuie să găsiți aria fiecărui triunghi individual și să le adăugați. Dacă piramida este trunchiată, atunci fețele sale sunt reprezentate de trapeze. Există o altă formulă pentru o piramidă obișnuită. În ea, aria suprafeței laterale este calculată prin semiperimetrul bazei și lungimea apotemului:

Să luăm în considerare un exemplu de calcul al suprafeței laterale a unei piramide.
Să fie dată o piramidă patruunghiulară regulată. Partea bazei b= 6 cm, apotema o= 8 cm Aflați aria suprafeței laterale.

La baza unei piramide patruunghiulare obișnuite se află un pătrat. Mai întâi, să-i găsim perimetrul:

Acum putem calcula aria suprafeței laterale a piramidei noastre:

Pentru a găsi aria totală a unui poliedru, va trebui să găsiți aria bazei acestuia. Formula pentru aria bazei unei piramide poate diferi în funcție de poligonul care se află la bază. Pentru a face acest lucru, utilizați formula pentru aria unui triunghi, aria unui paralelogram etc.

Luați în considerare un exemplu de calcul al ariei bazei unei piramide, dat de condițiile noastre. Deoarece piramida este regulată, există un pătrat la baza ei.
Suprafata patrata calculat prin formula: ,
unde a este latura pătratului. Pentru noi este de 6 cm Aceasta înseamnă că aria bazei piramidei este:

Acum tot ce rămâne este să găsiți aria totală a poliedrului. Formula pentru aria unei piramide constă din suma suprafeței bazei sale și a suprafeței laterale.