Cum se factorizează polinoamele. Cum se factorizează o ecuație algebrică

Orice polinom algebric de gradul n poate fi reprezentat ca un produs al factorilor n-liniari de forma și un număr constant, care este coeficienții polinomului la gradul cel mai înalt x, adică.

Unde - sunt rădăcinile polinomului.

Rădăcina unui polinom este numărul (real sau complex) care face ca polinomul să dispară. Rădăcinile unui polinom pot fi fie rădăcini reale, fie rădăcini complexe conjugate, apoi polinomul poate fi reprezentat sub următoarea formă:

Să luăm în considerare metodele de descompunere a polinoamelor de gradul „n” în produsul factorilor de gradul I și II.

Metoda numărul 1.Metoda coeficienților nedeterminați.

Coeficienții unei astfel de expresii transformate sunt determinați prin metoda coeficienților nedeterminați. Esența metodei este că tipul de factori în care este descompus un anumit polinom este cunoscut în prealabil. Când se utilizează metoda coeficienților incerti, următoarele afirmații sunt adevărate:

P.1. Două polinoame sunt identic egale dacă coeficienții lor sunt egali pentru aceleași puteri ale lui x.

P.2. Orice polinom de gradul al treilea este descompus în produsul factorilor liniari și pătratici.

P.3. Orice polinom de gradul al patrulea poate fi descompus în produsul a două polinoame de gradul doi.

Exemplul 1.1. Este necesară factorizarea expresiei cubice:

P.1. În conformitate cu afirmațiile acceptate, egalitatea identică este valabilă pentru expresia cubică:

P.2. Partea dreaptă a expresiei poate fi reprezentată ca termeni după cum urmează:

P.3. Compunem un sistem de ecuații din condiția de egalitate a coeficienților la puterile corespunzătoare expresiei cubice.

Acest sistem de ecuații poate fi rezolvat prin selectarea coeficienților (dacă este o problemă academică simplă) sau pot fi folosite metode de rezolvare sisteme neliniare ecuații. Rezolvând acest sistem de ecuații, constatăm că coeficienții nesiguri sunt determinați după cum urmează:

Astfel, expresia originală este factorizată în următoarea formă:

Această metodă poate fi utilizată atât în calcule analitice, cât și în programarea computerelor pentru a automatiza procesul de găsire a rădăcinii unei ecuații.

Metoda nr. 2.formule Vieta

Formulele lui Vieta sunt formule care leagă coeficienții ecuațiilor algebrice de gradul n și rădăcinile sale. Aceste formule au fost prezentate implicit în lucrările matematicianului francez François Vieta (1540 - 1603). Datorită faptului că Vieth a considerat doar rădăcini reale pozitive, el nu a avut, prin urmare, posibilitatea de a scrie aceste formule într-o formă generală explicită.

Pentru orice polinom algebric de grad n care are n rădăcini reale,

Sunt valabile următoarele relații care leagă rădăcinile unui polinom cu coeficienții săi:

Formulele lui Vieta sunt convenabile de utilizat pentru a verifica corectitudinea găsirii rădăcinilor unui polinom, precum și pentru a construi un polinom din rădăcini date.

Exemplul 2.1. Să luăm în considerare modul în care rădăcinile unui polinom sunt legate de coeficienții săi folosind exemplul unei ecuații cubice

În conformitate cu formulele lui Vieta, relația dintre rădăcinile unui polinom și coeficienții săi are următoarea formă:

Relații similare se pot face pentru orice polinom de gradul n.

Metoda nr. 3. Descompunere ecuație pătratică la factori cu rădăcini raţionale

Din ultima formulă a lui Vieta rezultă că rădăcinile unui polinom sunt divizori ai termenului său liber și ai coeficientului de conducere. În acest sens, dacă enunțul problemei specifică un polinom de grad n cu coeficienți întregi

atunci acest polinom are o rădăcină rațională (fracție ireductibilă), unde p este divizorul termenului liber și q este divizorul coeficientului principal. În acest caz, un polinom de grad n poate fi reprezentat ca (teorema lui Bezout):

Un polinom al cărui grad este cu 1 mai mic decât gradul polinomului inițial este determinat prin împărțirea unui polinom de gradul n binom, de exemplu folosind schema lui Horner sau majoritatea într-un mod simplu- „coloană”.

Exemplul 3.1. Este necesar să factorizezi polinomul

P.1. Datorită faptului că coeficientul celui mai mare termen este egal cu unu, rădăcinile raționale ale acestui polinom sunt divizori ai termenului liber al expresiei, i.e. pot fi numere întregi . Înlocuim fiecare dintre numerele prezentate în expresia originală și aflăm că rădăcina polinomului prezentat este egală cu .

Să împărțim polinomul original la un binom:

Să folosim schema lui Horner

Coeficienții polinomului original sunt stabiliți în linia de sus, în timp ce prima celulă a liniei de sus rămâne goală.

În prima celulă a celei de-a doua rânduri, se scrie rădăcina găsită (în exemplul luat în considerare, se scrie numărul „2”), iar următoarele valori din celule sunt calculate într-un anumit mod și sunt coeficienții a polinomului, care se obține prin împărțirea polinomului la binom. Coeficienții necunoscuți se determină după cum urmează:

Valoarea din celula corespunzătoare din primul rând este transferată în a doua celulă a celui de-al doilea rând (în exemplul luat în considerare, este scris numărul „1”).

A treia celulă din al doilea rând conține valoarea produsului primei celule și a doua celulă a celui de-al doilea rând plus valoarea din a treia celulă a primului rând (în exemplul luat în considerare 2 ∙1 -5 = -3 ).

A patra celulă din al doilea rând conține valoarea produsului primei celule și a treia celulă a celui de-al doilea rând plus valoarea din a patra celulă a primului rând (în exemplul luat în considerare 2 ∙ (-3) +7 = 1).

Astfel, polinomul original este factorizat:

Metoda numărul 4.Folosind formule de înmulțire prescurtate

Formulele de înmulțire prescurtate sunt folosite pentru a simplifica calculele, precum și pentru factorizarea polinoamelor. Formulele de multiplicare prescurtate vă permit să simplificați rezolvarea problemelor individuale.

Formule folosite pentru factorizare

În general, această sarcină necesită o abordare creativă, deoarece nu există o metodă universală de rezolvare. Dar să încercăm să dăm câteva sfaturi.

În majoritatea covârșitoare a cazurilor, factorizarea unui polinom se bazează pe un corolar al teoremei lui Bezout, adică rădăcina este găsită sau selectată și gradul polinomului este redus cu unu prin împărțirea la . Se caută rădăcina polinomului rezultat și procesul se repetă până la extinderea completă.

Dacă rădăcina nu poate fi găsită, atunci se folosesc metode specifice de extindere: de la grupare până la introducerea de termeni suplimentari care se exclud reciproc.

Prezentarea ulterioară se bazează pe abilitățile de rezolvare a ecuațiilor grade superioare cu coeficienți întregi.

Excluderea factorului comun.

Să începem cu cel mai simplu caz, când termenul liber este egal cu zero, adică polinomul are forma .

Evident, rădăcina unui astfel de polinom este , adică putem reprezenta polinomul sub forma .

Această metodă nu este altceva decât scotând factorul comun din paranteze.

Exemplu.

Factorizați un polinom de gradul trei.

Soluţie.

Evident, care este rădăcina polinomului, adică X poate fi scos din paranteze:

Să găsim rădăcinile trinomului pătratic

Astfel,

Începutul paginii

Factorizarea unui polinom cu rădăcini raționale.

În primul rând, să luăm în considerare o metodă de extindere a unui polinom cu coeficienți întregi de forma , coeficientul de cel mai înalt grad este egal cu unu.

În acest caz, dacă un polinom are rădăcini întregi, atunci ele sunt divizori ai termenului liber.

Exemplu.

Soluţie.

Să verificăm dacă există rădăcini intacte. Pentru a face acest lucru, notați divizorii numărului -18 : . Adică, dacă un polinom are rădăcini întregi, atunci acestea sunt printre numerele scrise. Să verificăm aceste numere succesiv folosind schema lui Horner. Comoditatea sa constă și în faptul că în final obținem coeficienții de expansiune ai polinomului:

adica x=2Şi x=-3 sunt rădăcinile polinomului original și îl putem reprezenta ca produs:

Rămâne să extindem trinomul pătratic.

Discriminantul acestui trinom este negativ, prin urmare nu are rădăcini reale.

Răspuns:

Comentariu:

În loc de schema lui Horner, s-ar putea folosi selecția rădăcinii și împărțirea ulterioară a polinomului cu un polinom.

Acum luați în considerare expansiunea unui polinom cu coeficienți întregi de forma , iar coeficientul de cel mai înalt grad nu este egal cu unu.

În acest caz, polinomul poate avea rădăcini fracționale raționale.

Exemplu.

Factorizați expresia.

Soluţie.

Prin efectuarea unei modificări variabile y=2x, să trecem la un polinom cu un coeficient egal cu unu la cel mai înalt grad. Pentru a face acest lucru, mai întâi înmulțiți expresia cu 4 .

Dacă funcția rezultată are rădăcini întregi, atunci acestea sunt printre divizorii termenului liber. Să le scriem:

Să calculăm secvențial valorile funcției g(y)în aceste puncte până când se ajunge la zero.

Factorizarea unui polinom. Partea 1

Factorizarea este o tehnică universală care ajută la rezolvarea ecuațiilor și inegalităților complexe. Primul gând care ar trebui să vină în minte atunci când rezolvăm ecuații și inegalități în care există un zero în partea dreaptă este să încercăm să factorizezi partea stângă.

Să enumeram principalele modalități de factorizare a unui polinom:

scotând factorul comun din paranteze
folosind formule de înmulțire prescurtate
folosind formula de factorizare a unui trinom pătratic
metoda de grupare
împărțirea unui polinom la un binom
metoda coeficienților nesiguri

În acest articol ne vom opri în detaliu asupra primelor trei metode, iar restul le vom lua în considerare în articolele următoare.

1. Scoaterea factorului comun din paranteze.

Pentru a scoate factorul comun din paranteze, trebuie mai întâi să-l găsiți. Factorul multiplicator comun egal cu cel mai mare divizor comun al tuturor coeficienților.

Parte de scrisoare factorul comun este egal cu produsul expresiilor cuprinse în fiecare termen cu cel mai mic exponent.

Schema pentru adăugarea unui multiplicator comun arată astfel:

Atenţie!
Numărul de termeni dintre paranteze este egal cu numărul de termeni din expresia originală. Dacă unul dintre termeni coincide cu factorul comun, atunci când îl împărțim la factorul comun, obținem unul.

Exemplul 1.

Factorizați polinomul:

Să scoatem factorul comun din paranteze. Pentru a face acest lucru, îl vom găsi mai întâi.

1. Aflați cel mai mare divizor comun al tuturor coeficienților polinomului, i.e. numerele 20, 35 și 15. Este egal cu 5.

2. Stabilim că variabila este cuprinsă în toți termenii, iar cel mai mic dintre exponenții săi este egal cu 2. Variabila este conținută în toți termenii, iar cel mai mic dintre exponenții săi este 3.

Variabila este cuprinsă doar în al doilea termen, deci nu face parte din factorul comun.

Deci factorul total este

3. Scoatem multiplicatorul din paranteze folosind diagrama prezentată mai sus:

Exemplul 2. Rezolvați ecuația:

Soluţie. Să factorizăm partea stângă a ecuației. Să scoatem factorul din paranteze:

Deci obținem ecuația

Să echivalăm fiecare factor cu zero:

Obținem - rădăcina primei ecuații.

Rădăcini:

Răspuns: -1, 2, 4

2. Factorizarea folosind formule de înmulțire prescurtate.

Dacă numărul de termeni din polinomul pe care îl vom factoriza este mai mic sau egal cu trei, atunci încercăm să aplicăm formulele de înmulțire abreviate.

1. Dacă polinomul estediferenta a doi termeni, apoi încercăm să aplicăm formula diferenței pătrate:

sau formula diferenței cuburilor:

Iată scrisorile și indică un număr sau o expresie algebrică.

2. Dacă un polinom este suma a doi termeni, atunci poate fi factorizat folosind formulele sumei cuburilor:

3. Dacă un polinom este format din trei termeni, atunci încercăm să aplicăm formula sumei pătrate:

sau formula diferenței pătrate:

Sau încercăm să factorizăm formula pentru factorizarea unui trinom pătratic:

Aici și sunt rădăcinile ecuației pătratice

Exemplul 3.Factorizați expresia:

Soluţie. Avem în fața noastră suma a doi termeni. Să încercăm să aplicăm formula pentru suma cuburilor. Pentru a face acest lucru, mai întâi trebuie să reprezentați fiecare termen ca un cub al unei expresii și apoi să aplicați formula pentru suma cuburilor:

Exemplul 4. Factorizați expresia:

Decizie. Aici avem diferența pătratelor a două expresii. Prima expresie: , a doua expresie:

Să aplicăm formula pentru diferența de pătrate:

Să deschidem parantezele și să adăugăm termeni similari, obținem:

Factorizarea polinoamelor este o transformare de identitate, în urma căreia un polinom este transformat în produsul mai multor factori - polinoame sau monomii.

Există mai multe moduri de factorizare a polinoamelor.

Metoda 1. Scoaterea factorului comun din paranteze.

Această transformare se bazează pe legea distributivă a înmulțirii: ac + bc = c(a + b). Esența transformării este de a izola factorul comun din cele două componente luate în considerare și de a-l „scoate” dintre paranteze.

Să factorizăm polinomul 28x 3 – 35x 4.

Soluţie.

1. Găsiți un divizor comun pentru elementele 28x3 și 35x4. Pentru 28 și 35 va fi 7; pentru x 3 și x 4 – x 3. Cu alte cuvinte, factorul nostru comun este 7x 3.

2. Reprezentăm fiecare dintre elemente ca un produs de factori, dintre care unul
7x 3: 28x 3 – 35x 4 = 7x 3 ∙ 4 – 7x 3 ∙ 5x.

3. Scoatem factorul comun din paranteze
7x 3: 28x 3 – 35x 4 = 7x 3 ∙ 4 – 7x 3 ∙ 5x = 7x 3 (4 – 5x).

Metoda 2. Utilizarea formulelor de înmulțire abreviate. „Maiestria” folosirii acestei metode este de a observa una dintre formulele de multiplicare prescurtate din expresie.

Să factorizăm polinomul x 6 – 1.

Soluţie.

1. Putem aplica formula diferenței de pătrate acestei expresii. Pentru a face acest lucru, imaginați-vă x 6 ca (x 3) 2 și 1 ca 1 2, adică. 1. Expresia va lua forma:
(x 3) 2 – 1 = (x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1).

2. Putem aplica formula pentru suma și diferența de cuburi la expresia rezultată:
(x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1) = (x + 1) ∙ (x 2 – x + 1) ∙ (x – 1) ∙ (x 2 + x + 1).

Aşa,
x 6 – 1 = (x 3) 2 – 1 = (x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1) = (x + 1) ∙ (x 2 – x + 1) ∙ (x – 1) ∙ (x 2 + x + 1).

Metoda 3. Gruparea. Metoda grupării este de a combina componentele unui polinom în așa fel încât să fie ușor de efectuat operații asupra lor (adunare, scădere, scădere a unui factor comun).

Să factorizăm polinomul x 3 – 3x 2 + 5x – 15.

Soluţie.

1. Să grupăm componentele astfel: prima cu a 2-a, iar a 3-a cu a 4-a
(x 3 – 3x 2) + (5x – 15).

2. În expresia rezultată, scoatem factorii comuni din paranteze: x 2 în primul caz și 5 în al doilea.
(x 3 – 3x 2) + (5x – 15) = x 2 (x – 3) + 5(x – 3).

3. Luăm factorul comun x – 3 din paranteze și obținem:
x 2 (x – 3) + 5(x – 3) = (x – 3)(x 2 + 5).

Aşa,
x 3 – 3x 2 + 5x – 15 = (x 3 – 3x 2) + (5x – 15) = x 2 (x – 3) + 5(x – 3) = (x – 3) ∙ (x 2 + 5) ).

Să asigurăm materialul.

Factorizați polinomul a 2 – 7ab + 12b 2.

Soluţie.

1. Să reprezentăm monomul 7ab ca sumă 3ab + 4ab. Expresia va lua forma:
a 2 – (3ab + 4ab) + 12b 2.

Să deschidem parantezele și să obținem:
a 2 – 3ab – 4ab + 12b 2.

2. Să grupăm componentele polinomului astfel: 1 cu al 2-lea și al 3-lea cu al 4-lea. Primim:
(a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2).

3. Să luăm factorii comuni din paranteze:
(a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2) = a(a – 3b) – 4b(a – 3b).

4. Să luăm factorul comun (a – 3b) din paranteze:
a(a – 3b) – 4b(a – 3b) = (a – 3 b) ∙ (a – 4b).

Aşa,
a 2 – 7ab + 12b 2 =
= a 2 – (3ab + 4ab) + 12b 2 =
= a 2 – 3ab – 4ab + 12b 2 =
= (a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2) =
= a(a – 3b) – 4b(a – 3b) =
= (a – 3 b) ∙ (a – 4b).

site-ul web, atunci când copiați materialul integral sau parțial, este necesar un link către sursă.

În această lecție, vom aminti toate metodele studiate anterior de factorizare a unui polinom și vom lua în considerare exemple de aplicare a acestora, în plus, vom studia metoda noua- metoda de identificare a unui pătrat complet și de a învăța cum să-l aplici în rezolvarea diverselor probleme.

Subiect:Factorizarea polinoamelor

Lecţie:Factorizarea polinoamelor. Metoda de selectare a unui pătrat complet. Combinație de metode

Să ne amintim metodele de bază de factorizare a unui polinom care au fost studiate mai devreme:

Metoda de a scoate un factor comun dintre paranteze, adică un factor care este prezent în toți termenii polinomului. Să ne uităm la un exemplu:

Amintiți-vă că un monom este produsul dintre puteri și numere. În exemplul nostru, ambii termeni au unele elemente comune, identice.

Deci, să scoatem factorul comun din paranteze:

;

Să vă reamintim că înmulțind factorul scos cu o paranteză, puteți verifica corectitudinea factorului scos.

Metoda de grupare. Nu este întotdeauna posibil să se extragă un factor comun într-un polinom. În acest caz, trebuie să-i împărțiți membrii în grupuri, astfel încât în fiecare grup să puteți scoate un factor comun și să încercați să-l descompuneți astfel încât, după eliminarea factorilor din grupuri, să apară un factor comun în întreaga expresie și puteți continua descompunerea. Să ne uităm la un exemplu:

Să grupăm primul termen cu al patrulea, al doilea cu al cincilea și al treilea cu al șaselea:

Să scoatem factorii comuni din grupuri:

Expresia are acum un factor comun. Hai să-l scoatem:

Aplicarea formulelor de înmulțire prescurtate. Să ne uităm la un exemplu:

;

Să scriem expresia în detaliu:

Evident, aceasta este formula pentru diferența pătratului, deoarece este suma pătratelor a două expresii și produsul lor dublu este scăzut din aceasta. Să folosim formula:

Astăzi vom învăța o altă metodă - metoda de selectare a unui pătrat complet. Se bazează pe formulele pătratului sumei și pătratului diferenței. Să le reamintim:

Formula pentru pătratul sumei (diferența);

Particularitatea acestor formule este că conțin pătratele a două expresii și produsul lor dublu. Să ne uităm la un exemplu:

Să notăm expresia:

Deci, prima expresie este , iar a doua este .

Pentru a crea o formulă pentru pătratul unei sume sau diferențe, nu este suficient de două ori produsul expresiilor. Trebuie adăugat și scăzut:

Să completăm pătratul sumei:

Să transformăm expresia rezultată:

Să aplicăm formula pentru diferența de pătrate, reamintim că diferența de pătrate a două expresii este produsul și suma diferenței lor:

Deci, această metodă constă, în primul rând, în identificarea expresiilor a și b care sunt la pătrat, adică a determina care expresii sunt la pătrat în acest exemplu. După aceasta, trebuie să verificați prezența unui produs dublu și, dacă nu este acolo, apoi adăugați și scădeți, acest lucru nu va schimba sensul exemplului, dar polinomul poate fi factorizat folosind formulele pentru pătratul lui. suma sau diferența și diferența de pătrate, dacă este posibil.

Să trecem la rezolvarea exemplelor.

Exemplul 1 - factorizați:

Să găsim expresii care sunt la pătrat:

Să scriem care ar trebui să fie produsul lor dublu:

Să adunăm și să scădem dublu produs:

Să completăm pătratul sumei și să dăm altele similare:

Să o scriem folosind formula diferenței de pătrate:

Exemplul 2 - rezolvați ecuația:

;