Care este definiția teoremei lui Thales. teorema lui Thales

Teorema de planimetrie despre paralele și secante.

În afara literaturii de limba rusă, teorema lui Thales este uneori numită o altă teoremă a planimetriei, și anume afirmația că unghiul înscris sub întinderea diametrului unui cerc este un unghi drept. Descoperirea acestei teoreme este într-adevăr atribuită lui Thales, după cum a demonstrat Proclus.

Formulări [ | ]

Dacă mai multe segmente egale sunt așezate succesiv pe una dintre cele două linii și sunt trasate linii paralele prin capetele lor care intersectează a doua linie, atunci acestea vor tăia segmente egale de pe a doua linie.

O formulare mai generală, numită și teorema segmentului proporțional

Liniile paralele decupează segmentele proporționale la secante:

A 1 A 2 B 1 B 2 = A 2 A 3 B 2 B 3 = A 1 A 3 B 1 B 3 .

(\displaystyle (\frac (A_(1)A_(2)))(B_(1)B_(2)))=(\frac (A_(2)A_(3)))(B_(2)B_(3) ))=(\frac (A_(1)A_(3))(B_(1)B_(3))).) [ | ]

Note

Teorema lui Thales este un caz special al teoremei segmentelor proporționale, deoarece segmentele egale pot fi considerate segmente proporționale cu un coeficient de proporționalitate egal cu 1.

Dovada în cazul secantelor Să luăm în considerare opțiunea cu perechi neconectate de segmente: lăsați unghiul să fie intersectat de linii drepte A A 1 | |.

B B 1 |

| C C 1 || D D 1 (\displaystyle AA_(1)||BB_(1)||CC_(1)||DD_(1)) si in acelasi timp A B = C D (\displaystyle AB=CD) Dovada în cazul dreptelor paralele Să facem o directă si in acelasi timp B.C.. Unghiuri C C 1 | ABC Şi si in acelasi timp BCD Dovada în cazul dreptelor paralele egală ca aşezare transversală internă cu linii paralele si in acelasi timp AB. Unghiuri C C 1 | CD D D 1 (\displaystyle AA_(1)||BB_(1)||CC_(1)||DD_(1)) si in acelasi timp si secante, și unghiurile egală ca aşezare transversală internă cu linii paralele = AB si in acelasi timp Să facem o directă = B.C.. ■

ACB[ | ]

CBD[ | ]

A.C.

. Apoi, după al doilea criteriu pentru egalitatea triunghiurilor, triunghiuri DCB sunt egali. Rezultă că Variații și generalizări.

Dacă secantele sunt paralele, atunci este necesar să se ceară ca segmentele de pe ambele secante să fie egale între ele, în caz contrar, această afirmație devine falsă (un contraexemplu este un trapez intersectat de o dreaptă care trece prin punctele medii ale bazelor).

Această teoremă este folosită în navigație: o coliziune între nave care se deplasează cu o viteză constantă este inevitabil dacă se menține direcția de la o navă la alta.

lema lui Sollertinsky[ | ]

Următoarea afirmație este duală cu lema lui Sollertinsky:

Lasă f (\displaystyle f)- corespondența proiectivă între punctele unei linii l (\displaystyle l)și drept m (\displaystyle m). Apoi, mulțimea de drepte va fi mulțimea de tangente la o secțiune conică (eventual degenerată).

În cazul teoremei lui Thales, conica va fi punctul de la infinit, corespunzător direcției dreptelor paralele.

Această afirmație, la rândul său, este un caz limitativ al următoarei afirmații:

Lasă f (\displaystyle f)- transformarea proiectivă a unei conici. Apoi plicul setului de linii drepte X f (X) (\displaystyle Xf(X)) va fi o conică (eventual degenerată).

| ]

Despre paralele și secante.

Formulări

O formulare mai generală, numită și teorema segmentului proporțional

Liniile paralele decupează segmentele proporționale la secante:

A 1 A 2 B 1 B 2 = A 2 A 3 B 2 B 3 = A 1 A 3 B 1 B 3 .

(\displaystyle (\frac (A_(1)A_(2)))(B_(1)B_(2)))=(\frac (A_(2)A_(3)))(B_(2)B_(3) ))=(\frac (A_(1)A_(3))(B_(1)B_(3))).)

Teorema nu are restricții privind poziția relativă a secantelor (este adevărată atât pentru liniile care se intersectează, cât și pentru cele paralele). De asemenea, nu contează unde se află segmentele de pe secante.

Note

Teorema lui Thales este un caz special al teoremei segmentelor proporționale, deoarece segmentele egale pot fi considerate segmente proporționale cu un coeficient de proporționalitate egal cu 1.

Dovada în cazul secantelor Să luăm în considerare opțiunea cu perechi neconectate de segmente: lăsați unghiul să fie intersectat de linii drepte A A 1 | |.

Să desenăm prin puncte A (\displaystyle A) si in acelasi timp C (\displaystyle C) linii drepte paralele cu cealaltă parte a unghiului. A B 2 B 1 A 1 (\displaystyle AB_(2)B_(1)A_(1)) si in acelasi timp C D 2 D 1 C 1 (\displaystyle CD_(2)D_(1)C_(1)). Conform proprietății paralelogramului: A B 2 = A 1 B 1 (\displaystyle AB_(2)=A_(1)B_(1)) si in acelasi timp C D 2 = C 1 D 1 (\displaystyle CD_(2)=C_(1)D_(1)).
Triunghiuri △ A B B 2 (\displaystyle \bigtriangleup ABB_(2)) si in acelasi timp △ C D D 2 (\displaystyle \bigtriangleup CDD_(2)) sunt egale pe baza celui de-al doilea semn de egalitate al triunghiurilor

B B 1 |

ACB

CBD

A.C.

. Apoi, după al doilea criteriu pentru egalitatea triunghiurilor, triunghiuri DCB sunt egali. Rezultă că Variații și generalizări.

Această teoremă este folosită în navigație: o coliziune între nave care se deplasează cu o viteză constantă este inevitabil dacă se menține direcția de la o navă la alta.

lema lui Sollertinsky

Următoarea afirmație este duală cu lema lui Sollertinsky:

Lasă f (\displaystyle f)- corespondența proiectivă între punctele unei linii l (\displaystyle l)și drept m (\displaystyle m). Apoi setul de linii X f (X) (\displaystyle Xf(X)) va fi un set de tangente la unele

Plan:

1 CBD
2 Teorema lui Thales în cultură
3 Fapte interesante

Introducere

Această teoremă este despre drepte paralele. Pentru un unghi bazat pe un diametru, vezi o altă teoremă.

teorema lui Thales- una din teoremele planimetriei.

Teorema nu are restricții privind poziția relativă a secantelor (este adevărată atât pentru liniile care se intersectează, cât și pentru cele paralele). De asemenea, nu contează unde sunt segmentele de pe secante.

Teorema lui Thales este un caz special al teoremei segmentelor proporționale, deoarece segmentele egale pot fi considerate segmente proporționale cu un coeficient de proporționalitate egal cu 1.

Dovada teoremei lui Thales

B B 1 |

Să desenăm o linie dreaptă BC. Unghiurile ABC și BCD sunt egale ca transversale interne cu drepte paralele AB și CD și secante BC, iar unghiurile ACB și CBD sunt egale cu liniile paralele AC și BD și secante BC. Apoi, după primul criteriu pentru egalitatea triunghiurilor, triunghiurile ABC și DCB sunt congruente. Rezultă că AC = BD și AB = CD. ■

Există de asemenea teorema generalizată a lui Thales:

Liniile paralele decupează segmentele proporționale la secante:

Teorema lui Thales este un caz special al teoremei lui Thales generalizate, deoarece segmentele egale pot fi considerate segmente proporționale cu un coeficient de proporționalitate egal cu 1.

1. Teorema inversă

A.C.

Astfel (vezi figura) din ceea ce urmează acele linii drepte.

2. Teorema lui Thales în cultură

Grupul de muzică argentinian Les Luthiers ( spaniolă) a prezentat un cântec dedicat teoremei. Videoclipul acestui cântec oferă o dovadă pentru teorema directă pentru segmentele proporționale.

3. Fapte interesante

Teorema lui Thales este încă folosită în navigația maritimă ca o regulă că o coliziune între nave care se deplasează cu o viteză constantă este inevitabil dacă navele își mențin o direcție una spre alta.
În afara literaturii de limbă rusă, teorema lui Thales este uneori numită o altă teoremă a planimetriei, și anume afirmația că unghiul înscris pe baza diametrului unui cerc este drept. Descoperirea acestei teoreme este într-adevăr atribuită lui Thales, după cum a demonstrat Proclus.
Thales a învățat elementele de bază ale geometriei în Egipt.

Note

El Teorema de Thales de Les Luthiers pe You Tube - www.youtube.com/watch?v=czzj2C4wdxY
3. Călătorie în Egipt / Acasă / Literatură și filosofie antică. Thales din Milet - www.fales-iz-mileta.narod.ru/3_puteshestvie_v_egipet

descărcare
Acest rezumat se bazează pe un articol din Wikipedia rusă. Sincronizare finalizată 16/07/11 23:06:34
Rezumate similare:

B B 1 |

Să desenăm o linie dreaptă BC. Unghiurile ABC și BCD sunt egale ca transversale interne cu drepte paralele AB și CD și secante BC, iar unghiurile ACB și CBD sunt egale cu liniile paralele AC și BD și secante BC. Apoi, conform celui de-al doilea criteriu pentru egalitatea triunghiurilor, triunghiurile ABC și DCB sunt egale. Rezultă că AC = BD și AB = CD. ■

Există de asemenea teorema segmentului proporțional:

Liniile paralele decupează segmentele proporționale la secante:

\frac(A_1A_2)(B_1B_2)=\frac(A_2A_3)(B_2B_3)=\frac(A_1A_3)(B_1B_3).

Note

CBD

A.C.

. Apoi, după al doilea criteriu pentru egalitatea triunghiurilor, triunghiuri $\frac(CB_1)(CA_1)=\frac(B_1B_2)(A_1A_2)=\ldots = (\rm idem)$ urmează că drept $A_1B_1||A_2B_2||\ldots$ .

ACB

Următoarea afirmație este duală cu lema lui Sollertinsky:

Teorema lui Thales este încă folosită în navigația maritimă ca o regulă că o coliziune între nave care se deplasează cu o viteză constantă este inevitabil dacă navele își mențin o direcție una spre alta.
În afara literaturii de limba rusă, teorema lui Thales este uneori numită o altă teoremă a planimetriei, și anume afirmația că unghiul înscris sub întinderea diametrului unui cerc este un unghi drept. Descoperirea acestei teoreme este într-adevăr atribuită lui Thales, după cum a demonstrat Proclus.

Scrieți o recenzie despre articolul „Teorema lui Thales”

Literatură

Atanasyan L. S. și colab. Geometrie 7-9. - Ed. al 3-lea. - M.: Educaţie, 1992.

Note

Vezi de asemenea

Teorema lui Thales asupra unui unghi subtins de diametrul unui cerc

Fragment care caracterizează Teorema lui Thales

- Nu cred nimic, pur și simplu nu înțeleg...
- Stai, Sonya, vei înțelege totul. Vei vedea ce fel de om este. Nu gândi lucruri rele despre mine sau despre el.
– Nu cred nimic rău despre nimeni: îi iubesc pe toată lumea și îmi pare rău pentru toată lumea. Dar ce ar trebui să fac?
Sonya nu a cedat ton blând, cu care Natasha i s-a adresat. Cu cât expresia feței Natasha era mai blândă și mai caută, cu atât fața Sonyei era mai serioasă și mai aspră.
„Natasha”, a spus ea, „mi-ai cerut să nu vorbesc cu tine, nu am făcut-o, acum tu ai început-o.” Natasha, nu-l cred. De ce acest secret?
- Din nou, din nou! – o întrerupse Natasha.
– Natasha, mi-e teamă pentru tine.
- De ce să-ți fie frică?
— Mi-e teamă că te vei distruge pe tine însuți, spuse Sonya hotărâtă, ea însăși speriată de ceea ce a spus.
Chipul Natașei exprima din nou furia.
„Și voi distruge, voi distruge, mă voi distruge cât mai repede posibil.” Treaba ta. O să se simtă rău nu pentru tine, ci pentru mine. Lasă-mă, lasă-mă. Vă urăsc.
- Natasha! – strigă Sonya de frică.
-Urasc, urasc! Și tu ești dușmanul meu pentru totdeauna!
Natasha a fugit din cameră.
Natasha nu a mai vorbit cu Sonya și a evitat-o. Cu aceeași expresie de surpriză emoționată și criminalitate, se plimba prin camere, luând mai întâi cutare sau cutare activitate și abandonându-le imediat.
Oricât de greu a fost pentru Sonya, ea a ținut un ochi pe prietena ei.
În ajunul zilei în care contele trebuia să se întoarcă, Sonya a observat că Natasha stătuse toată dimineața la fereastra sufrageriei, parcă s-ar fi așteptat la ceva și că i-a făcut un fel de semn unui militar în trecere, căruia Sonya a confundat-o cu Anatole.
Sonya a început să-și observe și mai atent prietena și a observat că Natasha era într-o stare ciudată și nefirească tot timpul în timpul prânzului și al serii (a răspuns la întrebările care i-au fost puse la întâmplare, a început și nu a terminat fraze, a râs de tot).
După ceai, Sonya a văzut pe ușa Natașei o slujnica unei fete timide care o aștepta. A lăsat-o să treacă și, ascultând la uşă, a aflat că o scrisoare fusese din nou livrată. Și deodată i-a devenit clar pentru Sonya că Natasha avea un plan groaznic pentru această seară. Sonya a bătut la ușă. Natasha nu a lăsat-o să intre.
„Va fugi cu el! gândi Sonya. Ea este capabilă de orice. Astăzi era ceva deosebit de jalnic și hotărât în fața ei. A plâns, luându-și la revedere de la unchiul ei, și-a amintit Sonya. Da, este adevărat, ea fuge cu el, dar ce ar trebui să fac?” gândi Sonya, amintindu-şi acum acele semne care dovedeau clar de ce Natasha avea o intenţie groaznică. „Nu există nicio numărătoare. Ce să fac, să-i scriu lui Kuragin, cerându-i o explicație? Dar cine îi spune să răspundă? Scrie-i lui Pierre, așa cum a întrebat prințul Andrei, în caz de accident?... Dar poate, de fapt, l-a refuzat deja pe Bolkonsky (i-a trimis ieri o scrisoare prințesei Marya). Nu există unchi!” Sonyei i s-a părut groaznic să-i spună Mariei Dmitrievna, care credea atât de mult în Natasha. „Dar într-un fel sau altul”, se gândi Sonya, stând pe coridorul întunecat: acum sau niciodată nu a venit momentul să demonstrez că îmi amintesc de binefacerile familiei lor și de a-l iubi pe Nicolas. Nu, chiar dacă nu dorm trei nopți, nu voi părăsi acest coridor și nu o voi lăsa cu forța să intre și nu voi lăsa rușinea să cadă asupra familiei lor”, s-a gândit ea.

Anatole în ultima vreme mutat la Dolokhov. Planul de răpire a Rostovei fusese gândit și pregătit de Dolokhov de câteva zile, iar în ziua în care Sonya, auzind-o pe Natasha la ușă, a decis să o protejeze, acest plan trebuia să fie pus în aplicare. Natasha a promis că va ieși în veranda din spate a lui Kuragin la ora zece seara. Kuragin a trebuit să o pună într-o troică pregătită și să-i ducă cele 60 de verste de la Moscova în satul Kamenka, unde a fost pregătit un preot dezbrăcat care trebuia să se căsătorească cu ei. În Kamenka, era gata o instalație care trebuia să-i ducă pe șoseaua Varșovia și acolo trebuia să călătorească în străinătate pe cele poștale.
Anatole avea un pașaport și un document de călătorie și zece mii de bani luați de la sora lui și zece mii împrumutați prin Dolokhov.
Doi martori - Hvostikov, un fost funcționar, pe care Dolokhov îl folosea la jocuri, și Makarin, un husar pensionar, un om bun și slab, care avea o dragoste nemărginită pentru Kuragin - stăteau în prima cameră și beau ceaiul.
În biroul mare al lui Dolokhov, decorat de la pereți până la tavan cu covoare persane, piei de urs și arme, Dolokhov stătea într-un călător de călătorie și cizme în fața unui birou deschis, pe care zăceau abac și teancuri de bani. Anatole, într-o uniformă descheiată, a mers din camera în care stăteau martorii, prin birou în camera din spate, unde lacheul său francez și alții împachetau ultimele lucruri. Dolokhov a numărat banii și i-a notat.
„Ei bine”, a spus el, „Hvostikov trebuie să i se dea două mii”.
„Ei bine, dă-mi-o”, a spus Anatole.
– Makarka (așa numeau ei Makarina), aceasta va trece dezinteresat prin foc și apă pentru tine. Ei bine, scorul s-a terminat”, a spus Dolokhov, arătându-i biletul. - Deci?
— Da, desigur, așa, spuse Anatole, aparent că nu-l asculta pe Dolokhov și cu un zâmbet care nu i-a părăsit niciodată fața, privind în fața lui.

Dacă liniile paralele care intersectează laturile unui unghi taie segmente egale pe o parte, atunci ele tăie segmente egale pe cealaltă parte.

Dovada. Fie A 1, A 2, A 3 punctele de intersecție ale dreptelor paralele cu una dintre laturile unghiului și A 2 se află între A 1 și A 3 (Fig. 1).

Fie B 1 B 2, B 3 punctele corespunzătoare de intersecție ale acestor drepte cu cealaltă parte a unghiului. Să demonstrăm că dacă A 1 A 2 = A 2 A 3, atunci B 1 B 2 = B 2 B 3.

Să desenăm o dreaptă EF prin punctul B 2, paralelă cu dreapta A 1 A 3. Prin proprietatea unui paralelogram A 1 A 2 = FB 2, A 2 A 3 = B 2 E.

Și deoarece A 1 A 2 = A 2 A 3, atunci FB 2 = B 2 E.

Triunghiurile B 2 B 1 F și B 2 B 3 E sunt egale conform celui de-al doilea criteriu. Au B 2 F = B 2 E conform celor dovedite. Unghiurile de la vârful B 2 sunt egale ca verticale, iar unghiurile B 2 FB 1 și B 2 EB 3 sunt egale ca interioare încrucișate cu paralelele A 1 B 1 și A 3 B 3 și secantele EF. Din egalitatea triunghiurilor rezultă egalitatea laturilor: B 1 B 2 = B 2 B 3. Teorema a fost demonstrată.

Folosind teorema lui Thales, se stabilește următoarea teoremă.

Teorema 2. Linia de mijloc a unui triunghi este paralel cu a treia latură și egal cu jumătate din acesta.

Linia mediană a unui triunghi este segmentul care leagă punctele medii ale celor două laturi ale sale. În figura 2, segmentul ED este linia de mijloc a triunghiului ABC.

ED - linia mediană a triunghiului ABC

Exemplul 1.Împărțiți acest segment în patru părți egale.

Soluţie. Fie AB un segment dat (Fig. 3), care trebuie împărțit în 4 părți egale.

Împărțirea unui segment în patru părți egale

Pentru a face acest lucru, trageți o semi-linie arbitrară a prin punctul A și trasați pe ea secvențial patru segmente egale AC, CD, DE, EK.

Să conectăm punctele B și K cu un segment. Să trasăm drepte paralele cu linia BK prin punctele rămase C, D, E, astfel încât acestea să intersecteze segmentul AB.

Conform teoremei lui Thales, segmentul AB va fi împărțit în patru părți egale.

Exemplul 2. Diagonala unui dreptunghi este a. Care este perimetrul unui patrulater ale cărui vârfuri sunt punctele mijlocii ale laturilor dreptunghiului?

Soluţie. Fie ca Figura 4 să îndeplinească condițiile problemei.

Atunci EF este linia mediană a triunghiului ABC și, prin urmare, prin teorema 2. $$ EF = \frac(1)(2)AC = \frac(a)(2) $$

În mod similar $$ HG = \frac(1)(2)AC = \frac(a)(2) , EH = \frac(1)(2)BD = \frac(a)(2) , FG = \frac( 1)(2)BD = \frac(a)(2) $$ și deci perimetrul patrulaterului EFGH este 2a.

Exemplul 3. Laturile unui triunghi sunt de 2 cm, 3 cm și 4 cm, iar vârfurile sale sunt punctele mijlocii ale laturilor altui triunghi. Aflați perimetrul triunghiului mare.

Soluţie. Fie ca Figura 5 să îndeplinească condițiile problemei.

Segmentele AB, BC, AC sunt liniile de mijloc ale triunghiului DEF. Prin urmare, conform teoremei 2 $$ AB = \frac(1)(2)EF\ \ ,\ \ BC = \frac(1)(2)DE\ \ ,\ \ AC = \frac(1)(2) DF $$ sau $$ 2 = \frac(1)(2)EF\ \ ,\ \ 3 = \frac(1)(2)DE\ \ ,\ \ 4 = \frac(1)(2)DF $ $ de unde $$ EF = 4\ \ ,\ \ DE = 6\ \ ,\ \ DF = 8 $$ și, prin urmare, perimetrul triunghiului DEF este de 18 cm.

Exemplul 4.Într-un triunghi dreptunghic, prin mijlocul ipotenuzei sale există linii drepte paralele cu catetele sale. Aflați perimetrul dreptunghiului rezultat dacă catetele triunghiului au 10 cm și 8 cm.

Soluţie. În triunghiul ABC (Fig. 6)

∠ A este o linie dreaptă, AB = 10 cm, AC = 8 cm, KD și MD sunt liniile mediane ale triunghiului ABC, de unde $$ KD = \frac(1)(2)AC = \\ MD = \. frac(1) (2)AB = 5 cm $$ Perimetrul dreptunghiului K DMA este de 18 cm.

Evaluare articol:

(Fără evaluări încă)

Încărcare...