Cum să găsești o parte întreagă. Scoala de matematica pentru toti cei care studiaza si predau

În acest articol vom vorbi despre numere mixte. Mai întâi, să definim numere mixte și să dăm exemple. În continuare, să ne uităm la legătura dintre numerele mixte și fracțiile improprii. După aceea, vă vom arăta cum să convertiți un număr mixt într-o fracție necorespunzătoare. În sfârșit, să studiem proces invers, care se numește separarea întregii părți dintr-o fracție improprie.

Navigare în pagină.

Numere mixte, definiție, exemple

Matematicienii au fost de acord că suma n+a/b, unde n este un număr natural, a/b este o fracție proprie, poate fi scrisă fără semnul de adunare în formă. De exemplu, suma 28+5/7 poate fi scrisă pe scurt ca . O astfel de înregistrare a fost numită mixtă, iar numărul care corespunde acestei înregistrări mixte a fost numit număr mixt.

Așa ajungem la definiția unui număr mixt.

Definiţie.

Număr mixt este un număr egal cu suma numărului natural n și a fracției ordinare propriu-zise a/b și scris sub forma . În acest caz, se numește numărul n întreaga parte a numărului, iar numărul a/b este numit parte fracționară a unui număr.

Prin definiție, un număr mixt este egal cu suma părților sale întregi și fracționale, adică este valabilă egalitatea, care se poate scrie astfel: .

Să dăm exemple de numere mixte. Numărul este un număr mixt număr natural 5 este partea întreagă a numărului și este partea fracțională a numărului. Alte exemple de numere mixte sunt .

Uneori puteți găsi numere în notație mixtă, dar având o fracție improprie ca fracție, de exemplu, sau. Aceste numere sunt înțelese ca suma părților lor întregi și fracționale, de exemplu, Şi . Dar astfel de numere nu se potrivesc cu definiția unui număr mixt, deoarece partea fracțională a numerelor mixte trebuie să fie o fracție adecvată.

Numărul nu este, de asemenea, un număr mixt, deoarece 0 nu este un număr natural.

Relația dintre numerele mixte și fracțiile improprie

Urmăriți legătura dintre numere mixte și fracții improprie cel mai bine cu exemple.

Lasam pe tava o prajitura si inca 3/4 din aceeasi prajitura. Adică, după sensul adăugării, pe tavă sunt 1+3/4 prăjituri. După ce am notat ultima cantitate ca număr mixt, menționăm că pe tavă se află o prăjitură. Acum tăiați întregul tort în 4 părți egale. Drept urmare, pe tavă vor fi 7/4 din tort. Este clar că „cantitatea” tortului nu s-a schimbat, deci .

Din exemplul luat în considerare, următoarea conexiune este clar vizibilă: Orice număr mixt poate fi reprezentat ca o fracție improprie.

Acum lăsați să fie 7/4 din tort pe tavă. După ce a împăturit un tort întreg din patru părți, pe tavă va fi 1 + 3/4, adică un tort. Din aceasta rezultă clar că .

Din acest exemplu este clar că O fracție improprie poate fi reprezentată ca număr mixt. (În cazul special, când numărătorul unei fracții improprie este împărțit egal la numitor, fracția improprie poate fi reprezentată ca număr natural, de exemplu, deoarece 8:4 = 2).

Transformarea unui număr mixt într-o fracție improprie

A performa diverse actiuniÎn cazul numerelor mixte, abilitatea de a reprezenta numere mixte ca fracții improprii este utilă. În paragraful anterior, am aflat că orice număr mixt poate fi convertit într-o fracție improprie. Este timpul să ne dăm seama cum se realizează o astfel de traducere.

Să scriem un algoritm care arată cum se transformă un număr mixt într-o fracție improprie:

Să ne uităm la un exemplu de conversie a unui număr mixt într-o fracție improprie.

Exemplu.

Exprimați un număr mixt ca o fracție improprie.

Soluţie.

Să efectuăm toți pașii necesari ai algoritmului.

Un număr mixt este egal cu suma părților sale întregi și fracționale: .

După ce numărul 5 a fost scris ca 5/1, ultima sumă va lua forma .

Pentru a termina convertirea numărului mixt inițial într-o fracție improprie, tot ce rămâne este să adăugați fracții cu numitori diferiți: .

Un scurt rezumat al întregii soluții este: .

Răspuns:

Deci, pentru a converti un număr mixt într-o fracție necorespunzătoare, trebuie să efectuați următorul lanț de acțiuni: . In sfarsit primit , pe care îl vom folosi în continuare.

Exemplu.

Scrieți numărul mixt ca o fracție improprie.

Soluţie.

Să folosim formula pentru a converti un număr mixt într-o fracție improprie. În acest exemplu n=15, a=2, b=5. Astfel, .

Răspuns:

Separarea întregii părți dintr-o fracție improprie

Nu este obișnuit să scrieți o fracție improprie în răspuns. Fracția improprie este mai întâi înlocuită fie cu un număr natural egal (când numărătorul este divizibil cu numitor), fie se realizează așa-numita separare a întregii părți de fracția improprie (când numărătorul nu este divizibil cu numitorul ).

Definiţie.

Separarea întregii părți dintr-o fracție improprie- Aceasta este înlocuirea unei fracții cu un număr mixt egal.

Rămâne să aflați cum puteți izola întreaga parte dintr-o fracție necorespunzătoare.

Este foarte simplu: fracția improprie a/b este egală cu un număr mixt de formă, unde q este câtul parțial, iar r este restul când a este împărțit la b. Adică, partea întreagă este egală cu câtul incomplet al împărțirii a la b, iar restul este egal cu numărătorul părții fracționale.

Să demonstrăm această afirmație.

Pentru a face acest lucru, este suficient să arăți că . Să convertim amestecul într-o fracție improprie așa cum am făcut în paragraful anterior: . Deoarece q este un coeficient incomplet și r este restul împărțirii a la b, atunci egalitatea a=b·q+r este adevărată (dacă este necesar, vezi

Vrei să te simți ca un sapator? Atunci această lecție este pentru tine! Pentru că acum vom studia fracțiile - acestea sunt obiecte matematice atât de simple și inofensive, care, în ceea ce privește capacitatea lor de a „sufla mintea”, sunt superioare restului cursului de algebră.

Principalul pericol al fracțiilor este că apar în viata reala. Așa diferă, de exemplu, de polinoame și logaritmi, pe care le poți studia și uita cu ușurință după examen. Prin urmare, materialul prezentat în această lecție poate fi numit, fără exagerare, exploziv.

O fracție numerică (sau pur și simplu o fracție) este o pereche de numere întregi scrise separate printr-o bară oblică sau o bară orizontală.

Fracții scrise printr-o linie orizontală:

Aceleași fracții scrise cu bară oblică:
5/7; 9/(−30); 64/11; (−1)/4; 12/1.

Fracțiile sunt scrise de obicei printr-o linie orizontală - este mai ușor să lucrați cu ele în acest fel și arată mai bine. Numărul scris deasupra se numește numărător al fracției, iar numărul scris mai jos se numește numitor.

Orice număr întreg poate fi reprezentat ca o fracție cu numitorul 1. De exemplu, 12 = 12/1 este fracția din exemplul de mai sus.

În general, puteți pune orice număr întreg în numărătorul și numitorul unei fracții. Singura limitare este că numitorul trebuie să fie diferit de zero. Amintiți-vă vechea regulă: „Nu puteți împărți la zero!”

Dacă numitorul are tot zero, fracția se numește fracție nedefinită. O astfel de înregistrare este lipsită de sens și nu poate fi folosită în calcule.

Proprietatea principală a unei fracții

Fracțiile a /b și c /d se spune că sunt egale dacă ad = bc.

Din această definiție rezultă că aceeași fracție poate fi scrisă în moduri diferite. De exemplu, 1/2 = 2/4, deoarece 1 · 4 = 2 · 2. Desigur, există multe fracții care nu sunt egale între ele. De exemplu, 1/3 ≠ 5/4, deoarece 1 4 ≠ 3 5.

Apare o întrebare rezonabilă: cum să găsiți toate fracțiile egale cu una dată? Dăm răspunsul sub forma unei definiții:

Principala proprietate a unei fracții este că numărătorul și numitorul pot fi înmulțite cu același număr, altul decât zero. Aceasta va avea ca rezultat o fracție egală cu cea dată.

Aceasta este o proprietate foarte importantă - amintiți-o. Folosind proprietatea de bază a unei fracții, puteți simplifica și scurta multe expresii. În viitor, va apărea în mod constant sub forma diferitelor proprietăți și teoreme.

Fracții improprii. Selectarea unei piese întregi

Dacă numărătorul este mai mic decât numitorul, se numește fracție proprie. În caz contrar (adică, când numărătorul este mai mare sau cel puțin egal cu numitorul), fracția se numește improprie și o parte întreagă poate fi distinsă în ea.

Toată parte este înregistrată în număr mareîn fața fracției și arată astfel (marcat cu roșu):

Pentru a izola întreaga parte a unei fracții necorespunzătoare, trebuie să urmați trei pași simpli:

1. Află de câte ori se încadrează numitorul în numărător. Cu alte cuvinte, găsiți numărul întreg maxim care, atunci când este înmulțit cu numitorul, va fi tot mai mic decât numărătorul (cel mult, egal). Acest număr va fi partea întreagă, așa că o scriem în față;
2. Înmulțiți numitorul cu partea întreagă găsită în pasul anterior și scădeți rezultatul din numărător. „Stub” rezultat se numește restul diviziunii, va fi întotdeauna pozitiv (în cazuri extreme, zero). O scriem la numărătorul noii fracții;
3. Rescriem numitorul fără modificări.

Ei bine, este greu? La prima vedere, poate fi dificil. Dar cu puțină practică, vei putea să o faci aproape oral. Între timp, aruncați o privire la exemplele:

Sarcină. Selectați întreaga parte în fracțiile indicate:

În toate exemplele, întreaga parte este evidențiată cu roșu, iar restul diviziunii este evidențiată cu verde.

Atenție la ultima fracție, unde restul diviziunii se dovedește a fi zero. Se pare că numărătorul este complet împărțit la numitor. Acest lucru este destul de logic, deoarece 24: 6 = 4 este un fapt greu din tabla înmulțirii.

Dacă totul este făcut corect, numărătorul noii fracții va fi cu siguranță mai mic decât numitorul, adică. fracția va deveni corectă. De asemenea, voi observa că este mai bine să evidențiezi întreaga parte chiar la sfârșitul problemei, înainte de a scrie răspunsul. În caz contrar, calculele pot fi semnificativ complicate.

Mergând la o fracție improprie

Există și o operație inversă, când scăpăm de toată piesa. Aceasta se numește tranziția fracțiilor improprie și este mult mai comună, deoarece lucrul cu fracții improprie este mult mai ușor.

Trecerea la o fracție improprie se realizează și în trei pași:

1. Înmulțiți întreaga parte cu numitorul. Rezultatul poate fi destul de bun numere mari, dar acest lucru nu trebuie să ne deranjeze;
2. Adăugați numărul rezultat la numărătorul fracției inițiale. Scrieți rezultatul la numărătorul fracției improprie;
3. Rescrieți numitorul - din nou, fără modificări.

Iată exemple specifice:

Sarcină. Convertiți în fracție improprie:

Pentru claritate, partea întreagă este din nou evidențiată cu roșu, iar numărătorul fracției originale este evidențiat cu verde.

Luați în considerare cazul în care numărătorul sau numitorul unei fracții conține un număr negativ. De exemplu:

În principiu, nu este nimic criminal în asta. Cu toate acestea, lucrul cu astfel de fracții poate fi incomod. Prin urmare, în matematică se obișnuiește să plaseze minusurile ca semne de fracție.

Acest lucru este foarte ușor de făcut dacă vă amintiți regulile:

1. „Plus pentru minus dă minus.” Prin urmare, dacă numărătorul conține un număr negativ, iar numitorul conține un număr pozitiv (sau invers), nu ezitați să tăiați minusul și să-l puneți în fața întregii fracții;
2. „Două negative fac o afirmație”. Când există un minus atât la numărător, cât și la numitor, pur și simplu le eliminăm - nu sunt necesare acțiuni suplimentare.

Desigur, aceste reguli pot fi aplicate și în sens invers, adică Puteți introduce un semn minus sub semnul fracției (cel mai adesea la numărător).

În mod deliberat, nu luăm în considerare cazul „plus pe plus” - cu el, cred, totul este clar. Să vedem cum funcționează aceste reguli în practică:

Sarcină. Scoateți negativele celor patru fracții scrise mai sus.

Atenție la ultima fracție: există deja un semn minus în fața ei. Cu toate acestea, este „ars” conform regulii „minus pentru minus dă un plus”.

De asemenea, nu mutați minusurile în fracții cu toată partea evidențiată. Aceste fracții sunt mai întâi convertite în fracții improprii - și abia apoi încep calculele.

Cum se separă întreaga parte de o fracție necorespunzătoare?

1. Evidențiați de câte ori se încadrează numitorul în numărător, apoi scadeți numitorul din numărător, numitorul rămâne neschimbat.
2. incearca sa o calculezi pe un calculator))
   Împărțiți cifra la numitor și scrieți numărul în stânga punctului zecimal.
   dacă trebuie să selectați partea fracțională:
   Înmulțiți partea întreagă selectată cu numitorul și scădeți numărul rezultat din numărător. Adică:
   79/3
   1. selectați întreaga parte: 26
   2. înmulțiți partea întreagă selectată cu numitorul: 26*3
   3. scădeți numărul rezultat din numărătorul 79-(26*3)
3. Selectați întreaga parte din fracțiile improprii și aranjați numerele amestecate rezultate în ordine descrescătoare: 13/5, 53/10, 52/9, 23/5, 3/2, 49/2, 35/9, 35/11, 12 /5 , 31/9, 5/4, 33/5, 31/7, 7/4, 35/8, 51/8, 6/5, 57/10. Dat literele B, A, A, B, L, V, K, R, I, E, E, S, A, L, S, O, J, K. Descifrează numele unui scriitor englez de la sfârșitul secolului al XIX-lea . începutul secolului al XX-lea și numele uneia dintre lucrările sale (a: 5+5+5; b; 6+12)
4. 
   
   Sursa: matematica
5. împărțiți numărătorul la numitor, numărul de dinaintea virgulei zecimale este întreaga parte, apoi înmulțiți întreaga parte cu numitorul și scădeți-o din numărătorul inițial. Această cifră va fi numărătorul.
   de exemplu: 88/16=5,5
   16*5=80
   88-80=8
   5 8/16=5 1/2
6. multumesc tuturor
7. 
   
8. Împărțiți numărătorul la numitor și scrieți numărul rezultat ca număr întreg, iar restul ca numărător și numitorul rămân aceleași.
9. Pare corect cam 3/2. Trebuie doar să împărțiți numărătorul la numitorul cu restul. Atunci câtul este întreaga parte, restul este numărătorul, iar divizorul este numitorul (adică rămâne așa cum a fost). De exemplu
   48/13. Împărțiți 48 la 13 pentru a obține 3, iar restul este 9. Deci 48/13=3 întreg 9/13
10. 25/22, 22/22 este un întreg și rămâne 3/22, apoi 1 întreg și 3/22
11. La naiba, am învățat mai întâi cum să fac asta. Abia atunci a apărut internetul, am învățat să-l folosesc corect și nu a trecut mult până am găsit acest site)
12. 1) Pentru a converti o fracție improprie într-o fracție mixtă, trebuie să: împărțiți numărătorul la numitor cu un rest folosind o coloană, câtul incomplet este întreaga parte, restul este numărătorul și numitorul este același.
    2) Pentru a transforma o fracție mixtă într-una improprie, trebuie să: înmulțiți întreaga parte cu numitorul și adăugați numărătorul, numărul rezultat intră în numărător, dar numitorul rămâne același.
13. 233 împărțiți la număr și cunoașteți primul număr și înmulțiți
14. de exemplu 1000/9.... imparti usor 1000 la 9... se obtine 111, care este un intreg si restul merge la numarator iar numitorul ramane acelasi 9....
15. de exemplu, 23/3 - împărțiți numărătorul la numitor folosind un calculator (dacă aveți unul în apropiere), luați primul număr, înmulțiți cu numitorul și obțineți întreaga parte a acestei fracții. Din numărător scădeți numărul care a fost înmulțit cu numitorul și obțineți o fracție adecvată. În răspunsul tău, scrie toată partea și fracția potrivită lângă ea.
    Dacă nu există un calculator în apropiere, atunci împărțiți puțin intuitiv și apoi faceți același lucru.
    Cele mai bune fracții sunt cele al căror numitor este 2, 5 sau 10 :)
16. Împărțiți numărătorul la numitor - obțineți întreaga parte și restul (fracție)
17. Magie
18. Pentru a converti un număr, trebuie să împărțiți numărătorul la numitorul cu restul, adică să aflați de câte ori „întreg” conține. Și acest coeficient incomplet va fi o întreagă parte. Apoi, restul (dacă există unul) este dat de numărător, iar divizorul este numitorul părții fracționale (pentru a fi mai clar, trebuie să înmulțiți numitorul cu numărul întreg pe care l-ați primit mai devreme și apoi să scădeți din NUMERATOR ceea ce ați primit acum)
    De exemplu: 136/28 = 4 întregi 24/28, aceasta este o fracție reductibilă = 4 întregi 6/7
    Am împărțit 136 la 28 și am obținut 4. Apoi, pentru a afla numărătorul, am înmulțit 28 cu 4 pentru a obține 112 și am scăzut 112 din 136. Pentru a reduce, trebuie să împărțiți atât numărătorul, cât și numitorul la același număr ( în în acest caz, acesta este 4)
    Noroc!
19. Pentru a izola întreaga parte dintr-o fracție necorespunzătoare, trebuie să împărțiți numărătorul rezultat la numitor
    scrieți numărul ca parte întreagă, iar restul ca numărător, iar numitorul este același.

Numere mixte. Selectarea unei piese întregi

Printre fracțiile obișnuite, există două tipuri diferite.
Fracții proprii și improprii
Să ne uităm la fracții.

Vă rugăm să rețineți că în primele două fracții (3/7 și 5/7) numărătorii sunt mai mici decât numitorii. Astfel de fracții sunt numite proprii.

• O fracție proprie are un numărător mai mic decât numitorul său. Prin urmare, o fracție adecvată este întotdeauna mai mică decât unu.

Să ne uităm la cele două fracții rămase.
Fracția 7/7 are un numărător egal cu numitorul (astfel de fracții sunt egale cu unitățile), iar fracția 11/7 are un numărător mai mare decât numitorul. Astfel de fracții se numesc improprii.

• O fracție improprie are un numărător egal sau mai mare decât numitorul său. Prin urmare, o fracție improprie este fie egală cu unu, fie mai mare decât unu.

Orice fracție improprie este întotdeauna mai mare decât o fracție proprie.

Cum se selectează o parte întreagă
O fracție improprie poate avea o parte întreagă. Să vedem cum se poate face acest lucru.

Pentru a izola întreaga parte dintr-o fracție necorespunzătoare, trebuie să:
1. împărțiți numărătorul la numitorul cu restul;
2. Scriem coeficientul incomplet rezultat în întreaga parte a fracției;
3. scrieți restul la numărătorul fracției;
4. Scrieți divizorul în numitorul fracției.

Exemplu. Să selectăm întreaga parte din fracția improprie 11/2.
. Împărțiți numărătorul la numitor într-o coloană.

. Acum să scriem răspunsul.

• Numărul rezultat de mai sus, care conține un întreg și o parte fracțională, se numește număr mixt.

Am obținut un număr mixt dintr-o fracție improprie, dar putem face și invers, adică să reprezentăm numărul mixt ca o fracție improprie.
Pentru a reprezenta un număr mixt ca o fracție improprie:
1. înmulțiți partea sa întreagă cu numitorul părții fracționale;
2. se adaugă numărătorul părții fracționale la produsul rezultat;
3. scrieți suma rezultată de la punctul 2 în numărătorul fracției și lăsați numitorul părții fracționale același.
Exemplu. Să reprezentăm un număr mixt ca o fracție improprie.
. Înmulțiți partea întreagă cu numitorul.

3 . 5 = 15
. Adăugați numărătorul.

15 + 2 = 17
. Scriem suma rezultată în numărătorul noii fracții și lăsăm numitorul același.

Orice număr mixt poate fi reprezentat ca suma unui număr întreg și a unei părți fracționale.

• Orice număr natural poate fi scris ca o fracție cu orice numitor natural.

Coeficientul împărțirii numărătorului la numitorul unei astfel de fracții va fi egal cu numărul natural dat.
Exemple.

Cum se separă întreaga parte de o fracție necorespunzătoare? Pentru a izola întreaga parte dintr-o fracție improprie, trebuie: Împărțiți numărătorul la numitorul cu restul; Un coeficient incomplet va fi o parte întreagă; Restul (dacă există unul) este dat de numărător, iar divizorul este numitorul fracției. Numerele complete 1057, 1058, 1059, 1060. 1062, 1063. 1064. 7.

Dimensiuni: 960 x 720 pixeli, format: jpg. Pentru a descărca o imagine gratuit lectie de matematica

Pentru a afișa imagini în lecție, puteți descărca gratuit și prezentarea „Numere mixte nota 5.ppt” integral cu toate pozele într-o arhivă zip. Dimensiunea arhivei este de 304 KB.

Descărcați prezentarea

Numere mixte „Note pentru lecția de matematică” - Urmați exemplul. a) 4/7+2/7= (4+2)/7= 6/7 b, c, d (la tabla) d) 7/9-2/9= (7-2)/9= 5 / 9 f, g, h (la tablă). Din grădină au fost colectate 12 kg de castraveți. 2/3 din toți castraveții au fost murați. 6/7-3/7=(6-3)/7=3/7 2/11+5/11=(2+5)/22=7/22 9/10-8/10=(9-8 )/10=2/10. Arătați fracția 2/8+3/8. Formulați regula scăderii. Învățarea de materiale noi:„Compararea fracțiilor zecimale” - Scopul lecției. Comparați numerele: Numărarea mentală. 9,85 și 6,97; 75,7 și 75,700; 0,427 și 0,809; 5,3 și 5,03; 81,21 și 81,201; 76,005 și 76,05; 3,25 și 3,502; Citiți fracțiile: 41,1 ; 77,81; 21.005; 0,0203. 41,1; 77,81; 21.005; 0,0203. Egalizați numărul de zecimale. Planul de lecție. Rang

zecimale

. Lecție de întărire în clasa a V-a.