Aplicația practică a numerelor Fibonacci în viață. Lucrări de cercetare „misterul numerelor Fibonacci”

Ați auzit vreodată că matematica este numită „regina tuturor științelor”? Sunteți de acord cu această afirmație? Atâta timp cât matematica rămâne pentru tine un set de probleme plictisitoare într-un manual, cu greu poți experimenta frumusețea, versatilitatea și chiar umorul acestei științe.

Dar există subiecte în matematică care ajută la realizarea de observații interesante despre lucruri și fenomene care ne sunt comune. Și chiar încercați să pătrundeți în vălul misterului creației Universului nostru. Există modele interesante în lume care pot fi descrise folosind matematică.

Prezentarea numerelor Fibonacci

numerele Fibonacci numiți elementele unei secvențe de numere. În ea, fiecare număr următor dintr-o serie se obține prin însumarea celor două numere anterioare.

Exemplu de secvență: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987...

O poti scrie asa:

F 0 = 0, F 1 = 1, F n = F n-1 + F n-2, n ≥ 2

Puteți începe o serie de numere Fibonacci cu valori negative n. Mai mult, secvența în acest caz este bidirecțională (adică acoperă numere negative și pozitive) și tinde spre infinit în ambele direcții.

Un exemplu de astfel de secvență: -55, -34, -21, -13, -8, 5, 3, 2, -1, 1, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 , 34, 55.

Formula în acest caz arată astfel:

F n = F n+1 - F n+2 sau altfel poți face asta: F -n = (-1) n+1 Fn.

Ceea ce cunoaștem acum sub numele de „numerele Fibonacci” era cunoscut de matematicienii indieni antici cu mult înainte să înceapă să fie folosite în Europa. Și acest nume este în general o anecdotă istorică continuă. Să începem cu faptul că Fibonacci însuși nu s-a numit niciodată Fibonacci în timpul vieții sale - acest nume a început să fie aplicat lui Leonardo din Pisa la doar câteva secole după moartea sa. Dar să vorbim despre totul în ordine.

Leonardo din Pisa, alias Fibonacci

Fiul unui comerciant care a devenit matematician și, ulterior, a primit recunoașterea posterității ca primul matematician important al Europei în Evul Mediu. Nu în ultimul rând datorită numerelor Fibonacci (care, să ne amintim, nu se numeau încă așa). Pe care l-a descris la începutul secolului al XIII-lea în lucrarea sa „Liber abaci” („Cartea lui Abacus”, 1202).

Călătoresc cu tatăl meu în Orient, Leonardo a studiat matematica cu profesori arabi (și pe vremea aceea erau în acest domeniu, și în multe alte științe, una dintre cei mai buni specialisti). Lucrări ale matematicienilor din Antichitate și India antică a citit în traduceri arabe.

După ce a înțeles temeinic tot ceea ce a citit și folosind propria sa minte curios, Fibonacci a scris mai multe tratate științifice despre matematică, inclusiv „Cartea Abacusului” menționată mai sus. Pe langa asta am creat:

• „Practica geometriae” („Practica de geometrie”, 1220);
• „Flos” („Floare”, 1225 - un studiu asupra ecuațiilor cubice);
• „Liber quadratorum” („Cartea pătratelor”, 1225 - probleme privind ecuațiile pătratice nedefinite).

Era un mare fan al turneelor ​​de matematică, așa că în tratatele sale a acordat multă atenție analizei diverselor probleme matematice.

Au rămas foarte puține informații biografice despre viața lui Leonardo. În ceea ce privește numele Fibonacci, sub care a intrat în istoria matematicii, acesta i-a fost atribuit abia în secolul al XIX-lea.

Fibonacci și problemele lui

După Fibonacci au rămas un număr mare de probleme care au fost foarte populare în rândul matematicienilor în secolele următoare. Ne vom uita la problema iepurelui, care este rezolvată folosind numerele Fibonacci.

Iepurii nu sunt doar blană valoroasă

Fibonacci a pus următoarele condiții: există o pereche de iepuri nou-născuți (masculi și femele) dintr-o rasă atât de interesantă încât aceștia produc în mod regulat (începând cu luna a doua) descendenți - întotdeauna o nouă pereche de iepuri. De asemenea, după cum ați putea ghici, un bărbat și o femeie.

Acești iepuri condiționati sunt plasați într-un spațiu restrâns și se reproduc cu entuziasm. De asemenea, se stipulează că niciun iepure nu moare din cauza unei boli misterioase a iepurelui.

Trebuie să calculăm câți iepuri vom obține într-un an.

• La începutul unei luni avem 1 pereche de iepuri. La sfârșitul lunii se împerechează.
• A doua luna - avem deja 2 perechi de iepuri (o pereche are parinti + 1 pereche este urmasii lor).
• A treia lună: prima pereche dă naștere unei noi perechi, a doua pereche se împerechează. Total - 3 perechi de iepuri.
• Luna a patra: Prima pereche dă naștere unei noi perechi, a doua pereche nu pierde timpul și, de asemenea, dă naștere unei noi perechi, a treia pereche tocmai se împerechează. Total - 5 perechi de iepuri.

Numărul de iepuri în n a-a luna = numărul de perechi de iepuri din luna precedentă + numărul de perechi de nou-născuți (există același număr de perechi de iepuri ca și perechi de iepuri cu 2 luni înainte). Și toate acestea sunt descrise de formula pe care am dat-o deja mai sus: Fn = Fn-1 + Fn-2.

Astfel, obținem o recurentă (explicație despre recursiunea– mai jos) succesiunea de numere. În care fiecare număr următor este egal cu suma celor două precedente:

1. 1 + 1 = 2
2. 2 + 1 = 3
3. 3 + 2 = 5
4. 5 + 3 = 8
5. 8 + 5 = 13
6. 13 + 8 = 21
7. 21 + 13 = 34
8. 34 + 21 = 55
9. 55 + 34 = 89
10. 89 + 55 = 144
11. 144 + 89 = 233
12. 233+ 144 = 377 <…>

Puteți continua secvența mult timp: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987<…>. Dar, deoarece am stabilit o anumită perioadă - un an, ne interesează rezultatul obținut în a 12-a „mișcare”. Aceste. Al 13-lea membru al secvenței: 377.

Răspunsul la problemă: se vor obține 377 de iepuri dacă sunt îndeplinite toate condițiile menționate.

Una dintre proprietățile șirului de numere Fibonacci este foarte interesantă. Dacă luăm două perechi consecutive dintr-un rând și împărțim număr mai mare la mai puțin, rezultatul se va apropia treptat raportul de aur(puteți citi mai multe despre asta mai târziu în articol).

În termeni matematici, „limita relațiilor un n+1 La un n egal cu raportul de aur".

Mai multe probleme de teoria numerelor

1. Găsiți un număr care poate fi împărțit la 7. De asemenea, dacă îl împărțiți la 2, 3, 4, 5, 6, restul va fi unul.
2. Găsi număr pătrat. Se știe că dacă adaugi 5 sau scazi 5, vei obține din nou un număr pătrat.

Vă sugerăm să căutați singuri răspunsuri la aceste probleme. Ne poți lăsa opțiunile tale în comentariile acestui articol. Și apoi vă vom spune dacă calculele dvs. au fost corecte.

Explicația recursiunii

Recursiune– definiția, descrierea, imaginea unui obiect sau proces care conține acest obiect sau proces în sine. Adică, în esență, un obiect sau un proces este o parte din sine.

Recursiunea este utilizată pe scară largă în matematică și informatică, și chiar în artă și cultura populară.

Numerele Fibonacci sunt determinate folosind o relație de recurență. Pentru număr n>2 n- numărul este egal (n – 1) + (n – 2).

Explicația raportului de aur

Raportul de aur- împărțirea unui întreg (de exemplu, un segment) în părți care sunt legate după următorul principiu: partea mai mare este legată de cea mai mică în același mod în care este întreaga valoare (de exemplu, suma a două segmente) spre cea mai mare parte.

Prima mențiune despre raportul de aur poate fi găsită la Euclid în tratatul său „Elemente” (aproximativ 300 î.Hr.). În contextul construirii unui dreptunghi regulat.

Termenul care ne este familiar a fost introdus în circulație în 1835 de către matematicianul german Martin Ohm.

Dacă descrii raportul de aur aproximativ, reprezintă o împărțire proporțională în două părți inegale: aproximativ 62% și 38%. În termeni numerici, raportul de aur este numărul 1,6180339887 .

Raportul de aur găsește aplicare practicăîn arte plastice (picturi de Leonardo da Vinci și alți pictori Renașterii), arhitectură, cinema („Cuirasatul Potemkin” de S. Esenstein) și alte domenii. Multă vreme s-a crezut că proporția de aur este cea mai estetică proporție. Această opinie este populară și astăzi. Deși, conform rezultatelor cercetării, vizual majoritatea oamenilor nu percep această proporție ca fiind cea mai mare o opțiune bunăși este considerat prea alungit (disproporționat).

• Lungimea secțiunii Cu = 1, O = 0,618, b = 0,382.
• Atitudine Cu La O = 1, 618.
• Atitudine Cu La b = 2,618

Acum să revenim la numerele Fibonacci. Să luăm doi termeni consecutivi din succesiunea sa. Împărțiți numărul mai mare la numărul mai mic și obțineți aproximativ 1,618. Și acum folosim același număr mai mare și următorul membru al seriei (adică un număr și mai mare) - raportul lor este devreme 0,618.

Iată un exemplu: 144, 233, 377.

233/144 = 1,618 și 233/377 = 0,618

Apropo, dacă încercați să faceți același experiment cu numerele de la începutul secvenței (de exemplu, 2, 3, 5), nimic nu va funcționa. Ei bine, aproape. Regula proporției de aur este cu greu respectată la începutul secvenței. Dar pe măsură ce vă deplasați de-a lungul seriei și numerele cresc, funcționează grozav.

Și pentru a calcula întreaga serie de numere Fibonacci, este suficient să cunoaștem trei termeni ai șirului, care vin unul după altul. Puteți vedea asta pentru dvs.!

Dreptunghiul de aur și spirala Fibonacci

O altă paralelă interesantă între numerele Fibonacci și raportul de aur este așa-numitul „dreptunghi de aur”: laturile sale sunt în proporție de 1,618 la 1. Dar știm deja ce este numărul 1,618, nu?

De exemplu, să luăm doi termeni consecutivi din seria Fibonacci - 8 și 13 - și să construim un dreptunghi cu următorii parametri: lățime = 8, lungime = 13.

Și apoi vom împărți dreptunghiul mare în altele mai mici. Condiție obligatorie: lungimile laturilor dreptunghiurilor trebuie să corespundă numerelor Fibonacci. Aceste. Lungimea laturii dreptunghiului mai mare trebuie să fie egală cu suma laturilor celor două dreptunghiuri mai mici.

Modul în care se face în această figură (pentru comoditate, cifrele sunt semnate cu litere latine).

Apropo, puteți construi dreptunghiuri în ordine inversă. Aceste. începeți să construiți cu pătrate cu latura de 1. La care, ghidându-se după principiul enunțat mai sus, se completează figuri cu laturile egale cu numerele Fibonacci. Teoretic, acest lucru poate fi continuat la infinit - la urma urmei, seria Fibonacci este formal infinită.

Dacă conectăm colțurile dreptunghiurilor obținute în figură cu o linie netedă, obținem o spirală logaritmică. Sau mai bine zis, ea caz special– spirala Fibonacci. Se caracterizează, în special, prin faptul că nu are granițe și nu își schimbă forma.

O spirală similară se găsește adesea în natură. Cojile de scoici sunt unul dintre cele mai izbitoare exemple. Mai mult, unele galaxii care pot fi văzute de pe Pământ au formă de spirală. Dacă acordați atenție prognozelor meteo de la televizor, este posibil să fi observat că ciclonii au o formă similară în spirală atunci când sunt fotografiați de pe sateliți.

Este curios că helixul ADN respectă și regula secțiunii de aur - modelul corespunzător poate fi văzut în intervalele curbelor sale.

Asemenea „coincidențe” uimitoare nu pot decât să excite mințile și să dea naștere la discuții despre un singur algoritm căruia se supun toate fenomenele din viața Universului. Acum înțelegi de ce acest articol se numește astfel? Și ce fel de lumi uimitoare vă poate deschide matematica?

Numerele Fibonacci în natură

Legătura dintre numerele Fibonacci și raportul de aur sugerează modele interesante. Atât de curios încât este tentant să încerci să găsești secvențe similare numerelor Fibonacci în natură și chiar în timpul evenimente istorice. Și natura chiar dă naștere unor astfel de presupuneri. Dar orice lucru din viața noastră poate fi explicat și descris folosind matematica?

Exemple de viețuitoare care pot fi descrise folosind șirul Fibonacci:

• dispunerea frunzelor (și a ramurilor) în plante - distanțele dintre ele sunt corelate cu numerele Fibonacci (filotaxie);

• aranjarea semințelor de floarea soarelui (semințele sunt dispuse în două rânduri de spirale răsucite în direcții diferite: un rând în sensul acelor de ceasornic, celălalt în sens invers acelor de ceasornic);

• aranjarea solzilor de conuri de pin;
• petale de flori;
• celule de ananas;
• raportul dintre lungimile falangelor degetelor de pe mâna omului (aproximativ), etc.

Probleme de combinatorie

Numerele Fibonacci sunt utilizate pe scară largă în rezolvarea problemelor de combinatorie.

Combinatorică este o ramură a matematicii care studiază selecția unui anumit număr de elemente dintr-o mulțime desemnată, enumerare etc.

Să ne uităm la exemple de probleme de combinatorie concepute pentru nivel de liceu (sursa - http://www.problems.ru/).

Sarcina #1:

Lesha urcă o scară de 10 trepte. La un moment dat, el sare în sus fie o treaptă, fie două trepte. În câte moduri poate Lesha să urce scările?

Numărul de moduri prin care Lesha poate urca scările n pași, să notăm și n. Rezultă că a 1 = 1, a 2= 2 (la urma urmei, Lesha sare unul sau doi pași).

De asemenea, este de acord că Lesha sare pe scări de la n> 2 trepte. Să presupunem că a sărit doi pași prima dată. Aceasta înseamnă că, în funcție de condițiile problemei, trebuie să sară altul n – 2 trepte. Apoi numărul de moduri de a finaliza urcarea este descris ca a n–2. Și dacă presupunem că prima dată când Lesha a sărit doar un pas, atunci vom descrie numărul de moduri de a termina urcarea ca un n–1.

De aici obținem următoarea egalitate: a n = a n–1 + a n–2(pare cunoscut, nu-i așa?).

Din moment ce știm a 1Şi a 2și amintiți-vă că, în funcție de condițiile problemei, există 10 pași, calculați toți în ordine și n: a 3 = 3, a 4 = 5, un 5 = 8, a 6 = 13, un 7 = 21, un 8 = 34, un 9 = 55, un 10 = 89.

Răspuns: 89 de moduri.

Sarcina #2:

Trebuie să găsiți numărul de cuvinte de 10 litere care constau numai din literele „a” și „b” și nu trebuie să conțină două litere „b” la rând.

Să notăm prin un n numărul de lungime a cuvintelor n litere care constau numai din literele „a” și „b” și nu conțin două litere „b” la rând. Mijloace, a 1= 2, a 2= 3.

În succesiune a 1, a 2, <…>, un n ne vom exprima pe fiecare dintre membrii săi următori prin cei anteriori. Prin urmare, numărul de cuvinte de lungime este n literele care, de asemenea, nu conțin o literă dublă „b” și încep cu litera „a” sunt un n–1. Și dacă cuvântul este lung n literele încep cu litera „b”, este logic ca următoarea literă dintr-un astfel de cuvânt să fie „a” (la urma urmei, nu pot exista doi „b” în funcție de condițiile problemei). Prin urmare, numărul de cuvinte de lungime este nîn acest caz notăm literele ca a n–2. Atât în ​​primul cât și în al doilea caz, orice cuvânt (lungimea de n – 1Şi n – 2 respectiv litere) fără „b” dublu.

Am putut justifica de ce a n = a n–1 + a n–2.

Să calculăm acum a 3= a 2+ a 1= 3 + 2 = 5, a 4= a 3+ a 2= 5 + 3 = 8, <…>, un 10= un 9+ un 8= 144. Și obținem succesiunea familiară Fibonacci.

Raspuns: 144.

Sarcina #3:

Imaginați-vă că există o bandă împărțită în celule. Merge spre dreapta și durează la infinit. Puneți o lăcustă pe primul pătrat al benzii. Indiferent de celula pe care se află, el se poate deplasa doar la dreapta: fie o celulă, fie două. Câte moduri există în care o lăcustă poate sări de la începutul benzii la n-a celulele?

Să notăm numărul de moduri de a muta o lăcustă de-a lungul centurii către n-lea celule ca un n. În acest caz a 1 = a 2= 1. Tot în n+1 Lăcusta poate intra în celula -a fie din n-a celula, sau sărind peste ea. De aici a n + 1 = a n – 1 + un n. Unde un n = Fn – 1.

Răspuns: Fn – 1.

Poți să creezi singur probleme similare și să încerci să le rezolvi la lecțiile de matematică cu colegii tăi.

Numerele Fibonacci în cultura populară

Desigur, un fenomen atât de neobișnuit precum numerele Fibonacci nu poate decât să atragă atenția. Există încă ceva atractiv și chiar misterios în acest model strict verificat. Nu este surprinzător că secvența Fibonacci s-a „aprins” cumva în multe lucrări ale culturii populare moderne de diferite genuri.

Vă vom povesti despre unele dintre ele. Și încerci să te cauți din nou. Dacă îl găsiți, împărtășiți-l cu noi în comentarii – și noi suntem curioși!

• Numerele Fibonacci sunt menționate în bestsellerul lui Dan Brown Codul Da Vinci: secvența Fibonacci servește drept cod folosit de personajele principale ale cărții pentru a deschide un seif.
• În filmul american din 2009 Mr. Nobody, într-un episod adresa unei case face parte din secvența Fibonacci - 12358. În plus, într-un alt episod personajul principal trebuie să apeleze un număr de telefon, care este în esență același, dar ușor distorsionat (cifra suplimentară după 5) secvență: 123-581-1321.
• În seria din 2012 „Connection”, personajul principal, un băiat care suferă de autism, este capabil să discearnă tipare în evenimentele care au loc în lume. Inclusiv prin numerele Fibonacci. Și gestionați aceste evenimente și prin numere.
• Dezvoltatori de jocuri Java pentru telefoane mobile Doom RPG a plasat o ușă secretă într-unul dintre niveluri. Codul care îl deschide este șirul Fibonacci.
• În 2012, trupa rusă de rock Splin a lansat albumul concept „Optical Deception”. A opta piesă se numește „Fibonacci”. Versurile liderului grupului Alexander Vasiliev joacă pe succesiunea numerelor Fibonacci. Pentru fiecare dintre cei nouă termeni consecutivi există un număr corespunzător de linii (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21):

0 Trenul a pornit

1 O articulație s-a rupt

1 O mânecă tremura

2 Asta e, ia lucrurile

Asta e, ia lucrurile

3 Cerere de apă clocotită

Trenul merge spre râu

Trenul trece prin taiga<…>.

• Un limerick (o poezie scurtă de o formă specifică - de obicei cinci rânduri, cu o schemă specifică de rimă, umoristică în conținut, în care primul și ultimul rând sunt repetate sau se dublează parțial unul pe celălalt) de James Lyndon, de asemenea, folosește o referire la Fibonacci secvență ca motiv umoristic:

Mâncarea densă a soțiilor lui Fibonacci

Era doar în folosul lor, nimic altceva.

Soțiile cântăreau, potrivit zvonurilor,

Fiecare este ca și precedentele două.

Să rezumam

Sperăm că am putut să vă spunem o mulțime de lucruri interesante și utile astăzi. De exemplu, acum poți căuta spirala Fibonacci în natura din jurul tău. Poate că tu vei fi cel care va putea dezvălui „secretul vieții, al Universului și în general”.

Utilizați formula numerelor Fibonacci atunci când rezolvați probleme de combinatorie. Vă puteți baza pe exemplele descrise în acest articol.

blog.site, atunci când copiați materialul integral sau parțial, este necesar un link către sursa originală.

Leonardo Fibonacci este unul dintre cei mai mari matematicieni ai Evului Mediu. Într-una dintre lucrările sale, „Cartea calculelor”, Fibonacci a descris sistemul de calcul indo-arab și avantajele utilizării acestuia față de cel roman.

Definiţie
Numerele Fibonacci sau Secvența Fibonacci – succesiune de numere, care are o serie de proprietăți. De exemplu, suma a două numere adiacente dintr-o succesiune dă valoarea următoarei (de exemplu, 1+1=2; 2+3=5 etc.), ceea ce confirmă existența așa-numiților coeficienți Fibonacci , adică rapoarte constante.

Secvența Fibonacci începe astfel: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233...

2.

Definiția completă a numerelor Fibonacci

3.


Proprietățile șirului Fibonacci

4.

1. Raportul dintre fiecare număr și următorul tinde din ce în ce mai mult la 0,618 pe măsură ce numărul de serie crește. Raportul fiecărui număr față de cel anterior tinde spre 1,618 (reversul lui 0,618). Numărul 0,618 se numește (FI).

2. La împărțirea fiecărui număr la cel care îl urmează, numărul după unu este 0,382; dimpotrivă – respectiv 2.618.

3. Selectând astfel rapoartele, obținem setul principal de rapoarte Fibonacci: ... 4.235, 2.618, 1.618, 0.618, 0.382, 0.236.

5.


Legătura dintre șirul lui Fibonacci și „rația de aur”

6.

Secvența Fibonacci asimptotic (apropiindu-se din ce în ce mai lent) tinde spre o relație constantă. Cu toate acestea, acest raport este irațional, adică reprezintă un număr cu o succesiune infinită, imprevizibilă de cifre zecimale în partea fracțională. Este imposibil să o exprim cu precizie.

Dacă orice membru al șirului Fibonacci este împărțit la predecesorul său (de exemplu, 13:8), rezultatul va fi o valoare care fluctuează în jurul valorii iraționale 1,61803398875... și uneori o depășește, alteori nu o atinge. Dar chiar și după ce a cheltuit Eternity cu asta, este imposibil să aflăm raportul exact, până la ultima cifră zecimală. De dragul conciziei, îl vom prezenta sub forma 1.618. Nume speciale au început să fie date acestui raport chiar înainte ca Luca Pacioli (un matematician medieval) să-l numească proporția divină. Printre denumirile sale moderne se numără Raportul de Aur, Media de Aur și raportul pătratelor rotative. Kepler a numit această relație una dintre „comorile geometriei”. În algebră, este în general acceptat să fie notat cu litera greacă phi

Să ne imaginăm raportul de aur folosind exemplul unui segment.

Să considerăm un segment cu capete A și B. Fie punctul C să împartă segmentul AB astfel încât,

AC/CB = CB/AB sau

AB/CB = CB/AC.

Vă puteți imagina cam așa: A-–C--–B

7.

Raportul de aur este o astfel de împărțire proporțională a unui segment în părți inegale, în care întregul segment este legat de partea mai mare, așa cum partea mai mare în sine este legată de cea mai mică; sau cu alte cuvinte, segmentul mai mic este mai mare cu cât este mai mare întregului.

8.

Segmentele proporției de aur sunt exprimate ca o fracție irațională infinită 0,618..., dacă AB este luat ca unul, AC = 0,382.. După cum știm deja, numerele 0,618 și 0,382 sunt coeficienții șirului Fibonacci.

9.

Proporțiile Fibonacci și raportul de aur în natură și istorie

10.


Este important de remarcat că Fibonacci părea să amintească omenirii de secvența sa. Era cunoscut de vechii greci și egipteni. Și într-adevăr, de atunci, modele descrise de rapoartele Fibonacci au fost găsite în natură, arhitectură, arte plastice, matematică, fizică, astronomie, biologie și multe alte domenii. Este uimitor câte constante pot fi calculate folosind șirul Fibonacci și cum termenii săi apar într-un număr mare de combinații. Cu toate acestea, nu este o exagerare să spunem că acesta nu este doar un joc cu numere, ci cea mai importantă expresie matematică a fenomenelor naturale descoperite vreodată.

11.

Exemplele de mai jos arată câteva aplicații interesante ale acestei secvențe matematice.

12.

1. Chiuveta este răsucită în spirală. Dacă îl desfaceți, obțineți o lungime puțin mai mică decât lungimea șarpelui. Cochilia mică de zece centimetri are o spirală de 35 cm lungime. Forma cochiliei ondulate în spirală a atras atenția lui Arhimede. Faptul este că raportul dimensiunilor buclelor de coajă este constant și egal cu 1,618. Arhimede a studiat spirala scoicilor și a derivat ecuația spiralei. Spirala desenată conform acestei ecuații este numită după numele lui. Creșterea pasului ei este întotdeauna uniformă. În prezent, spirala lui Arhimede este utilizată pe scară largă în tehnologie.

2. Plante și animale. Goethe a subliniat și tendința naturii spre spiralitate. Aranjamentul elicoidal și spiralat al frunzelor pe ramurile copacilor a fost observat cu mult timp în urmă. Spirala a fost văzută în aranjamentul semințelor de floarea soarelui, conurilor de pin, ananasului, cactusilor etc. Lucrarea comună a botaniştilor şi matematicienilor aruncă lumină asupra acestor fenomene naturale uimitoare. S-a dovedit că în aranjarea frunzelor pe o ramură de semințe de floarea soarelui și conuri de pin, seria Fibonacci se manifestă și, prin urmare, legea raportului de aur se manifestă. Păianjenul își țese pânza într-un model în spirală. Un uragan se învârte ca o spirală. O turmă speriată de reni se împrăștie în spirală. Molecula de ADN este răsucită într-o dublă helix. Goethe a numit spirala „curba vieții”.

Printre ierburile de pe marginea drumului crește o plantă neremarcabilă - cicoarea. Să aruncăm o privire mai atentă. Din tulpina principală s-a format un lăstar. Prima frunză era situată chiar acolo. Lăstarul face o ejectare puternică în spațiu, se oprește, eliberează o frunză, dar de data aceasta este mai scurtă decât prima, iarăși face o ejecție în spațiu, dar cu mai puțină forță, eliberează o frunză de dimensiuni și mai mici și este aruncată din nou. . Dacă prima emisie este luată ca 100 de unități, atunci a doua este egală cu 62 de unități, a treia este 38, a patra este 24 etc. Lungimea petalelor este, de asemenea, supusă proporției de aur. În creștere și cucerire a spațiului, planta a menținut anumite proporții. Impulsurile creșterii sale au scăzut treptat proporțional cu raportul de aur.

Șopârla este vivipară. La prima vedere, șopârla are proporții plăcute pentru ochii noștri - lungimea cozii este legată de lungimea restului corpului, de la 62 la 38.

Atât în ​​lumea vegetală, cât și în cea animală, tendința formativă a naturii răzbate în mod persistent - simetria în ceea ce privește direcția de creștere și mișcare. Aici raportul de aur apare în proporțiile părților perpendiculare pe direcția de creștere. Natura a realizat împărțirea în părți simetrice și proporții de aur. Părțile relevă o repetare a structurii întregului.

Pierre Curie a formulat la începutul acestui secol o serie de idei profunde despre simetrie. El a susținut că nu se poate lua în considerare simetria oricărui corp fără a lua în considerare simetria mediu. Modelele de simetrie aurie se manifestă în tranzițiile energetice particule elementare, în structura unora compuși chimici, în planetară și sisteme spațiale, în structurile genice ale organismelor vii. Aceste modele, așa cum s-a indicat mai sus, există în structura organelor umane individuale și a corpului în întregime și, de asemenea, se manifestă în bioritmurile și funcționarea creierului și percepția vizuală.

3. Spațiu. Din istoria astronomiei se știe că I. Titius, un astronom german al secolului al XVIII-lea, cu ajutorul acestei serii (Fibonacci) a găsit un model și o ordine în distanțele dintre planetele sistemului solar.

Cu toate acestea, un caz care părea să contrazică legea: nu exista nicio planetă între Marte și Jupiter. Observarea concentrată a acestei părți a cerului a dus la descoperirea centurii de asteroizi. Acest lucru s-a întâmplat după moartea lui Titius în începutul XIX V.

Seria Fibonacci este utilizată pe scară largă: este folosită pentru a reprezenta arhitectura ființelor vii, structurile create de om și structura galaxiilor. Aceste fapte sunt dovezi ale independenței seriei de numere față de condițiile manifestării sale, care este unul dintre semnele universalității sale.

4. Piramide. Mulți au încercat să dezvăluie secretele piramidei de la Giza. Spre deosebire de altele Piramidele egiptene Acesta nu este un mormânt, ci mai degrabă un puzzle de nerezolvat de combinații de numere. Ingeniozitatea, priceperea, timpul și munca remarcabile ale arhitecților piramidei, pe care le-au folosit în construcție simbol etern, indică importanța extremă a mesajului pe care au dorit să-l transmită generațiilor viitoare. Epoca lor era prealfabetizată, prehieroglifică, iar simbolurile erau singurele mijloace de înregistrare a descoperirilor. Cheia secretului geometric-matematic al Piramidei din Giza, care a fost un mister pentru omenire atât de mult timp, i-a fost de fapt dată lui Herodot de către preoții templului, care l-au informat că piramida a fost construită astfel încât zona de fiecare dintre fețele sale era egală cu pătratul înălțimii sale.

Aria unui triunghi

356 x 440 / 2 = 78320

Suprafata patrata

280 x 280 = 78400

Lungimea marginii bazei piramidei de la Giza este de 783,3 picioare (238,7 m), înălțimea piramidei este de 484,4 picioare (147,6 m). Lungimea marginii bazei împărțită la înălțime duce la raportul Ф=1,618. Înălțimea de 484,4 picioare corespunde cu 5813 inci (5-8-13) - acestea sunt numerele din șirul lui Fibonacci. Aceste observatii interesante sugerează că proiectarea piramidei se bazează pe proporția Ф = 1,618. Unii savanți moderni sunt înclinați să interpreteze că egiptenii antici l-au construit cu unicul scop de a transmite cunoștințe pe care doreau să le păstreze pentru generațiile viitoare. Studiile intensive ale piramidei de la Giza au arătat cât de extinse erau cunoștințele de matematică și astrologie la acea vreme. În toate proporțiile interne și externe ale piramidei, numărul 1.618 joacă un rol central.

Piramidele din Mexic. Nu numai că piramidele egiptene au fost construite în conformitate cu proporțiile perfecte ale raportului de aur, același fenomen a fost găsit și în piramidele mexicane. Apare ideea că atât piramidele egiptene cât și cele mexicane au fost ridicate aproximativ în același timp de oameni de origine comună.

(Numerele Fibonacci, secvența Fibonacci engleză, numerele Fibonacci) – o serie de numere derivate de celebrul matematician Fibonacci. Are următoarea formă: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181 etc.

Istoria seriei Fibonacci

Leonardo din Pisa (Fibonacci) a ajuns la matematică dintr-o nevoie practică de a stabili contacte de afaceri. În tinerețe, Fibonacci a călătorit mult, însoțindu-și tatăl în diferite călătorii de afaceri, ceea ce i-a permis să comunice cu oamenii de știință locali.

Seria de numere care astăzi îi poartă numele a fost derivată dintr-o problemă cu iepurii, pe care autorul a schițat-o într-o carte intitulată Liber abacci (1202): un bărbat a pus o pereche de iepuri într-un tarc înconjurat din toate părțile de un perete. Întrebare: câte perechi de iepuri poate produce această pereche într-un an, dacă se știe că în fiecare lună, începând din luna a doua, fiecare pereche produce o altă pereche de iepuri.

Ca urmare, Fibonacci a stabilit că numărul de perechi de iepuri în fiecare dintre următoarele douăsprezece luni va fi, respectiv:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...

Unde fiecare număr următor este suma celor două precedente. Aceasta este seria Fibonacci (numerele). Această secvență are multe proprietăți care sunt interesante din punct de vedere matematic. De exemplu, dacă împărțiți o linie în 2 segmente, astfel încât raportul dintre segmentul mai mic și cel mai mare să fie proporțional cu raportul dintre segmentul mai mare și întreaga linie, obțineți un coeficient de proporționalitate cunoscut sub numele de „raportul de aur”. Este aproximativ egal cu 0,618. Oamenii de știință din Renaștere credeau că aceasta era această proporție, dacă este observată în structuri arhitecturale, este capabil să placă cel mai mult ochiului.

Aplicarea seriei Fibonacci

Seria Fibonacci și-a găsit o aplicație largă în diverse domenii ale științei și vieții. De exemplu, în natură: în structura uraganelor, scoici și chiar galaxii. Piața valutară Forex nu a făcut excepție, unde o serie secvențială de numere a început să fie folosită pentru a prezice tendințele. Trebuie remarcat faptul că există relații constante între aceste numere. De exemplu, așa cum sa menționat mai sus, raportul dintre numărul anterior și următorul tinde asimptotic la 0,618 (rația de aur). Raportul dintre un anumit număr față de cel anterior tinde și el la 0,618.

Pe lângă prezicerea tendințelor, numerele Fibonacci din Forex sunt folosite pentru a prezice direcția mișcării prețurilor. De exemplu, o inversare a tendinței conform raportului de aur are loc la un nivel de aproximativ 61,8% din modificarea anterioară a prețului (vezi Fig. 1). În consecință, cea mai profitabilă opțiune în acest caz ar fi închiderea poziției puțin mai jos acest nivel. Pe baza seriei Fibonacci, puteți calcula cele mai profitabile momente pentru închiderea și deschiderea tranzacțiilor.

De asemenea, una dintre modalitățile de a folosi numerele consecutive ale seriei Fibonacci pe piața Forex este construirea de arcuri. Alegerea centrului pentru un astfel de arc are loc în punctul de fund sau tavan important. Raza arcelor se calculează prin înmulțirea rapoartelor Fibonacci cu valoarea creșterii sau scăderii semnificative anterioare a prețurilor.

Coeficienții selectați au următoarele valori: 0,333, 0,382, 0,4, 0,5, 0,6, 0,618, 0,666. Amplasarea arcurilor determină rolul lor: suport sau rezistență. Pentru a vă face, de asemenea, o idee despre momentul mișcărilor prețurilor, arcurile sunt de obicei folosite împreună cu liniile de viteză sau ventilatoare.

Principiul construcției lor este similar: trebuie să selectați punctele extreme trecute și să construiți o linie orizontală din partea de sus a primei dintre ele și o linie verticală din partea de sus a celei de-a doua. Apoi ar trebui să împărțiți segmentul vertical rezultat în părți corespunzătoare coeficienților, să desenați raze care vin din primul punct prin cele pe care tocmai le-ați selectat. Când se utilizează rapoarte de 2/3 și 1/3, se obțin linii de mare viteză cu rapoarte mai stricte de 0,618, 0,5 și 0,382, se obțin linii de ventilator. Toate acestea servesc drept linii de sprijin sau de rezistență pentru tendința prețurilor (vezi Fig. 2).

Intersecțiile arcurilor și liniilor de ventilator servesc drept semnale pentru a determina punctele de cotitură a tendinței - atât în ​​timp, cât și în preț.

(Fig. 2 – Seria Fibonacci, construcția arcelor)

Perechile valutare mai volatile se caracterizează prin atingerea unor niveluri Fibonacci mai ridicate în comparație cu cele mai puțin volatile. Mișcările maxime sunt înregistrate în perechile Dolar/Frank și Liră/Dolar, urmate de Dolar/Yen și Euro/Dolar.

Utilizarea seriei Fibonacci pe piața valutară Forex are o caracteristică - acestea pot fi folosite doar pentru mișcări bune de impuls.

Lumea din jurul nostru, începând de la cel mai mic particule invizibile, și se termină cu galaxii îndepărtate ale spațiului nesfârșit, este plină de multe mistere nerezolvate. Cu toate acestea, vălul misterului a fost deja ridicat asupra unora dintre ele datorită minților iscoditoare ale unui număr de oameni de știință.

Un astfel de exemplu este „rația de aur” și numerele Fibonacci , care stau la baza acestuia. Acest tipar a fost reflectat în formă matematică și se găsește adesea în natura care înconjoară oamenii, excluzând încă o dată posibilitatea ca acesta să fi apărut ca urmare a întâmplării.

Numerele Fibonacci și succesiunea lor

Sirul de numere Fibonacci este o serie de numere, fiecare dintre ele fiind suma celor două anterioare:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377 …

Particularitatea acestei secvențe sunt valorile numerice care se obțin prin împărțirea numerelor acestei serii între ele.

Seria de numere Fibonacci are propriile modele interesante:

• În seria de numere Fibonacci, fiecare număr împărțit la următorul va arăta o valoare care tinde spre 0,618 . Cu cât numerele sunt mai departe de începutul seriei, cu atât raportul va fi mai precis. De exemplu, numerele luate la începutul rândului 5 Şi 8 va arata 0,625 (5/8=0,625 ). Dacă luăm numerele 144 Şi 233 , atunci vor arăta raportul 0.618 .
• La rândul său, dacă într-o serie de numere Fibonacci împărțim un număr la cel anterior, atunci rezultatul împărțirii va tinde să 1,618 . Pentru exemplu, au fost folosite aceleași numere ca cele discutate mai sus: 8/5=1,6 Şi 233/144=1,618 .
• Un număr împărțit la următorul după acesta va afișa o valoare care se apropie 0,382 . Și cu cât numerele sunt luate mai departe de începutul seriei, cu atât mai precis sensul rapoarte: 5/13=0,385 Şi 144/377=0,382 . Împărțirea numerelor în ordine inversă va da rezultatul 2,618 : 13/5=2,6 Şi 377/144=2,618 .

Folosind metodele de calcul descrise mai sus și mărind decalajele dintre numere, puteți obține următoarele serii de valori: 4.235, 2.618, 1.618, 0.618, 0.382, 0.236, care este utilizat pe scară largă în instrumentele Fibonacci de pe piața Forex.

Raportul de aur sau proporția divină

Analogia cu un segment reprezintă foarte clar „rația de aur” și numerele Fibonacci. Dacă segmentul AB este împărțit la punctul C într-un asemenea raport încât să fie îndeplinită condiția:

AC/BC=BC/AB, atunci va fi „raportul de aur”

CITEȘTE ȘI URMĂTOARELE ARTICOLE:

În mod surprinzător, aceasta este tocmai relația care poate fi urmărită în seria Fibonacci. Luând câteva numere dintr-o serie, puteți verifica prin calcul că așa este. De exemplu, această succesiune de numere Fibonacci... 55, 89, 144 ... Fie numărul 144 segmentul întreg AB menționat mai sus. Deoarece 144 este suma celor două numere anterioare, atunci 55+89=AC+BC=144.

Împărțirea segmentelor va afișa următoarele rezultate:

AC/BC=55/89=0,618

BC/AB=89/144=0,618

Dacă luăm segmentul AB ca întreg, sau ca unitate, atunci AC=55 va fi 0,382 din acest întreg, iar BC=89 va fi egal cu 0,618.

Unde apar numerele Fibonacci?

Grecii și egiptenii cunoșteau succesiunea regulată a numerelor Fibonacci cu mult înaintea lui Leonardo Fibonacci însuși. Această serie de numere a căpătat acest nume după ce celebrul matematician a asigurat răspândirea pe scară largă a acestui fenomen matematic în rândul oamenilor de știință.

Este important de menționat că numerele de aur Fibonacci nu sunt doar știință, ci o reprezentare matematică a lumii din jurul nostru. Multe fenomene naturale, reprezentanți ai florei și faunei au „rația de aur” în proporțiile lor. Acestea sunt buclele spiralate ale cochiliei și aranjamentul semințelor de floarea soarelui, cactusi și ananas.

Spirala, ale cărei proporții ale ramurilor sunt supuse legilor „raportului de aur”, stă la baza formării unui uragan, țeserii unei pânze de către un păianjen, forma multor galaxii, împletirea moleculelor de ADN și multe alte fenomene.

Lungimea cozii șopârlei față de corpul său are un raport de 62 la 38. Lăstarul de cicoare face o ejecție înainte de a elibera o frunză. După ce prima foaie este eliberată, are loc o a doua ejectare înainte ca cea de-a doua foaie să fie eliberată, cu o forță egală cu 0,62 din unitatea convențională de forță a primei ejectii. Al treilea valori anormal este 0,38, iar al patrulea este 0,24.

De asemenea, pentru comerciant mare valoare are faptul că mișcarea prețurilor pe piața Forex este adesea supusă modelului numerelor Fibonacci de aur. Pe baza acestei secvențe create o serie intreaga instrumente pe care un comerciant le poate folosi în arsenalul său

Instrumentul „ ”, adesea folosit de comercianți, poate arăta cu mare acuratețe obiectivele mișcării prețurilor, precum și nivelurile de corecție ale acestuia.

Fibonacci Leonardo din Pisa (lat. Leonardo Pisano, Pisa, aproximativ 1170 - aproximativ 1250) a fost primul mare matematician al Europei medievale. Mai cunoscut sub porecla Fibonacci, care tradus din italiană înseamnă „ fiu bun s-a născut” (Figlio Buono Nato Ci).

Se știu puține despre existența lui Fibonacci. Chiar și data exactă a nașterii sale nu este cunoscută. Se crede că Fibonacci s-a născut în 1170

Leonardo Fibonacci a fost un matematician italian celebru, el a fost renumit pentru capacitatea sa de a face calcule. Într-o zi, i-a dat seama și a descoperit o simplă succesiune de numere, relațiile dintre care descriau proporțiile naturale ale tuturor corpurilor din univers!

Leonardo Fibonacci a fost un matematician remarcabil al Evului Mediu. Fructele muncii sale matematice sunt folosite în multe științe, arte și viata de zi cu zi până astăzi.

Meritul lui Leonardo Fibonacci este seria de numere Fibonacci. Se crede că această serie era cunoscută în Orient, dar Leonardo Fibonacci a fost cel care a publicat această serie de numere în cartea „Liber Abaci” (a făcut acest lucru pentru a demonstra reproducerea populației de iepuri).

Elliott a scris: „Legea naturii include în considerare cel mai important element - ritmul. Legea naturii nu este un anumit sistem, nu o metodă de a juca pe piață, ci un fenomen care este caracteristic, aparent, cursului. orice activitate umană aplicarea ei în prognoză este revoluționară.”

Această șansă de a prezice mișcările prețurilor menține legiuni de analiști să lucreze zi și noapte. Ne vom concentra pe capacitatea de a face predicții și vom încerca să aflăm dacă este posibil sau nu. În prezentarea abordării sale, Elliott a fost foarte specific. El a scris: „Orice activitate umană este caracterizată de trei caracteristici distinctive: formă, timp și relație - și toate se supun secvenței de însumare a lui Fibonacci."

Secvența Fibonacci, cunoscută de toată lumea din filmul „Codul lui Da Vinci”, este o serie de numere descrise sub forma unei ghicitori de matematicianul italian Leonardo din Pisa, mai cunoscut sub numele de Fibonacci, în secolul al XIII-lea. Pe scurt, esența ghicitorii:

Cineva a pus câțiva iepuri în unele spațiu restrâns pentru a afla câte perechi de iepuri se vor naște în cursul anului, dacă natura iepurilor este de așa natură încât în ​​fiecare lună o pereche de iepuri dă naștere unei alte perechi, iar capacitatea de a produce urmași apare la împlinirea vârstei de două luni.

Reflectând la acest subiect, Fibonacci a construit următoarea serie de numere.

O serie de numere 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 etc. cunoscut sub numele de seria Fibonacci. Particularitatea șirului de numere este că fiecare dintre membrii săi, începând cu al treilea, este egal cu suma celor doi anterioare 2 + 3 = 5; 3 + 5 = 8; 5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21; 13 + 21 = 34 etc., iar raportul numerelor adiacente din serie se apropie de raportul diviziunii de aur. Deci, 21: 34 = 0,617 și 34: 55 = 0,618. Acest raport este notat cu simbolul F. Doar acest raport - 0,618: 0,382 - dă o împărțire continuă a unui segment de dreaptă în proporția de aur, crescându-l sau micșorându-l la infinit, când segmentul mai mic este legat de cel mai mare ca cel mai mare este la tot.

Fibonacci s-a ocupat și de nevoile practice ale comerțului: care este cel mai mic număr de greutăți care pot fi folosite pentru a cântări un produs? Fibonacci demonstrează că sistemul optim de greutăți este: 1, 2, 4, 8, 16...

Această secvență are o serie de caracteristici matematice care trebuie neapărat atinse. Această secvență asimptotic (apropiindu-se din ce în ce mai încet) tinde spre o relație constantă. Cu toate acestea, acest raport este irațional, adică este un număr cu o succesiune infinită, imprevizibilă de cifre zecimale în partea fracțională. Este imposibil să o exprim cu precizie.

Astfel, raportul oricărui membru al secvenței față de cel care îl precede fluctuează în jurul numărului 1,618, uneori depășindu-l, alteori neatingându-l. Raportul față de următorul se apropie în mod similar de numărul 0,618, care este invers proporțional cu 1,618. Dacă împărțim elementele șirului printr-unul, vom obține numerele 2,618 și 0,382, care sunt, de asemenea, invers proporționale. Acestea sunt așa-numitele rapoarte Fibonacci.

Natura, așa cum spune, rezolvă problema din ambele părți simultan și adună rezultatele obținute. De îndată ce primește un total de 1, trece la următoarea dimensiune, unde începe să construiască totul din nou. Dar apoi trebuie să construiască această proporție de aur după o anumită regulă. Natura nu folosește imediat proporția de aur. Ea îl obține prin iterații succesive și folosește o altă serie, seria Fibonacci, pentru a genera raportul de aur.

Proprietățile minunate ale seriei Fibonacci se manifestă și în numerele în sine, care sunt membre ale acestei serii. Să aranjam termenii seriei Fibonacci pe verticală, iar apoi la dreapta, în ordine descrescătoare, notăm numerele naturale.

21 20 19 18 17 16 15 14 13

34 33 32 31 30 29 28 27 26 25 24 23 22 21

55 54 53 52 51 50 49 48 47 46 45 44 43 42 41 40 39 38 37 36 35 34

Fiecare linie începe și se termină cu un număr Fibonacci, adică există doar două astfel de numere în fiecare linie. numerele „albastre” - 4, 7, 6, 11, 10, 18, 16, 29, 26, 47, 42 - au proprietăți speciale (al doilea nivel al ierarhiei seriei Fibonacci):

(5-4)/(4-3) = 1/1

(8-7)/(7-5) = 1/2 și (8-6)/(6-5) = 2/1

(13-11)/(11-8) = 2/3 și (13-10)/(10-8) = 3/2

(21-18)/(18-13) = 3/5 și (21-16)/(1b-13) = 5/3

(34-29)/(29-21) = 5/8 și (34-26)/(26-21) = 8/5

(55-47)/(47-34) = 8/13 și (55-42)/(42-34) = 13/8

Am obținut seria fracțională Fibonacci, care poate fi „profesată” de spinurile colective ale particulelor elementare și atomilor elementelor chimice.

Să ne imaginăm aceste numere ca o succesiune de scale de pârghie

Pentru ce sunt toate acestea? Așa abordăm unul dintre cele mai misterioase fenomene naturale. În esență, Fibonacci nu a descoperit nimic nou, pur și simplu a reamintit lumii un astfel de fenomen precum Raportul de Aur, care nu este inferioară ca importanță teoremei lui Pitagora.

Distingem toate obiectele din jurul nostru prin forma lor. Unele ne plac mai mult, altele mai puțin, altele sunt complet dezamăgitoare. Uneori interesul poate fi dictat situatie de viata, iar uneori frumusețea obiectului observat. Forma simetrică și proporțională promovează cea mai bună percepție vizuală și evocă un sentiment de frumusețe și armonie. O imagine completă constă întotdeauna din părți de dimensiuni diferite care se află într-o anumită relație între ele și întregul. Raportul de aur este cea mai înaltă manifestare a perfecțiunii întregului și a părților sale în știință, artă și natură.

Dacă este pornit exemplu simplu, atunci Raportul de Aur este împărțirea unui segment în două părți într-un astfel de raport în care partea mai mare este legată de cea mai mică, întrucât suma lor (întregul segment) este la cea mai mare.

Dacă luăm ca 1 întregul segment c, atunci segmentul a va fi egal cu 0,618, segmentul b - 0,382, doar astfel se va îndeplini condiția Raportului de Aur (0,618/0,382=1,618; 1/0,618=1,618) . Raportul dintre c la a este 1,618, iar c la b este 2,618. Acestea sunt aceleași rapoarte Fibonacci care ne sunt deja familiare.

Desigur, există un dreptunghi auriu, un triunghi auriu și chiar un cuboid auriu. Proporții corpul umanîn multe privinţe aproape de Secţiunea de Aur.

Dar distracția începe atunci când combinăm cunoștințele pe care le-am dobândit. Figura arată clar relația dintre succesiunea Fibonacci și raportul de aur. Începem cu două pătrate de prima dimensiune. Adăugați deasupra un pătrat de a doua dimensiune. Desenați lângă el un pătrat cu o latură egală cu suma laturilor celor două anterioare, dimensiunea a treia. Prin analogie, apare un pătrat de dimensiunea cinci. Și așa mai departe, până obosești, principalul lucru este că lungimea laturii fiecărui pătrat următor este egală cu suma lungimilor laturilor celor două anterioare. Vedem o serie de dreptunghiuri ale căror laturi sunt numere Fibonacci și, în mod ciudat, se numesc dreptunghiuri Fibonacci.

Dacă tragem linii netede prin colțurile pătratelor noastre, nu vom obține nimic mai mult decât o spirală a lui Arhimede, a cărei creștere este întotdeauna uniformă.

Seria Fibonacci nu este doar un mister matematic, ci îl întâlnim în fiecare zi în viața de zi cu zi:

Și nu numai în coaja unei moluște puteți găsi spiralele lui Arhimede, dar în multe flori și plante, pur și simplu nu sunt atât de evidente.

O cochilie în formă de spirală - forma cochiliei l-a interesat pe Arhimede și a aflat că creșterea lungimii buclelor cochiliei este o valoare constantă și este egală cu 1,618.

Aloe multifolia.

Broccoli Romanesco.

Floarea soarelui: Semințele dintr-o floarea soarelui sunt, de asemenea, aranjate în spirală.

Con de pin.

Creșterea plantelor are loc și în conformitate cu seria numerică Fibonacci - o ramură părăsește trunchiul pe care apare o frunză, apoi are loc o ejecție lungă și o frunză apare din nou, dar este deja mai scurtă decât cea anterioară. Apoi există un alt val, dar este și mai scurt decât precedentul. În această imagine, primul vârf este de 100%, al doilea este de 62%, iar al treilea este de 38% (nivelurile Fibonacci utilizate în tranzacționare), etc. Cu lungimea petalelor, totul arată exact la fel.

Șopârlă - dacă împărțiți o șopârlă într-o coadă și un corp, atunci raportul lor va fi de 0,62 la 0,38.

Piramide - Lungimea marginii piramidei este de 783,3 picioare, iar înălțimea piramidei este de 484,4 picioare. Raportul dintre lungimea muchiei/înălțimea piramidei este de 1,618.

După cum puteți vedea, seria de numere Fibonacci este larg reprezentată în viața noastră: în structura ființelor vii, structuri și chiar descrie structura galaxiilor cu ajutorul ei. Toate acestea mărturisesc universalitatea ghicitorii matematice a seriei de numere Fibonacci.

Și acum este timpul să ne amintim de Secțiunea de Aur! Sunt unele dintre cele mai frumoase și armonioase creații ale naturii descrise în aceste fotografii? Și asta nu este tot. Dacă te uiți cu atenție, poți găsi modele similare în multe forme.

Desigur, afirmația că toate aceste fenomene se bazează pe succesiunea Fibonacci sună prea tare, dar tendința este evidentă. Și în plus, secvența în sine este departe de a fi perfectă, ca tot ce este în această lume.

Există o presupunere că secvența Fibonacci este o încercare prin natură de a se adapta la secvența logaritmică a raportului de aur mai fundamental și perfect, care este aproape aceeași, doar că începe de nicăieri și merge spre nicăieri. Natura are nevoie cu siguranță de un fel de început întreg de la care să poată porni să nu creeze ceva din nimic. Rapoartele primilor termeni ai secvenței Fibonacci sunt departe de raportul de aur. Dar cu cât ne deplasăm mai departe, cu atât aceste abateri sunt mai netezite. Pentru a defini orice succesiune, este suficient să-i cunoști cei trei termeni, urmându-se. Dar nu pentru șirul de aur, două sunt suficiente pentru aceasta, este o progresie geometrică și aritmetică în același timp. S-ar putea crede că aceasta este baza pentru toate celelalte secvențe.

Fiecare termen al secvenței logaritmice de aur este o putere a raportului de aur (z). O parte a seriei arată cam așa: ... z-5; z-4; z-3; z-2; z-1; z0; z1; z2; z3; z4; z5 ... Dacă rotunjim valoarea raportului de aur la trei cifre, obținem z = 1,618, atunci seria arată astfel: ... 0,090 0,146; 0,236; 0,382; 0,618; 1; 1,618; 2,618; 4,236; 6,854; 11,090 ... Fiecare termen următor poate fi obținut nu numai prin înmulțirea celui precedent cu 1,618, ci și prin adunarea celor doi anteriori. Astfel crestere exponentialaîntr-o succesiune se realizează prin simpla adăugare a două elemente adiacente. Este o serie fără început sau sfârșit și așa încearcă să fie șirul Fibonacci. Având un început foarte clar, ea se străduiește spre ideal, fără să-l atingă niciodată. Asta e viata.

Și totuși, în legătură cu tot ceea ce am văzut și citit, apar întrebări destul de logice:

De unde au venit aceste cifre? Cine este acest arhitect al universului care a încercat să-l facă ideal? A fost totul așa cum și-a dorit el? Și dacă da, de ce a mers prost? Mutații? Liberă alegere? Ce se va întâmpla în continuare? Se ondula sau se desfășoară spirala?

După ce ați găsit răspunsul la o întrebare, veți primi următoarea. Dacă o rezolvi, vei primi două noi. Odată ce ai de-a face cu ele, vor apărea încă trei. După ce le-ați rezolvat și pe acestea, veți avea cinci nerezolvate. Apoi opt, apoi treisprezece, 21, 34, 55...

Semnificația aplicată a seriei Fibonacci și a raportului de aur merită un site separat. Acum voi spune doar că, de exemplu, elementele seriei Fibonacci sunt folosite pentru a calcula mediile mobile (ca să nu mai vorbim de creșterea populației de iepuri), iar capodoperele artei mondiale conțin Raportul de Aur.

Între timp, amintiți-vă că Fibonacci este o figură legendară în matematică, economie și finanțe; a făcut-o publică numere arabeși a prezentat o serie magică de numere.

seria numerică Fibonacci